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1. 개요
다항함수의 차수나 개형을 추론하게 해주는 단서를 소개하는 문서이다.해당 내용에 대한 대수학적·해석기하학적 증명 그리고 평가원, 교육청, EBS, 각종 대학별 고사 등의 주요 대학 입시 관련 기출 문제를 실었다.
'차수별 특징' 문단의 경우 차수에 대하여 유일, 최소, 최대를 다루므로 다항함수 전체에 대하여 역이 성립하지 않을 수 있다. 그러나 나머지 명제들은 모두 역도 성립한다.
2. 그래프의 개형
2.1. 점대칭(홀함수)
임의의 실수 [math(t)], [math(a)], [math(b)]에 대하여 다음이 성립한다.
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- 예제 [펼치기·접기]
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문제의 조건으로 보아 [math(f(x))]의 그래프는 점 [math((1,0))]에 대하여 점대칭이다. 따라서 [math(f(0)=0)]이면 [math(f(2)=0)]이다. 한편 [math(f(x))]의 최고차항의 계수는 [math(1)]이므로 다음이 성립한다.2021학년도 10월 20번 [math(f(x)=x(x-1)(x-2))]
참고로 [math(S)]는 다음과 같이 계산되어 정답은 [math(4S=2)]이다.[math(\begin{aligned}S&=\displaystyle\int_{-2}^0\left|f(x)-\left(-6x^2\right)\right|\,{\rm d}x\\&=\int_{-2}^{-1}\left(x^3+3x^2+2x\right)\,{\rm d}x+\int_{-1}^0\left\{-\left(x^3+3x^2+2x\right)\right\}\,{\rm d}x\\&=\frac12\end{aligned})]
2.2. 좌우 대칭(짝함수)
임의의 실수 [math(a)]에 대하여 다음이 성립한다.
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2.3. 선형
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- 증명 [펼치기·접기]
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전자의 식의 양변에 [math(b)] 대신 [math(t)]를 대입하면[math(\displaystyle\int_a^t f(x)\;{\rm d}x=\frac{t-a}2\{f(a)+f(t)\})]
이를 [math(t)]에 대하여 미분하면[math(f(t)=\dfrac12\{f(a)+f(t)+(t-a)f'(t)\})]
[math(a)] 대신 [math(x)]를 대입하면[math(\begin{aligned}f(t)&=f(x)+(t-x)f'(t)\\\therefore f(x)&=f'(t)(x-t)+f(t)\end{aligned})]
이때 [math(y=f'(t)(x-t)+f(t))]는 다름 아닌 함수 [math(y=f(x))]의 그래프 위의 점 [math((t,\,f(t)))]에서의 접선의 방정식이다. 이것이 [math(f(x))] 자체와 일치해야 하므로 [math(f(x))]의 그래프는 직선이다. 그래프가 직선인 함수는 상수함수 또는 일차함수이므로 이 두 경우에 해당 식이 성립하는 것이다. 이 증명은 위에서 소개한 두 명제를 훌륭하게 연계해 준다.
이번에는 상수함수와 일차함수는 모두 그래프가 직선이라는 사실에 입각하여 [math(f(x)=px+q)]로 놓고 직접 계산을 진행해 보자. [math(f(x))]는 [math(p=0)]이면 상수함수, [math(p\neq 0)]이면 일차함수인 것이다. [math(f(x))]의 역도함수는 [math(F(x)=px^2/2+qx)]이므로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x&=F(b)-F(a) \\&=\displaystyle \left(\frac{1}{2}pb^2+qb \right)-\left(\frac{1}{2}pa^2+qa \right) \\&=\left\{\dfrac{1}{2}p(b^2-a^2)\right\}+\{q(b-a)\} \\&= \displaystyle\frac{b-a}{2}\{p(a+b)+2q\} \\&=\frac{b-a}{2}(pa+q+pb+q) \\&=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\} \end{aligned} )]
문제에서 위 식만을 제시했을 때 함수 [math(f(x))]의 그래프가 직선임을 알아내기 위해서는 전자의 방법을 쓰는 것이 옳다. 어떤 참인 명제의 이가 무조건 참이라는 보장이 없는 만큼 [math(f(x)=px+q)]로 나타내어지지 않는 경우에는 무조건 모순이 발생한다는 보장이 없기 때문에 엄밀한 의미로서의 '증명'이 결코 아니다. 다시 말해서 [math(f(x)=px+q)]일 수 있음을 보일 수는 있지만, [math(px+q)] 이외의 다른 가능성이 정말 없는지를 제대로 확신할 수 없다는 것이다. 심지어, 후자의 방법은 처음부터 [math(f(x)=px+q)]임을 전제하여 모순이 없음을 보이기 때문에 [math(f(x)=px+q)]로 나타내어진다는 사실을 먼저 알지 않고서는 시도하기 어려운 방법이기도 하다.
