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1. 개요
shoelace formula좌표평면상 점의 좌표를 이용하여 볼록 및 오목 다각형의 넓이를 계산하는 공식으로, [math(n)]각형의 각 꼭짓점을 시계 반대 방향 순서대로 [math({\rm P_{1}}(x_{1},\,y_{1}))], [math({\rm P_{2}}(x_{2},\,y_{2}))], [math({\rm P_{3}}(x_{3},\,y_{3}))], [math(\cdots)], [math({\rm P}_{n}(x_{n},\,y_{n}))]이라 할 때, 그 넓이는 아래와 같다.
[math(\displaystyle \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~&\cdots~&x_{n}~&x_{1} \\ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~&\cdots~&y_{n}~&y_{1} \end{vmatrix} )]
신발끈 공식은 1769년에 마이스터 알브레히트 루드비히 프레드리히(Meister Albrecht Ludwig Friedrich, 1724~1788)가 발견했으며, 1795년에 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777~1855) 또한 독자적으로 발견하였다. 공식을 계산할 때 나오는 특별한 방법이 마치 신발끈을 묶는 모양과 같아 '신발끈 공식'이라 부르며, '사선 공식'이라고도 한다.
2. 계산법
위 그림과 같이 한 적색 화살표가 지나는 원소들의 곱의 합에서 한 청색 화살표가 지나는 원소들의 곱의 합을 빼어 절댓값을 취하면 된다. 즉,
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~&\cdots~&x_{n}~&x_{1} \\ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~&\cdots~&y_{n}~&y_{1} \end{vmatrix} =\frac{1}{2}|(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\cdots+x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1})-(x_{2}y_{1}+x_{3}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n-1}+x_{1}y_{n})| \end{aligned} )] |
이 식은 다름 아닌 외적[1]으로, [math(x_{1})], [math(x_{2})], [math(\cdots)]를 벡터 [math(\bold x)]로, [math(y_{1})], [math(y_{2})], [math(\cdots)]를 벡터 [math(\bold y)]로 합치면 아래와 같이 된다.[2]
[math(\dfrac{1}{2}|({\bold x}\times{\bold y})\boldsymbol{\cdot}{\bold u}|)][3]
특히 삼각형에 대한 신발끈 공식을 많이 사용하게 되는데 이는 아래와 같다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~ &x_{1} \\ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~ &y_{1} \end{vmatrix} =\frac{1}{2}|(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1})-(x_{2}y_{1}+x_{3}y_{2}+x_{1}y_{3})| \end{aligned} )] |
3. 주의점
- 각 변이 교차하는 다각형의 경우에는 사용할 수 없다.
- 한 점을 [math({\rm P_{1}})]으로 잡고, 해당 점부터 시계 방향 또는 반시계 방향으로 [math({\rm P_{2}})], [math({\rm P_{3}})], [math(\cdots)], [math({\rm P}_{n})]을 정해주어야 한다. 이때, 반시계 방향으로 점을 배열하는 경우 계산결과가 양수로 나오고, 시계방향으로 배열하는 경우 계산결과가 음수로 나온다. 어찌 되었든 절댓값은 같기 때문에 부호를 신경쓰지 않기 위해 절댓값 기호를 붙인다. 아래의 그림은 오목 육각형을 예로 든 것이다.
4. 유도
우선 이 공식을 유도하기 전 꼭짓점이 [math({\rm A}(x_{1},\,y_{1}))], [math({\rm B}(x_{2},\,y_{2}))], [math({\rm C}(x_{3},\,y_{3}))]인 삼각형의 넓이를 구하는 방법을 고찰해볼 필요가 있다. [math({\rm A}(x_{1},\,y_{1}))]를 시점으로 하는 두 벡터 [math(\overrightarrow{\rm AB})], [math(\overrightarrow{\rm AC})]의 외적의 크기의 절반이 해당 삼각형의 넓이가 된다. 즉,[math(\displaystyle \triangle {\rm ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\rm AB} \times \overrightarrow{\rm AC} | )]
위의 정보를 이용하여 다각형 [math({\rm P}_{1}{\rm P}_{2}{\rm P}_{3} \cdots {\rm P}_{n})]의 넓이 [math(S)]는 육각형을 예시로 든 위 그림과 같이 점 [math(\rm P_{1})]을 기준으로 잡아 해당 다각형을 삼각형 [math({\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}{\rm P}_{k} \, (k \geq 3, \,k \in \mathbb{Z}))]으로 모두 분할한 후 해당 삼각형의 넓이를 모두 합한 값이다. 다만, 분할된 영역의 넓이는 전체 넓이에 대하여 양의 기여를 하기도 하고, 음의 기여(위 그림에서 [math(\triangle \rm{P_{1}P_{3}P_{4}})])를 하기도 한다. 따라서 분할된 영역의 넓이를 구할 때는 절댓값을 취하지 않는다. 즉,
[math(\displaystyle [\triangle {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}{\rm P}_{k}]=\frac{1}{2}\overrightarrow{ {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{{\rm P_{1}}{\rm P}_{k}} )]
