1. 개요
Riemann series theorem, Riemann rearrangement theorem / 리만 再配列 定理 / (독일어)Riemannscher Umordnungssatz조건수렴하는 무한급수의 항의 순서를 적당히 바꿔서, 임의의 값으로 수렴하거나, [math(\pm \infty)]로 발산하도록 할 수 있다는 정리이다. 무한번 더하는 것은 유한 번 더하는 것과는 다르다는 것을 나타내주는 예시다.
2. 상세
실수열 [math(a_{n})]에 대하여, [math(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n})]이 수렴하고, [math(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|)]은 발산한다고 하자. 그러면, 임의의 확장된 실수 [math(r\in\mathbb{R}\cup\{\pm \infty\})]에 대하여 [math(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{\sigma(n)}=r )]를 만족하는 일대일대응 [math(\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N})][1]이 존재한다.
사실, 꼭 조건 수렴할 필요는 없다. 양수항만 더한 급수와 음수항만 더한 급수가 각각 발산하고, 일반항은 0으로 수렴하면 된다. 급수가 조건 수렴하는 경우, 양수항만 더한 급수와 음수항만 더한 급수가 각각 로 발산한다는 사실은 급수의 연산법칙에 의해 쉽게 유도할 수 있다.
2.1. 재배열 하는 방법
재배열 하는 방법이 유일하지는 않지만, 항상 원하는 수렴값으로 재배열 할 수 있는 일반적인 방법이 있다.급수가 조건수렴하는 수열 [math(a_{n})]이 주어졌을 때, 수열 [math(a^{+}_{n})]을 [math(a_{n})]의 음이 아닌 항을 순서대로 늘어놓은 수열이라고 하고, 반대로, 수열 [math(a^{-}_{n})]을 [math(a_{n})]의 음수항을 순서대로 늘어놓은 수열이라고 하자. (예를 들어서 [math(a_{n}=\displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n})]이라고 하면, [math(a^{+}_{n}=\displaystyle\frac{1}{2n-1})], [math(a^{-}_{n}=-\displaystyle\frac{1}{2n})]이 된다. ) 이 때, [math(a^{\pm}_{n})]는 모두 0으로 수렴하고, 급수는 [math(\pm\infty)]로 발산하는데, 수열을 재배열해서 급수를 [math(L\in\mathbb{R})]로 수렴시키고 싶으면,
- L을 넘을때까지 을 차례대로 더한다.
즉, [math(a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}}>L)] 을 만족하는 최소 자연수 [math(m_{1})]을 찾는다. - 1에 이어서 L보다 작아질때까지 을 차례대로 더한다.
즉, [math((a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+(a^{-}_{1}+\cdots+a^{-}_{m_{2}})<L)] 을 만족하는 최소 자연수 [math(m_{2})]을 찾는다. - 2에 이어서 L보다 커질때까지 을 차례대로 더한다.
즉, [math((a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+(a^{-}_{1}+\cdots+a^{-}_{m_{2}})+(a^{+}_{m_{1}+1}+\cdots+a^{+}_{m_{3}})>L)] 을 만족하는 최소 자연수 [math(m_{3})]을 찾는다. - 3에 이어서 L보다 작아질때까지 을 차례대로 더한다.
즉, [math((a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+(a^{-}_{1}+\cdots+a^{-}_{m_{2}})+(a^{+}_{m_{1}+1}+\cdots+a^{+}_{m_{3}})+(a^{-}_{m_{2}+1}+\cdots+a^{-}_{m_{4}})<L)] 을 만족하는 최소 자연수 [math(m_{4})]을 찾는다. - [math(\cdots)]. [2]
[math((a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+\cdots+(a^{+}_{m_{i-2}}+\cdots+a^{+}_{m_{i}})>L \geq(a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+\cdots+(a^{+}_{m_{i-2}}+\cdots+a^{+}_{m_{i}})-a^{+}_{m_{i}})] 또는,
[math((a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+\cdots+(a^{-}_{m_{i-2}}+\cdots+a^{-}_{m_{i}})<L \leq (a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+\cdots+(a^{-}_{m_{i-2}}+\cdots+a^{-}_{m_{i}})-a^{-}_{m_{i}})]
가 성립해서, [math(m_{i-1}< k< m_{i+1})]일 때,[math((a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+\cdots+(a^{-}_{m_{i-2}}+\cdots+a^{-}_{m_{i}})<L \leq (a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+\cdots+(a^{-}_{m_{i-2}}+\cdots+a^{-}_{m_{i}})-a^{-}_{m_{i}})]
[math(\left|(a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+\cdots+\left(\displaystyle\sum_{i=m_{i-1}+1}^{k}a^{\mp}_{i}\right)-L \right|\leq\left|(a^{+}_{1}+\cdots+a^{+}_{m_{1}})+\cdots+(a^{\pm}_{m_{i-2}+1}+\cdots+a^{\pm}_{m_{i}})-L \right|\leq|a^{\pm}_{m_{i}}|)]
인데, 우변이 0으로 수렴하기 때문이다.[math(L=\pm\infty)]로 발산하게 만들고 싶으면, 왔다리 갔다리 하는 기준이 되는 수를 점점 키우거나, 점점 줄이면 된다.
