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1. 개요
아르틴 상수 ([math( 𝐶_{\sf Artin})] 또는 줄여서 [math( 𝐶_{A}))]는 수론에서 소수(prime)관련된 매우 중요한 상수로, 특정 정수[math(g)]가 모든 소수 [math(p)]에 대해 원시근(primitive root)이 될 확률을 보여준다. 이 상수는 에밀 아르틴(Emil Artin)이 처음 도입했으며, 값은 다음과 같이 정의된다.
[math(𝐶_{A} = \prod\limits_{p \in \mathbb{P}} \left( 1- \dfrac{1}{p(p-1)} \right) )]
각 소수 [math(p)]에 대해 [math( \left( 1- \dfrac{1}{p(p-1)} \right) )]는 [math(g)]가 [math(p)]에 대해 원시근이 될 확률을 나타내는 요소이다. 이것은 모든 소수 [math(p)]에 대해 무한 곱을 취하면 [math(g)]가 모든 소수에 대해 원시근이 될 확률을 보여줄수있다는것을 보여준다.
한편 랭크1 아르틴 상수 (rank 1 Artin's Constant)라고도 한다.
1.1. 상수값
[math(𝐶_{A} = \prod\limits_{p \in \mathbb{P}} \left( 1- \dfrac{1}{p(p-1)} \right) = 0.3739558136... )]1.2. 로그 표현
[math(𝐶_{A} = \prod\limits_{p \in \mathbb{P}} \left( 1- \dfrac{1}{p(p-1)} \right) )][math(\ln \left(𝐶_{A}\right) = \ln \left(\prod\limits_{p \in \mathbb{P}} \left( 1- \dfrac{1}{p(p-1)} \right)\right) )]
[math( \sum \ln x = \ln \prod x )]이므로
따라서
[math(\ln 𝐶_{A} = \sum\limits_{p \in \mathbb{P}} \ln \left( 1- \dfrac{1}{p(p-1)} \right))]
[math(\ln 𝐶_{A} = \sum\limits_{p \in \mathbb{P}} \ln \left( \dfrac{p(p-1)}{p(p-1)}- \dfrac{1}{p(p-1)} \right))]
[math(\ln 𝐶_{A} = \sum\limits_{p \in \mathbb{P}} \ln \left( \dfrac{p^2 -p-1}{p^2 -p } \right))]
[math(\ln 𝐶_{A} = \sum\limits_{p \in \mathbb{P}} \ln(p^2 -p-1) -\ln(p^2 -p) )]
[math(e^{\ln 𝐶_{A}} = e^{\sum\limits_{p \in \mathbb{P}} \ln(p^2 -p-1) -\ln(p^2 -p)} )]
[math(𝐶_{A} = exp\left( \sum\limits_{p \in \mathbb{P}} \ln(p^2 -p-1) -\ln(p^2 -p) \right) )]
2. 오일러 파이 함수
아르틴 상수가 소수와 관련된 상수이다보니 오일러 파이 함수([math( \varphi)])에 기반한다는 점을 확인할 수 있다.[math( \varphi(k) = k\prod\limits_{p /k} \left( 1- \dfrac{1}{p} \right) )] (단, k는 p의 소인수)
한편 오일러 파이 함수는 소수함수인 제타함수(또는 오일러 곱)과 관련있다.
3. 랭크 2 아르틴 상수
랭크1을 변형한 다양한 랭크2 아르틴 상수(Rank 2 Artin Constant)는 매우 유용한 정보를 제공한다. [1][2][3][4][5]3.1. 랭크 2 아르틴 상수 예시
[math(𝐶_{A2} = \prod\limits_{p \in \mathbb{P}} \left( 1- \dfrac{1}{p^2(p-1)} \right) )]4. 아르틴 상수
오일러 토션트(파이) 함수의 역함수에 대한 E. 란다우의 1900년 표현| [math( \dfrac{1}{\varphi(n)} = \dfrac{1}{n\prod\limits_{p}\left( 1-\dfrac{1}{p} \right)} = \dfrac{1}{n} \prod\limits_{p}\left( \dfrac{p}{p-1} \right) = \dfrac{1}{n} \prod\limits_{p}\left( 1+ \dfrac{1}{p-1} \right) = \dfrac{1}{n} \sum\limits_{l} \dfrac{1}{\varphi(l)} \qquad)] -(1) P182[가] [math( {\sum\limits_{l=1}^{\infty}}' \dfrac{1}{l\varphi(l)} = \left( 1+ \dfrac{1}{2\varphi(2)} \right)\left( 1+ \dfrac{1}{3\varphi(3)} \right)\left( 1+ \dfrac{1}{5\varphi(5)} \right)\cdots = \prod\limits_{p} \left( 1+ \dfrac{1}{p(p-1)} \right) \qquad)] -(2) P182[가] |
[math( p = p-1 , n = C )]를 대입하면
[math( \dfrac{1}{C} \prod\limits_{p}\left( 1+ \dfrac{1}{(p-1)-1} \right) \qquad)] -(3)(3)를 정리하면
[math( C= \prod\limits_{p}\left( 1+ \dfrac{1}{(p-1)-1} \right) \qquad)]
[math( = \prod\limits_{p}\left( 1+ \dfrac{1}{(-p+1)} \right) \qquad)]
[math( = \prod\limits_{p}\left( \dfrac{(-p+1)}{(-p+1)} + \dfrac{1}{(-p+1)} \right) \qquad)]
[math( = \prod\limits_{p}\left( \dfrac{-p+1+1}{-p+1} \right) \qquad)]
[math( = \prod\limits_{p}\left( \dfrac{-(p-1-1)}{-(p-1)} \right) \qquad)]
[math( = \prod\limits_{p}\left( \dfrac{p-1-1}{p-1} \right) \qquad)]
[math( = \prod\limits_{p}\left( \dfrac{p-1}{p-1} -\dfrac{1}{p-1} \right) \qquad)]
[math( = \prod\limits_{p}\left( 1 -\dfrac{1}{p-1} \right) \qquad)]-(4)
(4)를 (2)에 대입하면
[math( C = \prod\limits_{p}\left( 1 -\dfrac{1}{p(p-1)} \right) )]를 조사하고 아르틴 상수[math( C_{Artin} )]를 얻을수있다.
5. 관련 문서
[1] arxiv > Mathematics > Number Theory \[Submitted on 28 Nov 2022\] Unified treatment of Artin-type problems II ,Olli Järviniemi, Antonella Perucca, Pietro Sgobbahttps://arxiv.org/pdf/2211.15614[2] \[Dr. Pieter Moree ,Max Planck Institute for Mathematics\]Some number-theoretical constants ,arising as products of rational functions of p over primes #[3] K. R. Matthews, A generalisation of Artin's conjecture for primitive roots, Acta Arith. 29 (1976)113-146; MR 53 #313.#[4] L. Cangelmi and F. Pappalardi, On the r-rank Artin conjecture II, J. Number Theory 75 (1999) 120-132.#[5] HANS ROSKAM ,Artin’s primitive root conjecture for quadratic fields ,Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 14, no 1 (2002),p. 287-324#[가] \[euDML\]Ueber die zahlentheoretische Funktion ... (n) und ihre Beziehung zum Goldbachschen Satz , E. Landau , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1900) Volume: 1900, page 177-186#[가]