대괄호를 씌운 것은 일반적으로 넓이 구하는 법과 차이가 있음을 강조하기 위함이다. 따라서 이것을 모두 합한 뒤 절댓값을 취하면 [math(S)]가 된다. 이때, 점을 반시계 방향으로 명명하였고, 벡터의 외적 연산을 사용하기 때문에 오목한 영역과 볼록한 영역의 경우의 넓이는 서로 다른 부호의 기여를 한다. 이에 기여분에 대한 부호는 자동적으로 계산되므로 신경쓰지 않아도 된다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} S&= \left| \sum_{k=3}^{n}[\triangle {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}{\rm P}_{k}] \right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} \overrightarrow{ {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{{\rm P_{1}}{\rm P}_{k}}\right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} (\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k-1}}-\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{1}}) \times (\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k}}-\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{1}})\right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k}}+\left\{ \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P_{1} }} \times \sum_{k=3}^{n} (\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k-1}}-\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{k}}) \right\} \right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k}}+\{\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{1}} \times \overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{2}}-\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{1}} \times \overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{n}} \} \right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} \begin{vmatrix} x_{k-1}~ &y_{k-1} \\ x_{k}~ &y_{k} \end{vmatrix}+\left\{ \begin{vmatrix} x_{1}~ &y_{1} \\ x_{2}~ &y_{2} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x_{1}~ &y_{1} \\ x_{n}~ &y_{n} \end{vmatrix} \right\}\right| \\ &=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n}(x_{k-1}y_{k}-x_{k}y_{k-1})+\{(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})-(x_{1}y_{n}-x_{n}y_{1}) \} \right| \\&=\frac{1}{2}|(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\cdots+x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1})-(x_{2}y_{1}+x_{3}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n-1}+x_{1}y_{n})|\end{aligned} )] |
꼭 벡터를 사용하지 않더라도 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해서도 충분히 유도해 낼 수 있다.
5. 변형 공식
5.1. 사루스 법칙
rule of Sarrus위 공식을 [math(3 \times 3)] 행렬에 적용한 것으로, [math(3 \times 3)] 행렬의 1, 2열을 그대로 4, 5열에 각각 써서 [math(5 \times 3)] 행렬로 변형한 뒤[4] 신발끈 공식을 적용한 것이다. 차이점은 일직선상의 세 개의 성분을 연달아서 이어야 한다는 점과 실수배를 하지 않는다는 점, 결괏값의 부호는 그대로 놔둔다는 점(절댓값을 취하지 않음), 그리고 2행의 양 끝 성분은 버려지는 점이 있다. [math(3 \times 3)] 행렬이 아닐 경우 성립하지 않기 때문에 선형대수학에서는 사도 취급하지만[5], [math(3 \times 3)] 행렬의 행렬식을 구하는 데 이것만큼 유용한 도구가 없다.
대표적인 사용례로 벡터장의 회전이 있다. 이는 아래와 같이 계산할 수 있다.
[math( \boldsymbol{\nabla} \times \bold{a} = \begin{vmatrix} \mathbf{\hat{x}} & \mathbf{\hat{y}} & \mathbf{\hat{z}} & \mathbf{\hat{x}} & \mathbf{\hat{y}} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} & \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} \\ a_x & a_y & a_z & a_x & a_y \end{vmatrix})]
6. 기타
- 고등학교 수학에서, 특히 꼭짓점의 좌표가 주어진 삼각형의 넓이를 구할 때 잘 써먹게 되는 공식이다. 하지만 고등학교 과정 밖의 내용(벡터의 외적)이기 때문에 싫어하는 수학 강사들도 있다.
- 스튜어트 미분적분학 교과서에서는 그린 정리를 다루는 장에서 신발끈 공식의 유도를 연습문제로 내 놓았다.
7. 관련 문서
[1] Outer product([math(otimes)])가 아닌 Cross product([math(\times)])임에 주의. 이런 혼동이 생기는 이유는 Outer product와 Cross product를 똑같이 '외적'으로 옮겼기 때문.[2] 이 문서에서는 일반론적인 벡터는 볼드체([math(\bold x)]), 기하학적인 의미로 쓰인 벡터는 화살표([math(\overrightarrow{\rm AB})])로 표기한다.[3] 여기서 [math({\bold u})]는 모든 원소가 1인 n차원 벡터를 말한다.[4] 열 대신 행을 늘린 [math(3 times 5)] 행렬을 사용해도 무방하다.[5] 거의 [math(64/16 = \cancel{6}4/1\cancel{6} = 4)] 같은 방식으로 약분하는 것 같은 취급을 당한다.