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1. 개요
다항식(多項式, polynomial)은 변수와 상수[1]들의 합, 차, 곱으로 이루어진 식을 말한다. 또는 -1도 상수이므로 변수와 상수들의 합과 곱으로 이루어진 식이라고 할 수도 있겠다.변수의 개수에 따라 일변수/다변수로 구분하고, 일변수 다항식은 차수(degree)에 따라 일차/이차/삼차다항식 등으로 구분한다. 교과과정에서 고차다항식은 3차 이상의 다항식이다.
고등학교 수준에서의 다항식의 정의를 내리자면 [math(\displaystyle\sum _{k=0}^{n} {a_k x^k})] ([math(a_k)]는 복소수이며, n은 0 이상의 정수. [math(a_n)]은 0이 아님)로 표현할 수 있는 식이다.[2] 여기서 [math(\displaystyle n = \deg\left(\sum _{k=0}^{n} {a_k x^k}\right))]을 다항식의 차수라고 한다. 위 식의 또 하나의 특징은 식을 변수 x에 대해 미분하고 그 식을 다시 x에 대해 미분하는 방식으로 끊임없이 미분하면 그 값이 0이 된다는 점이다.
수학자들이 쓰는 대수학에서의 일반적인 정의도 이와 비슷하지만, 계수의 범위에 제약을 주지 않는다는 것이 차이점. 여기서는 계수가 환 [math(R)] 위에 있는 변수가 [math(x)]인 다항식의 집합을 [math(R[x])]라 쓴다. 변수가 2개 이상일 때는 [math(R[x,y])] 이런 식으로 쓴다.
수학의 역사에서 변수와 다항식의 도입은 대수학을 여는 시작이 되었다. 기호가 없었을 수학의 초창기에는 모든 개념을 말로 설명했는데, 예를 들자면 [math(x(ax+b)=c)] 같은 방정식을 '어떤 수(x)의 몇(a)배에서 얼마(b)를 더한 것과 원래 그 어떤 수의 곱이 얼마(c)라고 한다' 이런 식으로 썼다. 이차방정식의 근의 공식 같은 것도 다 이런 식으로 현기증나게 설명했다는 뜻이다. 르네상스 때에 와서야 사칙연산의 기호가 생겨나고, 데카르트가 미지수 기호를 만들면서 표기법이 조금씩 발전해 우리가 아는 다항식 표기가 만들어졌다. 물론 다항식 이전에도 이차방정식의 근의 공식은 있었고 할건 다 했지만, 3차, 4차 등의 고차방정식을 풀고 해석기하학을 발생시키는 등 이후의 근대 대수학의 발전은 이 표기가 아니었으면 훨씬 지연되었을 것이다.
- 다항식의 몫, 즉 [math(P(x)/Q(x))] 꼴을 유리식이라고 한다. 계수가 [math(F)] 위에 있는 유리식의 집합은 [math(F(x))]로 쓴다.
- 다항식으로 나타낼 수 있는 함수를 다항함수라고 한다.
- 유리식으로 나타낼 수 있는 함수를 유리함수라고 하고, 그렇지 않은 함수를 무리함수라고 한다.
- 다항함수를 포함한 다항방정식의 근으로 나타낼 수 있는 함수를 대수함수라고 한다. 교과과정에서 배우는 제곱근 등의 무리함수들은 모두 이 대수함수의 일종이다. 대수함수가 아닌 함수를 초월함수라고 한다. 초월함수의 대표적 예로 소수의 개수를 세는 함수인 소수 계량 함수가 있는데, 이 함수를 정의하는 데 쓰이는 소수를 다항방정식으로 표현할 수 없다.
2. 용어
- 항: 변수와 상수의 곱으로 나타나는 식. 예를 들어 , , , 등이 있다.
- 다항식: 하나 이상의 항의 합으로 나타나는 식. 예를 들어 , , 1+1 등이 있다. 상술된 단항식의 예시를 모두 다항식의 예시로도 볼 수 있다.
- 단항식: 다항식 중, 하나의 항으로 나타나는 식. 상술된 항의 예시를 단항식의 예시로도 볼 수 있다. 상술한 바와 같이 단항식도 다항식에 속한다는 점을 헷갈리면 안 된다.
