| 기호 | ∞ |
| 한자 | 無限(없을 무, 한할 한) |
| 영어 | infinite |
1. 개요
일상적으로 끝이 없는 상태, 제한이 없음을 의미하는 명사이다.2. 수학에서의 무한
무한이라는 개념은 주로 해석학에서 자주 쓰인다. 특히 미적분학의 초석이 되는 개념이다.대개 초등학생들이 '무한, 무한'거리는 건 보통 무한대를 가리키고 말했을 가능성이 높다. 초등학생 외에도 일반인들 역시 어릴 때의 편견으로 인해 가장 큰 수[1]를 '무한'이라고들 하지만, 위에서처럼 무한은 단순히 큰 것만을 의미하지 않으며, 무한대는 (존재는 하나) 실수가 아니다. 그러나 실수를 구성하기 위해서는 무한은 없어서는 안되는, 어찌 보면 역설적인 개념이라고 볼 수 있다.
일상 생활에서 무한을 단순히 '매우 큰 수' 또는 '매우 많은 양'의 뜻으로 사용하다보니 무한에 대한 오개념을 갖고 있는 사람이 많다. 아무리 크거나 작더라도 끝이 존재하면 그것은 무한이 아니다. 이 때문에 0.999…=1 같은 명제를 무한에 대한 개념을 이해하지 못하면 틀렸다고 오해하기 쉽다.
총 3단계로 나뉜다. 1단계는 분명히 유한한 값이지만 표현 방식이나 현실적인 어려움으로 인해 무한으로밖에 표현을 못 하거나 혹은 현실이든 수학적인 개념에서든 최댓값이 정해진 개념 내에서 최댓값보다 큰 수.[2] 대표적으로 128비트에서 21024를 넘으면 무한으로 표시된다. 그 외에도 확률에서 100 이상의 수는 무한으로 취급되며 확률이든 뭐든 최댓값이 정해져있다면 그 최댓값보다 크면 무한으로 취급된다.
2단계는 상대적 무한. 일단 무한하므로 유한한 수끼리 유한한 횟수만큼 더하거나 곱하는 식으로 따라잡는 건 절대적으로 불가능하지만 이 단계에 속하는 무한끼리의 크기 비교가 가능한 수. 주로 극한에서 많이 다룬다. 참고로 임의의 0이 아닌 실수를 0이 아닌 무한소로 나누면 이 값이 된다.
마지막으로 대망의 3단계는 절대적 무한. n을 양수로 빼는 것을 반복해서 n+양수가 될 때까지의 시도 횟수라던가 크기의 제한이 절대적으로 존재하지 않는 순수한 무한을 의미한다. 그래서 임의의 유한 초실수를 절대적 무한으로 나누면 아예 0이 되어버리며 동시에 무한소수의 소수점 뒤에 붙은 소수의 개수이다. 상대적 무한소가 일반적으로 생각하는 무한소인 0이 아닌 무한소라면 절대적 무한소는 아예 0이다. 이 경지에 도달한 수들끼리의 크기 비교만큼은 절대적으로 불가능하며 크기를 비교하는 것 자체가 비논리에 속한다. 수학적, 논리적으로 크기가 허용되지 않는 무한은 다 이에 해당하지만 당연히 이보다 큰 수는 있을 수 없다.