1. 개요
fractional calculus / 分數階 微積分學분수계 미적분학은 미분연산자와 적분연산자의 실수제곱과 복소수제곱에 대한 여러 가능성을 연구하기 위한 수학적 분석의 한 갈래이다. 미분 연산자 [math(D)][1]와 적분 연산자 [math(I)][2]는 다음과 같이 정의된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
D f(x) &= \frac{\rm d}{{\rm d}x} f(x) \\
I f(x) &= \int_0^x f(t) \,{\rm d}t
\end{aligned} )]
그리고 자연수 [math(n)]에 대해 미분연산자 및 적분연산자의 [math(n)]제곱, 즉 양의 정수계 도함수는 다음과 같은 방법을 통해 정의된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
D^n f(x) &= ( \underbrace{D \circ D \circ \cdots \circ D}_n ) f(x) \\
&= \underbrace{D(D( \cdots D(D}_n f(x))\cdots)) \\
I^n f(x) &= ( \underbrace{I \circ I \circ \cdots \circ I}_n ) f(x) \\
&= \underbrace{I(I( \cdots I(I}_n f(x))\cdots))
\end{aligned} )]
이때 [math(n)]을 자연수가 아닌 실수 및 복소수로 확장시키는 것이 이 분수계 미적분학의 목적이다.
2. 직관
[math(x>0)]에서 정의된 함수 [math(f(x))]에 관해서 [math(0)]에서 [math(x)]까지 적분하는 것을 앞서 적분 연산자 [math(I)]로 삼았다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
I f(x) = \int_0^x f(t) \,{\rm d}t
\end{aligned} )]
이를 [math(f(x))]에 두 번 취해주게 되면 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
I^2 f(x) = \int_0^x \!\!\left( \int_0^t f(s) \,{\rm d}s \!\right) \!{\rm d}t
\end{aligned} )]
[math(f(x))]에 [math(n)]번 적용한다고 하면 결과적으로 아래의 식이 된다. 수학적 귀납법으로 임의의 [math(n)]에 대해 성립함을 쉽게 보일 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
I^n f(x) = \frac1{(n-1)!} \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t) \,{\rm d}t
\end{aligned} )]
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
I^\alpha f(x) = \frac1{\Gamma(\alpha)} \int_0^x (x-t)^{\alpha-1} f(t) \,{\rm d}t
\end{aligned} )]
이때 감마 함수는 [math(\operatorname{Re}(\alpha)>0)]일 때 절대수렴하므로, 이 구간 내의 모든 실수와 복소수에 대해 위 등식이 성립할 것이라는 직관이 들게 된다.
그러나 임의의 함수가 항상 미분 가능하거나 항상 적분 가능한 건 아니라는 점이 분수계 미적분학을 적용할 때의 걸림돌이다. 위 식을 적용하려면 함수가 다음의 세 조건을 전부 만족해야 한다.
- 해당 함수가 정칙(holomorphic)[3]이어야 한다. 디리클레 함수처럼 어디에서도 연속이지 않거나, 바이어슈트라스 함수처럼 연속임에도 미분이 안 된다거나 하면 곤란하다. 혹 함수처럼 미분 가능해도 테일러 전개가 안 되면 골치 아프다.
- 해당 함수가 역도함수를 가져야 한다. 역도함수를 가지지 않는 대표인 예로 무한 지수 탑 함수가 있다.
- 위 식에서 보듯 정적분이 가능해야 한다. 볼테라 함수의 도함수는 정적분이 불가능한 대표적인 예이다.
3. 형태와 성질
정수차수 다항식에 대한 분수계 미분연산은 레온하르트 오일러가 다음과 같이 제시했다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n} \,x^m = \frac{\Gamma(m+1)}{\Gamma(m-n+1)} \,x^{m-n}
\end{aligned} )]
반면, 일반화 형태는 조제프 푸리에가 1822년에 "열 분석 이론(Théorie analytique de la chaleur)"에서 정수차수가 아닌 미분에 대해 연구하여 다음과 같은 형태로 정의했다.[4]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n} \,f(x) = \frac1{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \lambda^n \!\int_{-\infty}^\infty f(t) \cos \biggl( \lambda x -tx +\frac{n\pi}2 \biggr) {\rm d}t \,{\rm d}\lambda \end{aligned} )] |
- 정수 [math(n)]과 [math(0<\alpha<1)]인 실수 [math(\alpha)]에 대하여 일반적으로 다음이 성립한다.
