1. 개요
單調 收斂 定理 / monotone convergence theorem(MCT)단조 수렴 정리는 해석학에서 수열의 극한과 관련된 정리 중 하나이다. 증명하는 방법은 실수의 완비성(completeness of real number)을 이용하는 것이다.
2. 완비 공리
완비 공리는 서로 동치인 두 가지 다른 방식으로 기술될 수 있다. 그 첫 번째는 완비성 문서에서 설명하고 있는 바와 같이 코시 수열을 이용하는 것이다.| 완비성 공리 (1). 어떠한 무한수열 [math(\{a_n\})]이 코시수열일 때, 이는 수렴한다. 더 자세히는, 어떤 [math(\epsilon >0)]에 대해서도 충분히 큰 [math(M)]이 존재해 모든 [math(m,n\ge M)]에 대해 [math(|a_n - a_m|<\epsilon)]을 만족할 때, [math(\{a_n\})]은 수렴한다. |
완비 공리의 두 번째 기술 방법은 최소 상계를 이용하는 것이다.
| 완비성 공리 (2). 어떠한 유계집합 [math(X\subset \mathbb{R})]에 대해서도, 어떠한 [math(\bar{x}\in\mathbb{R})]이 존재해 모든 [math(x\in X)]에 대해 [math(\bar{x}\ge x)]를 만족하는 동시에, 동시에 어떤 동일한 성질을 만족하는 [math(y)]에 대해서도 [math(\bar{x}\le y)]를 만족한다. 곧, 어떤 유계집합도 최소상계를 가진다. |
공리 (1)은 보다 일반적인 거리공간(metric space, 거리함수 참고)에서 완비성을 정의할 수 있는데 반해, (2)는 비록 실수 집합의 well-order(집합의 원소 간의 크기 비교 가능성)이 필요하긴 하지만 실수 집합에서 실질적인 결과를 정리하는데 있어서는 보다 유용하게 사용될 수 있다.
3. 상세
단조 수렴 정리를 바르게 이해하기 위해서는, 단조수열(monotone sequence)과 유계라는 개념을 정확히 이해할 필요가 있다. (유계의 개념에 대해서는 유계 문서 참고.)일단 무한수열 [math(\{a_n\})]이 주어져 있다고 하자. 모든 자연수 [math(n)]에 대해
- [math(a_n \leq a_{n+1})]이면, [math(\{a_n\})]은 단조증가수열(감소하지 않는 수열)이다.
- [math(a_n \geq a_{n+1})]이면, [math(\{a_n\})]은 단조감소수열(증가하지 않는 수열)이다.
유계이면서 단조인 실수열은 모두 수렴한다는 것이 단조 수렴 정리이다.
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