대수학적으로는 계수비교법을 통해 추론할 수 있다. [math(t)]가 상수이므로 [math(f(x)=f'(t)(x-t)+f(t))]에서 우변은 일차식이므로 [math(f(x))] 역시 일차식인 것이다. 그러나 주의할 점이 있는데, 이 방법은 [math(n=0)]일 때를 포괄하지 못한다는 것이다. 이 방법은 [math((x-t))]라는 항을 보고 우변을 일차식으로 판단한 것인데, 만약 [math(f(x))]가 상수함수이면 [math(f'(t)=0)]이므로 우변의 [math((x-t))]가 무시되어 버리기 때문이다. 그래서 전체 식은 [math(f(x)=f(t))]가 되어 임의의 실수 [math(t)]에 대하여 이 식은 충분히 참이다. 결론적으로 [math(f(x))]는 상수함수 또는 일차함수이며, [math(f(x))]의 그래프는 직선이다.
계수비교법은 이러한 문제점 때문에 사실 완전한 방법이 아닌데, 이는 아래에서 소개할 [예제]에서도 중요하게 취급된다.
- 좌표평면 분석 [펼치기·접기]
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상수함수 [1] [math(f(x)>0)]
이 경우 정적분은 가로의 길이가 [math(b-a)]이고, 높이가 [math(f(a)=f(b))]인 직사각형의 넓이와 같으므로 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned} \int_a^b f(x)\;{\rm d}x&=(b-a)f(a)=(b-a)f(b)\\&=\dfrac{b-a}2\{f(a)+f(b)\} \end{aligned})]
상수함수 [2] [math(f(x)=0)]
이 경우 정적분은 0이 되며, 이것은
[math(\begin{aligned} \int_a^b f(x)\;{\rm d}x&=(b-a)f(a)=(b-a)f(b)\\&=\dfrac{b-a}2\{f(a)+f(b)\} \end{aligned})]
에 [math(f(a)=f(b)=0)]을 대입한 결과와 같다.
상수함수 [3] [math(f(x)<0)]
이 경우 정적분은 가로의 길이가 [math(b-a)]이고, 높이가 [math(-f(a)=-f(b))]인 직사각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로
[math(\begin{aligned} \int_a^b f(x)\;{\rm d}x&=-(b-a)\{-f(a)\}=-(b-a)\{-f(b)\}\\&=-\dfrac{b-a}2\{-f(a)-f(b)\} \end{aligned})]
음의 부호는 상쇄되므로 이 경우에도 식이 성립한다. 이상의 논의를 좌표평면에 시각화하면 다음과 같다.
일차함수 [1] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)>0)], [math(f(b)>0)]
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(a))], [math(f(b))]인 사다리꼴의 넓이와 같으므로
[math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\} )]
일차함수 [2] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)<0)]
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(-f(a))], [math(-f(b))]인 사다리꼴의 넓이에 음의 값을 붙인 것과 같으므로
[math(\displaystyle\begin{aligned} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x&=-\frac{b-a}{2}\{-f(a)-f(b)\}\\&=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\} \end{aligned})]
일차함수 [3] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)=0)], [math(f(b)>0)]
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(b))]인 직각삼각형의 넓이와 같으므로
[math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{b-a}{2}f(b))]
인데 이는 위 공식에서 [math(f(a)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.
일차함수 [4] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)=0)]
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(-f(a))]인 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로
[math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\left(-\frac{b-a}{2} \right)\{-f(a)\}=\frac{b-a}{2}f(a))]
인데 이는 위 공식에서 [math(f(b)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.
일차함수 [5] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)=0)], [math(f(b)<0)]
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(b))]인 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로
[math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\left(-\frac{b-a}{2} \right)\{-f(b)\}=\frac{b-a}{2}f(b))]
인데 이는 위 공식에서 [math(f(a)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.
일차함수 [6] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)>0)], [math(f(b)=0)]
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(a))]인 직각삼각형의 넓이와 같으므로
[math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{b-a}{2}f(a))]
인데 이는 위 공식에서 [math(f(b)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.
