정적분/예제

1. 개요

2. 정적분의 정의

2.1. 예제 1

[풀이 보기]

-----
정적분의 정의에 따라

[math(\displaystyle \Delta x=\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n})]

[math(x_{k}=0+k \Delta x=\dfrac{k}{n})]

라 하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)\,{\rm d}x&=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_{k}) \Delta x \\ &=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right)\frac{1}{n} \\&=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n} \right)^{2}\frac{1}{n} \\ &=\lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}} \\&=\frac{1}{3} \end{aligned} )]

3. 정적분의 계산

3.1. 예제 1

[풀이 보기]

-----
다음과 같이 미적분의 기본정리를 사용하여 계산할 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)\,{\rm d}x&=\biggl[ \dfrac{x^3}{3} \biggr]_{0}^{1} \\&=\frac{1}{3}-0 \\&=\frac{1}{3} \end{aligned} )]

3.2. 예제 2

2016학년도 수능 A형 29번

[풀이 보기]

-----
(가)에서, [math([0,\,2])]에서는 원 함수와 절댓값 함수의 정적분이 반수 관계이므로 이 구간에서 [math(f(x)\leq0)]이다. 또한 (나)에서, [math([2,\,3])]에서는 원 함수와 절댓값 함수의 정적분이 같으므로 이 구간에서 [math(f(x)\geq0)]이다. [math(f(0)=0)]이므로, 모든 단서를 종합하면 이차함수 [math(f(x))]의 그래프는 다음과 같은 형태가 된다.


따라서 [math(f(x)=ax(x-2)\;(a>0))]로 놓을 수 있고, (가)의 정적분 값을 활용하면 [math(a)]의 값은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^2|f(x)|\,{\rm d}x&=\int_0^2|ax(x-2)|\,{\rm d}x\\&=\dfrac{|a|}6\times(2-0)^3=4\\\\\therefore a&=3\quad(\because a>0)\end{aligned})]

따라서 [math(f(x)=3x(x-2))]이고 [math(f(5)=45)]이다. 이때, 위 계산은 이차함수 넓이 공식이다. 다항함수/공식/넓이 문서를 참고하자.

4. 역함수의 정적분

4.1. 예제 1

[풀이 보기]

-----

함수 [math(f(x))]가 점 [math((0,0))]과 [math((3,7))]을 지나고 역함수가 존재하므로 [math(f(x))]는 증가함수이다. 따라서 그래프의 개형은 위 그림과 같다.

[math(\displaystyle{\color{purple}\int_0^7 g(x)\;{\rm d}x})]와 빨간색 영역의 넓이는 같으며, [math(\displaystyle{\color{turquoise}\int_0^3 f(x)\;{\rm d}x})]는 초록색 영역이므로, 구하려는 값인 초록색 영역과 보라색 영역의 넓이의 합은 초록색 영역과 빨간색 영역의 넓이의 합과 같다. 이는 곧 직사각형의 넓이와 같으므로 [math(3 \cdot 7=21)]

사실 [math(f(x)=\dfrac{7}{3}x)]로 놓아버리면 그래프가 직선이 되어 굳이 정적분을 도입하지 않아도 삼각형의 넓이의 합으로도 풀 수 있다. 그러나 만약 풀이까지 써야 한다면 [math(f(x))]의 그래프가 무조건 직선이라는 보장이 없으므로 그런 풀이로는 제대로 된 점수를 받을 수 없다.

4.2. 예제 2

2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 90쪽 7번

4.3. 예제 3

2012학년도 7월 나형 21번

[풀이 보기]

-----
[math(f(1)=1)], [math(f(2)=9)]이므로 [math(f(x))]의 그래프는 다음과 같으며, 구하고자 하는 값은 파란색 영역의 넓이이다.

[math(\displaystyle{\color{skyblue}\int_{f(1)}^{f(2)}f^{-1}(x)\;{\rm d}x}=2f(2)-{\color{limegreen}1f(1)}-{\color{red}\int_1^2 f(x)\; {\rm d}x})]

[math(\therefore\displaystyle{\color{skyblue}\int_{1}^{9}g(x)\;{\rm d}x}=2\cdot 9-{\color{limegreen}1\cdot 1}-{\color{red}\dfrac{17}{4}}={\color{skyblue}\dfrac{51}{4}})]

5. 무한급수를 정적분으로 나타내기

5.1. 예제 1

【 정답 및 해설 (펼치기 · 접기) 】

정적분의 정의를 상기하면서 식의 어떤 자리에 어떤 수나 문자가 있는지 따져 보면 된다.

