1. 개요
重積分 / multiple integral정적분의 개념을 확장하여 독립변수가 2개 이상인 함수를 적분하는 것이다. 중적분의 개념은 공간의 부피, 질량, 무게 중심, 표면적 등등에 쓰인다. 이론상 한 차원씩 차근차근 계산하면 되지만, 웬만한 적분이 잘 될 리가 없다. 이 때문에 편의를 위해 좌표계를 변환해주는데 2차원에선 극좌표, 3차원에서는 구면좌표계와 원통좌표계를 쓴다. 정규분포 함수의 적분값도 이중적분을 극좌표 변환하는 꼼수를 써서 풀 수 있다. 의외로 과정 잘만 밟으면 학부 1학년 때도 연습문제로 나올만큼 어렵지 않은 내용이다. 물론 그냥 무조건 변환해주면 되는 건 아니라 야코비안이라는 개념을 배워야 제대로 쓸 수 있다. 야코비안의 행렬식의 절댓값을 이용하는데, 쉽게 말하면 치환(변환)했으니 구간도 바뀌는데 이때의 처음 구간과 치환 후 구간을 보정해주는 값이라 생각하면 된다. 정규분포 함수에서 보이는 [math(displaystyle e^{-x^2})]의 경우는, 야코비안의 극좌표 변형식을 쓰면 된다. 극좌표를 쓰고 싶지 않다면, 복소해석학을 이용해서 우회하는 방법도 존재하지만, 여기서는 중적분을 이용하기 위해 극좌표 변형식을 이용한다.
자세한 적분방법은 다음과 같다. 아니면 '가우스 적분' 문서를 참조하여도 좋다.
먼저 평면 [math(\displaystyle \mathbb{R}^2)] 위에서의 특이적분 [math(\displaystyle \mathbb{I})]를 이렇게 정의한다.
[math(\displaystyle \mathbb{I} = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}dA = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dydx)]
[math(\displaystyle \quad =\lim_{a\to\infty}\iint_{D_a} e^{-(x^2+y^2)} dA)]
([math(\displaystyle D_a)]는 원점을 중심으로 하여, 반지름이 [math(\displaystyle a)]인 원판이다.)
이 때, [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dydx)]에서, [math(\displaystyle (x,y)\rightarrow(r, \theta))]로의 극좌표 변환을 취하면, 이 식은 이렇게 바뀐다.
[math(\displaystyle x^2+y^2=r^2)]이므로, [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dydx = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta)]
(야코비안 극좌표 변형식을 사용하면, [math(\displaystyle \frac{\partial (x, y) }{\partial (r,\theta )}=r(r>0))]이므로, [math(\displaystyle dA=dxdy=\left\vert\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}\right\vert drd\theta =rdrd\theta)]
[math(\displaystyle \int -2re^{-r^2} dr = e^{-r^2} +C)]([math(\displaystyle C)]는 적분상수)이므로, [math(\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta = -\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} e^{-r^2}\vert^{r=\infty}_{r=0} d\theta = -\frac{2\pi}{2}\left[ e^{-r^2} \right]^{r=\infty}_{r=0} = -\pi (0-1) =\pi)]
이제 이 식을 가지고 [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)]를 풀어보자.
[math(\displaystyle \quad =\lim_{a\to\infty}\iint_{S_a} e^{-(x^2+y^2)} dA)]
([math(\displaystyle S_a)]는 원점을 중심으로 하여, [math(\displaystyle (a, -a),\ (a, a),\ (-a,-a)\ ,(-a,a))]의 4개의 점을 꼭지점으로 삼는 정사각형 구간이다.)
푸비니의 정리의 특이케이스중 하나로, 적분구간이 [math(\displaystyle C=[a,b]\times[c,d]\in\mathbb{R}^2)]인 직사각형 영역에 대해서,
[math(\displaystyle \iint f(x)g(y) dC=\int_{a}^{b} f(x)dx\int_{c}^{d} g(y)dy)]임이 알려져 있다.[1]
이걸 바탕으로, 주어진 위의 특이적분을 분리하면, 다음과 같이 분리된다.
[math(\displaystyle \lim_{a\to\infty}\iint_{S_a} e^{-(x^2+y^2)} dA=\lim_{a\to\infty} \left( \int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx \int_{-a}^{a} e^{-y^2} dy \right) )]
각각에 대해 적분구간과 적분변수가 동일하므로, 이 식은 다시 이렇게 고칠 수 있다.
[math(\displaystyle \lim_{a\to\infty} \left( \int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx \int_{-a}^{a} e^{-y^2} dy \right) = \lim_{a\to\infty} \left( \int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx \right)^{2} )]가 되는데, 위에서
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dydx=\pi)]임을 보였다. 즉, [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\mathbb{Y})]라고 하면, [math(\displaystyle \mathbb{Y}^2=\pi)]이므로,
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi})]라는걸 확인할 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbb{I} = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}dA = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dydx)]
[math(\displaystyle \quad =\lim_{a\to\infty}\iint_{D_a} e^{-(x^2+y^2)} dA)]
([math(\displaystyle D_a)]는 원점을 중심으로 하여, 반지름이 [math(\displaystyle a)]인 원판이다.)