2.2. 함의
두 무한급수의 곱을 계산할 때, 전개하는 순서에 따라서 값이 달라질 수 있다. 대개 코시곱이라고 부르는 순서로 전개하는데, 이 방법은 가로축과 세로축에 각 수열의 항을 쓰고 축이 만나는 곳마다 두 항의 곱을 계산한 뒤 대각선을 따라 지그재그로 전개하는 것이라 볼 수 있다. 그런데 이 순서로 전개하면 조건수렴하는 무한급수끼리 곱해서 발산하는 급수를 얻는 게 가능하다. 위키백과나 정동명著 실해석학 개론에는 [math(a_{n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}})]로 주어진 수열의 무한급수를 자기자신과 곱하는 예시가 나온다. 이 코시곱이 발산한다는 증명은 다음과 같다.| [math(\displaystyle a_{n}=b_{n}=\frac{\left(-1\right)^{n}}{\sqrt{n}})]이라고 하자. 이 때, [math(a_{n})]과 [math(b_{n})]의 코시곱 [math(c_{n})]은 다음과 같이 정의된다. [math(\displaystyle c_{n}=a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\cdots+a_{n-1}b_{2}+a_{n}b_{1}=\sum_{i+j=n+1}a_{i}b_{j})] 여기서 위에서 정의한 [math(\displaystyle a_{n}=b_{n}=\frac{\left(-1\right)^{n}}{\sqrt{n}})]를 대입해서 전개해보자. [math(\displaystyle \begin{aligned} c_{n} &=& && a_{1}b_{n} &+& a_{2}b_{n-1} &+& \cdots &+& a_{n}b_{1}\\&=&\left(-1\right)^{n+1}&&\cdot\{\frac{1}{\sqrt{1}\sqrt{n}}&+&\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{n-1}}&+& \cdots &+& \frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{1}}\}\end{aligned}\\=\left(-1\right)^{n+1}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{i}\sqrt{n-i+1}})] 여기서 산술·기하 평균 부등식을 이용하면, 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다. [math(\displaystyle \sqrt{i}\sqrt{n-i+1}\leq\frac{1}{2}\left(i+n-i+1\right)=\frac{n+1}{2}\\\frac{1}{\sqrt{i}\sqrt{n-i+1}}\geq\frac{2}{n+1})] 절대값을 취한 뒤 이 관계식을 대입해서 정리하자. [math(\displaystyle |c_{n}|=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{i}\sqrt{n-i+1}}\geq\sum_{i=1}^{n}\frac{2}{n+1}=\frac{2n}{n+1})] 즉 [math(\displaystyle |c_{n}|\geq \frac{2n}{n+1}=2-\frac{2}{n+1}\neq 0)]. 수열의 극한값이 0이 아니면 해당 급수는 발산하는 것은 급수의 성질에 의해 자명하다. 따라서 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}c_{n})]은 발산한다. |
2.3. 재배열해도 되는 경우
흔히 리만 재배열 정리를 다루면서 "조건수렴하는 급수는 항을 아무렇게나 재배열했다가는 이처럼 아예 아무 수나 다 만들어버릴 수도 있으니 재배열한 급수를 원래 급수의 수렴 판정이나 수렴값 계산에 쓸 수 없다"라고 설명한다.하지만 이것이 가능한 재배열도 있다. 재배열을 원래 위치에서 얼마나 떨어질지 모르는 먼 곳으로 이동시키는 것이 아니라 일정 범위 내에서 이동시키는 경우, 즉 원래 위치 [math(n)]과 재배열된 위치 [math(\sigma(n))]간의 차이 [math(|\sigma(n)-n|)]가 유계인 경우에는 원래 급수와 재배열한 급수의 수렴 여부 및 수렴하는 경우 수렴값이 일치한다. [3]
3. 관련 문서
[1] 덧셈 순서를 재배열하는 매핑 또는 순열(permutation)이라고 생각하면 된다.[2] 이게 계속해서 가능한 이유는, 임의의 자연수 [math(m)]에 대해 [math(\sum_{n=m}^{\infty}a^{+}_{n})]가 무한대로 발산하고,[math(\sum_{n=m}^{\infty}a^{-}_{n})]은 음의 무한대로 발산하기 때문.[3] 증명은 이 블로그를 참조. 반 장난식인지 [math(\displaystyle\lim_{n \to \infty}|\sigma(n)-n|=\infty)]인 경우를 '악귀같은 재배열', 반대로 [math(|\sigma(n)-n|)]가 유계인 경우를 '악귀같지 않은 재배열'이라고 서술하고 있다.