여기에서, [math(x_k)]가 [math(x)]로 변하고 [math(\Delta x)]가 [math({\rm d}x)]가 된다는 점을 상기해야 한다. [math(\Delta x)]란 본디 [math(\displaystyle\frac{b-a}{n})]의 꼴이므로 문제의 식에서는 [math(\displaystyle\frac{5}{n})]라고 할 수 있다. 그러면 [math(x_k=a+\displaystyle\frac{b-a}{n}k=1+\frac{5k}{n})]가 된다. 따라서 문제의 식에 있는 [math(\left(\displaystyle 1+\frac{5k}{n}\right)^2)]을 그대로 [math(\displaystyle x^2)]으로 바꿔서 쓰면 된다.

이제 위끝과 아래끝을 결정할 차례이다. 앞서 말했듯이 [math(x_0=a)], [math(x_n=b)]이므로 [math(a=1+\dfrac{5⋅0}{n}=1)], [math(b=1+\dfrac{5⋅n}{n}=6)]이다. 따라서 정적분의 꼴로 고치면

[math(\displaystyle\int_1^6 x^2\,{\rm d}x)]

5.2. 예제 2

【 정답 및 해설 (펼치기 · 접기) 】

[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{n+4k}{n}\right)\dfrac{1}{n})]
[math(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(1+\dfrac{4k}{n}\right)\dfrac{1}{n})]

문제 1에서는 [math(\left(1+\dfrac{5k}{n}\right)^2\dfrac{5}{n})] 식으로, [math(\dfrac{5}{n})]가 두 번 보였기 때문에 그대로 [math(\Delta x=\dfrac{5}{n})]로 놓으면 [math(x_k)]까지 순조롭게 정해졌었다. 그러나 문제 2는 [math(f\left(1+\dfrac{4k}{n}\right)\dfrac{1}{n})] 식으로, [math(\dfrac{4}{n})]도 보이고 [math(\dfrac{1}{n})]도 보인다. 이 경우 둘의 수를 통일해야 문제 1과 같이 정적분의 꼴로 바꿀 수가 있을 것이다. 그러면 [math(\dfrac{4}{n})]로 통일할까, [math(\dfrac{1}{n})]로 통일할까? 당연히 [math(\dfrac{4}{n})]로 통일해야 한다. 그러는 편이 비교도 안 되게 쉽기 때문이다.

[math(\displaystyle\frac{1}{4}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(1+\dfrac{4k}{n}\right)\dfrac{4}{n})]

와 같이 [math(\dfrac{1}{4})]이라는 상수를 앞으로 넘겨주기만 하면 끝이다. 계속 계산하면

문제 1과 같이, [math(\Delta x=\dfrac{4}{n})]로 놓을 수 있고, [math(x_k=1+\dfrac{4k}{n})]가 된다. [math(a=x_0=1)], [math(b=x_n=5)]이다. 따라서 정적분의 꼴로 고치면

[math(\displaystyle\frac{1}{4}\int_1^5 f(x) \,{\rm d}x)]

5.3. 예제 3

【 정답 및 해설 (펼치기 · 접기) 】

[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{2k^3}{n^4}\right))]
[math(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{k}{n}\right)^3⋅\dfrac{2}{n})]

문제 2와 마찬가지로 수를 통일해 주어야 한다. [math(\dfrac{1}{n})]과 [math(\dfrac{2}{n})]가 보이는데, 상수 [math(2)]를 앞으로 넘겨서 [math(\dfrac{1}{n})]로 통일하자.

[math(=2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{k}{n}\right)^3⋅\dfrac{1}{n})]

[math(a)]의 값을 찾을 수 있겠는가? [math(\dfrac{k}{n})] 바로 앞에는 [math(\boldsymbol {0+})]가 생략되어 있는 것으로 보면 [math(a=0)]임을 알 수 있다. [math(b-a=1)]이므로 [math(b=1)]이고 [math(\Delta x=\dfrac{1}{n})]이다. 그러면 자연스럽게 [math(x_k=\dfrac{k}{n})]가 된다. 따라서 정적분의 꼴로 고치면

[math(2\displaystyle\int_0^1 x^3 \,{\rm d}x)]

이를 계산하면

[math(2\left[\dfrac{1}{4}x^4\right]_0^1)]

[math(=2(\dfrac{1}{4}-0))]

[math(=\dfrac{1}{2})]

5.4. 예제 4

【 정답 및 해설 (펼치기 · 접기) 】

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac1{n+k}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{\cfrac1n}{1+\cfrac{k}{n}}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)\\&=\displaystyle\int_0^1\dfrac{f(x)}{1+x}\;{\rm d}x\\&=\int_0^1 4x^3\;{\rm d}x\\&=1\end{aligned})]

사실 이 문제를 푸는 편법이 있는데, 대학수학능력시험/수학 영역/여담 참고.

