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1. 개요
대각선행렬(對角線行列, diagonal matrix) 또는 대각행렬은 주대각선 상에 위치한 원소가 아닌 나머지가 0인 행렬을 말한다. 그리고 반대각선행렬은 반대각선 상에 위치한 원소가 아닌 나머지가 0인 행렬을 말한다. 이때 주대각선 이외의 행렬 성분은 [math(0)]이다.아래에서 [math(M_1)]은 대각행렬, [math(M_2)]는 반대각행렬이다.
[math(M_1 = \begin{pmatrix} {\color{red}a} & 0 & 0 \\ 0 & {\color{red}b} & 0 \\ 0 & 0 & {\color{red}c} \end{pmatrix} )]
[math(M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & {\color{red}a} \\ 0 & {\color{red}b} & 0 \\ {\color{red}c} & 0 & 0 \end{pmatrix} )]
대각행렬은 그 주대각선 성분만 가져와서 [math(\operatorname{diag}(a, b, c) )]라 부르기도 한다.
2. 주대각선과 반대각선
크기가 n × n인 정방행렬 M에서 주대각선(primary diagonal 또는 major diagonal)은 이 정방행렬 M의 i = j인 원소 Mij들을 말한다. 이 원소들이 왼쪽 위 끝에서 오른쪽 아래 끝까지 대각선을 만든다고 해서 주대각선이라고 한다. 이와 반대로 반대각선(anti-diagonal)은 이 정방행렬 M의 i + j = n + 1 (또는 i + j - 1 = n) 인 원소 Mij들을 말한다. 오른쪽 위 끝에서 왼쪽 아래 끝으로 이어지는 대각선이 주대각선과 반대 방향이라서 반대각선이라고 한다.3. 주대각성분
주대각성분(main diagonal)은 그 행렬식(전형적으로 정사각 행렬)의 왼쪽 위 끝에서 오른쪽 아래의 끝으로 이어지는 주대각선 상의 성분[1]을 뜻한다. 단위행렬은 주대각성분이 모두 1인 특수한 대각행렬이다.이 주대각성분만을 취하여 그 합을 구하는 것을 주대각합(trace)이라고 한다. 기호는 [math( \operatorname{tr}(\cdot) )]. 예를 들어 다음과 같이 계산한다.
[math(M = \begin{vmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = + 5 + (-1) + 4 = 8)]
skew-symmetric matrix[2]에서는 주대각성분들이 전부 0이어야 한다.
4. 성질
4.1. 대각행렬의 행렬식
대각행렬의 행렬식(determinant)의 값은 대각곱, 즉 주대각선의 모든 성분의 곱과 같다. 예를 들어 다음과 같다.[math(M = \begin{vmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} )] [math( = \left( +5\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} - 0\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} + 0\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \right) )] [math( = + 5\left( -1\cdot4 - 0 \cdot 0\right) - 0 + 0 = 5 \cdot -1 \cdot 4 = -20)]
4.2. 대각행렬의 거듭제곱
대각행렬의 n제곱은 원래 행렬의 주대각선의 각 원소를 n제곱한 행렬과 같다. 예를 들어,[math(M = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} )]
에 대해,
[math(M^n = \begin{pmatrix} 5^n & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^n & 0 \\ 0 & 0 & 4^n \end{pmatrix} )]
이고, 따라서
[math(M^3 = \begin{pmatrix} 5^3 & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^3 & 0 \\ 0 & 0 & 4^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 125 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 64 \end{pmatrix} )]
이다.
대각행렬의 특수한 경우는 다음과 같다.
- 단위행렬 [math(I)]의 거듭제곱 : 단위행렬은 모든 성분이 1인 대각행렬이므로 모든 자연수 n에 대해 [math(I^n=I)]가 성립한다.
- 영행렬 [math(O)]의 거듭제곱 : 영행렬은 주대각선을 포함한 모든 성분이 0인 대각행렬이므로 모든 자연수 n에 대해 [math(O^n=O)]가 성립한다.
