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1. 개요
톨만-오펜하이머-볼코프 방정식(Tolman-Oppenheimer-Volkoff equation) 또는 줄여서 TOV 방정식은 아인슈타인 방정식이 유체 정역학적 평형(Hydrostatic equilibrium 또는 hydrostatic balance)에서 상태방정식 또는 관계식으로 다루어질 수 있다는 것을 보여준다.[가][나]1934년 및 1939년 미국의 리처드 톨먼(Richard Chace Tolman)이[3][4][나] 그리고 1939년 미국의 로버트 오펜하이머(Robert Oppenheimer)와 조지 볼코프(George Volkoff)가[다] 톨만-오펜하이머-볼코프 한계(TOV 리밋,Tolman-Oppenheimer-Volkoff limit)를 기술하면서 함께 제안되는 포스트 뉴턴 역학(post newtenian mechanics)을 기술하는 상대론적 역학(relativistic mechanics)의 일반 상대성 이론(Theory of Relativity) 방정식이다.[7][8]
2. NSE 표준모델
나비에-스토크스 방정식 표준 모델(Navier-Stokes equation standard model)[math( \rho (a) = \rho g - \nabla P + \mu \nabla^2 \textbf{u} )]로부터
[math( \text{밀도(가속도) 항 = (밀도)중력항 - 압력항 + 점성(가속도)항} )]에서
가속도(항)를 0으로 놓으면 압력항과 중력항이 유체 정역학적 평형을 이루는 상태방정식
[math(x,y=0, \dfrac{\partial P}{\partial x},\dfrac{\partial P}{\partial y}=0 )]에서
[math(\dfrac{\partial P}{\partial z} = \rho g )] - (1)
을 얻을 수 있다.
한편 힘[math((F)= ma)]로부터
중력(F)은 [math( F= {mg} )] - (2)
g는 중력가속도이고
중력(F) = [math( G {{mM}\over{r^2}})]에서
중력 상수[math( (G) = \dfrac{Fr^2}{mM} )] - (3)
(3)에 (2) 을 대입하면
[math( G = \dfrac{mgr^2}{mM} )]
[math( G = \dfrac{gr^2}{M} )]
[math( g = \dfrac{GM}{r^2} )] - (4)
(1)에 (4)를 대입하고 [math(z)]축을 구체(sphere)의 반경 [math(r)]로 정리하면 톨만-오펜하이머-볼코프 방정식의 기본항(terms)
[math( \dfrac{d P}{d r} = \rho \dfrac{GM}{r^2} )]를 얻을 수 있다.
3. 지구 밀도
[math(\text{밀도}(\rho)= \dfrac{\text{질량}(M)}{\text{부피}(V)} )]따라서
[math( M= \rho V )]
지구와 같은 구체 [math( \left( V = \dfrac{4}{3} \pi r^3 \right) )]의 별(star) 질량은
[math( M = \rho \dfrac{4}{3} \pi r^3 )]이고
구체의 반경[math(r)]에서 미분방정식으로 정리하면
[math( dM = \rho 4 \pi r^2 dr)]
[math( \dfrac{dM}{dr}= \rho 4 \pi r^2 )]
질량미분방정식을 얻을 수 있다.
4. TOV 방정식
1934년 리처드 톨먼(Richard Chace Tolman)이 제안한 TOV방정식 초기원형에너지-모멘텀 텐서의 특성(The nature of the energy-momentum tensor)과 완전유체의 경우에서의 일반 표현(General expression in the case of a perfect fluid)
[math( T^{\alpha \beta}_{0} = \begin{pmatrix} P^0_{xx} & P^0_{xy} & P^0_{xz} & 0 \\ P^0_{yx} & P^0_{yy} & P^0_{yz} & 0 \\ P^0_{zx} & P^0_{zy} & P^0_{zz} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \rho_{00} \end{pmatrix} \qquad)](0)[나]85.1 [라]53.5
아인슈타인 텐서 [math( G_{11} )]로 부터 조사되는 구형 대칭의 정적 선 요소(Static line element with spherical symmetry) 와 에너지모멘텀 텐서 미분값
[math( 8 \pi P_0 = e^{-\lambda} \left( \dfrac{\nu'}{r} + \dfrac{1}{r^2} \right) - \dfrac{1}{r^2} +\Lambda \qquad)](1)[나]95.13 [라]46.6
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = -\dfrac{1}{2} (\rho_{00}+P_0)\nu' \qquad)] (2)[나]95.13
카를 슈바르츠실트의 외부 및 내부 솔루션(Schwarzschild’s exterior and interior solutions)[마]
[math( ds^2= -e^{\lambda}dr^2 -r^2d\theta^2 -r^2sin^2\theta d\phi^2 + e^{\nu} dt^2 \qquad)] (3)[나]96.1 [라]38.13 [마](14)
[math( ds^2= - \dfrac{dr^2}{1- \dfrac{2m}{r}- \dfrac{\Lambda r^2}{3}} -r^2 d\theta^2 -r^2 sin^2 \theta d\phi^2 + \left( {1- \dfrac{2m}{r}- \dfrac{\Lambda r^2}{3}} \right) dt^2 \qquad)] (4)[나]96.3 [라]57.8
