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1. 개요
約數 / Divisor[math(b=an)]인 정수 [math(n)]이 존재할 때 정수 [math(b)]는 0이 아닌 정수 [math(a)]로 나누어진다(0이 아닌 정수 [math(a)]를 약수로 갖는다)고 말하며, [math(a|b)]라 표기하고, 이때의 [math(a)]를 [math(b)]의 약수라 한다. 0은 0이 아닌 모든 정수로 나누어지며(0이 아닌 모든 정수를 약수로 가지며) 모든 정수는 1로 나누어진다(1을 약수로 갖는다). 또한 0이 아닌 모든 정수는 자기 자신을 약수로 갖는다. 양의 정수 [math(a)]가 정수 [math(b)]의 약수이면 음의 정수인 [math(-a)] 또한 정수 [math(b)]의 약수이다. 따라서 정수의 약수는 항상 쌍으로 나타나지만 보통 약수라고 하면 일반적으로 양의 약수를 의미한다.
따라서 1보다 큰 모든 자연수는 최소한 1과 자기 자신을 약수로 갖는다.[1][2] 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 자연수를 소수(素數)라고 한다.[3] 소원, 즉 소수의 진정한 정의는 이곳에 있다. 소수와 달리 합성수는 1과 자기 자신 이외의 수를 약수로 갖는 즉, 약수의 개수가 3 이상인 자연수[4]라고 볼 수 있다. 합성수는 둘 이상의 소수의 곱으로 표현 가능하다.
2. 성질
- 어떤 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(n=a^p\times b^q\times c^r\times \cdots)]일 때, [math(n)]의 약수를 소인수분해하면 [math(n=a^{p'}\times b^{q'}\times c^{r'}\times\cdots)~(0\le p'\le p, 0\le q'\le q, 0\le r'\le r\cdots))]의 꼴로 나타낼 수 있다.
- [math(b)]가 [math(a)]의 배수이면 [math(a)]는 [math(b)]의 약수이다.
- [math(y)]가 [math(x)]의 약수이고 [math(z)]가 [math(y)]의 약수이면 [math(z)]는 [math(x)]의 약수이다. 예를 들어 12는 36의 약수이고 3은 12의 약수이므로 3은 36의 약수이다. [math(x=a^p\times b^q\times c^r\times\cdots)]이면 [math(x)]의 약수 [math(y)]는 [math(y=a^{p'}\times b^{q'}\times c^{r'}\times\cdots (0\le p'\le p,~0\le q'\le q,~0\le r'\le r\cdots))]의 꼴로, [math(y)]의 약수 [math(z)]는 [math(z=a^{p}\times b^{q}\times c^{r}\times\cdots~(0\le p\le p',~0\le q\le q',~0\le r\le r'\cdots))]로 나타낼 수 있고, 이때 [math(0\le p\le p,~0\le q\le q,~0\le r''\le r\cdots)]이기 때문이다.
- [math(a)]가 [math(y)]와 [math(z)] 모두의 약수이면 [math(a)]는 [math(y+z)]의 약수이다. 예를 들어 4는 12와 20 모두의 약수이므로 4는 12+20=32의 약수이다. [math(y=m\times a,~z=n\times a)]라 하면 [math(y+z=(m+n)\times a)]이기 때문이다([math(m)], [math(n)]은 자연수). 같은 방법으로 [math(a)]가 [math(y)]와 [math(z)] 모두의 약수이면 [math(a=(p\times y)+(q\times z))]의 약수이다([math(p)], [math(q)]는 자연수).
- 큰 수일수록 약수의 개수가 많아지는 추세이다. 예를 들어 1부터 20까지의 자연수의 약수의 개수의 평균은 3.3개이지만, 81부터 100까지의 자연수의 약수의 개수의 평균은 5.7개이다. 물론 작은 수 중에서도 6이나 12처럼 약수가 4개 이상인 것이 있는 반면, 이보다 훨씬 큰 수 중에서도 소수의 약수는 2개이다. 그리고 짝수라고 해서 크다고 무조건 약수가 많은 것도 아니다.
- [math(A_1)]|[math(B)], [math(A_2)]|[math(B)]일 때, 적어도 [math(A_1)], [math(A_2)] 중 하나는 [math(\sqrt B)] 보다 작거나 같다. 자세한 건 여기 참고.
2.1. 다항식에서의 약수
의미를 확장하여 어떤 다항식이 2개 이상의 다항식의 곱으로 인수분해될 경우, 그 곱을 이루는 각 다항식 또는 그 다항식의 곱을 약수라고 하기도 한다. 이 때 보통 다항식에서의 약수는 유리계수 다항식까지를 말한다. 예를 들어 [math(x^2 - 1)] 은 [math((x + 1)(x - 1))]로 인수분해되므로, [math(x + 1)]과 [math(x-1)]을 [math(x^2 - 1)] 의 약수로 취급하는 것이다. 마찬가지로 1과 자기자신(이 경우는 [math(x^2 - 1)]) 역시 약수가 된다. 복소계수 다항식의 관점에서 해석할때는 [math(x^2+1)]은 [math((x-i)(x+i))]로 인수분해할 수 있다. 물론 보통 [math(x+i)]와 [math(x-i)]를 [math(x^2+1)]의 약수로 보지 않는다.2.2. 약수의 개수
자연수를 소인수분해하였을 때, 각 소인수의 지수에 1을 더한 수들을 곱한 값이다. 예를 들어, [math(72=2^3\times 3^2)]이므로 약수의 개수는 [math((3+1)\times(2+1)=12)]이다. 이는 자연수를 [math(a^p\times b^q\times c^r\times\cdots)]의 꼴로 가정했을 때 1에 [math(a)]를 [math(0,~1,~2,~\cdots,~p)]번(총 [math(p+1)]가지), [math(b)]를 [math(0,~1,~2,~\cdots,~q)]번(총 [math(q+1)]가지), [math(c)]를 [math(0,~1,~2,~\cdots,~r)]번(총 [math(r+1)]가지)... 곱하는 경우가 존재하며, 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구하면 [math((p+1)\times (q+1)\times (r+1)\times\cdots)]이 되기 때문이다.제곱수의 약수의 개수는 홀수이고, 제곱수가 아닌 경우는 짝수이다. 제곱수의 경우 소인수를 [math(a,~b,~c,~\cdots)]라고 할 때 [math((a^p\times b^q\times c^r\times\cdots )^2 = a^{2p}\times b^{2q}\times c^{2r}\times\cdots)]의 꼴로 표현되므로 소인수의 제곱 횟수가 모두 짝수가 되어, 위 방법으로 약수의 개수를 계산하면 [math((짝수+1)\times (짝수+1)\times\cdots\times (짝수+1) = (홀수)\times(홀수)\times\cdots\times (홀수) = (홀수))]가 되기 때문이다. 반면 제곱수가 아닌 경우는 이러한 꼴로 나타낼 수 없으므로 소인수의 제곱 횟수 중 홀수인 것이 존재한다. 따라서 약수의 개수를 계산할 때 곱하는 수들 중 (홀수+1) = (짝수)인 것이 존재하여 곱셈 결과, 즉 약수의 개수도 짝수가 된다.
이와 관련된 유명한 수학 문제가 하나 있다.
옛날 어느 왕국의 성벽에는 1번부터 100번까지 100개의 성문이 있는데, 매일 100명의 문지기가 다음과 같은 방법으로 문을 여닫는다고 한다.
1번 문지기는 모든 문을 열어 놓는다.
2번 문지기는 2의 배수에 해당하는 문이 열려 있으면 닫고, 닫혀 있으면 연다.
이와 같은 방법으로 n번 문지기는 n의 배수에 해당하는 문이 열려 있으면 닫고, 닫혀 있으면 연다.
그렇다면, 100명이 모두 문을 여닫았을 때, 열려 있는 문은 몇 번 문인가?
1번 문지기는 모든 문을 열어 놓는다.
2번 문지기는 2의 배수에 해당하는 문이 열려 있으면 닫고, 닫혀 있으면 연다.
이와 같은 방법으로 n번 문지기는 n의 배수에 해당하는 문이 열려 있으면 닫고, 닫혀 있으면 연다.
그렇다면, 100명이 모두 문을 여닫았을 때, 열려 있는 문은 몇 번 문인가?
1번 문지기가 모든 문을 열어 놓으므로 처음에는 모든 문이 닫혀 있다고 가정하자. n번 문은 n의 약수에 해당하는 문지기에 의해 열리고 닫힐 것이다. 문이 열려 있으면 그 문을 여닫은 문지기가 홀수 명이라는 뜻이고, 닫혀 있으면 짝수 명이라는 뜻이므로, 열려 있는 문에 해당하는 번호의 약수의 개수는 홀수일 것이다. 따라서 최종적으로 제곱수에 해당하는 1, 4, 9, ..., 100번의 10개의 문이 열려 있을 것이다.
참고로 2014학년도 3월 고2 전국연합학력평가 수학 B형에도 비슷한 문제가 등장했는데, [math(n)] 이하의 자연수 중 양의 약수가 홀수 개인 자연수를 [math(\langle n \rangle)]개로 하여 [math(\langle n \rangle=16)]인 자연수의 최댓값을 구하는 문제이다. 정답은 288로, 교육청에서 제공한 공식 풀이에서 이 성질을 활용하였다.[5]
약수의 개수의 성질로는 이 외에도 다음과 같은 것들이 있다.
- 어떤 자연수의 약수의 약수의 개수는 그 자연수의 약수의 개수보다 작거나 같다. 같을 때는 약수가 그 자연수인 경우뿐이다.
- 소인수 [math(a)]의 [math(n)]제곱 꼴로 나타내어지는 수의 약수의 개수는 (제곱 횟수(진약수의 개수)+1)이고, 약수는 [math(1,~a,~a^2,~\cdots,~a^n)]이다. 예를 들어 [math(16=2^4)]는 소인수인 2의 4제곱이므로 약수가 5개(1, 2, 4, 8, 16)이다.
다항식의 약수 역시 같은 방법으로 생각할 수 있는데, 이때는 소인수 대신 인수분해한 결과에서의 각 다항식을 이용한다는 점만 다르다. 예를 들어 [math(x^4-2x^2+1)]을 인수분해하면 [math((x-1)^2(x+1)^2)]가 되므로 [math((x-1))]과 [math((x+1))]을 각각 0, 1, 2번 곱하는 경우가 있기 때문에 약수는 [math((2+1)\times(2+1)=9)]개가 된다. 더 이상 인수분해되지 않는 다항식들을 소수처럼 취급하는 셈이다. 앞에서 서술했듯 더 이상 인수분해되지 않는다는 것은 유리계수다항식까지다.
이를 함수의 꼴로 만든 것이 약수 함수이다.
2.3. 약수의 합
약수의 합 역시 소인수를 이용하여 구할 수 있는데, 어떤 자연수 [math(n)]을 소인수분해한 결과가 [math(a^p\times b^q\times c^r\times\cdots)]라 하면 모든 약수의 합은 [math((1+a+a^2+\cdots +a^p)\times (1+b+b^2+\cdots +b^q)\times (1+c+c^2+\cdots +c^r)\times\cdots)] 라는 식으로 구할 수 있다. 여기서 등비수열의 합 공식을 사용하면 [math(1+a+a^2+\cdots +a^p=\dfrac {a^{p+1}-1}{a-1})]이므로 약수의 합은 [math(\dfrac {a^{p+1}-1}{a-1}\times\dfrac {b^{q+1}-1}{b-1}\times\cdots\times\dfrac {c^{r+1}-1}{c-1}\times \cdots)]이라고 할 수 있다. 예를 들어 [math(600=2^3\times 3^1\times 5^2)]이므로 모든 약수의 합은 [math((1+2+2^2+2^3)\times(1+3)\times(1+5+5^2)=1860)]이다.이는 상술한 것처럼 [math(n=a^p\times b^q\times c^r\times \cdots)]의 약수를 소인수분해하면 [math(n=a^{p'}\times b^{q'}\times c^{r'}\times \cdots~(0\le p'\le p,~0\le q'\le q,~0\le r'\le r\cdots))]의 꼴로 나타낼 수 있기 때문인데, 여기서 [math(p,~q,~r,~\cdots)]을 정할 수 있는 경우의 수를 생각하면 [math(n)]의 약수의 합은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 여기서는 [math(n=a^p\times b^q)]라 하자. 그렇다면 약수의 일반적인 꼴은 [math(a^{p'}\times b^{q'})]이 된다.
[math(\begin{aligned}&(a^0\times b^0)+(a^1\times b^0)+(a^2\times b^0)+\cdots+(a^p\times b^0) \\
+~&(a^0\times b^1)+(a^1\times b^1)+(a^2\times b^1)+\cdots+(a^p\times b^1) \\
+~&(a^0\times b^2)+(a^1\times b^2)+(a^2\times b^2)+\cdots+(a^p\times b^2) \\
+\cdots~+~&(a^0\times b^q)+(a^1\times b^q)+(a^2\times b^0)+\cdots+(a^p\times b^q)\end{aligned})]
+~&(a^0\times b^1)+(a^1\times b^1)+(a^2\times b^1)+\cdots+(a^p\times b^1) \\
+~&(a^0\times b^2)+(a^1\times b^2)+(a^2\times b^2)+\cdots+(a^p\times b^2) \\
+\cdots~+~&(a^0\times b^q)+(a^1\times b^q)+(a^2\times b^0)+\cdots+(a^p\times b^q)\end{aligned})]
위 식을 정리하면 [math(a^0\times (b^0+b^1+b^2+\cdots+b^q)+a^1\times (b^0+b^1+b^2+\cdots+b^q)+a^2\times (b^0+b^1+b^2+\cdots+b^q)+\cdots+a^p\times (b^0+b^1+b^2+\cdots+b^q)=(a^0+a^1+a^2+\cdots+b^p)\times (b^0+b^1+b^2+\cdots+b^q))]임을 알 수 있다.
