1. 개요
Coxeter 群 / Coxeter group어떤 군 [math(G)]이 다음을 만족할 때, 그 군을 콕서터 군이라고 한다.
[math(\displaystyle G=\left<r_1,r_2,\cdots,r_n|\left(r_ir_j\right)^{m_{ij}}=e\right>)]
- [math(e)]는 군 [math(G)]의 항등원이다.
- [math(\displaystyle m_{ij} = \begin{cases} 1 & \left(\text{if } i = j\right) \\ 2 \le m_{ij}\le \infty & \left(\text{if } i \ne j\right) \end{cases})]
이 때, [math(m_{ij})]를 i행 j열의 원소로 갖는 행렬을 콕서터 행렬이라고 부른다.
2. 설명
예를 들어, 어떤 군 [math(G)]의 원소 중, 특수한 원소 [math(a)], [math(b)], [math(c)]가 있다고 하자. 이 때, 군 [math(G)]의 모든 원소는 [math(a)]와 [math(b)] [math(c)]의 조합으로 나타낼 수 있다.- 이 때, 이 특수한 원소들([math(a)], [math(b)], [math(c)])를 콕서터 군 [math(G)]의 '생성자'라고 한다.
- [math(aa = bb = cc = e)]와 같이 이 특수한 원소들을 제곱하면 항상 항등원이 된다.
- 또한 [math(ab)], [math(bc)], [math(ca)]와 같이 서로 다른 생성자들 간의 곱이 항상 순환군을 이룰 때, 이 군을 콕서터 군이라고 한다.[1]
[math(\displaystyle \begin{cases} \left(ab\right)^5 = ababababab = e \\ \left(bc\right)^3 = bcbcbc = e \\ \left(ca\right)^2 = caca = e \end{cases})]
3. 표현론
콕서터 군은 행렬이나 기하학적 대칭으로 표현될 수 있다.유한 콕서터 군은 표현론적으로 다면체의 대칭이 되며, 아핀 또는 쌍곡 콕서터 군은 평면 테셀레이션과 쌍곡 테셀레이션의 대칭으로 표현된다.
3.1. 콕서터 행렬과 슐레플리 행렬
콕서터 행렬을 [math(\mathbf{M})]이라고 할 때, 콕서터 행렬(coxeter matrix)은 아래와 같이 정의된다.- 콕서터 행렬의 원소 [math(M_{ij})]는 [math(\left(r_ir_j\right)^n=e)]를 만족하는 가장 작은 자연수(또는 무한대)다.
- [math(r_i)]는 대응되는 콕서터 군의 i번째 생성자(generator)
- [math(e)]는 항등원
이에 대응되는 슐레플리 행렬 [math(\mathbf{C})]의 원소 [math(C_{ij})]는 아래와 같다.
[math(\displaystyle C_{ij} = -2\cos\frac{\pi}{M_{ij}})]
3.2. 도형의 대칭
콕서터 군은 기하학적 대칭, 또는 점군과 관련이 있다.- 평면 좌표계의 원점을 ([math(O) = (0,0)])
- 원점에서 [math(+y)] 방향으로 1만큼 떨어진 한 점을 [math(A = (0,1))]
- 그리고 [math(\displaystyle \angle AOB = \frac{180\degree}{n})]를 만족하고 ([math(\overline{OB} = 1)]인한 점을 [math(\displaystyle B = \left(\sin{\frac{180\degree}{n}},\cos{\frac{180\degree}{n}}\right))]라고 하자.
그리고 직선 [math(\overleftrightarrow{OA})]와 [math(\overleftrightarrow{OB})]에 대한 대칭을 각각 [math(a)], [math(b)]라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
- 하나의 직선에 대한 대칭을 또다시 대칭하면 원본과 항상 같으므로, [math(aa = bb =e)]이다.
- [math(ab)][2]는 점 [math(O)]를 중심으로 시계방향으로 [math(\displaystyle \frac{360\degree}{n})]만큼 회전한 것과 같다. 따라서 [math(\displaystyle \left(ab\right)^n = e)]다.
정n각형은 [math(\displaystyle \frac{360\degree}{n})] 회전하거나, 중심과 꼭짓점을 잇는 선분(또는 중심과 변의 중심을 잇는 선분)에 대해 대칭을 해도 같다. 따라서 정n각형은 위에서 설명된 것과 같은 기하학적 대칭을 가지며, 이와 같은 기하학적 대칭은 콕서터 군으로 표현될 수 있고, 반대로 콕서터 군도 이와 같은 기하학적 대칭으로 표현될 수 있다.
[1] 차수가 유한할 필요는 없다.[2] [math(\overleftrightarrow{OA})]에 대해 대칭한 것을 다시 [math(\overleftrightarrow{OB})]에 대해 대칭한 것