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최근 수정 시각 : 2020-02-28 12:57:51

항등원



1. 개요2. 정의
2.1. 역원2.2. 멱등원
3. 예시

1. 개요

항등원(Identity)은 임의의 수 a와 어떤 수를 연산했을 때 a가 나오게 하는 그 어떤 수를 의미한다. 예를 들어,기호로는 e 를 쓰며, 독일어로 einheit(단위)를 나타내는 단어에서 유래되었다.

2. 정의

집합 S S 와 이 집합 위에서 정의된 이항연산 :S×SS *:S \times S \to S 가 있을 때, 어떤 eS e \in S 가 다음을 만족한다고 하자.
  1. 모든 xS x\in S 에 대해, ex=x e*x = x
  2. 모든 xS x\in S 에 대해, xe=x x*e = x
1을 만족하는 경우 ee를 왼쪽 항등원(left indentity)라 하고, 2를 만족하는 경우에는 오른쪽 항등원(right indentity)라 한다. 1과 2를 동시에 만족시키면 ee를 양쪽 항등원(two-sided identity) 또는 항등원이라 한다.

2.1. 역원

연산결과로 항등원을 만드는 원소를 역원(Inverse element)이라고 한다. 보통 [math(S^{-1})]로 표기한다.
한편, 역원이 존재하지 않는 모노이드라고 한다. 대표적으로 자연수 집합 N\mathbb{N}이 있다.[1]

2.2. 멱등원

동일한 연산(대부분 거듭제곱)을 한 원소가 그 원소와 동일한 원소를 멱등원(Idempotent element)이라고 한다. 보통 [math(S^2 = S)]로 표기한다.
위의 덧셈의 항등원 0, 곱셈의 항등원 1 모두 멱등원이며, 이외에도 멱등행렬, 멱등함수 등이 있다.

3. 예시

S </math> *:S \times S \to S </math> e \in S </math> S^{-1} </math> [math(S^2=S)]
행렬의 집합 덧셈 영행렬 부호가 반대인 행렬 영행렬
n \times n </math> 행렬의 집합 행렬곱 n \times n </math> 단위행렬 역행렬[2] 멱등행렬
함수의 집합 함수의 합성 항등함수 역함수[3] 멱등함수

[1] 물론 순수 자연수 집합은 덧셈의 항등원이 없기 때문에 모노이드로서 다룰 때에는 여기에 0을 포함시킨다.[2] 역행렬은 정사각행렬에서만 정의된다.[3] 역함수는 치역과 공역이 동치여야 하고 정의역과 공역이 서로 일대일 대응이 되어야 정의된다.