특히 2의 제곱수 꼴([math(2^n)])의 경우 약수의 합은 [math(1+2+2^2+\cdots+2^n=2^{n+1}-1)]이다. 예를 들어 [math(32=2^5)]의 약수의 합은 [math(1+2+...+32=63=2^6-1)]이다.
이를 함수의 꼴로 만든 것이 약수 함수이다.
2.4. 진약수
어떤 자연수를 [math(n)]이라고 할 때 [math(n)]의 약수 중 [math(n)]을 제외한 모든 약수를 진약수라고 부른다.[math(n)]의 모든 진약수의 합을 [math(s)]라고 할 때, [math(n)]이 [math(s)]보다 크면 부족수고, [math(n)]이 [math(s)]보다 작으면 과잉수고, [math(n)]이 [math(s)]와 같으면 완전수다. 또 [math(a)]의 진약수의 합이 [math(b)]이고 [math(b)]의 진약수의 합이 [math(a)]이면 [math(a)]와 [math(b)]는 서로 친화수라고 한다. 자세한 내용은 각 문서 참고.
2.5. 최대공약수
두 수 [math(a,~b)] 가 있을 때, 어떤 수 [math(n)]이 [math(a)]의 약수이면서 동시에 [math(b)]의 약수일때 이를 '공약수'라고 부른다. 그런 공약수 중에서 가장 큰 수를 최대공약수라고 부른다. 만약 두 수 [math(a,~b)]의 공약수가 [math(1)]뿐이라면, 두 수의 최대공약수 역시 당연히 [math(1)]이 된다. 이때 이 두 수를 '서로소인 수'라고 부른다.이 최대공약수[6]는 대수학분야의 정수론이나 현대대수학에서도 많이 활용된다. 대표적으로 기약잉여계가 그 중 하나이다.
3. 교육 과정에서의 약수
- 초등학교 5학년 수학 교과의 '약수와 배수' 단원에서 약수에 관하여 처음 배운다.
- 중학교 수학에서는 약수에 관하여 이보다 심화하여 배운다.
- 고등학교 수학의 '순열과 조합' 부분에서 상술한 약수의 개수 구하는 방법을 이용한 약수의 개수를 구하는 문제가 출제될 수 있다.[7] 약수의 합을 구하는 문제도 간혹 출제된다.
- 대학교 학부 과정의 이산수학에서 약수에 관하여 배우는 경우가 많다.
4. 유니타리 약수
Unitary divisor자연수 [math(n)]의 약수 중 [math(d)]라는 수가 있을 때, [math(d)]와 [math(n\div d)]가 서로소이면 [math(d)]를 [math(n)]의 유니타리 약수라 한다. 예를 들어 36의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36인데, 여기서 [math(36\div 4=9)]와 4는 서로소이므로 4는 36의 유니타리 약수이다. 이는 9도 마찬가지.
유니타리 약수의 성질로는 다음과 같은 것들이 있다.
- 1과 자기 자신은 모든 자연수의 유니타리 약수이다. 자연수 [math(n)]에 대하여 1과 [math(n)]은 반드시 서로소이기 때문. 따라서 소수의 전체 약수와 유니타리 약수는 모두 1과 자기 자신의 2개뿐이다.
- [math(d)]가 [math(n)]의 유니타리 약수일 때 [math(n\div d)] 역시 [math(n)]의 유니타리 약수이다. [math(d)]와 [math(n\div d)]가 서로소이면 [math(n\div (n\div d)=d)]가 성립하여 [math(n\div (n\div d))]와 [math(n\div d)] 역시 서로소이기 때문이다. 예를 들어 4가 36의 유니타리 약수이므로 [math(36\div 4=9)] 역시 36의 유니타리 약수이다.
- 자연수 [math(n)]을 소인수분해한 결과가 [math(p^1\times q^1\times r^1\times\cdots)]과 같이 지수가 모두 1일 때 [math(n)]의 약수는 모두 [math(n)]의 유니타리 약수이다. 예를 들어 [math(30=2^1\times 3^1\times 5^1)]이므로 30의 약수 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30은 모두 유니타리 약수이다. 이는 이때 [math(n)]의 약수가 [math(n)]의 소인수 중 몇 개를 선택하여 그것들을 모두 곱한 수이므로, 그 약수를 [math(d)]라 하면 [math(n\div d)]는 나머지 소인수들을 선택하여 모두 곱한 값이 되는데, 여기서 [math(n)]과 [math(n\div d)]에서 선택한 소인수가 서로 중복되지 않아서 곱한 결과가 서로소가 되기 때문이다.
- 자연수 [math(n)]을 소인수분해한 결과가 [math(a^p\times b^q\times c^r\times\cdots)]와 같을 때, [math(a^{p'},~b^{q'},~c^{r'},~\cdots(0\le p'\le p,~0\le q'\le q,~0\le r'\le r,~\cdots))]는 모두 [math(n)]의 유니타리 약수이다. 예를 들어 [math(1800=2^3\times 3^2\times 5^2)]의 약수 중 [math(2^3=8,~3^2=9,~5^2=25)]는 모두 유니타리 약수이다.
- 어떤 자연수의 약수를 작은 수부터 나열할 때, 유니타리 약수의 위치는 가운데를 기준으로 좌우 대칭이다. 예를 들어 100의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100인데, 100의 유니타리 약수는 1, 4, 25, 100으로 이는 100의 약수를 작은 수부터 나열할 때 각각 1, 3, 7, 9번째에 해당하며, 가운데인 5번째를 기준으로 좌우 대칭이다.
- 소인수의 제곱수 꼴로 나타내어지는 수의 유니타리 약수는 1과 자기 자신뿐이다. 그 수를 [math(n)], 나머지 약수 중 하나를 [math(d)]라 하면 [math(d)]와 [math(n\div d)]는 모두 해당 소인수를 약수로 갖기 때문이다.
4.1. 유니타리 약수의 개수
자연수 [math(n)]을 소인수분해한 결과가 [math(a^p\times b^q\times c^r\times\cdots)]일 때 유니타리 약수는 1에 각 소인수를 0번 또는 [math(p,~q,~r,~\cdots)]번 곱한 수이며, 그 사이의 횟수만큼 곱한 소인수가 있는 수는 유니타리 약수가 아니다. 나머지 소인수를 곱한 횟수에 상관없이 [math(a)]를 [math(k(0<k<p))]번 곱한 수를 [math(X)]라 하면, [math(n\div X)]는 [math(a)]를 [math((p-k)~(0<p-k<p))]번 곱한 수이므로 [math(a)]를 소인수로 가지게 되어 [math(X)]와 [math(n\div X)]가 서로소가 아니기 때문이다. 예를 들어 [math(n=a^p\times b^q\times c^r\times\cdots)] ([math(a,~b,~c,~\cdots)]는 소인수)라 하면 [math(n)]의 유니타리 약수는 [math(1,~a^p,~b^q,~c^r,~a^p\times b^q,~a^p\times c^r,~b^q\times c^r,~a^p\times b^q\times c^r)]의 8개이다.따라서 유니타리 약수의 개수는 [math(n)]의 소인수가 [math(x)]개라고 했을 때 각 소인수 및 이들의 곱해진 횟수(지수)와 상관없이 [math(2^x)]개이다. 예를 들어 [math(1260=2^2\times 3^2\times 5\times 7)]이므로 1260의 유니타리 약수의 개수는 [math(2^4=16)]개이며, [math(330=2\times 3\times 5\times 11)]로 소인수와 그 곱해진 횟수는 1260과 다르지만 1260처럼 소인수가 4개이므로 역시 16개이다. 따라서 유니타리 약수의 개수가 홀수인 경우는 [math(2^0=1)]개여야 하므로 오직 1뿐이다. 또한 약수의 개수가 [math(n)]인 자연수 중 유니타리 약수의 개수가 가장 많은 경우는 [math(n)]의 각 소인수가 곱해진 지수를 모두 더한 값을 [math(x)]개라고 할 때, [math(2^x)]개가 최대이며, 이 값은 [math(n)]보다 작거나 같다. 이는 어떤 자연수의 유니타리 약수의 개수가 그 수의 약수의 개수보다 적거나 같다는 것을 의미한다.
이 때문에 100 이하의 자연수의 유니타리 약수의 개수는 다음과 같으며, 유니타리 약수가 [math(2^n)]개 이상인 최소의 자연수는 소수를 작은 것부터 [math(p_1,~p_2,\cdots)]라고 할 때 [math(p_1\times p_2\times\cdots\times p_n)]이다. 예를 들어 유니타리 약수가 [math(2^5(=32))]개 이상인 최소의 자연수는 [math(2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310)]이다.
| 개수 | 자연수 |
| [math(1(=2^0))] | 1 (1개) |
| [math(2(=2^1))][8] | 소수(2, 3, 5, ..., 97), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81 (35개) |
| [math(4(=2^2))] | 6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 62, 63, 65, 68, 69, 72, 74, 75, 76, 77, 80, 82, 85, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100 (56개) |
| [math(8(=2^3))] | 30, 42, 60, 66, 70, 78, 84, 90 (8개) |
| [math(16(=2^4))] 이상 | 없음[9] |
유니타리 약수의 개수가 1을 제외하고 짝수라는 것은 다음의 방법으로도 알 수 있다.
- 유니타리 약수는 1과 자기 자신을 포함하여 [math(n)]을 유니타리 약수인 [math(d(\ne n,~\ne 1))]로 나눌 때의 [math(d)]와 [math(n\div d)]의 쌍이므로 제곱수가 아닌 경우에는 유니타리 약수의 개수가 언제나 짝수임을 알 수 있다.
- 제곱수([math(n^2)]라 하자.)의 경우, 제곱근인 [math(n)]은 [math(n=1)]인 경우를 제외하고 유니타리 약수가 될 수 없다. [math(n)]과 [math(n^2\div n=n)]은 서로소가 되지 않기 때문이다. 따라서 상술한 [math(d)]와 [math(n\div d)]의 쌍이 남으므로 짝수 개이다.
- 예를 들어 [math(144)]의 유니타리 약수의 쌍은 [math((1,~144),~(9,~16))]으로 이 쌍에 속하는 유니타리 약수는 4개이고, 제곱근인 12는 유니타리 약수가 아니므로 유니타리 약수는 모두 4개이다.
4.2. 유니타리 약수의 합
자연수 [math(n)]을 소인수분해한 결과가 [math(n=a^p\times b^q\times c^r\times\cdots)]일 때 유니타리 약수는 [math(a^p,~b^q,~c^r,~\cdots)] 중에서 전체 또는 일부를 선택하여 곱한 수와 [math(1)]이기 때문에 그 합은 [math(1+a^p+b^q+c^r+...+(a^p\times b^q\times c^r\times ...))]이고, 이를 인수분해하면 [math((1+a^p)\times(1+b^q)\times(1+c^r)\times\cdots)]이다. 예를 들어 60을 소인수분해하면 [math(2^2\times 3^1\times 5^1)]이므로 60의 유니타리 약수의 합은 [math((1+2^2)\times(1+3^1)\times(1+5^1)=120)]이다.5. 기타
- 약수를 구할 범위를 정수까지 확장하여 음의 약수까지 고려한다면, 약수의 개수는 양의 약수에 -1을 곱한 것들까지 합하여 2배로 늘어나고, 약수의 합은 0이 된다.
- 약수의 범위를 양의 유리수까지 확장하면 약수의 개수는 무한히 많아진다. 어떤 자연수 [math(n)]의 [math(\dfrac{1}{x})]배([math(x)]는 자연수)를 모두 유리수로 나타낼 수 있고, 이것들이 모두 [math(n)]의 약수이기 때문이다. 이 경우 약수가 가지는 성질이 의미가 없어지기에 약수의 범위는 정수까지만 확장한다.
- 다만 복소수 약수는 가우스 정수, 아이젠슈타인 정수를 이용해 소인수분해의 정의를 확장할 수 있기 때문에 정수론의 주제로 많이 다룬다. 가령 2는 정수에서는 소수에 속하지만, 복소수에서는 [math((1+i)(1-i))]로 소인수분해할 수 있다.
- 약수의 범위는 자연수로 한정하고, 양의 유리수의 약수라는 개념을 인정하면 자연수가 아닌 양의 유리수의 약수는 없다.
- 0은 일반적으로 볼 땐 약수가 없다. 하지만 '0의 약수'라는 개념을 인정하면 0은 0을 제외한 모든 자연수로 나누어 떨어지므로 모든 자연수가 0의 약수가 된다. 따라서 0의 약수는 실제로는 무한히 많다.
- 약수가 많은 수는 [math(n)]등분하기 편하기 때문에 실생활에서 많이 쓰인다. 대표적인 예가 인류의 역사와 함께 해온 60진법이다. 1시간을 60분으로, 1분을 60초로 나누는 것 등이 인간의 생활 속에 적용된 60진법에 해당한다. 그 외에도 1년을 12개월로 나누는 것, 하루를 24시간으로 나누는 것, 경제학에서의 72의 법칙이 이에 해당한다.