변수가 하나인 단항식은 ○x^□ 형태로 적는다. 여기서 ○는 계수, 는 미지수[3], □는 차수[4]라고 하며 해당 자리에 값을 쓴다.
다항식들은 변수와 숫자들의 곱으로 나타나지는 단항식(monomial)들의 합으로 나타낼 수 있다. 각각의 단항식을 항(term)이라 부르고, 각 항의 계수(coefficient)는 문자로 구성된 부분에 곱해진 수이다. 항의 차수(degree)는 하나의 항에서 특정 문자가 곱해진 개수이고, 다항식의 차수는 0이 아닌 항의 차수 중 최대값으로 정의한다. 차수가 0인 항을 상수항(constant term), 문자와 차수가 둘 다 동시에 같아야 하나로 묶어서 정리할 수 있는데, 이 항을 동류항(similar terms) 이라 한다.
예시) [math(x^3+3x^2y-2xy-x^2y+5xy-x+6)]
이때 [math(x^3, 3x^2y, -2xy, -x^2y, 5xy, -x, 6)]을 항이라고 부른다. [math(x^3)]에서 [math(^3)]을 [math(x)]의 차수라 하며,[5] [math(-2xy)]에서 [math(x)]에 대한 계수는 [math(-2y)]이다. 또한, [math(3x^2y)]와 [math(-x^2y)] 그리고 [math(-2xy)]와 [math(5xy)]를 동류항이라고 한다. 그리고 6을 상수항이라고 한다.
[math(x)]를 상수취급하고 [math(y)]만 변수로 본다면 [math(x^3, -x, 6)]도 상수항이다.[6] 다변수 다항식에서는 '무엇을 변수로 보느냐'를 먼저 정해야 위의 개념들이 확실해진다. 그러므로 위와 같은 경우 [math(f(x, y))]의 꼴로 쓰는 경우가 다변수 다항식은 간혹 차수를 순서쌍으로 나타내어, [math(5 x^2 y^3)]의 [math((x,y))]에 대한 차수를 [math((2,3))]으로 나타내기도 한다. 이 때는 각각의 차수들의 합을 총차수(total degree)라 부르기도 한다. x에 대한 차수 2, y에 대한 차수 3, 총차수 2+3=5 이런 셈.
0의 차수는 보통 정의하지 않지만, 가끔 편의에 따라서 -1이나 [math(-\infty)]로 정의하기도 한다.[7]
합과 곱이 뒤섞인 형태의 다항식을 전부 풀어 동류항끼리 묶어 나타내는 것을 전개(expansion)라고 한다. 빠른 전개에 쓰이는 것이 바로 곱셈 공식이다.
예시) [math((x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz )]
반대로 다항식을 (가능할 경우에) 다른 다항식들의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라고 한다. 인수분해에서 곱에 쓰이는 각각의 다항식을 인수라고 한다. 두 개 이상의 인수로 인수분해가 항상 가능한 것은 아니다.
예시) [math(x^2 - y^2 = (x+y)(x-y))]
더 이상 간단하게 정리할 수 없는 다항식은 기약다항식(irreducible polynomial)이라고 한다. 기약다항식으로 방정식이 나올 경우 일반적인 방법으로는 인수분해가 되지 않으므로 근의 공식 등을 이용하게 되는데, 그 결과로 나오는 근이 매우 복잡한 꼴로 나온다.
3. 대수학에서 다항식의 성질
고교과정 이내에서 쓰이는 다항식의 성질은 다음이 있다. 의외로 엄밀한 증명이 쉽지만은 않아서, 암묵적으로 사용되는 경우가 대부분이다. 다항식의 계수가 유리수, 실수, 복소수 등일 때 다음이 성립한다.- 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있고 통상적인 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙 등을 만족시킨다. 나눗셈에 대해서는 닫혀 있지 않다. ('정의되어 있지 않다'가 FM이다.)[8]
- 영인자는 존재하지 않는다. 즉 [math(fg =0)]이면 [math(f=0)] 또는 [math(g=0)]이다.[9]
- (이하 일변수 다항식에 한해서) 몫과 나머지가 있는 나눗셈을 할 수 있다. 고교과정에서 나눗셈 정리라는 내용으로 소개되는 내용이다.