(0)과 (1)로부터
[math( 8 \pi P_0 = e^{-\lambda} \dfrac{\nu'}{r} + e^{-\lambda} \dfrac{1}{r^2} - \dfrac{1}{r^2} +\Lambda )]
[math( \Lambda = 0 )]으로 놓으면
[math( 8 \pi P_0 = e^{-\lambda} \dfrac{\nu'}{r} + e^{-\lambda} \dfrac{1}{r^2} - \dfrac{1}{r^2} +0 )]
[math( 8 \pi P_0 = e^{-\lambda} \dfrac{\nu'}{r} + \dfrac{e^{-\lambda} -1}{r^2} +0 )]
[math( 8 \pi P_0 = e^{-\lambda} \dfrac{\nu'}{r} + \left( \dfrac{e^{-\lambda} -1}{r^2} \right) )]
[math( 8 \pi P_0 -\left( \dfrac{e^{-\lambda} -1}{r^2} \right)= e^{-\lambda} \dfrac{\nu'}{r} )]
[math( r^2 (8 \pi P_0) - r^2 \left(\dfrac{e^{-\lambda} -1}{r^2} \right) = r^2 \left( e^{-\lambda} \dfrac{\nu'}{r} \right) )]
[math( r^2 8 \pi P_0 - \left({e^{-\lambda} -1} \right) = r \left(e^{-\lambda} {\nu'} \right) )]
[math( \dfrac{1}{r}\left( r^2 8 \pi P_0- \left({e^{-\lambda} -1} \right) \right) = \left(e^{-\lambda} {\nu'} \right) )]
[math( \dfrac{1}{r}\left( r^2 8 \pi P_0- \left({e^{-\lambda} -1} \right) \right)\left( e^{-\lambda}\right)^{-1} = {\nu'} )]
[math( \dfrac{1}{r}\left( r^2 8 \pi P_0- \left({e^{-\lambda} -1} \right) \right)\left( e^{-\lambda}\right)^{-1} = \dfrac{d\nu}{dr} \qquad)] (5)
(3)과 (4)로부터
[math( e^{\lambda}= \left( \dfrac{1}{{1- \dfrac{2m}{r}- \dfrac{\Lambda r^2}{3}}} \right) )]이고
[math( e^{-\lambda} = \left( e^{\lambda} \right)^{-1})]일때 [math( e^{-\lambda} = e^{\nu} )]이다.[바]62.6
[math( \Lambda = 0 )]으로 놓으면
[math( e^{-\lambda}= \left( {1- \dfrac{2m}{r}- 0} \right) )]
[math( e^{-\lambda}= \left( {1- \dfrac{2m}{r}} \right) )]을 얻을 수 있다.(6)
(5)에 (6)을 제공하면
[math( \dfrac{1}{r}\left( r^2 8 \pi P_0 - \left( \left( {1- \dfrac{2m}{r}} \right) -1 \right) \right)\left( {1- \dfrac{2m}{r}} \right)^{-1} = \dfrac{d\nu}{dr})]
[math( \dfrac{1}{r}\left( r^2 8 \pi P_0 -\left( {1- \dfrac{2m}{r}} \right) +1 \right)\left( {1- \dfrac{2m}{r}} \right)^{-1} = \dfrac{d\nu}{dr})]
[math( \dfrac{1}{r} \left( r^2 8 \pi P_0 -1 + \dfrac{2m}{r} +1 \right) \left( 1- \dfrac{2m}{r} \right)^{-1} = \dfrac{d\nu}{dr} )]
[math( \dfrac{1}{r} \left( r^2 8 \pi P_0 + \left( \dfrac{2m}{r} +1 -1\right) \right) \left( 1- \dfrac{2m}{r} \right)^{-1} = \dfrac{d\nu}{dr} )]
[math( \dfrac{1}{r} \left( r^2 8 \pi P_0 + \left( \dfrac{2m}{r} \right) \right) \left( 1- \dfrac{2m}{r} \right)^{-1} = \dfrac{d\nu}{dr} )]
[math( \dfrac{1}{r} \left( r^2 8 \pi P_0 + \dfrac{2m}{r} \right) \left( 1- \dfrac{2m}{r} \right)^{-1} = \dfrac{d\nu}{dr} \qquad )] (7)
(2)에서
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - \dfrac{(\rho_{00}+P_0) \nu'}{2} )]
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - \dfrac{(\rho_{00}+P_0) }{2} \nu' )]
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - \left( \dfrac{\rho_{00}+P_0 }{2} \right) \dfrac{d\nu}{dr} )]
(7)을 대입하면
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - \left( \dfrac{\rho_{00}+P_0 }{2} \right) \dfrac{1}{r} \left( r^2 8 \pi P_0 + \dfrac{2m}{r} \right) \left( 1- \dfrac{2m}{r} \right)^{-1} )]