일차함수 [7] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)>0)]
[math(f(c)=0)]이라 하면, 정적분은 [math([a,\, c])] 구간의 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 [math([c,\, b])] 구간의 직각삼각형 넓이의 합과 같다. [3]~[6]의 결과를 사용하면,
[math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{c-a}{2}f(a)+\frac{b-c}{2}f(b))]
한편, [math(f(x)=px+q)]로 놓으면,
일차함수 [8] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)>0)], [math(f(b)<0)][math(\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x&=\frac{(c-a)(pa+q)}{2}+\frac{(b-c)(pb+q)}{2} \\&=\frac{1}{2}[ b(bp+q)-a(ap+q)+pc(a-b)+pab-pab ] \\&=\frac{1}{2}[ b(bp+q)-a(ap+q)+q(b-a)+pab-pab ] \quad (\because pc+q=0) \\&=\frac{1}{2}[ b(bp+q)-a(ap+q)-a(pb+q)+b(pa+q) ] \\&=\frac{1}{2}[ b\{ f(a)+f(b)\}-a\{ f(a)+f(b) \} ] \\&=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b) \} \end{aligned})]
일차함수 [7]과 비슷한 논법으로 확인할 수 있다. 이상의 논의를 좌표평면에 시각화하면 다음과 같다.
- 예제 [펼치기·접기]
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이 내용은 2020학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ & 미적분Ⅰ 178쪽 3번에 등장하여 2020학년도 수능 나형 28번에 연계 출제되었다.
먼저 수능특강 문제를 보자. 위에서 증명한 바와 같이 (가)에 의하여 [math(f(x))]의 그래프가 직선이므로 [math(f(x)=px+q)]([math(p)], [math(q)]는 상수)로 놓을 수 있다. 여기에서 (나), (다)를 이용하면 [math(p=3,\,q=2)]가 도출되며, 따라서 [math(f(4)=14)]이다.2020학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ & 미적분Ⅰ 178쪽 3번
수능특강의 해설에는 다음과 같은 풀이가 제시되어 있다.
수능특강에 [math(a)]와 [math(b)]로 나왔던 것이 수능에서는 각각 [math(1)]과 [math(x)]로 바뀌어 나왔다. (가)를 통해 [math(f(x))]의 그래프의 개형을 추론할 수 있다. (가)의 양변을 미분하면2020학년도 수능 나형 28번
[math(f(x)=\dfrac{1}{2}\{f(x)+f(1)\}+\dfrac{x-1}{2}f'(x))]
양변에 [math(2)]를 곱하여 정리하면
[math(f(x)=f(1)+(x-1)f'(x))]
여기에서 [math(f(x))]가 일차함수임을 알아내는 방법은 세 가지이다.
[1] 계수비교법
좌변의 [math(f(x))]의 최고차항을 [math(ax^n)]이라고 하자. 그러면 우변의 [math(f'(x))]의 최고차항은 [math(nax^{n-1})]이며 [math((x-1)f'(x))]의 최고차항은 [math(nax^n)]이다. 따라서 [math(ax^n=nax^n)]이어야 하므로 계수비교법에 의하여 [math(n=1)]이며, [math(f(x))]는 일차함수가 될 수 있다. 중요한 사실은, 이것만으로 [math(\boldsymbol{f(x)})]를 일차함수로 단정해서는 안 된다는 것이다. [math(f(x))]가 상수함수인 경우를 생각해 보자. [math(f(x)=c)]라 하면 [math(f(1)=c)], [math(f'(x)=0)]이므로 다음이 성립한다.[math(f(x)=f(1)+(x-1)f'(x)\quad\rightarrow\quad c=c+0)]
따라서 [math(f(x))]는 상수함수여도 상관없다. 위 계수비교법으로는 [math(n=1)]이라는 결과만 나왔을 뿐 이와 같은 사실을 발견하지 못했는데, 이유는 위 [증명]에서 밝혔듯이 [math(f(x))]가 상수함수이면 [math(f'(x)=0)]이 되어 전체 식이 그저 0이 되어 버리기 때문이다. 계수비교법은 이를 간과하므로 사실 완전한 방법이 아니다.
2023 수능특강 수학Ⅱ 87쪽에서 이 문제를 계수비교법으로 해설한 바 있는데, EBS마저도 이 부분에서 오류를 범했다. [math(0)]이 아닌 상수 [math(a)]에 대하여 [math(f(x))]의 최고차항을 [math(ax^n)]으로 놓고 [math(n=1)]임을 도출했다는 것은 [math(f(x))]가 상수함수일 수도 있음을 간과한 오류이다.