- 인수분해를 유일하게 할 수 있다.
- 단 여기서 '유일하게'의 기준은, 각각의 인수가 상수배만큼 차이나는 것은 같은 인수분해로 취급한다. [math(-3xy)]는 [math((-3x) \cdot y)]로 분해하냐 [math(x \cdot (-3y))]로 분해하냐 하나로 정할 수가 없기 때문이다. 그래서 보통은 "체 [math(F)]상에서 주어진 다항식 [math(f(x)(\in F\left[x\right]))]는 단원[10]과 [math(F\left[x\right])]상의 기약 다항식의 곱으로 인수분해할 수 있으며, 이 때 [math(f(x))]의 기약다항식 인수는 재배열의 순서, 그리고 선택한 단원의 차이를 무시하면 유일하다"라는 문장을 쓰는 편이다. 또한 다항식의 계수 범위에 따라 인수분해의 꼴이 바뀌기 때문에(실수 위에서는 [math(x^2+1)]이 더 분해되지 않지만 복소수 위에서는 [math((x+i)(x-i))]로 인수분해된다), 계수 집합을 확실히 정해 놓아야 한다.
- 두 다항식의 최대공약수와 최소공배수가 유일하게 존재한다. [11]
- 유리식의 성질인 부분분수분해도 다항식의 성질에서 파생된 것으로 볼 수 있다.
이것들이 대학교 현대대수학에서 일반적인 계수로 넘어오면 다음처럼 일반화된다. 또한, 현대대수학에서는 다항식에 들어가는 미지수를 변수(variable)가 아니라 부정원(indeterminate)[12]이라 부르며 별개로 보는 관점이 대부분이다. 가환환 [math(R)]에 대해
- [math(R[x])]는 당연히 가환환이다.
- [math(R[x])]가 정역일 필요충분조건은 [math(R)]도 정역인 것이다.
- [math(R)]이 체이면 [math(R[x])]에선 나눗셈을 생각할 수 있고 유클리드 정역(Euclidean domain)이 된다. 따라서 ED->PID->UFD의 상하관계에 의해서 최대공약수가 존재하고 유일인수분해가 가능하다.
- 하지만 [math(R)]이 체가 아니면 [math(R[x])]는 PID도 되지 못하고, 나눗셈을 생각할 수 없다. 당장에 정수계수 위에서만 봐도 [math(x^2 +1)]을 [math(2x+1)]로 나눌 수는 없으니.
- [math(R)]이 UFD이면 [math(R[x])]도 UFD이다. 이것 때문에 의외로 [math(\mathbb{Z}[x,y])] 같은 애들이 나눗셈은 택도 없지만 인수분해는 유일하게 된다.
4. 다항함수
다항식으로 정의된 함수에 관한 내용은 다항함수 문서 참고 바람.미분[13]을 할 때 차수가 계수로 넘어오고 차수는 1씩 줄어든다. 당연하지만 차수가 0인 상수항은 증발한다. 부정적분은 미분의 역연산인데, 원래의 상수항이 어떤 것이었는지를 알 길이 없으므로 C로 표기하는데 여기서의 C를 적분상수라 한다.[14] 또한 이런 성질 때문인지, 다항함수 한정으로[15] 미분은 [math(\displaystyle {\operatorname{d}\over\operatorname{d}\!x}:x^{n}\to nx^{n-1})]라는 선형 연산자로서의 성질도 가지고 있으며[16], 이 때 한정으로 미분연산자라고 부른다.