이 때, [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dydx)]에서, [math(\displaystyle (x,y)\rightarrow(r, \theta))]로의 극좌표 변환을 취하면, 이 식은 이렇게 바뀐다.
[math(\displaystyle x^2+y^2=r^2)]이므로, [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dydx = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta)]
(야코비안 극좌표 변형식을 사용하면, [math(\displaystyle \frac{\partial (x, y) }{\partial (r,\theta )}=r(r>0))]이므로, [math(\displaystyle dA=dxdy=\left\vert\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}\right\vert drd\theta =rdrd\theta)]
[math(\displaystyle \int -2re^{-r^2} dr = e^{-r^2} +C)]([math(\displaystyle C)]는 적분상수)이므로, [math(\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta = -\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} e^{-r^2}\vert^{r=\infty}_{r=0} d\theta = -\frac{2\pi}{2}\left[ e^{-r^2} \right]^{r=\infty}_{r=0} = -\pi (0-1) =\pi)]
이제 이 식을 가지고 [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)]를 풀어보자.
[math(\displaystyle \quad =\lim_{a\to\infty}\iint_{S_a} e^{-(x^2+y^2)} dA)]
([math(\displaystyle S_a)]는 원점을 중심으로 하여, [math(\displaystyle (a, -a),\ (a, a),\ (-a,-a)\ ,(-a,a))]의 4개의 점을 꼭지점으로 삼는 정사각형 구간이다.)
푸비니의 정리의 특이케이스중 하나로, 적분구간이 [math(\displaystyle C=[a,b]\times[c,d]\in\mathbb{R}^2)]인 직사각형 영역에 대해서,
[math(\displaystyle \iint f(x)g(y) dC=\int_{a}^{b} f(x)dx\int_{c}^{d} g(y)dy)]임이 알려져 있다.[1]
이걸 바탕으로, 주어진 위의 특이적분을 분리하면, 다음과 같이 분리된다.
[math(\displaystyle \lim_{a\to\infty}\iint_{S_a} e^{-(x^2+y^2)} dA=\lim_{a\to\infty} \left( \int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx \int_{-a}^{a} e^{-y^2} dy \right) )]
각각에 대해 적분구간과 적분변수가 동일하므로, 이 식은 다시 이렇게 고칠 수 있다.
[math(\displaystyle \lim_{a\to\infty} \left( \int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx \int_{-a}^{a} e^{-y^2} dy \right) = \lim_{a\to\infty} \left( \int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx \right)^{2} )]가 되는데, 위에서
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dydx=\pi)]임을 보였다. 즉, [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\mathbb{Y})]라고 하면, [math(\displaystyle \mathbb{Y}^2=\pi)]이므로,
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi})]라는걸 확인할 수 있다.
비전공자들은 헷갈릴 수 있지만 적분을 단순히 두 번 세 번 하는 것과는 다르다! 적분을 연속으로 하는 것은 반복적분(iterated integral)이라고 한다. 대신 푸비니의 정리에 의해 특정 조건에서 중적분을 반복적분으로 계산할 수 있다. 아래 문단 참조.
일반적으로 미지수가 하나인 함수의 적분이 넓이를 의미하듯이, 미지수가 2개인 함수의 적분은 부피를 의미한다. 미지수가 그 이상 있는 함수에 대해서는 초부피(Hypervolume)라는 개념이 도입된다. 이것도 나중에 배우는 것 중 하나인데, 적분을 가지고 2계 변수 함수에서 그래프의 길이를 구할 수 있듯 이중적분을 가지고 3계 변수 함수의 겉넓이를 구할 수도 있다. 매개변수 u, v로 표현된 [math(\displaystyle r(u, v))]라는 곡면의 겉넓이는 [math(\displaystyle \iint 1\,dS)]로 구할 수 있으며, 앞서 설명한 3계 변수 함수의 겉넓이는 이 면적분의 특수한 형태로 볼 수 있다.
[math(\displaystyle \int_L 1\,dx)]는 해당 적분구간의 길이를 나타냄을 쉽게 알 수 있다. 이를 일반화 해보면, 면적분 [math(\displaystyle \int_D 1\,dA)]는 [math(\displaystyle D)]의 넓이, 곡면적분 [math(\displaystyle \int_S 1\,dS)]는 [math(\displaystyle S)]의 겉넓이, 부피적분 [math(\displaystyle \int_V 1\,dV)]는 [math(\displaystyle V)]의 부피이다.
중적분을 이용하여 부피를 구하는 것에 대한 자세한 내용은 부피 문서 참고.