[2] 사다리꼴
위와 같이 그래프가 직선이면 정적분의 값은 사다리꼴 모양의 색칠된 부분의 넓이와 같은데, (가)의 우변은 사다리꼴 넓이 공식과 일치한다. 다만 위 그림은 [math(f(1),\,f(x)>0)]인 경우인데, [좌표평면 분석]에서 밝혔듯이 그래프가 직선이기만 하면 [math(f(1))]과 [math(f(x))]의 값에 관계없이 해당 식이 성립하므로, (가)를 통해 [math(f(x))]의 그래프가 직선임을 알아낼 수 있다. 그러나 [좌표평면 분석]에서 밝혔듯이 각 경우에 따른 확고한 증명을 하기에는 계산이 복잡하여 시간이 오래 걸리므로, 이 역시 그다지 좋은 방법이 아니다. 그저 해석기하학적인 직관 정도로 참고하는 편이 좋다.
[3] 직선의 기울기
위의 식을 적당히 변형하고 [math(x)]를 [math(t)]로 치환하면 다음과 같다.
[math(\dfrac{f(t)-f(1)}{t-1}=f'(1))]
좌변의 식은 [math(f(x))]의 그래프 위의 두 점 [math((1,\,f(1)))]과 [math((t,\,f(t)))]를 지나는 직선의 기울기를 뜻하며, [math(f'(1))]은 [math(f(x))]의 [math(x=1)]에서의 접선의 기울기를 뜻한다. 우변의 [math(f'(1))]은 상수로서, 일정한 값이다. [math(t)]를 [math(1)]이 아닌 어떤 값으로 잡더라도 항상 그래프 위의 해당 두 점을 이은 직선의 기울기가 같다는 것은, 곧 [math(f(x))] 자체의 그래프의 기울기가 일정하다는 뜻이며, [math(f(x))]는 그래프가 직선으로 그려지는 상수함수이거나 일차함수라는 뜻이다.[2] 앞선 두 방법보다 훨씬 깔끔하고 논리도 완전하므로, 이 방법이 정석이자 평가원의 출제 의도라고 할 수 있다.
그런데 어떤 방법이든 (가)만으로는 [math(f(x))]의 그래프가 직선이라는 것만 알 뿐 [math(f(x))]가 상수함수인지 일차함수인지까지는 결정할 수 없는데, [math(f(x))]를 상수함수로 가정하여 [math(f(x)=c)]라 하고 (나)를 계산하면 모순이 발생하여 [math(f(x))]는 일차함수라는 것을 알 수 있다.
참고로 (나)를 이용하면 [math(f(x)=\dfrac32x+1)]이며, 답은 [math(f(4)=7)]이다. 또한, 문제의 마지막에서 [math(f(0)=1)]이라는 조건을 알려주었다는 것 자체가 [math(f(x))]가 사실상 일차함수라는 뜻이 되므로 다소 미흡한 문제이다. 왜냐하면, (가)를 통해 [math(f(x))]가 상수함수 또는 일차함수라는 사실을 알았으며, (나)와 [math(f(0)=1)]이라는 조건을 통해 [math(f(x))]의 함수식을 구체화해야 하는데, 만약 [math(f(x))]가 함숫값이 일정한 상수함수라면 (나)를 볼 필요도 없이 [math(f(0)=f(4)=1)]임을 그냥 알 수 있기 때문에 문제를 내는 의미가 없어지기 때문이다.
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- 예제 [펼치기·접기]
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(가)에 따라 [math(f(x))]는 그래프의 기울기가 [math(2)]인 일차함수가 된다. 곧, [math(f(x)=2x+a)]로 쓸 수 있다. 참고로 정답은 [math(22)]이다.2023학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 42쪽 3번
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- 증명 [펼치기·접기]
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먼저, [math(f(x))]는 다항함수이므로 그 함수식은 여러 단항식 또는 다항식의 합으로 나타낼 수 있다. 이에 따라 [math(f(x)=g(x)+h(x))]와 같이 [math(f(x))]를 두 다항함수 [math(g(x))]와 [math(h(x))]의 합으로 나타낼 수 있다. 이때 [math(g(x))], [math(h(x))]에 대하여 증명하고자 하는 해당 사실이 각각 성립한다면 [math(f(x))]에 대해서도 그러한데, 다음이 성립하기 때문이다.[math(\begin{aligned}g(x-a)+g(x+a)&=2g(x)\\+\quad h(x-a)+h(x+a)&=2h(x)\\\hline f(x-a)+f(x+a)&=2f(x)\end{aligned})]
나아가 [math(f(x)=g(x)+h(x)+i(x))]와 같이 [math(f(x))]를 세 다항함수의 합으로 나타내더라도 마찬가지의 논리가 성립함은 자명하다. 논리를 더욱 확장하면, [math(f(x))]를 동류항이 아닌 [math(k)]개의 항의 합으로 나타낼 때, 이 각 항들에 대하여 임의로 [math(f_1(x),\,f_2(x),\,\cdots,\,f_k(x))]를 대응시킬 수 있으며, 이 새로운 [math(k)]개의 다항함수들이 모두 해당 사실을 만족시킨다면 [math(f(x))] 역시 그러하다. 이 [math(k)]개의 항들은 서로 동류항이 아니므로 차수가 모두 다르다. 이 항들은 또 다시 함수로 표현 가능하므로, 증명을 위해서는 여러 차수의 함수에 따른 해당 사실의 성립 여부를 판별하기만 하면 된다. 이때, 각 항들의 계수는 이 성립 여부에 전혀 영향을 미치지 못한다. 차수가 같은 두 동류항의 계수가 각각 [math(p)], [math(q)]일 때, 이들을 각각 [math(f_p(x))], [math(f_q(x))]라 하면 등식의 성질에 의하여 다음이 성립하기 때문이다.[math(f_p(x)=\dfrac{p}qf_q(x)\quad(p,\,q\neq0))]
