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최근 수정 시각 : 2024-04-22 18:10:25

브룬 상수


수학상수
Mathematical Constants
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Brun's constant

1. 쌍둥이 소수의 역수의 합2. 네쌍둥이 소수의 역수의 합
2.1. 관련 문서

1. 쌍둥이 소수의 역수의 합

1919년, 노르웨이의 수학자 비고 브룬(Viggo Brun)은 쌍둥이 소수의 역수의 합이 수렴한다는 결과를 발표했는데, 이를 브룬의 정리라 부른다. 그리고, 그 수렴값을 '브룬 상수'[1]라고 부른다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
B_2 &= \!\left( \frac13+\frac15 \right) \!+ \!\left( \frac15+\frac17 \right) \!+ \!\left( \frac1{11}+\frac1{13} \right) \!+ \cdots \\
&\approx 1.9021605831
\end{aligned} )]
편의상 [math(B_2)]를 간단히 [math(B)]로 표기하기도 하고, 반대로 네쌍둥이 소수의 역수의 합 [math(B_4)]와 구분하기 위해 명시적으로 [math(B_2)]라고 표기하기도 한다.

이 값은 대략 1.9021605831에 근접하며, 최초 발표자의 이름을 따 이 상수를 쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수라고 불린다. 만약, 이 합이 수렴하지 않고 발산했다면 쌍둥이 소수의 무한성이 증명되었을 것이지만[2], 이 수는 수렴한다. 이 상수는 유리수인지 무리수인지 밝혀지지 않았다. 쌍둥이 소수가 유한 개뿐이라면 그 역수의 합은 유한 개의 유리수의 합이므로 유리수가 되어야 한다. 따라서 이 상수가 무리수임이 밝혀진다면 쌍둥이 소수가 무한함이 증명된다.

2. 네쌍둥이 소수의 역수의 합

쌍둥이 소수와 유사한 것으로 '네쌍둥이 소수'(prime quadruplet)[3]라는 것이 있는데, {p, p+2, p+6, p+8}이 모두 소수인 경우를 뜻한다. 예를 들어 {5, 7, 11, 13}, {11, 13, 17, 19} 같은 것들이 있다.

브룬은 이 prime quadruplet의 역수들의 합도 수렴함을 보였다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
B_4 &= \!\left( \frac15+\frac17+\frac1{11}+\frac1{13} \right) \!+ \!\left(\frac1{11}+\frac1{13}+\frac1{17}+\frac1{19} \right) \!+ \cdots \\
&= 0.87058838...
\end{aligned} )]

2.1. 관련 문서


[1] 또는 '브룬의 상수'[2] 오일러는 소수의 역수의 합이 발산한다는 것을 밝혀내어, 소수의 무한성을 다른 방법으로 증명한 바 있다.[3] 쌍둥이 소수 둘 + 사촌 소수 + 섹시 소수 하나로 이루어진 네 쌍.

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