특수함수 Special Functions | ||
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px; word-break: keep-all" | <colbgcolor=#383B3D><colcolor=#fff> 적분 | 오차함수(error function)(가우스 함수 · 가우스 적분 함수) · 베타 함수(불완전 베타 함수) · 감마 함수(불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수) · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수 |
미분방정식 | 르장드르 함수[math(^\ast)] (구면 조화 함수) · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수 | |
역함수 | 브링 근호 · 람베르트 W 함수 · 역삼각함수 | |
급수 | 제타 함수 · 후르비츠 제타 함수 · 세타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 폴리감마 함수 · 바이어슈트라스 타원 함수 | |
정수론 | 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 뫼비우스 함수 · 최대공약수 · 최소공배수 · 약수 함수 · 오일러 피 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 바쁜 비버 함수 | |
기타 | 헤비사이드 계단함수 · 부호 함수 · 테트레이션(무한 지수 탑 함수) · 지시함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수 | |
[math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. |
1. 개요
logarithmic integral function대수적분함수(對數積分函數)[1]
특수함수의 하나로, 다음과 같이 정의되는 함수이다.
[math({\rm{li}}(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_{0}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}} & \quad (x<1) \\\displaystyle \lim_{c \to 0^+} \left(\int_{0}^{1-c} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}}+\int_{1+c}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}} \right ) &\quad (x>1) \end{cases} )]
로그의 정의에 따라 [math(\ln 1=0)]이기 때문에 [math(x=1)]일 때에는 값이 정의되지 않는다. 이 함수의 그래프는 아래와 같다.
이 함수는 소수 계량 함수와 관계가 깊으며, 물리학과 화학에서도 사용한다. 수론에서 주로 다루며 이것이 소수 정리이다. 따라서 정수론(특히 해석적 정수론)을 공부한다면 반드시 익혀둬야 하는 함수다.[2] 이 소수 정리를 연구하다 보면 최종적으로 마주치는 것이 다름 아닌 리만 가설이다. 이외에도 스큐스 수를 계산하는 데에 쓰이는 함수이기도 하다. 사실 스큐스 수는 위의 소수 정리에서 나온 부산물이다.
보통은 [math(1)]을 기점으로 쪼개서 두 적분의 합으로 표현한다. 한편, 적분 범위를 [math([0,\,x])]가 아닌 [math([2,\,x])]로 규정한 경우도 있다.[3] 이 경우, 대문자 [math(\mathrm{L})]을 써서 [math(\mathrm{Li}(x)\equiv\mathrm{li}(x)-\mathrm{li}(2))]로 정의한다.[4] 이럴 경우 특이점인 [math(1)]이 적분 구간에 포함되지 않는다. [math([0,\,x])]의 방식은 주로 미국식 표현 방식이고
[math({\rm{li}}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}} )]
와 같이 나타내고, [math([2,\,x])]는 주로 유럽식이고
[math({\rm{Li}}(x)=\displaystyle\int_{2}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}} )]
와 같이 나타낸다. 또한, [math(x>1)] 범위에서 불완전 감마 함수를 이용해
[math({\rm li}(x)\equiv-\Gamma(0,\,-\ln x)-i\pi)]
로 표기할 수 있다.
