1. 개요
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인도의 수학자 스리니바사 라마누잔이 고안한 수식이다. [math(1+2+3+4+\cdots)]은 당연히 무한대로 발산하므로 특정 실수에 수렴하지 않는다. 일반적인 계산으로 모든 자연수(양의 정수)의 합이 해당 값을 가진다고 말하지 않는다. 다만 해석적 확장을 직관적으로 설명하기 좋은 예시로 본다.
라마누잔은 하나의 수로 가정하고 식을 전개한 뒤,
[math(\displaystyle 1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12})]
이 된다고 직관적으로 계산해 낸다.
사실 라마누잔합이라고 부르는 개념은 이렇게 단순한 것이 아니라서 제대로 알아보려면 복소해석학을 배워야 한다. 해석적 확장이라는 개념을 사용하기 때문. 일반적인 덧셈이 아니라 특정 무한급수의 값을 구하는 공식에 범위 외의 값을 대입한 수학적 기법이기 때문에, 당연히 상식적인 계산으로는 도출될 수 없는 결론이다.
2. 분석
2.1. 1−2+3−4+⋯
라마누잔은 이를 직관적으로 [math(1/4)]라고 계산했다. 라마누잔의 계산과정은 이곳에 잘 설명되어 있다. 이를 증명하면 아래와 같다.[math(|x|<1)] 에 대해서 무한등비급수
[math(\displaystyle 1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots=\frac{1}{1-x})]
이 성립한다. [math(x)] 대신 [math(-x)]를 대입하여 식을 변형하면,
[math(\displaystyle 1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots=\frac{1}{1+x})]
이 된다. 미분하면
[math(\displaystyle-1+2x-3x^2+4x^3-\cdots=\frac{-1}{(1+x)^2})]
양변에 -1을 곱하면 아래와 같이 된다.
[math(\displaystyle1-2x+3x^2-4x^3+\cdots=\frac{1}{(1+x)^2})]
이 식은 애초에 [math(|x|<1)] 에서만 성립한다. 그런데, [math(x \to 1^{-})]의 극한[1]을 생각해보면 다음과 같은 식이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} 1-2x+3x^2-4x^3+\cdots &= \frac{1}{(1+x)^2} \\ \lim_{x\rightarrow 1^{-}}(1-2x+3x^2-4x^3+\cdots) &= \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{1}{(1+x)^2} \\ \\ \therefore 1-2+3-4+\cdots&=\frac{1}{(1+1)^2}=\frac{1}{4} \end{aligned})]
이 식은 [math(|x|<1)] 에서 정의되므로, 원칙적으로 [math(x=1)]에서는 정의되진 않는다. 하지만, 정의된다고 가정하면 그 값은 [math(\mathbf{1/4})]이다.
2.2. 1+2+3+4+⋯
다시 라마누잔의 메모로 돌아가서 [math( c = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots )]으로 두고, 양 변에 4를 곱한 뒤 한 칸씩 엇갈려서 두 식을 빼면| [math(\begin{matrix}&c&=&1&+&2&+&3&+&4&+&5&+&6&+&7&+&8&+&9&+&10&+&\cdots& \\ - &4c&=&&&4&&+&&8&&+&&12&&+&&16&&+&&20&+&\cdots&\\ \hline &-3c&=&1&-&2&+&3&-&4&+&5&-&6&+&7&-&8&+&9&-&10&+&\cdots& \\ \\ \end{matrix} \\ )] |
[math(\displaystyle1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4})]
이라고 계산했으니,
[math(\displaystyle -3c = \frac{1}{4} \; \to \; 1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12})]
이 된다. 일반적인 덧셈과 구분하기 위해서 [math( (\Re) )][2] 이란 표기를 추가하여
[math(\displaystyle1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12} (\Re) )]
로 표기한다.
3. 그 외 유사한 결과들
3.1. 1−1+1−1+⋯
앞에서 언급한 무한등비급수[math(\displaystyle 1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots=\frac{1}{1-x})]
에서 [math(x \to -1)]의 극한을 구해 보면, 아래와 같다.
[math(\displaystyle1-1+1-1+\cdots=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} (\Re))]
앞의 것과 마찬가지로 [math(|x|<1)] 에서 정의되므로, 원칙적으로는 정의되진 않는다. 하지만, 정의된다고 가정하면 그 값은 [math(\boldsymbol{1/2})]이다.
참고로, 이 급수는 그란디 급수란 이름이 있으며 라마누잔합은 '이렇게 부분합이 수렴하지 않는 무한급수의 값은 어떻게 정의할 수 있을까?'란 질문에 답하기 위해 개발된 기법중 하나다.
3.2. 1+2+4+8+16+⋯
앞에서 언급한 무한등비급수[math(\displaystyle 1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots=\frac{1}{1-x})]
에서 [math(x to 2)]의 극한을 구해 보면, 아래와 같다.
[math(\displaystyle1+2+4+8+16+\cdots=\frac{1}{1-2}=-1 (\Re))]
앞의 것과 마찬가지로 [math(|x|<1)] 에서 정의되므로, 원칙적으로는 정의되진 않는다. 하지만, 정의된다고 가정하면 그 값은 −1이다.
4. 리만 가설과의 관계
이 직관과는 거리가 먼 결과들은 나중에 리만 가설과 연관성이 발견되면서 재평가를 받는다.리만 가설의 바로 그 베른하르트 리만은 소수 정리를 연구하면서 리만 제타 함수라는 것을 만드는데 아래와 같다.
[math(\displaystyle\zeta(x) =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^x})]
이 식은 원래 실수 중에서 [math(x>1)]일 때만 수렴하는 식이다. 리만은 이를 복소수로 확장하여 [math(x)]의 실수부가 1보다 크기만 하면 수렴한다고 증명하였다. 그리고, 그렇지 않은 [math(x)]에 대해서도 연구하기 시작한다. 그리고, 방정식 [math(\displaystyle\zeta(x) =0)] 에 대해서 −2, −4, −6, −8, [math(\cdots)] 등의 해가 있음(자명한 근)을 증명하였고, 자명하지 않은 근이 존재함도 밝혔는데, '자명하지 않은 근의 실수부는 모두 [math(1/2)] 이다.'가 그 유명한 리만 가설이다.
참고로, 리만 제타 함수에 [math(x=-1)]을 대입하면 바로 위의 그 식이 나오며, 리만 제타 함수에서도 이 값은
[math(\displaystyle \zeta(-1) = 1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12})]
이 나온다.
5. 관련 문서
[1] 쉬운 예로 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, 0.999999, [math(cdots)] 식으로 증가하면서 1에 수렴하는 극한[2] [math(\Re)]는 복소수의 실수부라는 의미로도 쓴다.