- 위키백과나 나무위키 등의 위키에서 특정 수에 관한 문서를 검색하면 그 수의 약수에 관하여 설명하는 내용이 있는 경우가 많다. 예를 들어 '약수는 ...로 총 ...개이며, 이들의 합은 ...이다'[10]라고 설명하는 식. 2020년 9월 9일 이후 이러한 내용 및 몇 가지 추가적 내용만을 가진 문서는 등재기준 미달로 삭제된다.
- Wolfram Alpha에서 특정 수 [math(N)]의 약수를 찾으려면 'divisor (of) [math(N)]' 또는 'divisors (of) [math(N)]'이라고 검색하면 된다. 약수의 목록과 약수의 개수, [math(N)]을 인수분해한 결과가 나타난다. 예시
- C언어 등 프로그래밍 언어 활용 문제의 소재로 약수를 출력하는 것이 많이 등장한다.
- 어떤 자연수 [math(n)]의 1과 자기 자신을 제외한 약수의 합을 [math(f(n))]이라 하자. 두 자연수 [math(a,~b)]에 대하여 [math(f(a)=b,~f(b)=a)]일 때 [math(a,~b)]를 서로 부부수라고 한다. 대표적인 부부수로 48과 75가 있는데, [math(f(48)=2+3+4+6+8+12+16+24=75,~f(75)=3+5+15+25=48)]이다.
- 약수의 개수가 [math(n)]개 이상이 되는 최소의 자연수 [math(N)]은 다음과 같다.
| [math(n)] | [math(N)] |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 4 |
| 4 | 6 |
| 5, 6 | 12[11] |
| 7, 8 | 24[12] |
| 9 | 36 |
| 10 | 48 |
| 11, 12 | 60 |
| 13, 14, 15, 16 | 120[13] |
| 17, 18 | 180 |
| 19, 20 | 240 |
| 21, 22, 23, 24 | 360 |
| 25, 26, 27, 28, 29, 30 | 720 |
| 31, 32 | 840 |
| 33, 34, 35, 36 | 1260 |
| 37, 38, 39, 40 | 1680 |
- 언어별 명칭
| 언어별 명칭 | |
| 영어 | divisor |
| 일본어 | 約数(やくすう) |
| 중국어 | 约数 (yuēshù) |
| 프랑스어 | diviseur, sousmultiple |
| 스페인어 | divisor |
| 베트남어 | ước số. |
| 라틴어 | dīvísor(남성명사) |
| 인도네시아어 | pembagi |
| 우크라이나어 | Подільність |
5.1. 1000 이하의 자연수의 약수
5.1.1. 1~100
| 자연수 | 약수 | 약수의 개수 | 비고 |
| 1 | 1 | 1 | 약수가 1개인 유일한 자연수, 소수도 합성수도 아닌 수 |
| 2 | 1, 2 | 2 | 유일한 짝수 소수, 가장 작은 소수 |
| 3 | 1, 3 | 2 | 소수 |
| 4 | 1, 2, 4 | 3 | 최초의 합성수, 가장 작은 합성수 |
| 5 | 1, 5 | 2 | 소수 |
| 6 | 1, 2, 3, 6 | 4 | 약수가 4개 이상인 최소의 자연수이자 최초의 완전수 |
| 7 | 1, 7 | 2 | 소수 |
| 8 | 1, 2, 4, 8 | 4 | |
| 9 | 1, 3, 9 | 3 | 최초의 홀수 합성수 |
| 10 | 1, 2, 5, 10 | 4 | |
| 11 | 1, 11 | 2 | 소수 |
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 6 | 약수가 6개 이상인 최소의 자연수이자 최초의 과잉수 |
| 13 | 1, 13 | 2 | 소수 |
| 14 | 1, 2, 7, 14 | 4 | |
| 15 | 1, 3, 5, 15 | 4 | |
| 16 | 1, 2, 4, 8, 16 | 5 | |
| 17 | 1, 17 | 2 | 소수 |
| 18 | 1, 2, 3, 6, 9, 18 | 6 | |
| 19 | 1, 19 | 2 | 소수 |
| 20 | 1, 2, 4, 5, 10, 20 | 6 | 자기 자신을 제외한 모든 약수가 부족수인 최초의 과잉수 |
| 21 | 1, 3, 7, 21 | 4 | |
| 22 | 1, 2, 11, 22 | 4 | |
| 23 | 1, 23 | 2 | 소수 |
| 24 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 | 8 | 약수가 8개 이상인 최소의 자연수 |
| 25 | 1, 5, 25 | 3 | |
| 26 | 1, 2, 13, 26 | 4 | |
| 27 | 1, 3, 9, 27 | 4 | |
| 28 | 1, 2, 4, 7, 14, 28 | 6 | 누적 약수의 개수 100개 돌파(101),두번째 완전수 |
| 29 | 1, 29 | 2 | 소수 |
| 30 | 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 | 8 | |
| 31 | 1, 31 | 2 | 소수 |
| 32 | 1, 2, 4, 8, 16, 32 | 6 | |
| 33 | 1, 3, 11, 33 | 4 | |
| 34 | 1, 2, 17, 34 | 4 | |
| 35 | 1, 5, 7, 35 | 4 | 최초로 3연속으로 약수의 개수가 같다. |
| 36 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 | 9 | 약수가 9개 이상인 최소의 자연수 |
| 37 | 1, 37 | 2 | 소수 |
| 38 | 1, 2, 19, 38 | 4 | |
| 39 | 1, 3, 13, 39 | 4 | |
| 40 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 | 8 | |
| 41 | 1, 41 | 2 | 소수 |
| 42 | 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 | 8 | |
| 43 | 1, 43 | 2 | 소수 |
| 44 | 1, 2, 4, 11, 22, 44 | 6 | |
| 45 | 1, 3, 5, 9, 15, 45 | 6 | |
| 46 | 1, 2, 23, 46 | 4 | |
| 47 | 1, 47 | 2 | 소수 |
| 48 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 | 10 | 약수가 10개 이상인 최소의 자연수이자, 75와 부부수 관계, 최초의 부부수 |
| 49 | 1, 7, 49 | 3 | 누적 약수의 개수 200개 돌파(201) |
| 50 | 1, 2, 5, 10, 25, 50 | 6 | |
| 51 | 1, 3, 17, 51 | 4 | |
| 52 | 1, 2, 4, 13, 26, 52 | 6 | |
| 53 | 1, 53 | 2 | 소수 |
| 54 | 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 | 8 | |
| 55 | 1, 5, 11, 55 | 4 | |
| 56 | 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56 | 8 | |
| 57 | 1, 3, 19, 57 | 4 | |
| 58 | 1, 2, 29, 58 | 4 | |
| 59 | 1, 59 | 2 | 소수 |
| 60 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 | 12 | 약수가 12개 이상인 최소의 자연수 |
| 61 | 1, 61 | 2 | 소수 |
| 62 | 1, 2, 31, 62 | 4 | |
| 63 | 1, 3, 7, 9, 21, 63 | 6 | |
| 64 | 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 | 7 | |
| 65 | 1, 5, 13, 65 | 4 | |
| 66 | 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66 | 8 | |
| 67 | 1, 67 | 2 | 소수 |
| 68 | 1, 2, 4, 17, 34, 68 | 6 | 누적 약수의 개수 300개 돌파(300) |
| 69 | 1, 3, 23, 69 | 4 | |
| 70 | 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70 | 8 | 과잉수 중 최초로 반완전수가 아닌 괴짜수 (weird number) |
| 71 | 1, 71 | 2 | 소수 |
| 72 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 | 12 | |
| 73 | 1, 73 | 2 | 소수 |
| 74 | 1, 2, 37, 74 | 4 | |
| 75 | 1, 3, 5, 15, 25, 75 | 6 | 48과 부부수 관계, 가장 작은 부부수 |
| 76 | 1, 2, 4, 19, 38, 76 | 6 | |
| 77 | 1, 7, 11, 77 | 4 | |
| 78 | 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78 | 8 | |
| 79 | 1, 79 | 2 | 소수 |
| 80 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80 | 10 | |
| 81 | 1, 3, 9, 27, 81 | 5 | |
| 82 | 1, 2, 41, 82 | 4 | |
| 83 | 1, 83 | 2 | 소수 |
| 84 | 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84 | 12 | |
| 85 | 1, 5, 17, 85 | 4 | |
| 86 | 1, 2, 43, 86 | 4 | |
| 87 | 1, 3, 29, 87 | 4 | 누적 약수의 개수 400개 돌파(403) |
| 88 | 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88 | 8 | |
| 89 | 1, 89 | 2 | 소수 |
| 90 | 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90 | 12 | |
| 91 | 1, 7, 13, 91 | 4 | |
| 92 | 1, 2, 4, 23, 46, 92 | 6 | |
| 93 | 1, 3, 31, 93 | 4 | |
| 94 | 1, 2, 47, 94 | 4 | |
| 95 | 1, 5, 19, 95 | 4 | |
| 96 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 | 12 | |
| 97 | 1, 97 | 2 | 소수 |
| 98 | 1, 2, 7, 14, 49, 98 | 6 | |
| 99 | 1, 3, 9, 11, 33, 99 | 6 | |
| 100 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 | 9 | |
| 합계 | 482 | 약 4.82개 |
| 자연수 | 약수 | 약수의 개수 | 비고 |
| 101 | 1, 101 | 2 | 소수 |
| 102 | 1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102 | 8 | |
| 103 | 1, 103 | 2 | 소수 |
| 104 | 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104 | 8 | 누적 약수 500개 돌파(502) |
| 105 | 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 | 8 | |
| 106 | 1, 2, 53, 106 | 4 | |
| 107 | 1, 107 | 2 | 소수 |
| 108 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108 | 12 | |
| 109 | 1, 109 | 2 | 소수 |
| 110 | 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110 | 8 | |
| 111 | 1, 3, 37, 111 | 4 | |
| 112 | 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 112 | 10 | |
| 113 | 1, 113 | 2 | 소수 |
| 114 | 1, 2, 3, 6, 19, 38, 57, 114 | 8 | |
| 115 | 1, 5, 23, 115 | 4 | |
| 116 | 1, 2, 4, 29, 58, 116 | 6 | |
| 117 | 1, 3, 9, 13, 39, 117 | 6 | |
| 118 | 1, 2, 59, 118 | 4 | |
| 119 | 1, 7, 17, 119 | 4 | |
| 120 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 | 16 | 약수가 16개 이상인 최소의 자연수, 누적 약수 600개 돌파(602) |
| 121 | 1, 11, 121 | 3 | |
| 122 | 1, 2, 61, 122 | 4 | |
| 123 | 1, 3, 41, 123 | 4 | |
| 124 | 1, 2, 4, 31, 62, 124 | 6 | |
| 125 | 1, 5, 25, 125 | 4 | |
| 126 | 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126 | 12 | |
| 127 | 1, 127 | 2 | 소수 |
| 128 | 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 | 8 | |
| 129 | 1, 3, 43, 129 | 4 | |
| 130 | 1, 2, 5, 10, 13, 26, 65, 130 | 8 | |
| 131 | 1, 131 | 2 | 소수 |
| 132 | 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132 | 12 | |
| 133 | 1, 7, 19, 133 | 4 | |
| 134 | 1, 2, 67, 134 | 4 | |
| 135 | 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135 | 8 | |
| 136 | 1, 2, 4, 8, 17, 34, 68, 136 | 8 | |
| 137 | 1, 137 | 2 | 소수 |
| 138 | 1, 2, 3, 6, 23, 46, 69, 138 | 8 | 누적 약수 700개 돌파(705) |
| 139 | 1, 139 | 2 | 소수 |
| 140 | 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140 | 12 | |
| 141 | 1, 3, 47, 141 | 4 | |
| 142 | 1, 2, 71, 142 | 4 | |
| 143 | 1, 11, 13, 143 | 4 | |
| 144 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144 | 15 | |
| 145 | 1, 5, 29, 145 | 4 | |
| 146 | 1, 2, 73, 146 | 4 | |
| 147 | 1, 3, 7, 21, 49, 147 | 6 | |
| 148 | 1, 2, 4, 37, 74, 148 | 6 | |
| 149 | 1, 149 | 2 | 소수 |
| 150 | 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150 | 12 | |
| 151 | 1, 151 | 2 | 소수 |
| 152 | 1, 2, 4, 8, 19, 38, 76, 152 | 8 | |
| 153 | 1, 3, 9, 17, 51, 153 | 6 | |
| 154 | 1, 2, 7, 11, 14, 22, 77, 154 | 8 | 누적 약수 800개 돌파(804) |
| 155 | 1, 5, 31, 155 | 4 | |
| 156 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 13, 26, 39, 52, 78, 156 | 12 | |
| 157 | 1, 157 | 2 | 소수 |
| 158 | 1, 2, 79, 158 | 4 | |
| 159 | 1, 3, 53, 159 | 4 | |
| 160 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160 | 12 | |
| 161 | 1, 7, 23, 161 | 4 | |
| 162 | 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162 | 10 | |
| 163 | 1, 163 | 2 | 소수 |
| 164 | 1, 2, 4, 41, 82, 164 | 6 | |
| 165 | 1, 3, 5, 11, 15, 33, 55, 165 | 8 | |
| 166 | 1, 2, 83, 166 | 4 | |
| 167 | 1, 167 | 2 | 소수 |
| 168 | 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168 | 16 | |
| 169 | 1, 13, 169 | 3 | |
