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The Fundamental Theorem of Invertible Matrices
1. 개요
어떤 행렬이 가역행렬일 필요충분조건을 제시하는 정리이다.2. 가역행렬
Invertible Matrix역행렬이 존재하는 n×n 행렬 A를 가역행렬이라고 한다.
3. 내용
[math(A)]를 [math(n\times n)] 행렬, [math(T:V\rightarrow W)]를 선형 변환이라고 하자. 그리고 [math(\mathcal{B}, \mathcal{C})]를 각각 [math(V, W)]의 기저라고 하고, [math([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} = A)] 라고 하자.그럼 다음은 모두 동치이다.
- (a) [math(A)]가 가역행렬이다.
- (b) [math(A)]가 right inverse를 갖는다. 즉, [math(AB=I)]인 [math(n\times n)] 행렬 [math(B)]가 존재한다.
- (c) [math(A)]가 left inverse를 갖는다. 즉, [math(BA=I)]인 [math(n\times n)] 행렬 [math(B)]가 존재한다.
- (d) [math(\mathbb{R}^n)]의 임의의 원소 [math(\mathbf{b})]에 대하여, [math(A\mathbf{x}=\mathbf{b})]의 해가 존재한다.
- (e) [math(\mathbb{R}^n)]의 임의의 원소 [math(\mathbf{b})]에 대하여, [math(A\mathbf{x}=\mathbf{b})]의 해가 유일하게 존재한다.
- (f) [math(A\mathbf{x}=\mathbf{0})]은 유일한 해 [math(\mathbf{x}=\mathbf{0})]을 갖는다.
- (g) [math(A)]의 RREF는 단위행렬 [math(I_n)]이다.
- (h) [math(A)]는 기본행렬들의 곱이다.
- (i) [math(\mathrm{rank}\left(A\right) = n)]
- (j) [math( \mathrm{nullity}(A) = 0 )]
- (k) [math(A)]의 열벡터들은 선형독립이다.
- (l) [math(A)]의 열벡터들은 [math(\mathbb{R}^n)]을 생성한다.
- (m) [math(A)]의 열벡터들의 집합은 [math(\mathbb{R}^n)]의 기저이다.
- (n) [math(A)]의 행벡터들은 선형독립이다.
- (o) [math(A)]의 행벡터들은 [math(\mathbb{R}^n)]을 생성한다.
- (p) [math(A)]의 행벡터들의 집합은 [math(\mathbb{R}^n)]의 기저이다.
- (q) [math( \det A \neq 0 )]
- (r) 0은 [math(A)]의 고윳값이 아니다.
- (s) [math(T)]는 가역이다.[1]
- (t) [math(T)]는 단사이다.
- (u) [math(T)]는 전사이다.
- (v) [math(\mathrm{ker}(T)=\{ \mathbf{0} \})]
- (w) [math(\mathrm{range}(T) = W )]
- (x) 0은 [math(A)]의 singular value가 아니다.
4. 증명
4.1. part 1
| 선형 시스템 관련 |
- (a) => (b) : b=A^(-1)x 로 유일.
- (b) => (c) : b=0의 특수한 경우.
- (c) => (d) : A의 RREF를 R이라고 하면 Ax=0와 Rx=0의 해는 같아야 하므로 Rx=0의 해는 유일해야 하고 free variable이 없어야 하며 따라서 R에는 zero row가 없어야 한다. 즉 R=I.
- (d) => (e) : A와 I_n이 행 동치이므로 I_n에 적절한 row operation들을 유한 번 취해주어, 즉 적절한 elementary matrix들을 유한 번 곱해주어 A로 만들 수 있다. I_n은 행렬곱에 대한 항등원이므로 A는 기본행렬들의 곱으로 나타내어진다.
- (e) => (a) : 기본행렬들의 행렬식은 0이 아니고, 임의의 n×n 행렬 P, Q에 대해 det(PQ)=det(P)det(Q)이므로 성립.
4.2. part 2
| Rank Theorem 관련 |
- (f) <=> (g) : Rank Theorem
- (g) <=> (c) : nullity(A)=0 <=> null(A)=0[2] <=> Ax=0이면 x는 영공간에 속한다. <=> Ax=0이면 x=0이다.
4.3. part 3
| 열공간, 행공간 관련 |
4.4. part 4
| 선형변환 관련 |
4.5. part 5
| 기타 (행렬식, 고윳값, singular value) |