[math(\begin{aligned}f_p(x-a)+f_p(x+a)&=2f_p(x)\\\Leftrightarrow f_q(x-a)+f_q(x+a)&=2f_q(x)\end{aligned})]
다시 말해서 두 명제는 서로 필요충분조건의 관계에 있기 때문에, 계수를 변경하는 것만으로는 명제의 진위를 바꿀 수가 없다는 것이다. 따라서 계산을 단순화하기 위해 [math(f(x))]가 계수가 1인 단항식 또는 상수 1인 경우만 다루어도 무방하다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.[math(f(x)=x^n\quad\textsf{\footnotesize(}n\textsf{\footnotesize은 음이 아닌 정수)})]
이에 따르면[math((x-a)^n+(x+a)^n=2x^n)]
을 만족시키는 음이 아닌 정수 [math(\boldsymbol n)]의 값이 0 또는 1뿐임을 증명하면 된다. [math(n=0)]이면 [math(f(x)=x^0=1)]이므로 상수함수, [math(n=1)]이면 [math(f(x)=x^1=x)]이므로 일차함수가 되는 것이다. 다시 말해서 [math(f(x)=1)] 또는 [math(f(x)=x)]인 경우에만 해당 사실이 성립하고 [math(f(x)=x^2,\,x^3,\,x^4,\cdots)]에 대해서는 그렇지 않음을 증명하기만 하면, 무수히 많은 모든 다항함수에 대하여 증명을 완료한 것이나 다름없으므로, 이를 증명하자.
먼저, 이항정리에 따라 다음이 성립한다.
곧, [math((x+a)^n)]과 달리 [math((x-a)^n)]을 전개하면 [math(+)]와 [math(-)]가 교대로 출현한다. 따라서 다음이 성립한다.[math(\begin{aligned}(x+a)^n&=\displaystyle\sum_{r=0}^n{}_n{\rm C}_ra^rx^{n-r}\\&={}_n{\rm C}_0a^0x^n+{}_n{\rm C}_1a^1x^{n-1}+{}_n{\rm C}_2a^2x^{n-2}+{}_n{\rm C}_3a^3x^{n-3}\\&\quad+\cdots+{}_n{\rm C}_{n-1}a^{n-1}x^1+{}_n{\rm C}_na^nx^0\\\\(x-a)^n&=\displaystyle\sum_{r=0}^n{}_n{\rm C}_r(-a)^rx^{n-r}\\&={}_n{\rm C}_0a^0x^n-{}_n{\rm C}_1a^1x^{n-1}+{}_n{\rm C}_2a^2x^{n-2}-{}_n{\rm C}_3a^3x^{n-3}\\&\quad+\cdots+{}_n{\rm C}_{n-1}(-a)^{n-1}x^1+{}_n{\rm C}_n(-a)^nx^0\end{aligned})]
곧, 두 전개식을 비교해 보면 [math(a^0,\,a^2,\,a^4,\,\cdots)]와 같이 [math(a)]가 짝수 번 제곱되는 항은 부호가 같으므로 두 번 더해지고 [math(a^1,\,a^3,\,a^5,\,\cdots)]와 같이 [math(a)]가 홀수 번 제곱되는 항은 부호가 다르므로 상쇄되는 것이다.[math(\begin{matrix}&(x+a)^n&=&{}_n{\rm C}_0a^0x^n&+&\cancel{{}_n{\rm C}_1a^1x^{n-1}}&+&{}_n{\rm C}_2a^2x^{n-2}&+&\cancel{{}_n{\rm C}_3a^3x^{n-3}}&+&\cdots&\\+\quad\quad\quad&(x-a)^n&=&{}_n{\rm C}_0a^0x^n&-&\cancel{{}_n{\rm C}_1a^1x^{n-1}}&+&{}_n{\rm C}_2a^2x^{n-2}&-&\cancel{{}_n{\rm C}_3a^3x^{n-3}}&+&\cdots&\\\hline\quad\quad\quad(x+a)^n\;+\!\!\!\!\!&(x-a)^n&=&2{}_n{\rm C}_0a^0x^n&&&+&2{}_n{\rm C}_2a^2x^{n-2}&&&+&\cdots&\end{matrix})]
[math(\begin{aligned}\therefore(x+a)^n+(x-a)^n&=2\left({}_n{\rm C}_0a^0x^n+{}_n{\rm C}_2a^2x^{n-2}+{}_n{\rm C}_4a^4x^{n-4}+\cdots\right)\\&=\displaystyle\sum_{r=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{}_n{\rm C}_{2r}a^{2r}x^{n-2r}\end{aligned})]
[math(n=0,\,1,\,2,\,3,\,4)]일 때의 계산 결과를 통해 더 쉽게 이해해 보자.