| 170 | 1, 2, 5, 10, 17, 34, 85, 170 | 8 | 누적 약수 900개 돌파(905) |
| 171 | 1, 3, 9, 19, 57, 171 | 6 | |
| 172 | 1, 2, 4, 43, 86, 172 | 6 | |
| 173 | 1, 173 | 2 | 소수 |
| 174 | 1, 2, 3, 6, 29, 58, 87, 174 | 8 | |
| 175 | 1, 5, 7, 25, 35, 175 | 6 | |
| 176 | 1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 44, 88, 176 | 10 | |
| 177 | 1, 3, 59, 177 | 4 | |
| 178 | 1, 2, 89, 178 | 4 | |
| 179 | 1, 179 | 2 | 소수 |
| 180 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180 | 18 | |
| 181 | 1, 181 | 2 | 소수 |
| 182 | 1, 2, 7, 13, 14, 26, 91, 182 | 8 | |
| 183 | 1, 3, 61, 183 | 4 | |
| 184 | 1, 2, 4, 8, 23, 46, 92, 184 | 8 | |
| 185 | 1, 5, 37, 185 | 4 | |
| 186 | 1, 2, 3, 6, 31, 62, 93, 186 | 8 | 누적 약수 1000개 돌파(1005) |
| 187 | 1, 11, 17, 187 | 4 | |
| 188 | 1, 2, 4, 47, 94, 188 | 6 | |
| 189 | 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189 | 8 | |
| 190 | 1, 2, 5, 10, 19, 38, 95, 190 | 8 | |
| 191 | 1, 191 | 2 | 소수 |
| 192 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 192 | 14 | |
| 193 | 1, 193 | 2 | 소수 |
| 194 | 1, 2, 97, 194 | 4 | |
| 195 | 1, 3, 5, 13, 15, 39, 65, 195 | 8 | |
| 196 | 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196 | 9 | |
| 197 | 1, 197 | 2 | 소수 |
| 198 | 1, 2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 33, 66, 99, 198 | 12 | |
| 199 | 1, 199 | 2 | 소수 |
| 200 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200 | 12 | |
| 합계 | 616 | 약 6.16개 |
| 자연수 | 약수 | 약수의 개수 | 비고 |
| 201 | 1, 3, 67, 201 | 4 | |
| 202 | 1, 2, 101, 202 | 4 | |
| 203 | 1, 7, 29, 203 | 4 | |
| 204 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 34, 51, 68, 102, 204 | 12 | |
| 205 | 1, 5, 41, 205 | 4 | |
| 206 | 1, 2, 103, 206 | 4 | |
| 207 | 1, 3, 9, 23, 69, 207 | 6 | |
| 208 | 1, 2, 4, 8, 13, 16, 26, 52, 104, 208 | 10 | |
| 209 | 1, 11, 19, 209 | 4 | |
| 210 | 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210 | 16 | |
| 211 | 1, 211 | 2 | 소수 |
| 212 | 1, 2, 4, 53, 106, 212 | 6 | |
| 213 | 1, 3, 71, 213 | 4 | |
| 214 | 1, 2, 107, 214 | 4 | |
| 215 | 1, 5, 43, 215 | 4 | |
| 216 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216 | 16 | |
| 217 | 1, 7, 31, 217 | 4 | |
| 218 | 1, 2, 109, 218 | 4 | |
| 219 | 1, 3, 73, 219 | 4 | |
| 220 | 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220 | 12 | |
| 221 | 1, 13, 17, 221 | 4 | |
| 222 | 1, 2, 3, 6, 37, 74, 111, 222 | 8 | |
| 223 | 1, 223 | 2 | 소수 |
| 224 | 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 32, 56, 112, 224 | 12 | |
| 225 | 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225 | 9 | |
| 226 | 1, 2, 113, 226 | 4 | |
| 227 | 1, 227 | 2 | 소수 |
| 228 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 19, 38, 57, 76, 114, 228 | 12 | |
| 229 | 1, 229 | 2 | 소수 |
| 230 | 1, 2, 5, 10, 23, 46, 115, 230 | 8 | |
| 231 | 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231 | 8 | |
| 232 | 1, 2, 4, 8, 29, 58, 116, 232 | 8 | |
| 233 | 1, 233 | 2 | 소수 |
| 234 | 1, 2, 3, 6, 9, 13, 18, 26, 39, 78, 117, 234 | 12 | |
| 235 | 1, 5, 47, 235 | 4 | |
| 236 | 1, 2, 4, 59, 118, 236 | 6 | |
| 237 | 1, 3, 79, 237 | 4 | |
| 238 | 1, 2, 7, 14, 17, 34, 119, 238 | 8 | |
| 239 | 1, 239 | 2 | 소수 |
| 240 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240 | 20 | |
| 241 | 1, 241 | 2 | 소수 |
| 242 | 1, 2, 11, 22, 121, 242 | 6 | |
| 243 | 1, 3, 9, 27, 81, 243 | 6 | |
| 244 | 1, 2, 4, 61, 122, 244 | 6 | |
| 245 | 1, 5, 7, 35, 49, 245 | 6 | |
| 246 | 1, 2, 3, 6, 41, 82, 123, 246 | 8 | |
| 247 | 1, 13, 19, 247 | 4 | |
| 248 | 1, 2, 4, 8, 31, 62, 124, 248 | 8 | |
| 249 | 1, 3, 83, 249 | 4 | |
| 250 | 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250 | 8 | |
| 251 | 1, 251 | 2 | 소수 |
| 252 | 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 28, 36, 42, 63, 84, 126, 252 | 18 | |
| 253 | 1, 11, 23, 253 | 4 | |
| 254 | 1, 2, 127, 254 | 4 | |
| 255 | 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255 | 8 | |
| 256 | 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 | 9 | |
| 257 | 1, 257 | 2 | 소수 |
| 258 | 1, 2, 3, 6, 43, 86, 129, 258 | 8 | |
| 259 | 1, 7, 37, 259 | 4 | |
| 260 | 1, 2, 4, 5, 10, 13, 20, 26, 52, 65, 130, 260 | 12 | |
| 261 | 1, 3, 9, 29, 87, 261 | 6 | |
| 262 | 1, 2, 131, 262 | 4 | |
| 263 | 1, 263 | 2 | 소수 |
| 264 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12, 22, 24, 33, 44, 66, 88, 132, 264 | 16 | |
| 265 | 1, 5, 53, 265 | 4 | |
| 266 | 1, 2, 7, 14, 19, 38, 133, 266 | 8 | |
| 267 | 1, 3, 89, 267 | 4 | |
| 268 | 1, 2, 4, 67, 134, 268 | 6 | |
| 269 | 1, 269 | 2 | 소수 |
| 270 | 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 135, 270 | 16 | |
| 271 | 1, 271 | 2 | 소수 |
| 272 | 1, 2, 4, 8, 16, 17, 34, 68, 136, 272 | 10 | |
| 273 | 1, 3, 7, 13, 21, 39, 91, 273 | 8 | |
| 274 | 1, 2, 137, 274 | 4 | |
| 275 | 1, 5, 11, 25, 55, 275 | 6 | |
| 276 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 23, 46, 69, 92, 138, 276 | 12 | |
| 277 | 1, 277 | 2 | 소수 |
| 278 | 1, 2, 139, 278 | 4 | |
| 279 | 1, 3, 9, 31, 93, 279 | 6 | |
| 280 | 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 140, 280 | 16 | |
| 281 | 1, 281 | 2 | 소수 |
| 282 | 1, 2, 3, 6, 47, 94, 141, 282 | 8 | |
| 283 | 1, 283 | 2 | 소수 |
| 284 | 1, 2, 4, 71, 142, 284 | 6 | |
| 285 | 1, 3, 5, 15, 19, 57, 95, 285 | 8 | |
| 286 | 1, 2, 11, 13, 22, 26, 143, 286 | 8 | |
| 287 | 1, 7, 41, 287 | 4 | |
| 288 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 72, 96, 144, 288 | 18 | |
| 289 | 1, 17, 289 | 3 | |
| 290 | 1, 2, 5, 10, 29, 58, 145, 290 | 8 | |
| 291 | 1, 3, 97, 291 | 4 | |
| 292 | 1, 2, 4, 73, 146, 292 | 6 | |
| 293 | 1, 293 | 2 | 소수 |
| 294 | 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42, 49, 98, 147, 294 | 12 | |
| 295 | 1, 5, 59, 295 | 4 | |
| 296 | 1, 2, 4, 8, 37, 74, 148, 296 | 8 | |
| 297 | 1, 3, 9, 11, 27, 33, 99, 297 | 8 | |
| 298 | 1, 2, 149, 298 | 4 | |
| 299 | 1, 13, 23, 299 | 4 | |
| 300 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300 | 18 | |
| 합계 | 669 | 약 6.69개 |
| 자연수 | 약수 | 약수의 개수 | 비고 |
| 301 | 1, 7, 43, 301 | 4 | |
| 302 | 1, 2, 151, 302 | 4 | |
| 303 | 1, 3, 101, 303 | 4 | |
| 304 | 1, 2, 4, 8, 16, 19, 38, 76, 152, 304 | 10 | |
| 305 | 1, 5, 61, 305 | 4 | |
| 306 | 1, 2, 3, 6, 9, 17, 18, 34, 51, 102, 153, 306 | 12 | |
| 307 | 1, 307 | 2 | 소수 |
| 308 | 1, 2, 4, 7, 11, 14, 22, 28, 44, 77, 154, 308 | 12 | |
| 309 | 1, 3, 103, 309 | 4 | |
| 310 | 1, 2, 5, 10, 31, 62, 155, 310 | 8 | |
| 311 | 1, 311 | 2 | 소수 |
| 312 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 13, 24, 26, 39, 52, 78, 104, 156, 312 | 16 | |
| 313 | 1, 313 | 2 | 소수 |
| 314 | 1, 2, 157, 314 | 4 | |
| 315 | 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 63, 105, 315 | 12 | |
| 316 | 1, 2, 4, 79, 158, 316 | 6 | |
| 317 | 1, 317 | 2 | 소수 |
| 318 | 1, 2, 3, 6, 53, 106, 159, 318 | 8 | |
| 319 | 1, 11, 29, 319 | 4 | |
| 320 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 160, 320 | 14 | |
| 321 | 1, 3, 107, 321 | 4 | |
| 322 | 1, 2, 7, 14, 23, 46, 161, 322 | 8 | |
| 323 | 1, 17, 19, 323 | 4 | |
| 324 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108, 162, 324 | 15 | |
| 325 | 1, 5, 13, 25, 65, 325 | 6 | |
| 326 | 1, 2, 163, 326 | 4 | |
| 327 | 1, 3, 109, 327 | 4 | |
| 328 | 1, 2, 4, 8, 41, 82, 164, 328 | 8 | |
| 329 | 1, 7, 47, 329 | 4 | |
| 330 | 1, 2, 3, 5, 6, 10, 11, 15, 22, 30, 33, 55, 66, 110, 165, 330 | 16 | |
| 331 | 1, 331 | 2 | 소수 |
| 332 | 1, 2, 4, 83, 166, 332 | 6 | |
| 333 | 1, 3, 9, 37, 111, 333 | 6 | |
| 334 | 1, 2, 167, 334 | 4 | |
| 335 | 1, 5, 67, 335 | 4 | |
| 336 | 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 16, 21, 24, 28, 42, 48, 56, 84, 112, 168, 336 | 20 | 누적 약수 2000개 돌파(2016) |
| 337 | 1, 337 | 2 | 소수 |
| 338 | 1, 2, 13, 26, 169, 338 | 6 | |
| 339 | 1, 3, 113, 339 | 4 | |
| 340 | 1, 2, 4, 5, 10, 17, 20, 34, 68, 85, 170, 340 | 12 | |
| 341 | 1, 11, 31, 341 | 4 | |
| 342 | 1, 2, 3, 6, 9, 18, 19, 38, 57, 114, 171, 342 | 12 | |
| 343 | 1, 7, 49, 343 | 4 | |
| 344 | 1, 2, 4, 8, 43, 86, 172, 344 | 8 | |
| 345 | 1, 3, 5, 15, 23, 69, 115, 345 | 8 | |
| 346 | 1, 2, 173, 346 | 4 | |
| 347 | 1, 347 | 2 | 소수 |
| 348 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 29, 58, 87, 116, 174, 348 | 12 | |
| 349 | 1, 349 | 2 | 소수 |
| 350 | 1, 2, 5, 7, 10, 14, 25, 35, 50, 70, 175, 350 | 12 | |
| 351 | 1, 3, 9, 13, 27, 39, 117, 351 | 8 | |
| 352 | 1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 32, 44, 88, 176, 352 | 12 | |
| 353 | 1, 353 | 2 | 소수 |
| 354 | 1, 2, 3, 6, 59, 118, 177, 354 | 8 | |
| 355 | 1, 5, 71, 355 | 4 | |
| 356 | 1, 2, 4, 89, 178, 356 | 6 | |
| 357 | 1, 3, 7, 17, 21, 51, 119, 357 | 8 | |
