1. 개요
Monoid대수학에서 다루는 대수적 구조의 일종으로, 군이나 환보다 약한 조건으로 정의된다.
2. 정의
[math(M)]과 그 위의 이항연산[math(*)][1]에 대해, [math((M,\,*,\,e))]가 모노이드(monoid)라 함은 다음을 만족하는 것이다.(결합법칙; associativity) 임의의 [math(a,\,b,\,c\,\in M)]에 대해, [math(a*(b*c)=(a*b)*c)]
(항등원의 존재; identity) 적절한 [math(e\in M)]이 존재하여[2], 임의의 [math(a)]에 대해, [math(a*e=a=e*a)]
이는, 군에서 역원의 존재성이 빠진 것이다. 즉, 모든 군은 모노이드이다. 군이 아닌 모노이드들 중 가장 대표적인 것이, 덧셈에 대해([math(0)]을 포함하는) [math(\mathbb{N})]이다.[3] 곱셈에 대해서 [math(\mathbb{Z})]도 군이 아닌 모노이드이다.
3. 자유 모노이드(free monoid)
자유 모노이드는 집합 [math(X)]위에서 정의된다.집합 [math(X)]에 대한 자유 모노이드 [math(F(X))][4]는 [math(X)]의 원소들로 이루어진 단어[5]들로 구성되며, 연산은 붙여쓰기(juxtaposition)이다. 그리고 항등원은 빈 문자열 [math(e=[])]이다. 예를 들어, [math(X=\{a,\,b\})]에 대해, 다음이 성립한다.[math([],\,[a],\,[b],\,[babaa]\in F(X) \\ [{\color{red}ababa}]*[{\color{blue}abaaaaaaa}]=[{\color{red}ababa}{\color{blue}abaaaaaaa}])]
[math(|X|>1)]이면 [math(F(X))]는 비가환이고, [math(|X|=1)]이면 [math(F(X)=N)], [math(|X|=0)]이면 [math(F(X)=\{[]\})]이다.
4. 가환 모노이드의 그로텐디크 확장(Grothendieck extension)
모노이드 [math(M)]에 대해, [math(M^2)]위의 동치류 [math(\equiv)]를 다음과 같이 정의한다.그리고 이에 의한 [math((a,\,b))]의 동치류를 [math([a,\,b]\in M^2/\equiv)]라 하자. 이 위의 연산 [math(\cdot)] 을 [math([a,\,b]\cdot[x,\,y]=[ax,\,by])]라 주면, 이는 결합적이고[math([e,\,e])]이 항등원이며, [math([a,\,b])]의 역원은 [math([b,\,a])]이다. 즉, [math({\left(M^2/\equiv,\,\cdot\,\right)})]은 군이다.
[1] [math(*)]는 곱셈을 의미하는 것이 아니다.[2] 여기서 [math(e)]를 항등원이라 한다. 자연로그의 밑이 아니다.[3] [math(0)]을 포함하지 않는 경우 곱셈에 대한 모노이드가 된다.[4] 이 표현은 군, 가군 등 모든 free object를 표현하는 데에 쓰인다.[5] 단어를 다음과 같이 묶어서 표시한다. [math([{\cdot}])][6] 이것이 동치관계인 것을 보이는 것은 아주 쉽다. [math(m)]의 존재성은 추이성을 보일 때 쓰인다.