위 계산 결과가 [math(2f(x))]와 일치하는지 판별해 보자. [math(n=0,\,1,\,2,\,3,\,4)]일 때 [math(f(x))]는 차례대로 [math(1)], [math(x)], [math(x^2)], [math(x^3)], [math(x^4)]이므로, [math(\boldsymbol{n=0,\,1})]일 경우에만 일치한다. 요컨대, [math(n\geq2)]일 경우 계산 결과에서 [math(\boldsymbol{2x^n})]과 동류항이 아닌 항이 출현하므로, [math(2f(x)=2x^n)]과 일치할 수 없게 되는 것이다. 곧, 해당 사실은 [math(\boldsymbol{f(x)})]가 상수함수이거나 일차함수일 경우에만 성립함이 증명되었다.[math(\begin{matrix}&(x+a)^0&=&1&\\+&(x-a)^0&=&1&\\\hline\quad\quad\quad\quad(x+a)^0+\!\!\!\!\!\!&(x-a)^0&=&2&\\\\&(x+a)^1&=&x+a&\\+&(x-a)^1&=&x-a&\\\hline\quad\quad\quad\quad(x+a)^1+\!\!\!\!\!\!&(x-a)^1&=&2x&\\\\&(x+a)^2&=&x^2+\cancel{2ax}+a^2&\\+&(x-a)^2&=&x^2-\cancel{2ax}+a^2&\\\hline\quad\quad\quad\quad(x+a)^2+\!\!\!\!\!\!&(x-a)^2&=&2(x^2+a^2)&\\\\&(x+a)^3&=&x^3+\cancel{3ax^2}+3a^2x+\cancel{a^3}&\\+&(x-a)^3&=&x^3-\cancel{3ax^2}+3a^2x-\cancel{a^3}&\\\hline\quad\quad\quad\quad(x+a)^3+\!\!\!\!\!\!&(x-a)^3&=&2(x^3+3a^2x)&\\\\&(x+a)^4&=&x^4+\cancel{4ax^3}+6a^2x^2+\cancel{4a^3x}+a^4&\\+&(x-a)^4&=&x^4-\cancel{4ax^3}+6a^2x^2-\cancel{4a^3x}+a^4\\\hline\quad\quad\quad\quad(x+a)^4+\!\!\!\!\!\!&(x-a)^4&=&2(x^4+6a^2x^2+a^4)&\end{matrix})]
실제로 [math(f(x)=px+q)]라고 하면 다음이 성립한다. [math(f(x))]는 [math(p=0)]이면 상수함수, [math(p\neq0)]이면 일차함수인 것이다.
[math(\begin{aligned} p(x-a)+q+p(x+a)+q&=2px+2q \\ &=2(px+q) \\&=2f(x) \end{aligned})]
대수적으로는 임의의 두 실수에 대하여 함숫값의 평균은 평균의 함숫값과 같다는 의미가 되며, 해석기하학적으로는 그래프가 그래프 위의 임의의 점에 대하여 점대칭이라는 의미가 된다. 다른 홀함수와는 달리, 일차함수의 그래프는 양쪽으로 한없이 뻗어나가는 직선이므로, 어느 점을 잡아도 그 점에 대하여 점대칭이 될 수밖에 없다. 또한, 상수함수는 홀함수는 아니지만 동일한 성질을 지닌다는 점에서 특기할 만하다. 다음 그림을 참고하자.
3. 차수
3.1. 상수함수
임의의 실수 [math(a)], [math(b)]에 대하여 다음이 성립한다.