| 358 | 1, 2, 179, 358 | 4 | |
| 359 | 1, 359 | 2 | 소수 |
| 360 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360 | 24 | |
| 361 | 1, 19, 361 | 3 | |
| 362 | 1, 2, 181, 362 | 4 | |
| 363 | 1, 3, 11, 33, 121, 363 | 6 | |
| 364 | 1, 2, 4, 7, 13, 14, 26, 28, 52, 91, 182, 364 | 12 | |
| 365 | 1, 5, 73, 365 | 4 | |
| 366 | 1, 2, 3, 6, 61, 122, 183, 366 | 8 | |
| 367 | 1, 367 | 2 | 소수 |
| 368 | 1, 2, 4, 8, 16, 23, 46, 92, 184, 368 | 10 | |
| 369 | 1, 3, 9, 41, 123, 369 | 6 | |
| 370 | 1, 2, 5, 10, 37, 74, 185, 370 | 8 | |
| 371 | 1, 7, 53, 371 | 4 | |
| 372 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 31, 62, 93, 124, 186, 372 | 12 | |
| 373 | 1, 373 | 2 | 소수 |
| 374 | 1, 2, 11, 17, 22, 34, 187, 374 | 8 | |
| 375 | 1, 3, 5, 15, 25, 75, 125, 375 | 8 | |
| 376 | 1, 2, 4, 8, 47, 94, 188, 376 | 8 | |
| 377 | 1, 13, 29, 377 | 4 | |
| 378 | 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 27, 42, 54, 63, 126, 189, 378 | 16 | |
| 379 | 1, 379 | 2 | 소수 |
| 380 | 1, 2, 4, 5, 10, 19, 20, 38, 76, 95, 190, 380 | 12 | |
| 381 | 1, 3, 127, 381 | 4 | |
| 382 | 1, 2, 191, 382 | 4 | |
| 383 | 1, 383 | 2 | 소수 |
| 384 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128, 192, 384 | 16 | |
| 385 | 1, 5, 7, 11, 35, 55, 77, 385 | 8 | |
| 386 | 1, 2, 193, 386 | 4 | |
| 387 | 1, 3, 9, 43, 129, 387 | 6 | |
| 388 | 1, 2, 4, 97, 194, 388 | 6 | |
| 389 | 1, 389 | 2 | 소수 |
| 390 | 1, 2, 3, 5, 6, 10, 13, 15, 26, 30, 39, 65, 78, 130, 195, 390 | 16 | |
| 391 | 1, 17, 23, 391 | 4 | |
| 392 | 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 49, 56, 98, 196, 392 | 12 | |
| 393 | 1, 3, 131, 393 | 4 | |
| 394 | 1, 2, 197, 394 | 4 | |
| 395 | 1, 5, 79, 395 | 4 | |
| 396 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 18, 22, 33, 36, 44, 66, 99, 132, 198, 396 | 18 | |
| 397 | 1, 397 | 2 | 소수 |
| 398 | 1, 2, 199, 398 | 4 | |
| 399 | 1, 3, 7, 19, 21, 57, 133, 399 | 8 | |
| 400 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 200, 400 | 15 | |
| 합계 | 701 | 약 7.01개 |
| 자연수 | 약수 | 약수의 개수 | 비고 |
| 401 | 1, 401 | 2 | 소수 |
| 402 | 1, 2, 3, 6, 67, 134, 201, 402 | 8 | |
| 403 | 1, 13, 31, 403 | 4 | |
| 404 | 1, 2, 4, 101, 202, 404 | 6 | |
| 405 | 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 81, 135, 405 | 10 | |
| 406 | 1, 2, 7, 14, 29, 58, 203, 406 | 8 | |
| 407 | 1, 11, 37, 407 | 4 | |
| 408 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 17, 24, 34, 51, 68, 102, 136, 204, 408 | 16 | |
| 409 | 1, 409 | 2 | 소수 |
| 410 | 1, 2, 5, 10, 41, 82, 205, 410 | 8 | |
| 411 | 1, 3, 137, 411 | 4 | |
| 412 | 1, 2, 4, 103, 206, 412 | 6 | |
| 413 | 1, 7, 59, 413 | 4 | |
| 414 | 1, 2, 3, 6, 9, 18, 23, 46, 69, 138, 207, 414 | 12 | |
| 415 | 1, 5, 83, 415 | 4 | |
| 416 | 1, 2, 4, 8, 13, 16, 26, 32, 52, 104, 208, 416 | 12 | |
| 417 | 1, 3, 139, 417 | 4 | |
| 418 | 1, 2, 11, 19, 22, 38, 209, 418 | 8 | |
| 419 | 1, 419 | 2 | 소수 |
| 420 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420 | 24 | |
| 421 | 1, 421 | 2 | 소수 |
| 422 | 1, 2, 211, 422 | 4 | |
| 423 | 1, 3, 9, 47, 141, 423 | 6 | |
| 424 | 1, 2, 4, 8, 53, 106, 212, 424 | 8 | |
| 425 | 1, 5, 17, 25, 85, 425 | 6 | |
| 426 | 1, 2, 3, 6, 71, 142, 213, 426 | 8 | |
| 427 | 1, 7, 61, 427 | 4 | |
| 428 | 1, 2, 4, 107, 214, 428 | 6 | |
| 429 | 1, 3, 11, 13, 33, 39, 143, 429 | 8 | |
| 430 | 1, 2, 5, 10, 43, 86, 215, 430 | 8 | |
| 431 | 1, 431 | 2 | 소수 |
| 432 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 36, 48, 54, 72, 108, 144, 216, 432 | 20 | |
| 433 | 1, 433 | 2 | 소수 |
| 434 | 1, 2, 7, 14, 31, 62, 217, 434 | 8 | |
| 435 | 1, 3, 5, 15, 29, 87, 145, 435 | 8 | |
| 436 | 1, 2, 4, 109, 218, 436 | 6 | |
| 437 | 1, 19, 23, 437 | 4 | |
| 438 | 1, 2, 3, 6, 73, 146, 219, 438 | 8 | |
| 439 | 1, 439 | 2 | 소수 |
| 440 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 20, 22, 40, 44, 55, 88, 110, 220, 440 | 16 | |
| 441 | 1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441 | 9 | |
| 442 | 1, 2, 13, 17, 26, 34, 221, 442 | 8 | |
| 443 | 1, 443 | 2 | 소수 |
| 444 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 37, 74, 111, 148, 222, 444 | 12 | |
| 445 | 1, 5, 89, 445 | 4 | |
| 446 | 1, 2, 223, 446 | 4 | |
| 447 | 1, 3, 149, 447 | 4 | |
| 448 | 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 32, 56, 64, 112, 224, 448 | 14 | |
| 449 | 1, 449 | 2 | 소수 |
| 450 | 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 25, 30, 45, 50, 75, 90, 150, 225, 450 | 18 | |
| 451 | 1, 11, 41, 451 | 4 | |
| 452 | 1, 2, 4, 113, 226, 452 | 6 | |
| 453 | 1, 3, 151, 453 | 4 | |
| 454 | 1, 2, 227, 454 | 4 | |
| 455 | 1, 5, 7, 13, 35, 65, 91, 455 | 8 | |
| 456 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 19, 24, 38, 57, 76, 114, 152, 228, 456 | 16 | |
| 457 | 1, 457 | 2 | 소수 |
| 458 | 1, 2, 229, 458 | 4 | |
| 459 | 1, 3, 9, 17, 27, 51, 153, 459 | 8 | |
| 460 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 23, 46, 92, 115, 230, 460 | 12 | |
| 461 | 1, 461 | 2 | 소수 |
| 462 | 1, 2, 3, 6, 7, 11, 14, 21, 22, 33, 42, 66, 77, 154, 231, 462 | 16 | |
| 463 | 1, 463 | 2 | 소수 |
| 464 | 1, 2, 4, 8, 16, 29, 58, 116, 232, 464 | 10 | |
| 465 | 1, 3, 5, 15, 31, 93, 155, 465 | 8 | |
| 466 | 1, 2, 233, 466 | 4 | |
| 467 | 1, 467 | 2 | 소수 |
| 468 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 13, 18, 26, 36, 39, 52, 78, 117, 156, 234, 468 | 18 | |
| 469 | 1, 7, 67, 469 | 4 | |
| 470 | 1, 2, 5, 10, 47, 94, 235, 470 | 8 | |
| 471 | 1, 3, 157, 471 | 4 | |
| 472 | 1, 2, 4, 8, 59, 118, 236, 472 | 8 | |
| 473 | 1, 11, 43, 473 | 4 | |
| 474 | 1, 2, 3, 6, 79, 158, 237, 474 | 8 | |
| 475 | 1, 5, 19, 25, 95, 475 | 6 | 누적 약수 3000개 돌파(3001) |
| 476 | 1, 2, 4, 7, 14, 17, 28, 34, 68, 119, 238, 476 | 12 | |
| 477 | 1, 3, 9, 53, 159, 477 | 6 | |
| 478 | 1, 2, 239, 478 | 4 | |
| 479 | 1, 479 | 2 | 소수 |
| 480 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 80, 96, 120, 160, 240, 480 | 24 | |
| 481 | 1, 13, 37, 481 | 4 | |
| 482 | 1, 2, 241, 482 | 4 | |
| 483 | 1, 3, 7, 21, 23, 69, 161, 483 | 8 | |
| 484 | 1, 2, 4, 11, 22, 44, 121, 242, 484 | 9 | |
| 485 | 1, 5, 97, 485 | 4 | |
| 486 | 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162, 243, 486 | 12 | |
| 487 | 1, 487 | 2 | 소수 |
| 488 | 1, 2, 4, 8, 61, 122, 244, 488 | 8 | |
| 489 | 1, 3, 163, 489 | 4 | |
| 490 | 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 49, 70, 98, 245, 490 | 12 | |
| 491 | 1, 491 | 2 | 소수 |
| 492 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 41, 82, 123, 164, 246, 492 | 12 | |
| 493 | 1, 17, 29, 493 | 4 | |
| 494 | 1, 2, 13, 19, 26, 38, 247, 494 | 8 | |
| 495 | 1, 3, 5, 9, 11, 15, 33, 45, 55, 99, 165, 495 | 12 | |
| 496 | 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496 | 10 | |
| 497 | 1, 7, 71, 497 | 4 | |
| 498 | 1, 2, 3, 6, 83, 166, 249, 498 | 8 | |
| 499 | 1, 499 | 2 | 소수 |
| 500 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, 500 | 12 | |
| 합계 | 722 | 약 7.22개 |
| 자연수 | 약수 | 약수의 개수 | 비고 |
| 501 | 1, 3, 167, 501 | 4 | |
| 502 | 1, 2, 251, 502 | 4 | |
| 503 | 1, 503 | 2 | 소수 |
| 504 | 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 56, 63, 72, 84, 126, 168, 252, 504 | 24 | |
| 505 | 1, 5, 101, 505 | 4 | |
| 506 | 1, 2, 11, 22, 23, 46, 253, 506 | 8 | |
| 507 | 1, 3, 13, 39, 169, 507 | 6 | |
| 508 | 1, 2, 4, 127, 254, 508 | 6 | |
| 509 | 1, 509 | 2 | 소수 |
| 510 | 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 17, 30, 34, 51, 85, 102, 170, 255, 510 | 16 | |
| 511 | 1, 7, 73, 511 | 4 | |
| 512 | 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 | 10 | |
| 513 | 1, 3, 9, 19, 27, 57, 171, 513 | 8 | |
| 514 | 1, 2, 257, 514 | 4 | |
| 515 | 1, 5, 103, 515 | 4 | |
| 516 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 43, 86, 129, 172, 258, 516 | 12 | |
| 517 | 1, 11, 47, 517 | 4 | |
| 518 | 1, 2, 7, 14, 37, 74, 259, 518 | 8 | |
| 519 | 1, 3, 173, 519 | 4 | |
| 520 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 13, 20, 26, 40, 52, 65, 104, 130, 260, 520 | 16 | |
| 521 | 1, 521 | 2 | 소수 |
| 522 | 1, 2, 3, 6, 9, 18, 29, 58, 87, 174, 261, 522 | 12 | |
| 523 | 1, 523 | 2 | 소수 |
| 524 | 1, 2, 4, 131, 262, 524 | 6 | |
| 525 | 1, 3, 5, 7, 15, 21, 25, 35, 75, 105, 175, 525 | 12 | |
| 526 | 1, 2, 263, 526 | 4 | |
| 527 | 1, 17, 31, 527 | 4 | |
| 528 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12, 16, 22, 24, 33, 44, 48, 66, 88, 132, 176, 264, 528 | 20 | |
| 529 | 1, 23, 529 | 3 | |
| 530 | 1, 2, 5, 10, 53, 106, 265, 530 | 8 | |
| 531 | 1, 3, 9, 59, 177, 531 | 6 | |
| 532 | 1, 2, 4, 7, 14, 19, 28, 38, 76, 133, 266, 532 | 12 | |
| 533 | 1, 13, 41, 533 | 4 | |
| 534 | 1, 2, 3, 6, 89, 178, 267, 534 | 8 | |
