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최근 수정 시각 : 2026-10-13 19:26:29

몫군


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1. 개요2. 정규부분군
2.1. 정규부분군의 잉여류와 합동
3. 몫군
3.1. 증명
4. 정준 사상

1. 개요

quotient group, factor group

한 군(group)을 정규부분군(normal subgroup)으로 나누어, 즉 잉여류(coset)를 동치류(equivalence class)로 하여 얻어지는 군.

흔히 [math(G)] quotient [math(H)], [math(G)] mod [math(H)] 등으로 읽는다.

2. 정규부분군

우선 정규부분군이 뭔지부터 정의하자. 사실 처음 정의를 보면 굉장히 작위적(?)으로 보이지만 근본적으로 군에서의 kernel의 특징을 일반화한 것이라고 볼 수 있다. 이어서 보이지만 모든 kernel은 정규부분군이고 모든 정규부분군은 kernel이다.
정규부분군(normal subgroup)
군 [math(G)]의 부분군 [math(H \leq G)]에 대해 [math(\forall x \in G (x H x^{-1} = H))]인 부분군을 정규부분군(normal subgroup)이라 하며, [math(H \vartriangleleft G)]로 나타낸다.

참고로 [math(H)]가 부분군이니 이항해서 [math(x H = H x)]로 적어도 같은 내용이다. 또 어떤 부분군 [math(H)]에 대해 [math(x H \sub H x)]가 성립하면 이는 [math(H x^{-1} \sub x^{-1} H)]인 것과 같으며, [math(x^{-1})]를 [math(x)]로 자연스럽게바꾸면 [math(H x \sub x H)]가 되어 결국 두 집합이 같음을 알 수 있다. 비슷하게, [math(x H x^{-1} \sub H)]이기만 해도 [math(H \subset x^{-1} H x)]이므로 원래 정의와 동치임을 알 수 있다. 그래서 보통은 증명시 반쪽만 보인다.

모든 kernel이 normal함을 보이는 것은 쉽다. 적당히 [math(f)]가 [math(G)]를 정의역으로 가지는 group homomorphism이고 [math(\ker f)]가 [math(f)]의 kernel이라 하고, 임의의 원소 [math(x \in G)], [math(k \in \ker f)]를 각각 잡자. [math(f)]가 homomorphism임을 생각하면
#!latex
f( x k x^{-1} ) = f(x) f(k) f(x^{-1}) = f(x) 1 f(x)^{-1} = 1

이므로 [math(x k x^{-1})]은 [math(\ker f)]의 원소이고, [math(x (\ker f) x^{-1} \sub \ker f)]가 성립한다.

2.1. 정규부분군의 잉여류와 합동

합동(congruence)
군 [math(G)]와 정규부분군 [math(H \vartriangleleft G)]에 대해, [math(x, y \in G)]가 같은 [math(H)]의 잉여류(coset)에 속할 때

#!latex
x \equiv y \pmod H

라고 쓰며 [math(x)]와 [math(y)]가 [math(H)]를 법으로 합동(congruent modulo [math(H)])이라고 한다.

[math(x)]와 [math(y)]가 합동이라는 것은 [math(x \in y H)]와 동치이므로 [math(y^{-1} x \in H)]와 같이 다시 쓸 수 있다. 정규부분군의 곱은 교환하므로 [math(x \in H y)]이기도 하며, [math(x y^{-1} \in H)]로 써도 무방하다. 정말 직관적으로 정수의 나머지 합동이 어떤 성질을 가지는지 떠올리면 좋다.

사실 모든 부분군 [math(H)]의 잉여류들은 전부 분할(partition)이지만 굳이 [math(H)]가 normal할 때만 합동이라고 하는 이유는 후술하듯이 [math(H)]의 잉여류들이 원래 군 [math(G)] 연산을 동일하게 사용하기 때문이다.

3. 몫군

몫군(quotient group)
군 [math(G)]와 그 정규부분군 [math(H \vartriangleleft G)]에 대해 [math(H)]에 대한 몫(quotient) 또는 몫군(quotient group)이란 [math(G)]에서 [math(H)]의 모든 잉여류(coset)들의 집합에 다음과 같은 연산을 준 군을 말한다. (단, [math(A B)]는 부분집합의 곱)
#!latex
\begin{aligned}
G / H \times G / H & \longrightarrow G / H \\
(A, B) & \longmapsto A B \\
\end{aligned}

후술할 증명에서 잉여류의 방향을 구분할 필요가 없으므로 편의상 좌잉여류 꼴로 통일하자.

3.1. 증명

이 [math(G / H)]가 실제로 군을 이루는지 확인하자.

우선 잉여류 간 연산이 실질적으로는 [math(a H \cdot b H = a b H)] 꼴로 대표원의 선택과 무관하게 각 대표원끼리의 연산으로써 잘 정의됨을 보이자. 정규부분군의 정의상 [math(a H = H a)]와 같이 교환이 가능하고 부분군의 곱은 멱등성을 띠므로 [math(a H b H = a b H H = a b H)]이다.

결과가 잉여류 꼴로 나오니 [math(G / H)]는 해당 연산에 대해 닫혀 있고 결합법칙은 자명하며 [math(1 H)] 꼴인 [math(H)]가 항등원 역할을 하며 [math(a H)]의 역원은 [math(a^{-1} H)]인 잉여류임을 알 수 있다.

참고로 [math(H)]를 떼고 잉여류 꼴로 쓰면 [math([ a ] [ b ] = [ a b ])]라는 소리임을 알 수 있는데, 생긴 게 너무 canonical하게준동형 사상 스럽게 생겼다면 정답이다(...). 왠지 이대로 decomposition이 유일하게 될 것 같고 막 보편 성질이 성립할 것 같다면 정답이다.대학원스포

4. 정준 사상

canonical homomorphism

가장 canonical한 canonical
위 문단에서 [math(H)]에 대한 잉여류 대응 [math([ \cdot ])]이 사실상 준동형 사상처럼 생겼다는 말을 했는데, 당연히실제로 준동형 사상이 맞다! 이를 함수로 쓰고 [math(\varphi)]라고 쓰면 다음과 같다.
#!latex
\begin{aligned}
\varphi : G & \longrightarrow G / H \\
a & \longmapsto a H \\
\end{aligned}

이렇게 몫군에 대해 항상 존재하는 준동형 사상을 canonical homomorphism이라고 한다. 보통 정준 사상, 표준 사상 등으로 번역한다.

앞서 quotient [math(G / H)]의 항등원은 [math(H)]임을 보였으므로 [math(\ker \varphi = H)]가 임을 알 수 있다. 모든 정규부분군은 canonical homomorphism이 반드시 존재하여 그 kernel이므로 사실상 정규부분군과 kernel이 본질적으로 같은 개념임을 알 수 있다.

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