4.2.1. 증명
이를 수학적 귀납법을 이용하여 증명하면 다음과 같다.[math(M = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix})]
일 때,
[math(M^1 = \begin{pmatrix} a_{11}^1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22}^1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}^1 \end{pmatrix})]
은 [math(M^1 = M)], [math(a_{11}^1 = a_{11}, a_{22}^1 = a_{22}, \cdots, a_{nn}^1 = a_{nn})] 이므로 자명하게 성립한다. 따라서 [math(n=1)]일 때 이 성질이 성립한다.
또, [math(n=k)]일 때 이 성질이 성립한다고 가정하면,
[math(M^k = \begin{pmatrix} a_{11}^k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22}^k & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}^k \end{pmatrix})]
이다.
이때, 행렬 [math(M^{k+1})] 을 계산하면,
[math(M^{k+1} = M^k M = \begin{pmatrix} a_{11}^k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22}^k & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}^{k+1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22}^{k+1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}^{k+1} \end{pmatrix})]
이므로 [math(n=k+1)]일 때도 이 성질이 성립한다.
따라서, 수학적 귀납법에 의해 이 성질은 1 이상의 모든 자연수 n에 대하여 성립한다.
4.3. 곱셈 및 그 교환법칙
대각행렬 및 반대각행렬의 곱셈은 다음과 같은 성질이 성립한다.- 대각행렬끼리의 곱셈의 결과는 대각행렬이다.
- 대각행렬과 반대각행렬의 곱셈의 결과는 어느 행렬이 앞/뒤에 있는지와 무관하게 반대각행렬이다.
- 반대각행렬끼리 곱셈의 결과는 대각행렬이다.
대각행렬끼리의 곱셈은 교환법칙이 성립한다. 단, 대각행렬과 반대각행렬 사이의 곱셈이나 반대각행렬끼리의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다.
예를 들어 대각행렬 [math(A)], 반대각행렬 [math(B)], [math(C)]가 각각
[math(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 0 \end{pmatrix})]
일 때,
[math(AB = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 8 & 0 \end{pmatrix}, BA = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 4 & 0 \end{pmatrix})]
로 [math(AB \ne BA)] 이므로 대각행렬과 반대각행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않음을 알 수 있다.
또,
[math(BC = \begin{pmatrix} 18 & 0 \\ 0 & 20 \end{pmatrix}, CB = \begin{pmatrix} 20 & 0 \\ 0 & 18 \end{pmatrix})]
로 [math(BC \ne CB)] 이므로 반대각행렬끼리의 곱셈도 교환법칙이 성립하지 않음을 알 수 있다.
4.3.1. 증명 (대각행렬 간 곱셈)
대각행렬 [math(A)], [math(B)]가 각각[math(A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_{nn} \end{pmatrix})]
일 때,
[math(AB = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22}b_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}b_{nn} \end{pmatrix} = BA)]
이다. 따라서 대각행렬 [math(A)], [math(B)] 간에는 곱셈의 교환법칙이 성립한다.
4.3.2. 증명 (나머지)
대각행렬 [math(A)] 가 위 문단과 같고, 반대각행렬 [math(C)], [math(D)]가 각각[math(C = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & c_{11} \\ 0 & \cdots & c_{22} & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ c_{nn} & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & d_{11} \\ 0 & \cdots & d_{22} & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ d_{nn} & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix})]
일 때, 다음이 성립한다.