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- 증명 [펼치기·접기]
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[math(f(x)=k)]([math(k)]는 상수)로 놓으면 [math(f(a)=f(b)=k)]이므로
[math(\begin{aligned} \frac{(b-a)}{2}\{f(a)+f(b)\}&=(b-a)\dfrac{2k}{2}\\&=k(b-a) \end{aligned})]
한편, [math(f(x))]의 역도함수는 [math(F(x)=kx)]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x&=F(b)-F(a)\\&=kb-ka\\&=k(b-a)\end{aligned} )]
또한 이와 같은 사실은 [math(f(x))]가 상수함수일 경우에만 성립한다. [math(f(a)=f(b)=f(x))]라는 것 자체가 함숫값이 일정한 상수함수만의 성질이기 때문이다.
- 좌표평면 분석 [펼치기·접기]
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편의상 [math(\boldsymbol{a<b})]로 가정한다. [math(a>b)]인 경우도 본질은 같으며 [math(a=b)]인 경우는 양변이 0이 됨이 자명하므로 이 경우들의 증명은 생략한다.
[1] [math(f(x)>0)]
이 경우 정적분은 가로의 길이가 [math(b-a)]이고, 높이가 [math(f(a)=f(b))]인 직사각형의 넓이와 같으므로 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned} \int_a^b f(x)\;{\rm d}x=(b-a)f(a)=(b-a)f(b) \end{aligned})]
[2] [math(f(x)=0)]
이 경우 정적분은 0이 되며, 이것은
[math(\begin{aligned} \int_a^b f(x)\;{\rm d}x=(b-a)f(a)=(b-a)f(b) \end{aligned})]
에 [math(f(a)=f(b)=0)]을 대입한 결과와 같다.
[3] [math(f(x)<0)]인 경우
이 경우 정적분은 가로의 길이가 [math(b-a)]이고, 높이가 [math(-f(a)=-f(b))]인 직사각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로
[math(\begin{aligned} \int_a^b f(x)\;{\rm d}x=-(b-a)\{-f(a)\}=-(b-a)\{-f(b)\} \end{aligned})]
음의 부호는 상쇄되므로 이 경우에도 식이 성립한다.
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3.2. 일차함수
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3.3. 이차함수
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모든 이차함수는 대칭축에 대해 대칭이기 때문에 그렇다. 그러나 모든 좌우 대칭 함수가 이차함수인 것이 아니기에, 이 단서만 보고 이차함수로 단정해서는 안 된다. 예를 들어 사차함수 중에서도 좌우 대칭인 경우가 있다.(예시 1, 예시 2) 고등학교에서는 오차 이상의 다항함수, 짝함수인 특수함수는 다루지 않으므로, 고등학교 과정의 문제에서 찾고자 하는 함수가 다항함수라고 명시되어 있다면[3] 이차함수 혹은 사차함수일 확률이 매우 높다.
3.4. 삼차함수
모든 삼차함수의 그래프는 변곡점에 대하여 점대칭이므로 실수 [math(a)]와 [math(b)]에 대하여 다음이 성립한다.
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3.5. 사차함수
예시 1, 예시 2, 예시 3, 예시 4처럼 좌우 대칭인 개형의 사차함수 [math(f(x))]는 임의의 실수 [math(a)]에 대하여 다음을 만족시킨다.
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3.6. 상수함수·일차함수·이차함수
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[math(f'(t)(x-t)+f(t))]는 함수 [math(f(x))]의 그래프 위의 점 [math((t,\,f(t)))]에서의 접선의 방정식이다. 일차함수는 그래프가 선형이므로, 위에서 설명했듯이 [math(t)]의 값에 관계없이 그래프와 접선이 일치한다.
만약 [math(f(x))]가 이차함수이면 함수식과 접선의 방정식 사이에 실수 전체의 집합에서 대소 관계가 성립하는데, 등호는 [math(x=t)]일 때 성립함은 물론이다. 다음과 같이, 기하학적으로 그럴 수밖에 없다.
따라서 다음과 같이 쓸 수도 있다.
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3.7. 여러 차수(극한)
다항함수 [math(f(x))]와 실수 [math(a)], 음이 아닌 정수 [math(n)]에 대하여 다음이 성립한다.
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다항함수 [math(f(x))]와 실수 [math(a)], 정수 [math(n)]에 대하여 다음이 성립한다.
