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約分 / Reduction[1]
1. 개요
수학에서 분수의 분자와 분모를 그의 공약수로 나눠서 간단하게 하는 행위이다.[2] 반대말은 배분이다.[3]가끔 가분수를 대분수로 만드는 작업을 '약분'이라 하는 사람도 있지만 잘못된 표현이다. 약분이란 용어를 분모와 분자를 그들의 최대공약수로 나누는 일로 정의하기 때문이다.분수가 약분이 가능하다면 일반적으로 약분해야 한다. 초등학교 5학년부터는 약분 안 하면 오답 처리된다. 일부 학교에서는 약분을 안 하면 아예 오답 처리하거나 감점시키는 경우도 있다. 이후 비례식ㆍ비율ㆍ백분율ㆍ비례배분을 배우는 6학년은 말할 것도 없고, 정수와 유리수ㆍ방정식ㆍ부등식ㆍ함수 기하를 배우는 중학교ㆍ고등학교에서도 마찬가지이다. 하지만 초등학교 3~4학년은 분수의 연산에 대해 처음 배우는 데다 최대공약수와 최소공배수를 아직 안 배웠기 때문에 약분하지 않아도 맞다고 해 준다.
최대공약수를 배우고 나서 약분 공부에 들어가야 한다. 이 원리가 통분과 같이 6학년 때 비의 성질, 비례식의 성질(가장 작은 자연수의 비로 바꾸기), 백분율, 비례배분, 분수와 소수의 혼합계산, 중학교 가면 정수와 유리수의 혼합계산에도 나오니 중요하다.
2. 방법
분수의 분자와 분모의 최대공약수로 나눈다. 기약분수가 되어 더 이상 약분을 할 수 없을 때까지, 즉 분자와 분모가 서로소가 될 때까지 이 과정을 반복한다. 이때 분자와 분모를 소인수분해한 후 공통인수(최대공약수 등)를 찾아 제거하면 편하다. 분자와 분모가 크다면 그냥 공약수로 나누기 위해서도 각각 소인수분해를 하는 것이 편리할 수 있다.분모와 분자가 숫자로만 이루어지지 않고 다항식으로 구성된 분수식에서는 분모와 분자를 인수분해하여 간단한 다항식의 곱으로 나타낸 뒤, 분모와 분자에 공통으로 존재하는 다항식을 약분하여 없앤다. 인수분해가 필요한 이유 중 하나이기도 하다.
분모 또는 분자에 무리식이 있는 경우에는 유리화하는 과정에서 약분을 하기도 한다.
하나의 분수뿐만 아니라 여러 분수의 곱셈식도 약분할 수 있는데, 곱셈 결과가 (각 분수의 분자들의 곱)/(각 분수의 분모들의 곱)이 된다는 점을 고려하여 분자와 분모에서 공통인수를 찾으면 된다.
3. 예시
24/36을 약분하면 다음과 같다.[math(\displaystyle \frac{24}{36} = \frac{\cancel 2\times12}{\cancel 2\times18} = \frac{12}{18} = \frac{\cancel 2\times6}{\cancel 2\times9} = \frac{6}{9} = \frac{\cancel 3\times2}{\cancel 3\times3} = \frac{2}{3})]
24, 36을 소인수분해하면 각각 23×3, 22×32이므로 공통인수(최대공약수)는 22×3이다. 따라서 분자와 분모를 각각 22×3으로 나누면 아래와 같이 약분된다.
[math(\displaystyle \frac{24}{36} = \frac{2\times\cancel{2^2\times3}}{3\times\cancel{2^2\times3}} = \frac{2}{3})]
다항식을 약분하는 경우에는 상수와 각 문자, 다항식에 대해 공통인수를 구하여 약분할 수 있고, 이때 인수분해를 이용할 수 있다. 예를 들면 다음과 같다. 단, a≠0, b-c≠0이다.
[math(\displaystyle \frac{4a(b^2-c^2)}{6a^2(b-c)} = \frac{2^2\times a(b-c)(b+c)}{2\times3\times a^2(b-c)} = \frac{2(b+c)}{3a})]
4. 특정한 경우의 약분
- 분자와 분모(≠0)가 같은 분수는 1로 약분된다.
- 분자가 분모(≠0)의 배수인 가분수는 (분자)/(분모)의 정수로 약분된다.
- 분자와 분모의 일의 자리부터 n자리가 모두 0이고, 그 이전의 자릿수를 떼어낸 결과의 두 수가 서로소인 경우, 분자와 분모를 각각 10n으로 나누면 된다. 예를 들어 1000/1700에서는 끝 2자리(십의 자리와 일의 자리)가 모두 0이고, 이 2자리를 떼어낸 두 수는 각각 10, 17로 서로소이다. 따라서 약분한 결과는 10/17이다.
- 분자와 분모의 가장 큰 자리부터 n자리가 서로 같고, 그 이후의 자릿수가 모두 0이면 분자가 더 큰 가분수의 경우 10(분자의 0의 개수)-(분모의 0의 개수)의 정수로, 분모가 더 큰 경우 1/10(분모의 0의 개수)-(분자의 0의 개수)으로 약분된다. 예를 들어 1300/130은 분자와 분모의 가장 큰 자리부터 2자리가 13으로 서로 같고, 분자가 더 크며, 분자의 0의 개수가 분모보다 1 많으므로 102-1=10으로 약분된다. 또, 8/800의 경우는 분자와 분모의 가장 큰 자리부터 1자리가 8로 서로 같고, 분모가 더 크며, 분모의 0의 개수가 분자보다 2 많으므로 1/102=1/100(=0.01)으로 약분된다.
- [math(64/16 = \cancel{6}4/1\cancel{6} = 4)] 같이 우연에 가까운 약분 가능 사례가 있다.
- 항등함수를 미분할 경우에도 약분과 비슷하게 된다. [math(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} = 1)]이 성립한다.
- 더 나아가 [math(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} f(x))]에서 [math(\mathrm{d}x)]를 '인수'처럼 취급해서 [math(\mathrm{d}y = f(x)\,\mathrm{d}x)]로 쓸 수 있다. 이렇게 할 수 있는 이유는 미분형식 문서 참조.
5. 관련 문서
[1] 원래는 '간단히 만든다'라는 뜻이다.[2] 관례적으로 공약수 중 무의미한 나누기가 되는 1은 제외한다.[3] 검색해 봐도 사용 사례가 드물다. 의미 없는 행동이라 그런 듯. 아무튼 통분할 때는 적당한 공배수가 되도록, 분모와 분자에 1 초과하는 수를 곱한다.