수열의 극한

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1. 개요

Limit of a sequence

무한 수열 [math(\{a_{n}\})]에 대하여, [math(n)]이 무한히 커지는 상황에서 [math(a_{n})]이 [math(L)]에 한없이 가까워지면, 그것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} a_{n}=L \end{aligned} )]

이것을 수열의 극한이라 한다.

2. 상세

함수의 극한을 엄밀하게 정의할 때 엡실론-델타 논법을 사용하여 나타냈듯, 수열의 극한 또한 엡실론-[math(N)] 논법으로 정의된다.

수열 [math(\{a_n\})]이 [math(L)]로 수렴함은 다음과 동치이다.

임의의 양수 [math(\boldsymbol \varepsilon)]에 대하여 '[math(\boldsymbol{n>N})]이면, 항상 [math(\boldsymbol{|a_n-L|<\varepsilon})]'이 성립하게 되는 자연수 [math(\boldsymbol{N})]이 존재한다.

위 논법으로 풀면 [math(N)]은 주어진 양수 [math(\varepsilon)]의 값에 따라 변하므로, [math(N)]이 [math(\varepsilon)]에 의존한다는 뜻에서 [math(N(\varepsilon))]과 같이 함수처럼 표현하기도 한다.

수열 [math(\{a_n\})]이 [math(L)]로 수렴한다는 것은, 아무리 [math(\varepsilon)]을 작게 잡아도 [math(a_n)]이 구간 [math((L-\varepsilon,\,L+\varepsilon))]에 포함된다는 것을 의미한다. 아직 무슨 뜻인지 모르겠으면, 아래 함수의 극한에서 [math(\varepsilon\text-\delta)] 논법을 참고하자.

예를 들어

[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2} \quad \cdots \, \small{(\ast)} \end{aligned} )]

임을 엡실론-[math(N)] 논법으로 증명해보자.

임의의 양수 [math(\varepsilon)]에 대하여

[math(\displaystyle \begin{aligned} n>N \quad \Rightarrow \quad \biggl| \frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2} \biggr|<\varepsilon \end{aligned} )]

이 성립하는 자연수 [math(N)]이 존재함을 보이면 충분하다. 식을 변형하여

[math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl| \frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2} \biggr|=\frac{1}{2}\frac{1}{2n+1} \end{aligned} )]

이므로 필요 조건의 부등식은

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2}\frac{1}{2n+1}<\varepsilon \end{aligned} )]

따라서 [math(n)]에 대하여 정리하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} n>\frac{1}{4 \varepsilon}-\frac{1}{2} \end{aligned} )]

따라서 자연수 [math(N)]은 가장 간단한 형태로서 이 식에 최소 정수 함수를 씌운

[math(\displaystyle \begin{aligned} N(\varepsilon)= \left\lceil\dfrac1{4\varepsilon} - \dfrac12\right\rceil \end{aligned} )]

으로 항상 존재함을 알 수 있다.[1]

최소 정수 함수의 성질에 따라

[math(\displaystyle \begin{aligned} n>N(\varepsilon) \ge \dfrac1{4\varepsilon}-\dfrac12 \end{aligned} )]

이며, 이 식을 변형하면,

[math(\displaystyle \begin{aligned} 2(2n+1)>4N(\varepsilon)+2 \geq \frac{1}{e} \end{aligned} )]

이고, 따라서

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2(2n+1)}=\biggl|\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2} \biggr|<\frac{1}{4N(\varepsilon)+2} \leq \varepsilon \end{aligned} )]

으로 필요 조건의 부등식이 항상 참이 됨을 알 수 있다. 이상에서 식 [math(\small{(\ast)})]가 증명되었다.

대학 해석학 수준이 되면, 수열의 수렴성보다 엄밀한 조건으로 수열의 코시 수열 (Cauchy sequence) 성질을 배우게 되는데, 코시 수열은 아래와 같이 정의된다.

수열 [math(\{a_{n}\})]이 존재한다고 하자. 그렇다면, 이 수열이 코시 수열일 조건은 임의의 양의 실수 [math(\varepsilon)]에 대하여 이에 대응하는 적당한 자연수 [math(N)]이 존재하여 [math(n)], [math(m>N)]을 만족하는 자연수 [math(m)], [math(n)]에 대하여 다음 성질을 만족하는 수열이다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} d(a_{n},\,a_{m})<\varepsilon \end{aligned} )]

여기서 [math(d)]는 거리 함수이며, 유클리드 공간에서는 두 수의 차의 절댓값이 된다.

수렴성은 특정한 하나의 점을 상정하고 수열이 그리로 가까워진다는 성질이지만, 코시 수열은 목표점이 상정되지 않은 상태에서 그저 수열의 항들이 서로 가까워진다는 성질이다.

일반적인 유클리드 공간 내라면 코시 수열이 곧 수렴성이지만, 일반 거리 공간이 되면 코시 수열 성질이 반드시 수렴하지는 않는다. 예컨대 일반적인 거리를 거리함수로 갖는 유리수 집합에서는 수렴하지 않는 코시 수열을 잡을 수 있다. 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ... 은 유리수 집합에서의 코시 수열의 한 예지만, 이 수열의 극한인 원주율은 유리수 집합의 원소가 아니다.

어떤 공간에서 임의의 코시 수열이 수렴한다면 완비성을 갖췄다고 한다. 유클리드 공간은 완비 거리 공간이다.

3. 기타

이 부분은 2015 개정 교육과정에서 미적분 과목으로 넘어가 자연계 지망자만 배우는 내용이 되었다.

[1] 여기서 [math(N(\varepsilon))]은 부등식을 만족하기만 하면 되기 때문에 단 하나로 정해지는 게 아니다. 가령 [math(N(\varepsilon))]의 [math(\varepsilon)]에 [math(2^{-1}\varepsilon)]를 대입한 [math(\lceil(2\varepsilon)^{-1}-2^{-1}\rceil)]를 [math(N(\varepsilon))]이라고 놓고 같은 방법으로 식을 전개하면 [math([2(2n+1) ]^{-1}<\varepsilon/2)]가 얻어지므로 주어진 명제는

[math(\qquad n>N(\varepsilon) \quad \Rightarrow \quad \left|\dfrac n{2n+1}-\dfrac12\right|<\dfrac\varepsilon2<\varepsilon)]

으로 여전히 참이다.

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