| 수학상수 Mathematical Constants | |||||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | [math(^\ast)] 초월수임이 증명됨. | ||||
| [math(0)] (덧셈의 항등원) | [math(1)] (곱셈의 항등원) | [math(sqrt{2})] (최초로 증명된 무리수) | [math(495)], [math(6174)] (카프리카 상수) | [math(0)], [math(1)], [math(3435)], [math(438579088)] (뮌하우젠 수) | |
| [math(pi)] (원주율)[math(^\ast)] | [math(tau)] (새 원주율)[math(^\ast)] | [math(e)] (자연로그의 밑)[math(^\ast)] | [math(varphi)] (황금수) | [math(i)] (허수단위) | |
| [math(G)] (카탈랑 상수) | [math(zeta(3))] (아페리 상수) | [math({rm Si}(pi))] (윌브레이엄-기브스 상수) | [math(gamma)] (오일러-마스케로니 상수) | [math(gamma_n)] (스틸체스 상수) | |
| [math(Omega)] (오메가 상수)[math(^\ast)] | [math(2^{sqrt{2}})] (겔폰트-슈나이더 상수)[math(^\ast)] | [math(C_n,)] (챔퍼나운 상수)[math(^\ast)] | [math(A,)] (글레이셔-킨켈린 상수) | [math(A_k,)] (벤더스키-아담칙 상수) | |
| [math(-e, {rm Ei}(-1))] (곰페르츠 상수) | [math(mu)] (라마누잔-졸트너 상수) | [math(B_{2})], [math(B_{4})] (브룬 상수) | [math(rho)] (플라스틱 상수) | [math(delta)], [math(alpha)] (파이겐바움 상수) | |
| [math(G)] (란다우 상수) | [math(C_A)] (아르틴 상수) | ||||
1. 개요
란다우 상수(Landau constant)는 복소해석학에서 중요하게 취급하는 수 중 하나로, 복소 평면의 단위 원판에서 해석 함수가 최대값을 가질 때 관련된 상수이다. 이 상수는 최대 모듈러스 원칙에 의해 정의되며, 대표적으로 반경r의 단위 원판 위의 해석 함수의 절댓값의 최대와 관련이 있다는 것이다. 한편 이 상수는 리만 제타 함수, 감마 함수, 베타 함수 등 여러 특수함수와 연결되며, 수학적 분석에서 깊이 있는 연구의 대상이다.[1] 에드문트 란다우의 이름이 붙여졌다.2. 표현식
란다우 상수[math(G )][math(G = \dfrac{\Gamma^2\left(\dfrac{1}{4}\right)}{4\sqrt{\pi}} \approx 0.566... )]
2.1. 란다우 상수[math(G )]
단위 원판 [math(|z| < 1 )]에서 해석 함수 [math(f(z) )]의 멱급수 전개 [math(f(z)= \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n Z^n )] 에 대해[math(f(0)=0,|f(z)|<1 )]인 경우, [math(f(z) )]의 두 번째 계수 [math(a_2)] 의 절댓값이 가질 수 있는 최대값을 조사한다.
[math(G = \sup|a_2| )]
해석 함수로는 블라슈케 함수(Bloch Function)가 활용된다.
3. 블라슈케 함수
블라슈케 함수(Bloch Function) 활용 형태 및 정의[math( f(z) = \dfrac{z}{1+\alpha z} \; ,\; {\sf where}\, |\alpha| <= 1 )]
여기서 [math( z = x + yi \; , \; x=\Re(z),y = \Im(z),\; \alpha= 2.0({\sf pola} -x),0.1(+y,-y, +x {\sf pola}))] 조건에서 밝기가 최대인 영역을 구현한다.
4. 관련 문서
[1] \[euDML\]Ueber die zahlentheoretische Funktion ... (n) und ihre Beziehung zum Goldbachschen Satz , E. Landau , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1900) Volume: 1900, page 177-186#