최근 수정 시각 : 2024-03-11 10:27:50
}}}}}}}}} ||部 分 積 分 / integration by parts 부분적분 이란, 두 함수의 곱으로 정의된 함수를 적분 하는 기법이다.미분 가능한 연속함수 [math(f(x))], [math(g(x))]에 대해서 다음과 같이 부정적분 , 정적분 할 수 있다. 이때 [math(f(x))], [math(g(x))]의 도함수 도 각각 연속이어야 한다. 곱의 미분법 에서 도출된 공식이다. [math(\displaystyle \begin{aligned} \int f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x&=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x \\ \int_{a}^{b} f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x&=\biggl[ f(x)g(x) \biggr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned} )]
곱의 미분법에 따라 다음이 성립한다. [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]=f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d}x}g(x) )]
양변을 적분하면 다음과 같다. [math(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]\,\mathrm{d}x=\int f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+\int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}g(x)\,\mathrm{d}x )]
그런데, 좌변은 [math(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]\,\mathrm{d}x=\int \mathrm{d}[f(x)g(x) ]=f(x)g(x) )]
이므로 결국 다음 결과를 얻을 수 있다. [math(\displaystyle f(x)g(x)=\int f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+\int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}g(x)\,\mathrm{d}x )]
위의 결과에서 이항을 하고 [math({\rm d}f(x)/{\rm d}x \equiv f'(x))], [math({\rm d}g(x)/{\rm d}x \equiv g'(x))]로 쓰면 다음과 같은 부분적분 공식이 유도된다. [math(\displaystyle \int f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x )]
자세한 내용은 부분적분/LIATE 법칙 문서를
참고하십시오. 부분적분을 빠르게 계산하는 방법이다. 자세한 내용은 세로셈법 문서를
참고하십시오. [math(\displaystyle \begin{aligned} \int f(x)\,\mathrm{d}g(x) &= f(x)g(x) - \int g(x)\,\mathrm{d}f(x) \\ \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d} g(x) &= \biggl[ f(x)g(x)\biggr]_a^b-\int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d} f(x) \end{aligned} )]
미분계수가 함수인 꼴의 부분적분도 가능하다. 이 경우 미분을 하지 않는다는 차이점이 있다. 위 식에서 [math(f(x) = u)], [math(g(x) = v)]를 이용해 간략하게 나타낼 수 있다. 주로 영미권 원서에서 이런 표기를 사용한다. [math(\displaystyle \begin{aligned} \int u\,\mathrm{d}v&=uv-\int v\,\mathrm{d}u \end{aligned} )]
자세한 내용은 부분적분/예제 문서를
참고하십시오.7. 고등학교 교과과정에서 구 교육과정(2009 개정 교육과정)에선 미적분Ⅱ , 현 교육과정(2015 개정 교육과정)에선 미적분 에서 자연계열 학생만 배우는 방법이다. 교과서나 EBS교재 등을 보면 항목 맨 위의 방법으로만 하라고 나와있어 [math( x \ln x )]나 [math( a x \cos x )]꼴의 함수 등을 계산하기 상당히 까다롭다. 세로셈식 은 엄연한 정규 방법 인데도 로피탈의 정리 가 마검이면 이건 가히 엑스칼리버라 할 수 있을 만큼 쉬워진다. 그렇다고 저 정의식을 모르면 안되는 것이, 평가원이 가끔 정의식으로 해야 풀리는 문제를 출제한다. 또한 적분파트의 최종보스로 이게 부분적분 써야 하나 치환적분 써야 하나 헷갈리는 문제도 많다. 공식을 유도하고 기출문제를 풀어 감을 익히는 것이 중요하다. 부분적분은 이과 수학 중 가장 계산이 더럽고 복잡한 연산법 이라고 흔히들 이야기하기도 한다.다항함수 의 정적분 을 편리하게 계산하는 다음의 공식 역시 부분적분을 통하여 유도된다. 자세한 내용은 다항함수/공식/넓이 참고. [math(\begin{aligned}\left|\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^m(x-\beta)^n\;{\rm d}x\right|&=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}|a|(x-\alpha)^m(\beta-x)^n\;{\rm d}x\\&=\dfrac{|a|(m!n!)}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}\end{aligned})]
9. 관련 문서