5.5. 예제 5

【 정답 및 해설 (펼치기 · 접기) 】

당황할 것 없이, [math(\sum)]로 식을 다시 나타내면 된다.

[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n (n+k)^3}{\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n (n+k)^3}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n k^3})]

사실 이 상태로는 정적분으로 나타낼 수가 없다. 앞서 문제를 풀어 보았듯이, [math(\dfrac{b-a}{n}k)]와 [math(\dfrac{b-a}{n})]의 꼴이 나와야 [math(\Delta x)]나 [math(x_k)]를 정하기 쉬우므로 그에 맞게 식을 변형해 보자. 분모와 분자를 [math(n^4)]으로 나누는 것이다.

[math(=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n {\cfrac{(n+k)^3}{n^4}} }{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n {\cfrac{k^3}{n^4}} }=\dfrac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(1+\cfrac{k}{n}\right)^3⋅\cfrac{1}{n}}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\cfrac{k}{n}\right)^3⋅\cfrac{1}{n}})]

[math(=\dfrac{\displaystyle\int_1^2 x^3 \,{\rm d}x}{\displaystyle\int_0^1 x^3 \,{\rm d}x}=\dfrac{\displaystyle\left[\cfrac{1}{4}x^4\right]_1^2}{\displaystyle\left[\cfrac{1}{4}x^4\right]_0^1})]

[math(=\dfrac{4-\cfrac{1}{4}}{\cfrac{1}{4}-0})]

[math(=15)]

5.6. 예제 6

2013학년도 10월 B형 20번

【 정답 및 해설 (펼치기 · 접기) 】

||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac{2k}n\right)-f\left(\dfrac{2k-2}n\right)\right\}\dfrac kn&=\lim_{n\to\infty}\dfrac12\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac2nk\right)-f\left(\dfrac2n(k-1)\right)\right\}\dfrac2nk\\&=\dfrac12\int_{f(0)}^{f(2)}f^{-1}(x)\;{\rm d}x\\&=\dfrac12\left(1\times 2-\int_0^2 f(x)\;{\rm d}x\right)\\&=\dfrac12\left(2-\dfrac14\right)\\&=\dfrac78\end{aligned})] ||

5.7. 심화

[풀이]

||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023>

6. 정적분으로 정의된 함수

6.1. 오개념: 정적분으로 정의된 함수의 변수

【 정답 및 해설 (펼치기 · 접기) 】

1번은 함수 [math(y=tf(t))][3]를 1부터 [math(x)]까지 정적분한 값을 뜻한다. 2번은 함수 [math(y=af(a))]라는 함수를 1부터 [math(x)]까지 정적분한 값을 뜻한다. 3번 역시 마찬가지로 함수 [math(y=xf(x))]를 1부터 [math(x)]까지 정적분한 값을 뜻한다. 그러나 3번이 1번 및 2번과 다른 점은, 문자 [math(x)]가 상수라는 것이다! 잘 이해가 안 되면 다음 그래프를 보자.



여기에서 첫째 그래프와 둘째 그래프를 보면, 모든 것이 똑같고 가로축의 변수를 표기한 문자만이 다르다. 가로축의 변수를 무슨 문자로 쓸 것인지는 완전히 임의적인 것이기에, [math(a)]로 쓰든 [math(t)]로 쓰든 '꽦'으로 쓰든 하등 문제는 없고, 실질적인 계산에서도 문자만 달라질 뿐, 그 달라진 문자가 계산에 전혀 영향을 주지 않는다. 그러나 셋째 그래프는 이야기가 다르다. 그래프의 함수식이, 가로축의 변수 [math(t)]에 관한 식이 아니고 아예 새로운 문자 [math(x)]에 관한 식이기에 이는 상수함수이다. [math(x=1)]이면 [math(y=f(1))]을 1부터 1까지 정적분한 값을 구하고, [math(x=100)]이면 [math(y=100f(100))]을 1부터 100까지 정적분한 값을 구하는 것이다. 상수함수는 [math(x)]축과 평행하므로, 정적분으로 구하고자 하는 도형은 항상 직사각형이 된다. 따라서 [math(y=\displaystyle\int_1^x xf(x)\,{\rm d}t)]는 [math(y=x(x-1)f(x))]나 다름없다.