한편, [math(\operatorname{Li}(x))]는 다음과 같은 급수 전개식을 갖는다. 이 식은 독일의 수학자 요한 폰 졸트너가 1809년에 제시했다.[출처] 아래의 식에서 [math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Li}(x) = \gamma +\ln \ln x +\sum_{r=1}^\infty \frac{\ln^rx}{r\cdot r!} \end{aligned} )] |
1.1. 라마누잔-졸트너 상수
수학상수 Mathematical Constants | |||||
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | [math(^\ast)] 초월수임이 증명됨. | ||||
[math(0)] (덧셈의 항등원) | [math(1)] (곱셈의 항등원) | [math(sqrt{2})] (최초로 증명된 무리수) | [math(495)], [math(6174)] (카프리카 상수) | [math(0)], [math(1)], [math(3435)], [math(438579088)] (뮌하우젠 수) | |
[math(pi)] (원주율)[math(^\ast)] | [math(tau)] (새 원주율)[math(^\ast)] | [math(e)] (자연로그의 밑)[math(^\ast)] | [math(varphi)] (황금수) | [math(i)] (허수단위) | |
[math(G)] (카탈랑 상수) | [math(zeta(3))] (아페리 상수) | [math({rm Si}(pi))] (윌브레이엄-기브스 상수) | [math(gamma)] (오일러-마스케로니 상수) | [math(gamma_n)] (스틸체스 상수) | |
[math(Omega)] (오메가 상수)[math(^\ast)] | [math(2^{sqrt{2}})] (겔폰트-슈나이더 상수)[math(^\ast)] | [math(C_n,)] (챔퍼나운 상수)[math(^\ast)] | [math(A,)] (글레이셔-킨켈린 상수) | [math(A_k,)] (벤더스키-아담칙 상수) | |
[math(-e, {rm Ei}(-1))] (곰페르츠 상수) | [math(mu)] (라마누잔-졸트너 상수) | [math(B_{2})], [math(B_{4})] (브룬 상수) | [math(rho)] (플라스틱 상수) | [math(delta)], [math(alpha)] (파이겐바움 상수) |
Ramanujan-Soldner constant
위 그래프에서 보듯 [math(x>1)] 범위에서 [math(x)]절편이 하나 존재하는데, 발견자인 요한 폰 졸트너와 이를 해석적으로 계산해낸 스리니바사 라마누잔의 이름을 따와서 라마누잔-졸트너 상수라고 한다. 이 상수는 그리스 문자 [math(mu)]로 표기하며, 소수로 표현하면 약 [math(1.451369\cdots)] 정도이다.
2. 지수 적분 함수와의 관계
지수 적분 함수와 관련성이 크다. 지수 적분 함수를 이용한 다음과 같은 항등식이 존재한다.[math(\begin{aligned}
\mathrm{li}(x)&=(\mathrm{Ei}\circ\ln)(x) \\
&=\mathrm{Ei}(\ln(x))
\end{aligned} )]
이것의 증명은 아래와 같다. 적분
[math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac1{\ln t}\,\mathrm{d}t )]
의 분자, 분모에 [math(t)]를 곱하여
[math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac t{t\ln t}\,\mathrm{d}t )]
꼴로 만들어 [math(\ln{t}\equiv-k)]로 치환하면
[math(\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}t}t=-\mathrm{d}k\qquad\qquad\lim_{t\to0^+}\ln t=-\infty )]
가 성립함에 따라
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{li}(x) &= \int_0^x \frac t{t\ln t} \,\mathrm{d}t \\
&= \int_{\infty}^{-\ln x} \frac{e^{-k}}{-k}(-\mathrm{d}k) \\
&= -\int_{-\ln x}^{\infty} \frac{e^{-k}}k \,\mathrm{d}k
\end{aligned} )]
이 적분은 지수 적분 함수와 자연로그의 합성함수 꼴이므로
[math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\mathrm{Ei}(\ln x) )]
로 쓸 수 있다.
3. 관련 문서
[1] 대수(對數)는 로그를 의미한다.[2] 옛날(가우스와 르장드르가 살아 있었을 시절)에는 [math(\dfrac x{\ln x})]를 썼다.[3] 사실, [math(2)]보다는 [math(x)]절편인 [math(\mu)]가 더 걸맞기는 하지만, 이 수는 다음 문단에서 볼 수 있다시피 정수가 아닌지라...[4] 표기가 비슷한 폴리로그함수와 혼동에 주의.[출처] Johann Georg von Soldner, 1809, treatise Théorie et tables d'une nouvelle fonction transcendante (영어 번역: Theory and tables of a new transcendental function)