[math( 8\pi)]를 아인슈타인 장 방정식(Einstein field equations)에서 에너지-모멘텀 텐서 계수 [math( k= \dfrac{8\pi G}{c^4} )]로 전부 반영하면
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - \left( \dfrac{\rho_{00}+P_0 }{2} \right) \dfrac{1}{r} \left( r^2 \dfrac{8\pi G}{c^4} P_0 + \dfrac{2m}{r} \right) \left( 1- \dfrac{2m}{r} \right)^{-1} \qquad)] (8)
(8)톨만-오펜하이머-볼코프 방정식(Tolman-Oppenheimer-Volkoff equation)의 기본 모델(standard model)을 얻을 수 있다.
(8)우변 마지막항[math( \left( 1- \dfrac{2m}{r} \right)^{-1} )]을 정리해보면
[math( \left( 1- \dfrac{2m}{r} \right)^{-1} = \dfrac{1}{ 1- \dfrac{2m}{r}} = \dfrac{1}{ \dfrac{1}{1}- \dfrac{2m}{r}} = \dfrac{1}{ \dfrac{r-2m}{r} } = \dfrac{\dfrac{1}{1}}{ \dfrac{r-2m}{r} } = \dfrac{r}{r-2m} \qquad)] (9)
(8)에 (9)를 대입하고 이것을 나비에-스토크스 방정식의 기본 모델로 정리하면
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - \left( \dfrac{\rho_{00}+P_0 }{2} \right) \dfrac{1}{r} \left( r^2 \dfrac{8\pi G}{c^4} P_0 + \dfrac{2m}{r} \right) \left( \dfrac{r}{r-2m} \right) )]
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - \dfrac{1}{r}\left( \dfrac{\rho_{00}+P_0 }{2} \right) \left( \dfrac{r^2 8 \pi G P_0}{c^4} + \dfrac{2m}{r} \right) \left( \dfrac{r}{r-2m} \right) )]
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - \dfrac{1}{r}\left( \rho_{00}+P_0 \right)\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{r^2 8 \pi G P_0}{c^4} + \dfrac{2m}{r} \right) \left( \dfrac{r}{r-2m} \right) )]
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - \dfrac{1}{r} \rho_{00}\left(1 +\dfrac{P_0}{\rho_{00}} \right) \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{r^2 8 \pi G P_0}{c^4} + \dfrac{2m}{r} \right) \left( \dfrac{r}{r-2m} \right) )]
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - \dfrac{1}{r} \rho_{00}\left(1 +\dfrac{P_0}{\rho_{00}} \right) \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{r^3 8 \pi G P_0 + 2m c^4}{c^4 r} \right) \left( \dfrac{r}{r-2m} \right) )]
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - \dfrac{1}{r} \rho_{00}\left(1 +\dfrac{P_0}{\rho_{00}} \right) \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{r^3 8 \pi G P_0}{c^4 r} + \dfrac{2m c^4}{c^4 r} \right) \left( \dfrac{r}{r-2m} \right) )]
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - \dfrac{1}{r} \rho_{00}\left(1 +\dfrac{P_0}{\rho_{00}} \right) \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{r^3 8 \pi P_0}{c^4 } + \dfrac{2m c^4}{G c^4 } \right) \dfrac{G}{r} \left( \dfrac{r}{r-2m} \right) )]
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - \dfrac{G}{r} \dfrac{1}{r} \rho_{00}\left(1 +\dfrac{P_0}{\rho_{00}} \right) \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{r^3 8 \pi P_0}{c^4 } + \dfrac{2m }{G } \right) \left( \dfrac{r}{r-2m} \right) )]