| 535 | 1, 5, 107, 535 | 4 | |
| 536 | 1, 2, 4, 8, 67, 134, 268, 536 | 8 | |
| 537 | 1, 3, 179, 537 | 4 | |
| 538 | 1, 2, 269, 538 | 4 | |
| 539 | 1, 7, 11, 49, 77, 539 | 6 | |
| 540 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540 | 24 | |
| 541 | 1, 541 | 2 | 소수 |
| 542 | 1, 2, 271, 542 | 4 | |
| 543 | 1, 3, 181, 543 | 4 | |
| 544 | 1, 2, 4, 8, 16, 17, 32, 34, 68, 136, 272, 544 | 12 | |
| 545 | 1, 5, 109, 545 | 4 | |
| 546 | 1, 2, 3, 6, 7, 13, 14, 21, 26, 39, 42, 78, 91, 182, 273, 546 | 16 | |
| 547 | 1, 547 | 2 | 소수 |
| 548 | 1, 2, 4, 137, 274, 548 | 6 | |
| 549 | 1, 3, 9, 61, 183, 549 | 6 | |
| 550 | 1, 2, 5, 10, 11, 22, 25, 50, 55, 110, 275, 550 | 12 | |
| 551 | 1, 19, 29, 551 | 4 | |
| 552 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 23, 24, 46, 69, 92, 138, 184, 276, 552 | 16 | |
| 553 | 1, 7, 79, 553 | 4 | |
| 554 | 1, 2, 277, 554 | 4 | |
| 555 | 1, 3, 5, 15, 37, 111, 185, 555 | 8 | |
| 556 | 1, 2, 4, 139, 278, 556 | 6 | |
| 557 | 1, 557 | 2 | 소수 |
| 558 | 1, 2, 3, 6, 9, 18, 31, 62, 93, 186, 279, 558 | 12 | |
| 559 | 1, 13, 43, 559 | 4 | |
| 560 | 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 16, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 80, 112, 140, 280, 560 | 20 | |
| 561 | 1, 3, 11, 17, 33, 51, 187, 561 | 8 | |
| 562 | 1, 2, 281, 562 | 4 | |
| 563 | 1, 563 | 2 | 소수 |
| 564 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 47, 94, 141, 188, 282, 564 | 12 | |
| 565 | 1, 5, 113, 565 | 4 | |
| 566 | 1, 2, 283, 566 | 4 | |
| 567 | 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 81, 189, 567 | 10 | |
| 568 | 1, 2, 4, 8, 71, 142, 284, 568 | 8 | |
| 569 | 1, 569 | 2 | 소수 |
| 570 | 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 19, 30, 38, 57, 95, 114, 190, 285, 570 | 16 | |
| 571 | 1, 571 | 2 | 소수 |
| 572 | 1, 2, 4, 11, 13, 22, 26, 44, 52, 143, 286, 572 | 12 | |
| 573 | 1, 3, 191, 573 | 4 | |
| 574 | 1, 2, 7, 14, 41, 82, 287, 574 | 8 | |
| 575 | 1, 5, 23, 25, 115, 575 | 6 | |
| 576 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 144, 192, 288, 576 | 21 | |
| 577 | 1, 577 | 2 | 소수 |
| 578 | 1, 2, 17, 34, 289, 578 | 6 | |
| 579 | 1, 3, 193, 579 | 4 | |
| 580 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 29, 58, 116, 145, 290, 580 | 12 | |
| 581 | 1, 7, 83, 581 | 4 | |
| 582 | 1, 2, 3, 6, 97, 194, 291, 582 | 8 | |
| 583 | 1, 11, 53, 583 | 4 | |
| 584 | 1, 2, 4, 8, 73, 146, 292, 584 | 8 | |
| 585 | 1, 3, 5, 9, 13, 15, 39, 45, 65, 117, 195, 585 | 12 | |
| 586 | 1, 2, 293, 586 | 4 | |
| 587 | 1, 587 | 2 | 소수 |
| 588 | 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 49, 84, 98, 147, 196, 294, 588 | 18 | |
| 589 | 1, 19, 31, 589 | 4 | |
| 590 | 1, 2, 5, 10, 59, 118, 295, 590 | 8 | |
| 591 | 1, 3, 197, 591 | 4 | |
| 592 | 1, 2, 4, 8, 16, 37, 74, 148, 296, 592 | 10 | |
| 593 | 1, 593 | 2 | 소수 |
| 594 | 1, 2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 27, 33, 54, 66, 99, 198, 297, 594 | 16 | |
| 595 | 1, 5, 7, 17, 35, 85, 119, 595 | 8 | |
| 596 | 1, 2, 4, 149, 298, 596 | 6 | |
| 597 | 1, 3, 199, 597 | 4 | |
| 598 | 1, 2, 13, 23, 26, 46, 299, 598 | 8 | |
| 599 | 1, 599 | 2 | 소수 |
| 600 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 40, 50, 60, 75, 100, 120, 150, 200, 300, 600 | 24 | |
| 합계 | 754 | 약 7.54개 |
| 자연수 | 약수 | 약수의 개수 | 비고 |
| 601 | 1, 601 | 2 | 소수 |
| 602 | 1, 2, 7, 14, 43, 86, 301, 602 | 8 | |
| 603 | 1, 3, 9, 67, 201, 603 | 6 | |
| 604 | 1, 2, 4, 151, 302, 604 | 6 | |
| 605 | 1, 5, 11, 55, 121, 605 | 6 | |
| 606 | 1, 2, 3, 6, 101, 202, 303, 606 | 8 | |
| 607 | 1, 607 | 2 | 소수 |
| 608 | 1, 2, 4, 8, 16, 19, 32, 38, 76, 152, 304, 608 | 12 | |
| 609 | 1, 3, 7, 21, 29, 87, 203, 609 | 8 | 누적 약수 4000개 돌파(4002) |
| 610 | 1, 2, 5, 10, 61, 122, 305, 610 | 8 | |
| 611 | 1, 13, 47, 611 | 4 | |
| 612 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 17, 18, 34, 36, 51, 68, 102, 153, 204, 306, 612 | 18 | |
| 613 | 1, 613 | 2 | 소수 |
| 614 | 1, 2, 307, 614 | 4 | |
| 615 | 1, 3, 5, 15, 41, 123, 205, 615 | 8 | |
| 616 | 1, 2, 4, 7, 8, 11, 14, 22, 28, 44, 56, 77, 88, 154, 308, 616 | 16 | |
| 617 | 1, 617 | 2 | 소수 |
| 618 | 1, 2, 3, 6, 103, 206, 309, 618 | 8 | |
| 619 | 1, 619 | 2 | 소수 |
| 620 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 31, 62, 124, 155, 310, 620 | 12 | |
| 621 | 1, 3, 9, 23, 27, 69, 207, 621 | 8 | |
| 622 | 1, 2, 311, 622 | 4 | |
| 623 | 1, 7, 89, 623 | 4 | |
| 624 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 13, 16, 24, 26, 39, 48, 52, 78, 104, 156, 208, 312, 624 | 20 | |
| 625 | 1, 5, 25, 125, 625 | 5 | |
| 626 | 1, 2, 313, 626 | 4 | |
| 627 | 1, 3, 11, 19, 33, 57, 209, 627 | 8 | |
| 628 | 1, 2, 4, 157, 314, 628 | 6 | |
| 629 | 1, 17, 37, 629 | 4 | |
| 630 | 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 14, 15, 18, 21, 30, 35, 42, 45, 63, 70, 90, 105, 126, 210, 315, 630 | 24 | |
| 631 | 1, 631 | 2 | 소수 |
| 632 | 1, 2, 4, 8, 79, 158, 316, 632 | 8 | |
| 633 | 1, 3, 211, 633 | 4 | |
| 634 | 1, 2, 317, 634 | 4 | |
| 635 | 1, 5, 127, 635 | 4 | |
| 636 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 53, 106, 159, 212, 318, 636 | 12 | |
| 637 | 1, 7, 13, 49, 91, 637 | 6 | |
| 638 | 1, 2, 11, 22, 29, 58, 319, 638 | 8 | |
| 639 | 1, 3, 9, 71, 213, 639 | 6 | |
| 640 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 128, 160, 320, 640 | 16 | |
| 641 | 1, 641 | 2 | 소수 |
| 642 | 1, 2, 3, 6, 107, 214, 321, 642 | 8 | |
| 643 | 1, 643 | 2 | 소수 |
| 644 | 1, 2, 4, 7, 14, 23, 28, 46, 92, 161, 322, 644 | 12 | |
| 645 | 1, 3, 5, 15, 43, 129, 215, 645 | 8 | |
| 646 | 1, 2, 17, 19, 34, 38, 323, 646 | 8 | |
| 647 | 1, 647 | 2 | 소수 |
| 648 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 81, 108, 162, 216, 324, 648 | 20 | |
| 649 | 1, 11, 59, 649 | 4 | |
| 650 | 1, 2, 5, 10, 13, 25, 26, 50, 65, 130, 325, 650 | 12 | |
| 651 | 1, 3, 7, 21, 31, 93, 217, 651 | 8 | |
| 652 | 1, 2, 4, 163, 326, 652 | 6 | |
| 653 | 1, 653 | 2 | 소수 |
| 654 | 1, 2, 3, 6, 109, 218, 327, 654 | 8 | |
| 655 | 1, 5, 131, 655 | 4 | |
| 656 | 1, 2, 4, 8, 16, 41, 82, 164, 328, 656 | 10 | |
| 657 | 1, 3, 9, 73, 219, 657 | 6 | |
| 658 | 1, 2, 7, 14, 47, 94, 329, 658 | 8 | |
| 659 | 1, 659 | 2 | 소수 |
| 660 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 15, 20, 22, 30, 33, 44, 55, 60, 66, 110, 132, 165, 220, 330, 660 | 24 | |
| 661 | 1, 661 | 2 | 소수 |
| 662 | 1, 2, 331, 662 | 4 | |
| 663 | 1, 3, 13, 17, 39, 51, 221, 663 | 8 | |
| 664 | 1, 2, 4, 8, 83, 166, 332, 664 | 8 | |
| 665 | 1, 5, 7, 19, 35, 95, 133, 665 | 8 | |
| 666 | 1, 2, 3, 6, 9, 18, 37, 74, 111, 222, 333, 666 | 12 | |
| 667 | 1, 23, 29, 667 | 4 | |
| 668 | 1, 2, 4, 167, 334, 668 | 6 | |
| 669 | 1, 3, 223, 669 | 4 | |
| 670 | 1, 2, 5, 10, 67, 134, 335, 670 | 8 | |
| 671 | 1, 11, 61, 671 | 4 | |
| 672 | 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 16, 21, 24, 28, 32, 42, 48, 56, 84, 96, 112, 168, 224, 336, 672 | 24 | |
| 673 | 1, 673 | 2 | 소수 |
| 674 | 1, 2, 337, 674 | 4 | |
| 675 | 1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 135, 225, 675 | 12 | |
| 676 | 1, 2, 4, 13, 26, 52, 169, 338, 676 | 9 | |
| 677 | 1, 677 | 2 | 소수 |
| 678 | 1, 2, 3, 6, 113, 226, 339, 678 | 8 | |
| 679 | 1, 7, 97, 679 | 4 | |
| 680 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 17, 20, 34, 40, 68, 85, 136, 170, 340, 680 | 16 | |
| 681 | 1, 3, 227, 681 | 4 | |
| 682 | 1, 2, 11, 22, 31, 62, 341, 682 | 8 | |
| 683 | 1, 683 | 2 | 소수 |
| 684 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 19, 36, 38, 57, 76, 114, 171, 228, 342, 684 | 18 | |
| 685 | 1, 5, 137, 685 | 4 | |
| 686 | 1, 2, 7, 14, 49, 98, 343, 686 | 8 | |
| 687 | 1, 3, 229, 687 | 4 | |
| 688 | 1, 2, 4, 8, 16, 43, 86, 172, 344, 688 | 10 | |
| 689 | 1, 13, 53, 689 | 4 | |
| 690 | 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 23, 30, 46, 69, 115, 138, 230, 345, 690 | 16 | |
| 691 | 1, 691 | 2 | 소수 |
| 692 | 1, 2, 4, 173, 346, 692 | 6 | |
| 693 | 1, 3, 7, 9, 11, 21, 33, 63, 77, 99, 231, 693 | 12 | |
| 694 | 1, 2, 347, 694 | 4 | |
| 695 | 1, 5, 139, 695 | 4 | |
| 696 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 29, 58, 87, 116, 174, 232, 348, 696 | 16 | |
| 697 | 1, 17, 41, 697 | 4 | |
| 698 | 1, 2, 349, 698 | 4 | |
| 699 | 1, 3, 233, 699 | 4 | |
| 700 | 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 25, 28, 35, 50, 70, 100, 140, 175, 350, 700 | 18 | |
| 합계 | 756 | 약 7.56개 |
| 자연수 | 약수 | 약수의 개수 | 비고 |
| 701 | 1, 701 | 2 | 소수 |
| 702 | 1, 2, 3, 6, 9, 13, 18, 26, 27, 39, 54, 78, 117, 234, 351, 702 | 16 | |
| 703 | 1, 19, 37, 703 | 4 | |
| 704 | 1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 32, 44, 64, 88, 176, 352, 704 | 14 | |