- 대각행렬과 반대각행렬의 곱셈 : 반대각행렬
[math(AC = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{11} c_{1n} \\ 0 & \cdots & a_{22}c_{2(n-1)} & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{nn}c_{n1} & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix})]
[math(CA = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{nn} c_{1n} \\ 0 & \cdots & a_{(n-1)(n-1)}c_{2(n-1)} & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{11}c_{n1} & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix})] - 반대각행렬끼리의 곱셈 : 대각행렬
[math(CD = \begin{pmatrix} c_{1n}d_{n1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c_{2(n-1)}d_{(n-1)2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c_{n1}d_{1n} \end{pmatrix})]
4.4. 대각행렬 또는 반대각행렬이 선형 변환의 행렬표현일 때
4.4.1. 대각행렬
대각행렬이 선형 변환의 행렬표현이고 그 주대각성분이 모두 양수일 때, 해당 선형 변환은 도형을 해당 공간을 구성하는 각 축의 방향으로 각 성분의 크기만큼의 배율로 확대하는 변환이다.예를 들어, x, y, z축이 있는 3차원 공간에서의 어떤 선형 변환의 행렬표현이
[math(M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} )]
이고 [math(M)]의 1행(1열), 2행(2열), 3행(3열)이 각각 x축, y축, z축을 나타낼 때, 이 선형 변환은 이 공간에 있는 임의의 도형을 x축, y축, z축의 방향으로 각각 2배, 5배, 8배 확대시킨다.
임의의 차원에서의 특정 축이나 특정 평면 등에 대한 대칭변환의 행렬표현은 주대각성분 중 해당 축/평면을 구성하는 좌표축에 해당하는 성분은 1, 나머지 성분은 모두 -1인 대각행렬이다. 예를 들어 3차원 공간에서의 xy평면에 대한 대칭변환은 다음과 같이 x축과 y축에 해당하는 성분은 1, z축에 해당하는 성분은 -1이다.
[math(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} )]
4.4.2. 반대각행렬
반대각행렬 역시 선형 변환의 행렬표현일 수 있다.모든 성분이 -1, 0 또는 1인 반대각행렬 중 2차원 평면에서의 선형 변환을 나타내는 행렬표현은 다음과 같다.
| 행렬표현 | 의미 |
| [math(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} )] | [math(y=x)] 에 대한 대칭변환 |
| [math(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} )] | [math(y=-x)] 에 대한 대칭변환 |
| [math(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} )] | 90° 회전변환 |
| [math(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} )] | 270° 회전변환 |
5. 대각행렬이면서 반대각행렬인 경우
어떤 행렬이 대각행렬이면서 동시에 반대각행렬인 경우는 다음과 같다. 일단은 대각행렬, 반대각행렬이 되려면 정사각행렬이어야 한다.- 짝수 차수 정사각행렬
주대각선과 반대각선이 전혀 겹치지 않으므로 영행렬이 유일하다. - 홀수 차수 정사각행렬
주대각선과 반대각선이 정가운데 1개의 원소, 즉 행렬의 차수가 [math(n)]일 때 [math(\displaystyle \frac{n+1}{2})]행 [math(\displaystyle \frac{n+1}{2})]열의 원소에서 겹친다. 즉 해당 원소를 제외한 나머지 모든 원소가 0인 행렬이면 된다. 물론 이 경우에도 영행렬은 대각행렬인 동시에 반대각행렬이다.
6. 단위 행렬
단위행렬(identity matrix)은 대각행렬의 특수한 경우이자 대칭행렬의 특수한 경우이다.단위행렬(identity matrix)은 주대각성분은 모두 1이고 나머지 성분은 모두 0인 행렬로 기호로는 [math(I)], [math(E)] 등으로 적으며, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle I_{ij}=\delta_{ij} )]
여기서 [math(\delta_{ij})]는 크로네커 델타이다.
한편
자신의 전치행렬과 같은 행렬.
[math(A=A^{T})]
인 행렬이다. 즉,
[math(A_{ij}=A_{ji})]
의 성질을 만족시키는 행렬이다.
6.1. n 단위행렬의 예
n=4일때 단위행렬[math( I = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} )]
[math( I_{ij} = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{44} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} & a_{41} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} & a_{42} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{43} \\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44} \end{vmatrix} = I_{ji} )]