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - \dfrac{G}{r} \dfrac{1}{r} \rho_{00}\left(1 +\dfrac{P_0}{\rho_{00}} \right) \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{r^3 8 \pi P_0}{c^4 } + \dfrac{2m }{G } \right) \left(\dfrac{m}{m} \dfrac{r}{r-2m} \right) )]
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - \dfrac{G}{r} \dfrac{1}{r} \rho_{00}\left(1 +\dfrac{P_0}{\rho_{00}} \right) \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{r^3 8 \pi P_0}{c^4 } + \dfrac{2m }{G } \right) m\left(\dfrac{1}{m} \dfrac{r}{r-2m} \right) )]
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - m \dfrac{G}{r} \dfrac{1}{r} \rho_{00}\left(1 +\dfrac{P_0}{\rho_{00}} \right) \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{r^3 8 \pi P_0}{c^4 } + \dfrac{2m }{G } \right) \dfrac{1}{m} \left( \dfrac{r}{r-2m} \right) )]
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - m \dfrac{G}{r} \dfrac{1}{r} \rho_{00}\left(1 +\dfrac{P_0}{\rho_{00}} \right) \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{r^3 8 \pi P_0}{c^4 } \dfrac{1}{m} + \dfrac{2m }{G } \dfrac{1}{m} \right) \left( \dfrac{r}{r-2m} \right) )]
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - m \dfrac{G}{r} \dfrac{1}{r} \rho_{00}\left(1 +\dfrac{P_0}{\rho_{00}} \right) \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{r^3 8 \pi P_0}{c^4 m } + \dfrac{2}{G } \right) \left( \dfrac{r}{r-2m} \right) )]
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - m \dfrac{G}{r} \dfrac{1}{r} \rho_{00}\left(1 +\dfrac{P_0}{\rho_{00}} \right) \left( \dfrac{1}{2}\dfrac{r^3 8 \pi P_0}{c^4 m } + \dfrac{1}{2}\dfrac{2}{G } \right) \left( \dfrac{r}{r-2m} \right) )]
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = - m \dfrac{G}{r} \dfrac{1}{r} \rho_{00}\left(1 +\dfrac{P_0}{\rho_{00}} \right) \left( \dfrac{r^3 4 \pi P_0}{c^4 m } + \dfrac{1}{G } \right) \left( \dfrac{r}{r-2m} \right) )]
우변의 첫째항을 나비에-스토크스 방정식의 기본항으로 정리해보면
[math( \dfrac{dP_0}{dr} = -\dfrac{Gm}{r^2} \rho_{00}\left(1 +\dfrac{P_0}{\rho_{00}} \right) \left( \dfrac{r^3 4 \pi P_0}{c^4 m } + \dfrac{1}{G } \right) \left( \dfrac{r}{r-2m} \right) \qquad)] (10)
을 얻을 수 있다.
(10) 톨만-오펜하이머-볼코프 방정식에서 NSE 기본항(terms) [math( \dfrac{d P}{d r} = \rho \dfrac{GM}{r^2} )]를 제외한 나머지 3개 항들(terms) [math( \left(1 + \dfrac{P_0}{\rho_{00}} \right) \left( \dfrac{r^3 4 \pi P_0}{c^4 m } + \dfrac{1}{G } \right) \left( 1- \dfrac{2m}{r} \right)^{-1} )] 을 조사할 수 있다.
또한 추가적으로 총질량(Total Mass,M)을 [math( E=mc^2 )]으로 다루어 이를 포스트 뉴턴 역학 근사값(the post-Newtonian mechanics approximation)으로 다룰 수 있다.
5. 질량미분방정식
슈바르츠실트 해(Schwarzschild solution)로 주어지는 선성분(line element)[math( e^{\lambda}= \left( \dfrac{1}{{1- \dfrac{2m}{r}- \dfrac{\Lambda r^2}{3}}} \right) )]으로부터
[math( e^{-\lambda} = \left( e^{\lambda} \right)^{-1})]이므로
[math( e^{-\lambda}= \left( 1- \dfrac{2m}{r}- \dfrac{\Lambda r^2}{3} \right) )]를 조사할 수 있다.
[math( \Lambda =0 )]으로 놓으면
[math( e^{-\lambda}= \left( 1- \dfrac{2m}{r}\right) )]를 얻을 수 있다.