| 705 | 1, 3, 5, 15, 47, 141, 235, 705 | 8 | |
| 706 | 1, 2, 353, 706 | 4 | |
| 707 | 1, 7, 101, 707 | 4 | |
| 708 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 59, 118, 177, 236, 354, 708 | 12 | |
| 709 | 1, 709 | 2 | 소수 |
| 710 | 1, 2, 5, 10, 71, 142, 355, 710 | 8 | |
| 711 | 1, 3, 9, 79, 237, 711 | 6 | |
| 712 | 1, 2, 4, 8, 89, 178, 356, 712 | 8 | |
| 713 | 1, 23, 31, 713 | 4 | |
| 714 | 1, 2, 3, 6, 7, 14, 17, 21, 34, 42, 51, 102, 119, 238, 357, 714 | 16 | |
| 715 | 1, 5, 11, 13, 55, 65, 143, 715 | 8 | |
| 716 | 1, 2, 4, 179, 358, 716 | 6 | |
| 717 | 1, 3, 239, 717 | 4 | |
| 718 | 1, 2, 359, 718 | 4 | |
| 719 | 1, 719 | 2 | 소수 |
| 720 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720 | 30 | |
| 721 | 1, 7, 103, 721 | 4 | |
| 722 | 1, 2, 19, 38, 361, 722 | 6 | |
| 723 | 1, 3, 241, 723 | 4 | |
| 724 | 1, 2, 4, 181, 362, 724 | 6 | |
| 725 | 1, 5, 25, 29, 145, 725 | 6 | |
| 726 | 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66, 121, 242, 363, 726 | 12 | |
| 727 | 1, 727 | 2 | 소수 |
| 728 | 1, 2, 4, 7, 8, 13, 14, 26, 28, 52, 56, 91, 104, 182, 364, 728 | 16 | |
| 729 | 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729 | 7 | |
| 730 | 1, 2, 5, 10, 73, 146, 365, 730 | 8 | |
| 731 | 1, 17, 43, 731 | 4 | |
| 732 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 61, 122, 183, 244, 366, 732 | 12 | |
| 733 | 1, 733 | 2 | 소수 |
| 734 | 1, 2, 367, 734 | 4 | |
| 735 | 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 49, 105, 147, 245, 735 | 12 | |
| 736 | 1, 2, 4, 8, 16, 23, 32, 46, 92, 184, 368, 736 | 12 | |
| 737 | 1, 11, 67, 737 | 4 | |
| 738 | 1, 2, 3, 6, 9, 18, 41, 82, 123, 246, 369, 738 | 12 | |
| 739 | 1, 739 | 2 | 소수 |
| 740 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 37, 74, 148, 185, 370, 740 | 12 | 누적 약수 5000개 돌파(5009) |
| 741 | 1, 3, 13, 19, 39, 57, 247, 741 | 8 | |
| 742 | 1, 2, 7, 14, 53, 106, 371, 742 | 8 | |
| 743 | 1, 743 | 2 | 소수 |
| 744 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 31, 62, 93, 124, 186, 248, 372, 744 | 16 | |
| 745 | 1, 5, 149, 745 | 4 | |
| 746 | 1, 2, 373, 746 | 4 | |
| 747 | 1, 3, 9, 83, 249, 747 | 6 | |
| 748 | 1, 2, 4, 11, 17, 22, 34, 44, 68, 187, 374, 748 | 12 | |
| 749 | 1, 7, 107, 749 | 4 | |
| 750 | 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 125, 150, 250, 375, 750 | 16 | |
| 751 | 1, 751 | 2 | 소수 |
| 752 | 1, 2, 4, 8, 16, 47, 94, 188, 376, 752 | 10 | |
| 753 | 1, 3, 251, 753 | 4 | |
| 754 | 1, 2, 13, 26, 29, 58, 377, 754 | 8 | |
| 755 | 1, 5, 151, 755 | 4 | |
| 756 | 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 27, 28, 36, 42, 54, 63, 84, 108, 126, 189, 252, 378, 756 | 24 | |
| 757 | 1, 757 | 2 | 소수 |
| 758 | 1, 2, 379, 758 | 4 | |
| 759 | 1, 3, 11, 23, 33, 69, 253, 759 | 8 | |
| 760 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 19, 20, 38, 40, 76, 95, 152, 190, 380, 760 | 16 | |
| 761 | 1, 761 | 2 | 소수 |
| 762 | 1, 2, 3, 6, 127, 254, 381, 762 | 8 | |
| 763 | 1, 7, 109, 763 | 4 | |
| 764 | 1, 2, 4, 191, 382, 764 | 6 | |
| 765 | 1, 3, 5, 9, 15, 17, 45, 51, 85, 153, 255, 765 | 12 | |
| 766 | 1, 2, 383, 766 | 4 | |
| 767 | 1, 13, 59, 767 | 4 | |
| 768 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128, 192, 256, 384, 768 | 18 | |
| 769 | 1, 769 | 2 | 소수 |
| 770 | 1, 2, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 35, 55, 70, 77, 110, 154, 385, 770 | 16 | |
| 771 | 1, 3, 257, 771 | 4 | |
| 772 | 1, 2, 4, 193, 386, 772 | 6 | |
| 773 | 1, 773 | 2 | 소수 |
| 774 | 1, 2, 3, 6, 9, 18, 43, 86, 129, 258, 387, 774 | 12 | |
| 775 | 1, 5, 25, 31, 155, 775 | 6 | |
| 776 | 1, 2, 4, 8, 97, 194, 388, 776 | 8 | |
| 777 | 1, 3, 7, 21, 37, 111, 259, 777 | 8 | |
| 778 | 1, 2, 389, 778 | 4 | |
| 779 | 1, 19, 41, 779 | 4 | |
| 780 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 13, 15, 20, 26, 30, 39, 52, 60, 65, 78, 130, 156, 195, 260, 390, 780 | 24 | |
| 781 | 1, 11, 71, 781 | 4 | |
| 782 | 1, 2, 17, 23, 34, 46, 391, 782 | 8 | |
| 783 | 1, 3, 9, 27, 29, 87, 261, 783 | 8 | |
| 784 | 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 49, 56, 98, 112, 196, 392, 784 | 15 | |
| 785 | 1, 5, 157, 785 | 4 | |
| 786 | 1, 2, 3, 6, 131, 262, 393, 786 | 8 | |
| 787 | 1, 787 | 2 | 소수 |
| 788 | 1, 2, 4, 197, 394, 788 | 6 | |
| 789 | 1, 3, 263, 789 | 4 | |
| 790 | 1, 2, 5, 10, 79, 158, 395, 790 | 8 | |
| 791 | 1, 7, 113, 791 | 4 | |
| 792 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 18, 22, 24, 33, 36, 44, 66, 72, 88, 99, 132, 198, 264, 396, 792 | 24 | |
| 793 | 1, 13, 61, 793 | 4 | |
| 794 | 1, 2, 397, 794 | 4 | |
| 795 | 1, 3, 5, 15, 53, 159, 265, 795 | 8 | |
| 796 | 1, 2, 4, 199, 398, 796 | 6 | |
| 797 | 1, 797 | 2 | 소수 |
| 798 | 1, 2, 3, 6, 7, 14, 19, 21, 38, 42, 57, 114, 133, 266, 399, 798 | 16 | |
| 799 | 1, 17, 47, 799 | 4 | |
| 800 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 80, 100, 160, 200, 400, 800 | 18 | |
| 합계 | 782 | 약 7.82개 |
| 자연수 | 약수 | 약수의 개수 | 비고 |
| 801 | 1, 3, 9, 89, 267, 801 | 6 | |
| 802 | 1, 2, 401, 802 | 4 | |
| 803 | 1, 11, 73, 803 | 4 | |
| 804 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 67, 134, 201, 268, 402, 804 | 12 | |
| 805 | 1, 5, 7, 23, 35, 115, 161, 805 | 8 | |
| 806 | 1, 2, 13, 26, 31, 62, 403, 806 | 8 | |
| 807 | 1, 3, 269, 807 | 4 | |
| 808 | 1, 2, 4, 8, 101, 202, 404, 808 | 8 | |
| 809 | 1, 809 | 2 | 소수 |
| 810 | 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 81, 90, 135, 162, 270, 405, 810 | 20 | |
| 811 | 1, 811 | 2 | 소수 |
| 812 | 1, 2, 4, 7, 14, 28, 29, 58, 116, 203, 406, 812 | 12 | |
| 813 | 1, 3, 271, 813 | 4 | |
| 814 | 1, 2, 11, 22, 37, 74, 407, 814 | 8 | |
| 815 | 1, 5, 163, 815 | 4 | |
| 816 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 17, 24, 34, 48, 51, 68, 102, 136, 204, 272, 408, 816 | 20 | |
| 817 | 1, 19, 43, 817 | 4 | |
| 818 | 1, 2, 409, 818 | 4 | |
| 819 | 1, 3, 7, 9, 13, 21, 39, 63, 91, 117, 273, 819 | 12 | |
| 820 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 41, 82, 164, 205, 410, 820 | 12 | |
| 821 | 1, 821 | 2 | 소수 |
| 822 | 1, 2, 3, 6, 137, 274, 411, 822 | 8 | |
| 823 | 1, 823 | 2 | 소수 |
| 824 | 1, 2, 4, 8, 103, 206, 412, 824 | 8 | |
| 825 | 1, 3, 5, 11, 15, 25, 33, 55, 75, 165, 275, 825 | 12 | |
| 826 | 1, 2, 7, 14, 59, 118, 413, 826 | 8 | |
| 827 | 1, 827 | 2 | 소수 |
| 828 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 23, 36, 46, 69, 92, 138, 207, 276, 414, 828 | 18 | |
| 829 | 1, 829 | 2 | 소수 |
| 830 | 1, 2, 5, 10, 83, 166, 415, 830 | 8 | |
| 831 | 1, 3, 277, 831 | 4 | |
| 832 | 1, 2, 4, 8, 13, 16, 26, 32, 52, 64, 104, 208, 416, 832 | 14 | |
| 833 | 1, 7, 17, 49, 119, 833 | 6 | |
| 834 | 1, 2, 3, 6, 139, 278, 417, 834 | 8 | |
| 835 | 1, 5, 167, 835 | 4 | |
| 836 | 1, 2, 4, 11, 19, 22, 38, 44, 76, 209, 418, 836 | 12 | |
| 837 | 1, 3, 9, 27, 31, 93, 279, 837 | 8 | |
| 838 | 1, 2, 419, 838 | 4 | |
| 839 | 1, 839 | 2 | 소수 |
| 840 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 56, 60, 70, 84, 105, 120, 140, 168, 210, 280, 420, 840 | 32 | |
| 841 | 1, 29, 841 | 3 | |
| 842 | 1, 2, 421, 842 | 4 | |
| 843 | 1, 3, 281, 843 | 4 | |
| 844 | 1, 2, 4, 211, 422, 844 | 6 | |
| 845 | 1, 5, 13, 65, 169, 845 | 6 | |
| 846 | 1, 2, 3, 6, 9, 18, 47, 94, 141, 282, 423, 846 | 12 | |
| 847 | 1, 7, 11, 77, 121, 847 | 6 | |
| 848 | 1, 2, 4, 8, 16, 53, 106, 212, 424, 848 | 10 | |
| 849 | 1, 3, 283, 849 | 4 | |
| 850 | 1, 2, 5, 10, 17, 25, 34, 50, 85, 170, 425, 850 | 12 | |
| 851 | 1, 23, 37, 851 | 4 | |
| 852 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 71, 142, 213, 284, 426, 852 | 12 | |
| 853 | 1, 853 | 2 | 소수 |
| 854 | 1, 2, 7, 14, 61, 122, 427, 854 | 8 | |
| 855 | 1, 3, 5, 9, 15, 19, 45, 57, 95, 171, 285, 855 | 12 | |
| 856 | 1, 2, 4, 8, 107, 214, 428, 856 | 8 | |
| 857 | 1, 857 | 2 | 소수 |
| 858 | 1, 2, 3, 6, 11, 13, 22, 26, 33, 39, 66, 78, 143, 286, 429, 858 | 16 | |
| 859 | 1, 859 | 2 | 소수 |
| 860 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 43, 86, 172, 215, 430, 860 | 12 | |
| 861 | 1, 3, 7, 21, 41, 123, 287, 861 | 8 | |
| 862 | 1, 2, 431, 862 | 4 | |
| 863 | 1, 863 | 2 | 소수 |
| 864 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 72, 96, 108, 144, 216, 288, 432, 864 | 24 | |
| 865 | 1, 5, 173, 865 | 4 | |
| 866 | 1, 2, 433, 866 | 4 | |
| 867 | 1, 3, 17, 51, 289, 867 | 6 | 누적 약수 6000개 돌파(6001) |
| 868 | 1, 2, 4, 7, 14, 28, 31, 62, 124, 217, 434, 868 | 12 | |
| 869 | 1, 11, 79, 869 | 4 | |
| 870 | 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 29, 30, 58, 87, 145, 174, 290, 435, 870 | 16 | |
| 871 | 1, 13, 67, 871 | 4 | |