- [math(\displaystyle \frac{{\rm d}^\alpha}{{\rm d}x^\alpha} \biggl( \frac{{\rm d}^n f(x)}{{\rm d}x^n} \biggr) \neq \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n} \biggl( \frac{{\rm d}^\alpha f(x)}{{\rm d}x^\alpha} \biggr))]
- [math(\displaystyle \frac{{\rm d}^\alpha}{{\rm d}x^\alpha} \biggl( \frac{{\rm d}^n f(x)}{{\rm d}x^n} \biggr) \neq \frac{{\rm d}^{\alpha+n} f(x)}{{\rm d}x^{\alpha+n}})]
- [math(\displaystyle \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n} \biggl( \frac{{\rm d}^{\alpha} f(x)}{{\rm d}x^\alpha} \biggr) \neq \frac{{\rm d}^{n+\alpha} f(x)}{{\rm d}x^{n+\alpha}})]
즉, 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않는다.
이후 1832년, 리우빌의 정리로 유명한 조제프 리우빌이 부정적분을 다음과 같이 정의했다. (단, [math(x\in\R)], [math(n\in\mathbb{C})], [math(\operatorname{Re}(n)>0)] )
[math(\displaystyle \begin{aligned}
I^n f(x) = \frac1{(-1)^n \,\Gamma(n)} \int_0^\infty f(x+t) \,t^{n-1} \,{\rm d}t
\end{aligned} )]
1847년, 베른하르트 리만이 이를 다음과 같이 다시 정리하였다. 이를 리만-리우빌 분수계 부정적분이라 불린다. (단, [math(x\in\R)], [math(n\in\mathbb{C})], [math(\operatorname{Re}(n)>0)] )
[math(\displaystyle \begin{aligned}
I^n f(x) = \frac1{\Gamma(n)} \int_0^x (x-t)^{n-1} \,f(t) \,{\rm d}t
\end{aligned} )]
리만-리우빌 분수계 부정적분은 다음 성질을 가진다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} I^\alpha (I^\beta f(x)) &= I^\beta (I^\alpha f(x)) = I^{\alpha+\beta} f(x) \\ &= \frac1{\Gamma(\alpha+\beta)} \int_0^x (x-t)^{\alpha+\beta-1} \,f(t) \,{\rm d}t \end{aligned} )] |
| [math(0<\alpha<1)]인 실수 [math(\alpha)]에 대해 [math(\displaystyle \begin{aligned} D^{n+\alpha} f(x) = D^{n+1} (I^{1-\alpha} f(x)) \end{aligned} )] 여기서 [math(n=0)]을 대입하면 다음과 같다. [math(\displaystyle \begin{aligned} D^\alpha f(x) = D^1 (I^{1-\alpha} f(x)) \end{aligned} )] 여기에 위의 분수계 부정적분을 대입하면 다음과 같아진다. [math(\displaystyle \begin{aligned} D^\alpha f(x) &= D^1 (I^{1-\alpha} f(x)) \\ &= \frac{\rm d}{{\rm d}x} \,\frac{\Gamma(m+1)}{\Gamma(m-\alpha+2)} \,x^{m-\alpha+1} \\ &= \frac{\Gamma(m+1)}{\Gamma(m-\alpha+1)} \,x^{m-\alpha} \end{aligned} )] 그런데 이 마지막 식은 오일러가 직관에 따라 제시한 공식과 형태가 일치한다. |
4. 특징
원래는 미분을 일반화하는 것을 목표로 삼았으나, 미분연산자가 존재할 경우 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않는다는 것이 밝혀졌기에, 적분의 역연산으로서 미분을 정의하는 것으로 이걸 우회했다고 알려져 있다. 이렇게 역연산으로 정의한 분수계 미분의 공식을 직관적으로 처음 제시한 것은 레온하르트 오일러이다. 이후 엄밀한 연구 결과, 오일러가 제시한 형태가 사실은 푸리에가 제시한 일반화 공식의 정수차수에 대한 특수한 형태이며, 이후 분수계 부정적분을 이용한 우회 계산으로 해석적인 범위에서 항상 성립하는 근본적인 형태임이 밝혀졌다.5. 참고자료
- Riemann-Liouville Fractional Derivatives and the Taylor-Riemann Series
- A Method to Extend the Riemann-Liouville Fractional Integral
[1] 미분을 뜻하는 differentiation에서 따왔다.[2] 적분을 뜻하는 integration에서 따왔다. [math(I)]가 아니라 [math(J)]로 적는 경우도 많다.[3] 복소평면 위에서 미분 가능[4] 출처에 따라서 공식의 형태가 조금씩 다르다. 예를 들어서 arXiv의 관련 논문의 2페이지에는 [math(\displaystyle \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}t^n} \,u(t) = \frac1{2\pi} \int_{-\infty}^\infty u(y) \!\int_{-\infty}^\infty \omega^n \cos \biggl( \omega t -\omega y +\frac{n\pi}2 \biggr) {\rm d}\omega \,{\rm d}y)]로 나오며, 아래의 공식은 이상엽Math에서 언급한 공식.