[math(\displaystyle 3x^2+8x+x+5)]
[math(\dfrac{d}{dx} (3x^2+8x+x+5) = 6x + 8 + 1)] (위 식을 미분한 꼴)
[math(\displaystyle \int (6x + 8 + 1) dx = 3x^2 + 8x + x + C)] (위 미분한 식의 부정적분)
[math(\displaystyle \int (3x^2+8x+x+5) dx = x^3 + 4x^2 + {1 \over 2}x^2 + 5x + C)] (처음 식의 부정적분)
[math(\dfrac{d}{dx} (3x^2+8x+x+5) = 6x + 8 + 1)] (위 식을 미분한 꼴)
[math(\displaystyle \int (6x + 8 + 1) dx = 3x^2 + 8x + x + C)] (위 미분한 식의 부정적분)
[math(\displaystyle \int (3x^2+8x+x+5) dx = x^3 + 4x^2 + {1 \over 2}x^2 + 5x + C)] (처음 식의 부정적분)
차수가 -1인 경우는 부정적분에서 상수항이 아닌 로그의 형태로 적분이 되므로 주의해야 한다.
[math(\displaystyle \int x^{-1}dx = \int \frac{1}{x} dx= \ln x + C)]
5. 관련 문서
[1] 중고등학교까지는 어떤 것이 상수로 올 수 있는지 명확하게 정해져 있지는 않다. 중학교에서 고등학교 1학년 과정까지 자연수부터 복소수까지 수의 영역을 확장했고, 학년이 올라갈수록 상수로 오는 값도 자연수에서 실수까지 확장된다(사교육용 교재에서는 간혹 복소수 위의 다항식이 소개되기도 한다). 학부 대수학에서부터 '[math(mathbb{Q})]위의 다항식 ', '[math(mathbb{R})]위의 다항식', '[math(mathbb{C})]위의 다항식'과 같이 명시한다.[2] n=0일 수도 있으므로 단항식이나 상수만 딸랑 있는 식도 다항식에 포함된다.[3] x가 미지수의 상징으로 쓰이기는 하지만 경우에 따라 다른 문자를 사용하거나, 다변수 다항식을 사용할 경우 각각 다른 문자를 배정하거나 아래첨자가 적힌 문자를 사용할 수도 있다. 특히 후자는 선형대수학에서 자주 사용되는데 모든 알파벳을 동원해도 미지수를 다 적을 수 없거나, 일반화해서 적어야 할 경우가 그렇다.[4] 미지수가 여러 개이면 각 미지수에 차수를 붙인다.[5] 삼차항이다.[6] 사실 이런 시각이 필요할 때가 있는데, 편미분이다.[7] 전자의 경우는 차수를 정의할 수 없으니 일반적인 상수항보다 아래라고 두어 0보다 작은 가장 큰 정수인 -1로 두는거고, 후자의 경우는 [math(f(x)g(x))]의 차수는 [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 차수의 합이라는 기본적인 성질을 토대로 일반화시키기 위해 [math(-\infty)]로 설정하는 것.[8] 무엇보다도 대부분 다항식의 나눗셈이 다항식의 사칙연산 법칙 중에서도 가장 이질적이고 어려워서 일일이 뺄셈을 하는데만 칠판을 가득 채울 정도다. 미적분학에서는 대표적으로 유리식의 적분에서 분자가 분모보다 차수가 높은 경우 다항식의 나눗셈을 분자의 차수가 분모보다 낮을 때까지 나눗셈을 한 뒤 그 몫과 나머지를 이용해 적분해야 한다. 그리고 [math(\tan x)]의 매클로린 급수를 구할 때 베르누이 수열을 모른다고 가정하면 [math(\tan x = \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x})]와 분모 및 분자의 매클로린 급수의 부분합을 이용해 나눗셈을 해야 한다.[9] 대수학에서는 이런 성질을 만족하는 집합을 정역(integral domain)이라 한다.[10] 환에서 곱셈역원을 가지는 원소를 모아놓은 것. 정수환에서는 [math(\pm 1)]이며, 가우스 정수환에서는 [math(\pm i, \pm 1)] 뿐이지만, 유리수 이상으로 확장될 경우는 해당 유리수군/실수군/복소수군에서 0을 제외한 모든 원소의 집합이 된다. 정수계수 다항식환에서는 정수환과 동일한 [math(\pm 1)], 그 이상으로 확장된 수 체계의 다항식환에서는 차수가 0인 모든 상수 다항식이 된다.[11] 역시 상수배만큼 차이나는 건 같은 걸로 취급한다. 보통 모닉다항식(최고차항의 계수가 1인 다항식)으로 한정하면 유일해진다.[12] 말 그대로 정해지지 않은/결정되지 않은 항목. 이라는 의미. 변수와 다를 바 없어 보이지만, 엄밀한 수학적 정의로는 약간의 차이가 존재한다. 정확하게는 부정원은 수학명제를 서술하기 위해 사용되는 도구이며, 변수는 주어진 집합(보통은 실수나 복소수집합)의 원소(수)를 대표하는 기호다. 따라서 부정원은 엄밀하게는 수가 아니라 기호이므로 이것 자체로는 계산할 수 없으며, 변수는 반대로 기호의 탈을 쓴 수이므로 임의의 변수 값을 대입하여 계산할 수 있다. 부정원을 변수처럼 [math(x,y,z)]등으로 표기하는 것은 그저 표기상이나 계산상의 편의를 위한 것이며, 실제로는 전혀 다른 개념이다. 체 [math(F)]가 체 [math(E)]의 부분체이며, [math(F\left[x\right])]를 체 [math(F)]상에서 주어진 다항식환이라고 하자.