| 872 | 1, 2, 4, 8, 109, 218, 436, 872 | 8 | |
| 873 | 1, 3, 9, 97, 291, 873 | 6 | |
| 874 | 1, 2, 19, 23, 38, 46, 437, 874 | 8 | |
| 875 | 1, 5, 7, 25, 35, 125, 175, 875 | 8 | |
| 876 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 73, 146, 219, 292, 438, 876 | 12 | |
| 877 | 1, 877 | 2 | 소수 |
| 878 | 1, 2, 439, 878 | 4 | |
| 879 | 1, 3, 293, 879 | 4 | |
| 880 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 16, 20, 22, 40, 44, 55, 80, 88, 110, 176, 220, 440, 880 | 20 | |
| 881 | 1, 881 | 2 | 소수 |
| 882 | 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 441, 882 | 18 | |
| 883 | 1, 883 | 2 | 소수 |
| 884 | 1, 2, 4, 13, 17, 26, 34, 52, 68, 221, 442, 884 | 12 | |
| 885 | 1, 3, 5, 15, 59, 177, 295, 885 | 8 | |
| 886 | 1, 2, 443, 886 | 4 | |
| 887 | 1, 887 | 2 | 소수 |
| 888 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 37, 74, 111, 148, 222, 296, 444, 888 | 16 | |
| 889 | 1, 7, 127, 889 | 4 | |
| 890 | 1, 2, 5, 10, 89, 178, 445, 890 | 8 | |
| 891 | 1, 3, 9, 11, 27, 33, 81, 99, 297, 891 | 10 | |
| 892 | 1, 2, 4, 223, 446, 892 | 6 | |
| 893 | 1, 19, 47, 893 | 4 | |
| 894 | 1, 2, 3, 6, 149, 298, 447, 894 | 8 | |
| 895 | 1, 5, 179, 895 | 4 | |
| 896 | 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 32, 56, 64, 112, 128, 224, 448, 896 | 16 | |
| 897 | 1, 3, 13, 23, 39, 69, 299, 897 | 8 | |
| 898 | 1, 2, 449, 898 | 4 | |
| 899 | 1, 29, 31, 899 | 4 | |
| 900 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30, 36, 45, 50, 60, 75, 90, 100, 150, 180, 225, 300, 450, 900 | 27 | |
| 합계 | 794 | 약 7.94개 |
| 자연수 | 약수 | 약수의 개수 | 비고 |
| 901 | 1, 17, 53, 901 | 4 | |
| 902 | 1, 2, 11, 22, 41, 82, 451, 902 | 8 | |
| 903 | 1, 3, 7, 21, 43, 129, 301, 903 | 8 | |
| 904 | 1, 2, 4, 8, 113, 226, 452, 904 | 8 | |
| 905 | 1, 5, 181, 905 | 4 | |
| 906 | 1, 2, 3, 6, 151, 302, 453, 906 | 8 | |
| 907 | 1, 907 | 2 | 소수 |
| 908 | 1, 2, 4, 227, 454, 908 | 6 | |
| 909 | 1, 3, 9, 101, 303, 909 | 6 | |
| 910 | 1, 2, 5, 7, 10, 13, 14, 26, 35, 65, 70, 91, 130, 182, 455, 910 | 16 | |
| 911 | 1, 911 | 2 | 소수 |
| 912 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 19, 24, 38, 48, 57, 76, 114, 152, 228, 304, 456, 912 | 20 | |
| 913 | 1, 11, 83, 913 | 4 | |
| 914 | 1, 2, 457, 914 | 4 | |
| 915 | 1, 3, 5, 15, 61, 183, 305, 915 | 8 | |
| 916 | 1, 2, 4, 229, 458, 916 | 6 | |
| 917 | 1, 7, 131, 917 | 4 | |
| 918 | 1, 2, 3, 6, 9, 17, 18, 27, 34, 51, 54, 102, 153, 306, 459, 918 | 16 | |
| 919 | 1, 919 | 2 | 소수 |
| 920 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 23, 40, 46, 92, 115, 184, 230, 460, 920 | 16 | |
| 921 | 1, 3, 307, 921 | 4 | |
| 922 | 1, 2, 461, 922 | 4 | |
| 923 | 1, 13, 71, 923 | 4 | |
| 924 | 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 12, 14, 21, 22, 28, 33, 42, 44, 66, 77, 84, 132, 154, 231, 308, 462, 924 | 24 | |
| 925 | 1, 5, 25, 37, 185, 925 | 6 | |
| 926 | 1, 2, 463, 926 | 4 | |
| 927 | 1, 3, 9, 103, 309, 927 | 6 | |
| 928 | 1, 2, 4, 8, 16, 29, 32, 58, 116, 232, 464, 928 | 12 | |
| 929 | 1, 929 | 2 | 소수 |
| 930 | 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, 31, 62, 93, 155, 186, 310, 465, 930 | 16 | |
| 931 | 1, 7, 19, 49, 133, 931 | 6 | |
| 932 | 1, 2, 4, 233, 466, 932 | 6 | |
| 933 | 1, 3, 311, 933 | 4 | |
| 934 | 1, 2, 467, 934 | 4 | |
| 935 | 1, 5, 11, 17, 55, 85, 187, 935 | 8 | |
| 936 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 18, 24, 26, 36, 39, 52, 72, 78, 104, 117, 156, 234, 312, 468, 936 | 24 | |
| 937 | 1, 937 | 2 | 소수 |
| 938 | 1, 2, 7, 14, 67, 134, 469, 938 | 8 | |
| 939 | 1, 3, 313, 939 | 4 | |
| 940 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 47, 94, 188, 235, 470, 940 | 12 | |
| 941 | 1, 941 | 2 | 소수 |
| 942 | 1, 2, 3, 6, 157, 314, 471, 942 | 8 | |
| 943 | 1, 23, 41, 943 | 4 | |
| 944 | 1, 2, 4, 8, 16, 59, 118, 236, 472, 944 | 10 | |
| 945 | 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 27, 35, 45, 63, 105, 135, 189, 315, 945 | 16 | 가장 작은 홀수 과잉수 |
| 946 | 1, 2, 11, 22, 43, 86, 473, 946 | 8 | |
| 947 | 1, 947 | 2 | 소수 |
| 948 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 79, 158, 237, 316, 474, 948 | 12 | |
| 949 | 1, 13, 73, 949 | 4 | |
| 950 | 1, 2, 5, 10, 19, 25, 38, 50, 95, 190, 475, 950 | 12 | |
| 951 | 1, 3, 317, 951 | 4 | |
| 952 | 1, 2, 4, 7, 8, 14, 17, 28, 34, 56, 68, 119, 136, 238, 476, 952 | 16 | |
| 953 | 1, 953 | 2 | 소수 |
| 954 | 1, 2, 3, 6, 9, 18, 53, 106, 159, 318, 477, 954 | 12 | |
| 955 | 1, 5, 191, 955 | 4 | |
| 956 | 1, 2, 4, 239, 478, 956 | 6 | |
| 957 | 1, 3, 11, 29, 33, 87, 319, 957 | 8 | |
| 958 | 1, 2, 479, 958 | 4 | |
| 959 | 1, 7, 137, 959 | 4 | |
| 960 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 64, 80, 96, 120, 160, 192, 240, 320, 480, 960 | 28 | |
| 961 | 1, 31, 961 | 3 | |
| 962 | 1, 2, 13, 26, 37, 74, 481, 962 | 8 | |
| 963 | 1, 3, 9, 107, 321, 963 | 6 | |
| 964 | 1, 2, 4, 241, 482, 964 | 6 | |
| 965 | 1, 5, 193, 965 | 4 | |
| 966 | 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 23, 42, 46, 69, 138, 161, 322, 483, 966 | 16 | |
| 967 | 1, 967 | 2 | 소수 |
| 968 | 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88, 121, 242, 484, 968 | 12 | |
| 969 | 1, 3, 17, 19, 51, 57, 323, 969 | 8 | |
| 970 | 1, 2, 5, 10, 97, 194, 485, 970 | 8 | |
| 971 | 1, 971 | 2 | 소수 |
| 972 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108, 162, 243, 324, 486, 972 | 18 | |
| 973 | 1, 7, 139, 973 | 4 | |
| 974 | 1, 2, 487, 974 | 4 | |
| 975 | 1, 3, 5, 13, 15, 25, 39, 65, 75, 195, 325, 975 | 12 | |
| 976 | 1, 2, 4, 8, 16, 61, 122, 244, 488, 976 | 10 | |
| 977 | 1, 977 | 2 | 소수 |
| 978 | 1, 2, 3, 6, 163, 326, 489, 978 | 8 | |
| 979 | 1, 11, 89, 979 | 4 | |
| 980 | 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 49, 70, 98, 140, 196, 245, 490, 980 | 18 | |
| 981 | 1, 3, 9, 109, 327, 981 | 6 | |
| 982 | 1, 2, 491, 982 | 4 | |
| 983 | 1, 983 | 2 | 소수 |
| 984 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 41, 82, 123, 164, 246, 328, 492, 984 | 16 | |
| 985 | 1, 5, 197, 985 | 4 | |
| 986 | 1, 2, 17, 29, 34, 58, 493, 986 | 8 | |
| 987 | 1, 3, 7, 21, 47, 141, 329, 987 | 8 | |
| 988 | 1, 2, 4, 13, 19, 26, 38, 52, 76, 247, 494, 988 | 12 | |
| 989 | 1, 23, 43, 989 | 4 | |
| 990 | 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 15, 18, 22, 30, 33, 45, 55, 66, 90, 99, 110, 165, 198, 330, 495, 990 | 24 | |
| 991 | 1, 991 | 2 | 소수 |
| 992 | 1, 2, 4, 8, 16, 31, 32, 62, 124, 248, 496, 992 | 12 | 누적 약수 7000개 돌파(7011) |
| 993 | 1, 3, 331, 993 | 4 | |
| 994 | 1, 2, 7, 14, 71, 142, 497, 994 | 8 | |
| 995 | 1, 5, 199, 995 | 4 | |
| 996 | 1, 2, 3, 4, 6, 12, 83, 166, 249, 332, 498, 996 | 12 | |
| 997 | 1, 997 | 2 | 소수 |
| 998 | 1, 2, 499, 998 | 4 | |
| 999 | 1, 3, 9, 27, 37, 111, 333, 999 | 8 | |
| 1000 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000 | 16 | |
| 합계 | 793 | 약 7.93개 |
5.1.2. 결론(1~100)
약수의 개수별로 몇 개가 있는지 따지자면 다음과 같다. 상술한 것처럼 약수의 개수가 홀수인 경우는 제곱수뿐이므로 짝수인 경우보다 훨씬 적다. 또한 위에서 볼 수 있다시피 홀수의 약수보단 짝수의 약수가 훨씬 더 많다. 왜냐하면 [math(2n)]과 [math(pn)](단, [math(p)]는 2가 아닌 소수)은 약수 개수가 같지만 항상 [math(2n<pn)]이므로 비슷한 크기의 수라면 홀수의 약수 개수가 더 적을 것이기 때문이다.| 약수의 개수 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 12 |
| 자연수의 개수 | 1 | 28 | 4 | 33 | 2 | 17 | 2 | 13 | 2 | 2 | 6 |
| 합계 | 482 | 평균 4.82개 |
6. 관련 문서
[1] 그 수가 만약 짝수라면 1, 2, 자기 자신([math(n)])과 자기 자신을 2로 나눈 수([math(n\div 2)])를 약수로 갖는다.[2] 그런데 그 수가 만약 홀수라도 일의 자리가 5면 1, 5, 자기 자신([math(n)])과 자기 자신을 5로 나눈 수([math(n\div 5)])를 약수로 갖는다.[3] 즉 소수는 약수의 개수가 2인 자연수를 뜻한다고 볼 수 있다.[4] 1 + [math(n)] + 자신[5] 위의 문제를 이해했다면, [math(\langle n \rangle =m)]일 때, [math(m^2\le n<(m+1)^2)]라는 것을 눈치챘을 것이다. 수식을 이용해 나타내면 [math(\langle n\rangle = \lfloor \sqrt{n}\rfloor)]이다. [math(\lfloor\;\cdot\;\rfloor)]는 바닥 함수.[6] 실상 최대공약수 전체 부분보다는 주로 서로소인 [math(1)]이 해당된다. 물론 그렇다고 해서 반드시 서로소만 쓰이는 것은 아니다.[7] 종종 중학교 때 개수를 구하라고 하는 경우가 있다.[8] 1과 자기 자신[9] 유니타리 약수가 16개 이상인 최소의 자연수는 소인수가 4개 이상이어야 하므로 [math(2\times 3\times 5\times 7=210)]이다.[10] 여기에 '따라서 이 수는 부족수/완전수/과잉수이다.'라고 설명하는 경우도 있다.[11] 약수가 홀수 개이려면 제곱수여야 하는데, 16의 약수의 개수는 5개이다.[12] 약수가 정확히 7개인 제일 작은 수는 64이다. 그리고 원래 약수가 소수 [math(p)]개인 수는 소인수분해의 방식이 [math(x^{p-1})]인 경우밖에 없으므로 임의의 소수의 [math(p-1)]제곱 뿐이다. 이러한 성질을 가진 자연수 중 가장 작은 수는 당연히 [math(2^{p-1})].[13] 약수가 14개인 수는 나오기 어려운 것이, [math(14=2\times 7)]이므로 약수가 14개이려면 [math(a^6\times b)]([math(a)], [math(b)]는 서로 다른 소수) 혹은 [math(a^{13})] 중 하나의 꼴로 나타내어져야 하는데, 이러한 형식의 소인수분해를 가지는 최소의 자연수는 [math(a=2,~b=3)]일 때 [math(2^6\times 3=192)]이다. 이는 약수의 개수가 [math(21(=3\times 7))]개, [math(22(=2\times 11))]개, [math(26(=2\times 13))]개, [math(33(=3\times 11))]개, [math(34(=2\times 17))]개, [math(35(=5\times 7))]개 등등과 같이 약수의 개수를 나타내는 수가 5 이상의 소수들끼리의 곱일 때도 마찬가지다.