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최근 수정 시각 : 2019-09-14 09:47:46

복소평면

1. 개요2. 평면과 복소수의 대응법3. 덧셈 관련
3.1. 덧셈의 기하적 표현3.2. 켤레3.3. 실수, 순허수
4. 곱셈
4.1. 극분해, 극좌표 변환4.2. 곱셈의 기하적 표현

1. 개요

복소평면()은, 복소수의 집합 C\mathbb{C}를 좌표평면 R2\mathbb{R}^{2}에 나타내어 복소수를 직관적으로 이해할 수 있게 만든 도구이다. 실직선실수에 대응한다고 보면 이해가 빠를 것이다.

국내에서는 6차 교육과정까지 수학 II '삼각함수와 복소수' 단원에서 복소평면을 배웠으나 빠졌다가 현재는 고급 수학2로 부활했다.어차피 일반고에서 고급 수학2를 배울 일이 없다.[1]

여담이지만 일본에서는 이과생들이 수학Ⅲ에서 배운다. 그래서 일본대학 입시를 준비하는 유학생들이 따로 교재를 구해서보거나 학원을 다녀야한다.

호주에서는 대학 입시에 복소평면 부분이 역삼각함수 등과 함께 입시에 나온다.

2. 평면과 복소수의 대응법

복소수와 좌표평면의 점을 일대일로 대응시킬 수 있다. 예를 들어 x+iyx+iy(x,y)\left(x,y\right)에 대응시키면 이는 일대일 대응이되고 벡터공간 구조를 보존해준다.

ii(0,1)\left(0,\,1\right)에, 11(1,0)\left(1,\,0\right)에 대응되기 때문에, x축을 실수축, y축을 허수축이라 부른다.

3. 덧셈 관련

3.1. 덧셈의 기하적 표현

언급했듯이, 벡터공간의 성질을 유지하며 C\mathbb{C}R2\mathbb{R}^{2}에 대응시켰기 때문에, 두 복소수의 덧셈은 복소평면에서 두 벡터의 덧셈이 된다.

3.2. 켤레

복소수 zz의 켤레복소수 z¯\bar{z}zz의 x축 대칭이다.

3.3. 실수, 순허수

실수와 순허수는 각각 x축과 y축 위에 있다.

4. 곱셈

4.1. 극분해, 극좌표 변환

직교좌표계와 극좌표계는 간단한 변환으로 서로 바꿀 수 있는데, 같은 방식으로 복소평면에서도 적용이 가능하다. 이런 과정을 좀 더 엄밀하게 표현한 것을 극분해(polar decomposition) 라고 한다.
z=a+bi=r(cosθ+isinθ),r=a2+b2,θ=tan1ba z = a+bi = r (\cos \theta + i \sin \theta), r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \theta = tan^{-1} {{b}\over{a}}

엄밀하게는 \theta의 존재성을 확인해야 하며, 추가로 사분면에 따라 그 값을 보정해 주어야 한다.

위 식에서 r 은 양의 실수이기에, z/r=c+siz/r=c+si(c=a/rc=a/r, s=b/rs=b/r는 실수)라 할 때, z/r2=c2+s2=1\left|z/r\right|^{2}=c^{2}+s^{2}=1이다. 따라서 실수 θ\theta가 존재하여 c=cosθc=\cos \theta, s=sinθs=\sin \theta이다.

이걸 그대로 오일러의 공식 (eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta)에 적용하면 아래의 결과가 나온다.

z=a+bi=reθi z = a+bi=r \cdot e^{\theta i}

여기서, rr00zz 사이의 거리, θ=10z\theta=\angle 10z이다. 즉, zz를 극좌표의 형태로 표현한 것이다. 그런 이유로 이를 극분해라 부른다. 복소평면에서의 곱셈을 계산할 때 이를 활용하여 계산할 수도 있다.

4.2. 곱셈의 기하적 표현

극분해된 두 복소수 z1=r1eθ1iz_{1}=r_{1} e^{\theta_{1} i}z2=r2eθ2iz_{2}=r_{2} e^{\theta_{2} i}의 곱은 z1z2=r1r2e(θ1+θ2)iz_{1}z_{2}=r_{1}r_{2} e^{\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) i}이다. 즉, 절댓값이 각각 r1r_1r2r_2, 편각이 각각 θ1\theta_1θ2\theta_2인 두 복소수의 곱을 생각하면, 그 절댓값과 편각은 각각 r1r2,θ1+θ2r_{1}r_{2}, \theta_{1}+\theta_{2}이 된다. 이렇게 복소평면을 극좌표로 생각하면 곱셈이 아주 편해진다.

복소수의 곱셈은 그냥 계산하기 까다로울 정도로 어려운 것은 아니지만, z2,z3 z^2, z^3이나 좀 더 일반화해서 zn z^n 같은 것으로 계산하고자 할 때는 이렇게 변환해서 계산하는 것이 훨씬 간단하다.


[1] 고급 수학1을 배워야 고급 수학2를 배울 수 있을 터인데, 문제는 8차 교육과정을 따르는 (사실상) 이과 학생들이 반드시 배워야하는 수학 과목이 '수학 1•2', '확률과 통계', '기하', '미적분'이 있는 만큼 일반고에서 고급 수학2를 배우는 건 하늘에 별따기처럼 어렵다. 자신이 어느 한 과목을 자습으로만 때우고 고급 수학2를 학교에서 배우고 싶다고 말해도 다른 사람들이 그렇게 하지 않아 학생 수가 너무 적어 생기는 내신 등급 계산 문제로 인해 그러한 의사를 거부당할 것이다.

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