[math( e^{-\lambda})]로부터 [math( m)]를 얻기위해 유도(derivation)해보면
[math( m = \dfrac{1}{2} 2m)]
[math( = \dfrac{1}{2} r \dfrac{2m}{r} )]
[math( = \dfrac{1}{2} r\left( +1 - 1 + \dfrac{2m}{r} \right) )]
[math( = \dfrac{1}{2} r\left( 1 - \left( 1- \dfrac{2m}{r} \right) \right) )]
[math( \left( 1- \dfrac{2m}{r}\right) = e^{-\lambda})]로 놓으면
[math( = \dfrac{1}{2} r\left( 1 - e^{-\lambda} \right) )]를 조사할 수 있다.
[math( m= \dfrac{1}{2} r\left( 1 - e^{-\lambda} \right) )]이므로
지구와 같은 구체 [math( \left( V = \dfrac{4}{3} \pi r^3 \right) )]의 별(star) 질량을
[math( M = \rho V=\rho \dfrac{4}{3} \pi r^3 )]로 다룰 때
질량미분방정식 [math( \dfrac{dM}{dr}= \rho 4 \pi r^2 )]에서와 같이
질량미분방정식 [math( \dfrac{dm}{dr}= \rho 4 \pi r^2 )]를 조사할 수 있다.[다]
6. 관련 문서
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[가] FEBRUARY 15, 1939 PH YS ICAL REVIEW VOLUM E 55,On Massive Neutron Cores,J. R, OPPENHEIMER AND G. M. VOLKOFF,Department of Physics, University of California, Berkeley, Californihttps://blackholes.tecnico.ulisboa.pt/gritting/pdf/gravity_and_general_relativity/Oppenheimer-Volkoff_On-Massive-Neutron-Cores.pdf[나] Relativity Thermodynamics And Cosmology 1943 Richard Chace Tolman, 발행인 Clarendon Presshttps://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.177229[3] EFFECT OF INHOMOGENEITY ON COSMOLOGICAL MODELS By RICHARD C. TOLMAN,NORMAN BRIDGE LABORATORY OF PHYSICS, CALIFORNIA INSTITUTE OF TECHNOLOGY,Communicated February 12, 1934http://authors.library.caltech.edu/9466/1/TOLpnas34c.pdf[4] Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid,Richard C. Tolman,Phys. Rev. 55, 364 – Published 15 February 1939 DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRev.55.364https://authors.library.caltech.edu/4362/1/TOLpr39.pdf[나] [다] On Massive Neutron Cores , J. R. Oppenheimer and G. M. Volkoff Phys. Rev. 55, 374 – Published 15 February 1939 https://blackholes.tecnico.ulisboa.pt/gritting/pdf/gravity_and_general_relativity/Oppenheimer-Volkoff_On-Massive-Neutron-Cores.pdf[7] The Post-Newtonian Equations of Hydrodynamics in General Relativity. doi:10.1086/148432 #[8] \[OSTI.GOV\] Journal Article: POST-NEWTONIAN n-BODY EQUATIONS OF THE BRANS--DICKE THEORY. JOURNAL ARTICLE · 01 1월 1969 · Astrophys. J., 158: 81-3(Oct. 1969). OSTI ID:4733238https://doi.org/10.1086/150172[나] [라] THE MATHEMATICAL THEORY OF RELATIVITY BY A. S. EDDINGTON, M.A., M.Sc., F.R.S. PLUMIAN PROFESSOR OF ASTRONOMY AND EXPERIMENTAL ,PHILOSOPHY IN THE UNIVERSITY OF CAMBRIDGE 1923https://www.gutenberg.org/files/59248/59248-pdf.pdf[나] [라] [나] [마] 아인슈타인의 이론에 따른 질량 점의 중력장에 대해서 (Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie) Royal Prussian Academy of Science (Reimer, Berlin 1916, pp. 189-196) 저자: 카를 슈바르츠실트(Karl Schwarzschild) https://ko.wikisource.org/wiki/%EC%95%84%EC%9D%B8%EC%8A%88%ED%83%80%EC%9D%B8%EC%9D%98_%EC%9D%B4%EB%A1%A0%EC%97%90_%EB%94%B0%EB%A5%B8_%EC%A7%88%EB%9F%89_%EC%A0%90%EC%9D%98_%EC%A4%91%EB%A0%A5%EC%9E%A5%EC%97%90_%EB%8C%80%ED%95%B4%EC%84%9C[나] [라] [마] [나] [라] [바] THE MATHEMATICAL THEORY OF RELATIVITY BY A. S. EDDINGTON, M.A., M.Sc., F.R.S. PLUMIAN PROFESSOR OF ASTRONOMY AND EXPERIMENTAL ,PHILOSOPHY IN THE UNIVERSITY OF CAMBRIDGE 1923#[다]