1. 개요
함수해석학과 선형대수학에서 수반 작용소(adjoint operator)는 어떤 작용소와 켤레를 이루는 작용소이다.2. 정의
2.1. 바나흐 공간의 수반 작용소
체 [math(\mathbb{K\in\{R,C\}})] 위의 두 바나흐 공간 [math(X, Y)]의 유계 작용소 [math(T\in\mathcal{B}(X, Y))]의 수반 작용소는 다음을 만족시키는, 쌍대 공간 [math(Y^*, X^*)] 사이의 유계 작용소 [math(T^*\in\mathcal{B}(Y^*, X^*))]이다.[math(y^*(Tx)=(T^*y^*)(x)\quad\forall x\in X\ \text{and } y^*\in Y^*)]
바나흐 공간 [math(X)]의 원소 [math(x)]와 그 쌍대공간 [math(X^*)]의 선형 범함수 [math(x^*)]에 대하여[math(x^*(x):=\left<x,x^*\right>=\left<x^*,x\right>)]
로 표기하면 위 조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.[math(\left<T(x),y^*\right>=\left<x,T^*(y^*)\right>\quad\forall x\in X\ \text{and } y^*\in Y^*)]
2.2. 힐베르트 공간의 수반 작용소
체 [math(\mathbb{K})] 위의 두 힐베르트 공간 [math(H, K)]의 유계 작용소 [math(T\in\mathcal{B}(H, K))]의 수반 작용소는 다음을 만족시키는, 유계 작용소 [math(T^*\in\mathcal{B}(K, H))]이다.[math(\left<T(x),y\right>_K=\left<x,T^*(y)\right>_H\quad\forall x\in H \text{ and }y\in K)]
2.3. 유한 차원 내적 공간의 수반 작용소
체 [math(\mathbb{K})] 위의 유한 차원 벡터 공간 [math(V)]가 내적 [math(\left<\cdot,\cdot\right>)]을 갖춘 내적 공간일 때, [math(V)] 위의 작용소 [math(T:V\to V)]의 수반 작용소는 다음을 만족시키는, [math(V)] 위의 작용소 [math(T^*:V\to V)]이다.
[math(\left<Ax,y\right>=\left<x,A^*y\right>\quad \forall x,y\in V)]
작용소 [math(T)]의 수반 작용소는 유일하다. [math(\beta)]가 내적공간 [math(V)]의 정규직교기저일 때, 작용소 [math(T)]와 수반 작용소 [math(T^*)]의 정규직교기저 [math(\beta)]에 대한 행렬 표현 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.[math([T^*]_\beta=([T]_\beta)^*)]
즉, 수반 작용소의 행렬 표현은 작용소의 행렬 표현의 켤레 전치이다.3. 성질
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