【 정답 및 해설 (펼치기 · 접기) 】

이 역시 그래프를 보며 생각해 보자.



세 그래프 모두, [math(x)]의 값에 따라 빨간색 부분의 넓이([math(y)]값)이 달라지므로, 곧 정적분의 값도 달라짐을 알 수 있을 것이다. 따라서 1번, 2번, 3번 함수 모두 [math(\boldsymbol x)]에 관한 함수이다. [math(t)]니 [math(a)]니 다른 문자들이 같이 등장해도 [math(t)]에 관한 함수, [math(a)]에 관한 함수로 착각하면 절대 안 된다.

아직도 헷갈린다면 미적분의 기본정리의 내용을 생각해 보자. 앞서 말했듯이 [math(\displaystyle\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_a^x f(t) \,{\rm d}t=f(x))]이다.

정적분으로 정의된 저 함수를 [math(\boldsymbol x)]에 관해 미분했더니 [math(\boldsymbol x)]에 관한 함수가 나오지 않는가. 그러므로 좌변의 함수는 [math(t)]에 관한 함수가 결코 아니고, [math(x)]에 관한 함수라는 식으로 이해하면 까먹지 않을 것이다. 그러나 이렇게 되는 이유가 뭐냐고 물어보면 결국 위의 설명을 이해하고 있어야 제대로 대답할 수 있다. 다시 말해서 이렇게만 공부하지 말고, 위의 설명을 이해하는 것이 훨씬 중요하다는 말이다.

6.2. 예제

【 정답 및 해설 (펼치기 · 접기) 】

[math(f(2))]의 값을 구하려면 먼저 [math(f(x))]를 알아야 하는데, [math(f(x))]를 알려면 [math(\displaystyle \int_0^2 f(x) \,{\rm d}x)]의 값을 알아야 한다. 그런데 [math(\displaystyle \int_0^2 f(x) \,{\rm d}x)]의 값을 알려면 [math(f(x))]를 알아야 한다! 이런 무한 루프를 극복하는 테크닉은 다음과 같다.

먼저 [math(\displaystyle\boldsymbol{\int_0^2 f(x) \,{\rm d}x = k})]로 놓는다. 정적분이니 특정 상수 값이 될 것이므로, 그 값을 일단 [math(k)]로 놓는 것이다. 그러면 [math(f(x)=2x^3+3x^2+4x+k)]가 된다. [math(f(x))]의 부정적분을 [math(F(x))]라고 하면, [math(F(x) = \dfrac12 x^4+x^3+2x^2+kx)]이다. [math(\displaystyle \int_0^2 f(x) \,{\rm d}x = F(2)-F(0) = \frac12\cdot2^4+2^3+2\cdot2^2+2k=2k+24)] [math(\therefore k=2k+24, k=-24)] [math(\therefore f(x)=2x^3+3x^2+4x-24, f(2)=12)]

2013학년도 사관학교 문과 15번

[풀이 보기]

----
똑같은 방법으로 먼저 다음과 같이 쓰면 된다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^1\{f(t)+g(t)\}\,{\rm d}t&=a\\\displaystyle\int_0^1\{f(t)-g(t)\}\,{\rm d}t&=b\end{aligned})]

그러면 [math(f(x)=2x+a)]이고 [math(g(x)=3x^2+b)]이므로 다음과 같이 [math(a)]와 [math(b)]에 관한 방정식이 나오므로 정답을 구할 수 있다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^1\{f(t)+g(t)\}\,{\rm d}t&=\int_0^1(2t+a+3t^2+b)\,{\rm d}t\\&=\left[t^3+t^2+(a+b)t\right]_0^1\\&=a+b+2=a\\\therefore b&=-2\\\\\int_0^1\{f(t)-g(t)\}\,{\rm d}t&=\int_0^1(2t+a-3t^2-b)\,{\rm d}t\\&=\left[-t^3+t^2+(a-b)t\right]_0^1\\&=a-b=b\\\therefore a&=-4\\\\\therefore f(x)&=2x-4,\,g(x)=3x^2-2\\f(1)+g(2)&=-2+10=8\end{aligned})]

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