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최근 수정 시각 : 2020-02-07 18:30:37

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1. 개요2. 무리수 증명

1. 개요

제곱하면 2가 되는 무리수이다. 무리수라는 사실이 증명된 최초의 수이기도 하다.

한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이와 같으며, 방정식 x2=2x^2 = 2의 두 실수해 중 양수인 해다. 피타고라스의 정리 참고.

2\sqrt{2}의 소수점 아래 50자리까지는 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 ...이다. 근삿값으로 9970\dfrac{99}{70}이 제시되는데, 이것은 소수점 4자리까지 맞을 정도로 유사한 값이다.

쉽게 외우기 위해 왔네왔네 둘일세로 외우기도 한다. 왔(완=one) 네(4) 왔(1) 네(4) 둘(2) 일(1) 세(3)로 7자리까지 외울 수 있다.

2. 무리수 증명

유클리드(=에우클레이데스)는 귀류법을 이용하여 2\sqrt{2}가 유리수가 아니라는 것을 증명했다.
\sqrt{2}</math>가 유리수라고 가정하면 2=ab\sqrt{2} = \dfrac{a}{b} (단, aa, bb는 서로소인 자연수)로 나타낼 수 있다.
양변을 제곱하면 2=a2b22=\dfrac{a^2}{b^2}이고, 2b2=a22b^2=a^2이므로 a2a^2은 짝수이다. 이때 자연수의 제곱이 짝수이면 제곱하기 전의 자연수도 짝수이므로 aa도 짝수이다.
a=2ka=2k라고 하고 이를 2b2=a22b^2=a^2에 대입하면 2b2=(2k)2=4k22b^2=\left(2k\right)^2=4k^2이고, b2=2k2b^2=2k^2이다. 따라서 b2b^2은 짝수이고, 같은 방법으로 bb도 짝수이다.
aabb가 모두 짝수라는 것은 둘 다 공약수 2를 가지고 있다는 것이다. 이는 aa, bb가 서로소라는 가정에 모순이므로 2\sqrt{2}는 유리수가 아니다.

이 문제는 과거 본고사 시절 서울대학교에서 출제되어 당시 학생들을 충공깽에 빠트린 적이 있다.[1]하지만 그 이후로 귀류법의 대표적인 예시로 소개되기 때문에 대한민국 학생들에게는 나름 친숙한 증명인 편이다.

다만 2\sqrt{2}가 무리수임을 증명하기 위해서는 추가로 2\sqrt{2}는 실수이다라는 당연해 보이는 명제도 증명해야 한다.[2] 엄밀한 증명은 다음과 같다.
실수의 부분집합 S=\left\{x\in \mathbb{Q} | x^2<2\right\}</math>를 정의하자. 그러면 SS공집합이 아니고 위로 유계이므로 상한 cc가 존재한다. 이때 0<cS0<c\notin S이므로 c22c^2\geq 2이다. 그런데 c2>2c^2>2라고 하면 (cε)2>2\left(c-\varepsilon\right)^2>2인 양수 ε\varepsilon이 존재한다. 그러면 상한의 정의에 의해 cεc-\varepsilonSS의 상계가 아니므로 cε<xc-\varepsilon<x인 양의 유리수 xSx\in S가 존재한다. 여기서 2<(cε)2<x22<\left(c-\varepsilon\right)^2<x^2가 되어 모순이다. 따라서 c2=2c^2=2이고, 2\sqrt{2}가 실수임을 알 수 있다.


2\sqrt{2}가 유리수라고 가정하자. 그럼 2=ab\displaystyle \sqrt{2} = \frac{a}{b}를 만족하는 자연수 a,ba, b가 무수히 많이 존재한다. 집합 AAA={bNaZ:2=ab}\displaystyle A = \left\{b \in \mathbb{N} \, | \, \exists a \in \mathbb{Z}: \sqrt{2} = \frac{a}{b} \right\}로 정의하자. 자연수의 well-ordering 원리에 의해 집합 AA에는 가장 작은 원소 b0b_0가 존재한다. 그럼 적당한 정수 a0a_0에 대해 displaystylesqrt2=fraca0b0displaystyle sqrt{2} = frac{a_0}{b_0}이다. 양변을 제곱하여 정리하면 2b02=a022{b_0}^2 = {a_0}^2이다. 여기서 만일 a0a_0가 홀수라면 좌변은 짝수이고 우변은 홀수이므로 모순. 따라서 a0a_0도 짝수여야 한다. 적당한 정수 cc에 대해 a0=2ca_0 = 2c라 하고 원래 식에 대입하면 b02=2c2{b_0}^2 = 2c^2이고 따라서 b0b_0도 짝수이다. 이제 적당한 자연수 nn에 대해서 b0=2nb_0 = 2n라 하면 2=a0b0=cn\displaystyle \sqrt{2} =\frac{a_0}{b_0} = \frac{c}{n}이다. 그런데 nnAA의 원소이고 b0b_0보다 작다. 이는 b0b_0가 가장 작은 원소라는 가정에 모순된다. 따라서 2\sqrt{2}는 유리수가 아니다.

유클리드보다 시대적으로 앞선 피타고라스 시대에도 2\sqrt{2}가 유리수가 아니라는 것은 알고 있었을 것으로 추측되지만, 별다른 기록이 남아 있지 않다. 오히려 그런 수의 존재를 부정했다는 기록은 남아 있다. 이와는 다르게 유클리드의 증명은 그의 저서 원론에 나와 있다.

고대 그리스보다 1000년 이상 앞선 기원전 1600~1800년 전 유물인 바빌로니아의 Ybc7289 점토판에는 대각선이 그어진 정사각형이 새겨져 있는데, 사각형 가운데에 60진법 쐐기 숫자가 몇 개 새겨져 있다. 가운데 윗 줄의 4개 숫자는 각각 1, 24, 51, 10으로, 60진법 소수로 1.24:51:10으로 해독된다. 10진법으로 환산하면 1.41421296...인데, 소수점 5자리까지 정확한 2\sqrt{2}의 값이다. 이 외에도 다른 유물들을 통해 바빌로니아인들이 어떤 수의 제곱근을 근사하는 방식은 잘 알고 있었다는 것은 분명히 알 수 있지만[3] 바빌로니아인들이 무리수의 존재를 인식했거나, 유리수와 따로 분류했었는지는 알 수 없다.


[1] 당시 답안중엔 “심각하게 생각해 보았는데 2\sqrt{2}는 무리수이다.” “아무리 생각해 보아도 2\sqrt{2}는 무리수이다.” 같은 것도 있었다고 한다.(...) 출처[2] 간단하게, 위의 예시에서 2\sqrt{2}를 허수 ii로 바꿔보자. ii가 무리수가 되는 기적(...)을 이끌어낼 수 있다.[3] 너무 유명해 Babylonian method라는 이름까지 있는 방법이다. 방법만 알면 임의의 정수의 제곱근의 근삿값을 매우 빠르게 찾을 수 있다. 제곱근 항목 참고.