2. 기호
[math(\displaystyle\LARGE\int\ \iint\ \iiint\ \oint\ \oiint\ \oiiint)]
중적분에 쓰이는 기호들.
여기서 적분기호의 개수는 변수의 개수, 고리는 닫힌 공간의 구간을 의미한다.[2] 선적분의 경우 ∫와 ∮, 면적분의 경우 ∬, 곡면적분의 경우 ∬와 ∯(∮도 매우 자주 쓰인다.), 부피적분의 경우 ∭, ∰를 자주 볼 수 있다. 고리는 어렵게 생각할 것 없이 매우 쉬운 개념이다. 고리에 화살표로 방향을 표시해 놓는 극소수의 경우가 있지만, 대부분의 경우 아무 표시가 없다. 고리는 닫힌 적분범위 내에서 양의 방향으로 적분하라는 소리다. 닫힌 적분범위의 예를 들자면, 선적분의 경우 대체로 시계 반대 방향의 방향을 갖는 어떠한 폐곡선에서 적분하는 것이고, 곡면적분의 경우 곡면 안쪽이 아닌 바깥쪽을 향하도록 폐곡면을 잡으라는 것이다.
3. 푸비니의 정리
중적분을 계산하는 방법 중 하나. [math(S=[a,b]\times[c,d])]인 직사각형 영역이고 [math(f:S \rightarrow R)]이 유계이고 적분 가능한 함수라고 할 때,[math(\displaystyle \begin{aligned} \iint_S {f(x, y)} dA &=\int_{a}^{b} {\left( \int_{c}^{d}{f(x, y)}dy \right) }dx \\ &= \int_{c}^{d} {\left( \int_{a}^{b}{f(x, y)}dx \right) }dy \end{aligned})]
로 계산할 수 있다는 정리. 즉, 이중적분을 일차원 적분의 반복적분으로 바꿀 수 있으며 적분 순서를 바꿔도 값은 동일하다는 것이다. 이를 통해 미적분학의 기본정리를 적용할 수 있다.또한 위의 예시에서 언급한 구간분리는 [math([a, b]\times[c,d])]라는 직사각형 구간 내에서 [math(\displaystyle \begin{aligned} \iint_S {f(x, y)} dA &=\int_{a}^{b} {\left( \int_{c}^{d}{f(x, y)}dy \right) }dx \\ &= \int_{c}^{d} {\left( \int_{a}^{b}{f(x, y)}dx \right) }dy \end{aligned})]일 때,
[math(f(x, y)=g(x)h(y))]로 대입하면 [math(\displaystyle \begin{aligned} \iint_S {f(x, y)} dA &=\int_{a}^{b} {\left( \int_{c}^{d}{g(x)h(y)}dy \right) }dx \\ &= \int_{c}^{d} {\left( \int_{a}^{b}{g(x)h(y)}dx \right) }dy \end{aligned})]가 되는데,
[math(g(x))]는 [math(y)]에 대하여, [math(h(y))]는 [math(x)]에 대하여 상수취급 할 수 있어서 [math(\displaystyle \begin{aligned} \iint_S {f(x, y)} dA &=\int_{a}^{b} {\left(g(x)\int_{c}^{d}{h(y)}dy \right) }dx \\ &= \int_{c}^{d} {\left(h(y) \int_{a}^{b}{g(x)}dx \right) }dy \end{aligned})]로 바꿀 수 있기 때문이다.
4. 관련 문서
- 미분적분학
- 공업수학
- 선적분, 면적분, 곡면적분, 부피적분
- 그레이디언트, 컬, 다이버전스
- 선적분의 기본정리(그레이디언트 정리), 그린 정리, 스토크스 정리, 발산 정리
- 길이, 넓이, 겉넓이, 부피, 초부피
[1] 단, 완벽하게 일원다차방정식끼리의 곱으로만 인수분해가 되어야 한다. 예를 들어서 [math(\displaystyle x^{2}y^{2}+x^{2}y+3xy^{2}+2x^{2}+5y^{2}+3xy+6x+5y+10)]은 [math(\displaystyle \left(x^{2}+3x+5\right)\left(y^{2}+y+2\right))]로 인수분해가 되어서, 각각 [math(\displaystyle x,y)]에 대한 일원이차방정식으로 인수분해된다. 확률론에서 확률변수의 독립을 논할 때 이러한 계산이 가능하다. 하지만 [math(\displaystyle x^{2}y^{3}+xy^{3}+2x^{3}+2x^{2}y)]의 경우는 인수분해를 하면 [math(\displaystyle x\left(x+y\right)\left(y^{2}+2x\right))]이 되어서, 이원일차([math(\displaystyle x+y)])/이원이차([math(\displaystyle y^{2}+2x)])방정식의 형태가 드러나게 된다. 이 경우는 인수분해 적분을 적용할 수 없다.[2] 대표적으로 맥스웰 방정식의 적분형 좌변에서 볼 수 있다.