[math(\alpha \in E)]일 때, [math(x)]를 부정원이라고 두면, 다음과 같은 범함수를 정의할 수 있다.
함수 [math(\phi_{\alpha}:F\left[x\right]\to E)]가 [math(f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n} \in F\left[x\right])]일 때, [math(\phi_{\alpha}\left(f(x)\right)=\phi_{\alpha}\left(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\right)=a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n})]라는 함수 [math(\phi_{x})]를 정의하면 준동형사상이 되는데, 이 함수를 별도로 [math(\alpha)]에서의 대입 준동형사상이라고 하며, 이는 부정원을 변수로 치환하여 계산하는데 중요한 역할을 하는 준동형사상이다. 변수와 부정원이 같은거라면 이런 준동형사상을 생각할 필요가 없다.[13] 정확히는 도함수[14] 물론 이것은 정적분을 계산할 때 부정적분을 아무거나 택해도 되기 때문에 그런 것이지 적분상수가 필요 없다는 뜻이 아니다. 자세한 내용은 미적분학의 기본정리 참조.[15] 선형성 자체는 다항함수 외에도 유지되지만, 선형변환은 다항함수 형태일 때가 가장 잘 정의된다. 다항함수로 정의하는건, 후술할 선형변환이 행렬연산으로 대응된다는 사실에서 유래되는데, 미분연산자를 행렬표현하는 방식은 다항함수일 때를 기준으로 하기 때문.[16] 실제로 선형성을 만족한다는 것을 쉽게 보일 수 있다.
[math(\alpha \in E)]일 때, [math(x)]를 부정원이라고 두면, 다음과 같은 범함수를 정의할 수 있다.
함수 [math(\phi_{\alpha}:F\left[x\right]\to E)]가 [math(f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n} \in F\left[x\right])]일 때, [math(\phi_{\alpha}\left(f(x)\right)=\phi_{\alpha}\left(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\right)=a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n})]라는 함수 [math(\phi_{x})]를 정의하면 준동형사상이 되는데, 이 함수를 별도로 [math(\alpha)]에서의 대입 준동형사상이라고 하며, 이는 부정원을 변수로 치환하여 계산하는데 중요한 역할을 하는 준동형사상이다. 변수와 부정원이 같은거라면 이런 준동형사상을 생각할 필요가 없다.[13] 정확히는 도함수[14] 물론 이것은 정적분을 계산할 때 부정적분을 아무거나 택해도 되기 때문에 그런 것이지 적분상수가 필요 없다는 뜻이 아니다. 자세한 내용은 미적분학의 기본정리 참조.[15] 선형성 자체는 다항함수 외에도 유지되지만, 선형변환은 다항함수 형태일 때가 가장 잘 정의된다. 다항함수로 정의하는건, 후술할 선형변환이 행렬연산으로 대응된다는 사실에서 유래되는데, 미분연산자를 행렬표현하는 방식은 다항함수일 때를 기준으로 하기 때문.[16] 실제로 선형성을 만족한다는 것을 쉽게 보일 수 있다.