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먼저 분모의 극한이 [math(0)]인데 전체 식은 수렴하므로, 분자의 극한도 [math(0)]이어야 한다. [math(f(x))]는 다항함수이므로 실수 전체의 집합에서 연속인바 다음이 성립한다.[math(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=0)]
곧, [math(f(x))]는 상수항을 갖지 않는다. 따라서 우선 [math(f(x))]를 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(f(x)=\cdots+cx^{n+2}+bx^{n+1}+ax^n+dx^{n-1}+ex^{n-2}+\cdots+zx)]
식의 맨 앞에 [math(\cdots)]을 표시하는 이유는 [math(f(x))]의 차수를 모르기 때문이다. 이렇게 놓고 위 식의 분모와 분자를 약분하면 다음이 성립한다.
곧, [math((n-1))]차 이하의 항들의 계수에 따라 식의 수렴 여부가 달라진다. 곧, [math((n-1))]차 이하로는 항이 존재하지 않아야 식이 일정한 값 [math(a)]로 수렴하는 것이다. 따라서 [math(f(x))]를 다시 쓰면[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^n}&=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+cx^{n+2}+bx^{n+1}+ax^n+dx^{n-1}+ex^{n-2}+\cdots+zx}{x^n}\\&=\lim_{x\to0}\left(\cdots+cx^2+bx+a+\dfrac{d}{x}+\dfrac{e}{x^2}+\cdots+\dfrac{z}{x^{n-1}}\right)\\&=\begin{cases}a\quad&(d=e=\cdots=z=0)\\\textsf{\footnotesize{수렴하지 않음}}\quad&(\textsf{otherwise})\end{cases}\end{aligned})] [math(f(x)=\cdots+cx^{n+2}+bx^{n+1}+ax^n\;(a\neq0))]
이며 [math(f(x))]의 최저차항은 [math(ax^n)]이 된다. 그리고 이는 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 차수가 [math(\boldsymbol n)] 이상임을 의미한다. 한편, [math(a=0)]이면 같은 과정을 거쳤을 때 [math(n)]차항이 없어지므로 [math(f(x))]는 자연스럽게 [math((n+1))]차 이상이 되는 것이다.
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[math(f(x))]는 다항함수이고 [math(n)]은 자연수이며 [math(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^n}=4)]이므로 [math(f(x))]의 최저차항은 [math(4x^n)]이며 [math(f(x))]의 차수는 [math(n)] 이상이다. 참고로 정답은 ③이다.2020학년도 6월 고3 나형 20번
위 내용을 더욱 일반적인 차원에서 다룰 수 있는데, [math(0)]이 아닌 두 다항함수 [math(f(x))], [math(g(x))]와 실수 [math(a)]에 대하여 다음이 성립한다.
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[math(f(x))]와 [math(g(x))]의 최저차항의 차수를 각각 [math(f)], [math(g)]라 하고 [math(n)]차항의 계수를 각각 [math(F_n)], [math(G_n)]이라 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
식의 맨 앞에 [math(\cdots)]을 표시하는 이유는 [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 차수를 모르기 때문이다. 이때 극한[math(\begin{aligned}f(x)&=\cdots+F_{f+1}x^{f+1}+F_fx^f\\g(x)&=\cdots+G_{g+1}x^{g+1}+G_gx^g\end{aligned})] [math((f,\,g\geq0,\;f,\,g\in\mathbb{Z},\;F_fG_g\neq0))] [math(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+F_{f+1}x^{f+1}+F_fx^f}{\cdots+G_{g+1}x^{g+1}+G_gx^g})]
은 [math(fg\neq0)]이면 [math(0/0)] 꼴의 부정형이며, [math(fg=0)]이면 상수항이 발생하므로 [math(0/0)] 꼴이 되지 않는다. 그러나 어느 쪽이든지, 분모와 분자를 [math(x^{\min\{f,\,g\}})][4]으로 약분하여 극한을 구할 수 있다. 이는 기본적으로 [math(0/0)] 꼴의 부정형을 계산하는 대표적인 방법인데, 이에 해당하지 않는 [math(fg=0)]의 경우에도 이 표현 자체는 통한다는 것이다. 왜냐하면 이 경우 [math(f)]와 [math(g)] 중 적어도 하나가 [math(0)]이므로 [math(\min\{f,\,g\})]의 값도 [math(0)]이 되어 [math(x^0=1)]로 약분하는 셈인데, 이는 결국 식에 아무런 조작을 가하지 않는 것과 같기 때문이다. 따라서 [math(f(x))]와 [math(g(x))]가 상수항을 갖는지의 여부에 상관없이 다음과 같이 경우를 분류할 수 있으며, 각 경우의 극한이 어떠한지를 조사하면 된다.
[1] [math(\boldsymbol{f<g\;(\min\{f,\,g\}=f)})]
이 경우 [math(f(x))]가 [math(g(x))]보다 최저차항의 차수가 낮다. 따라서 분모와 분자를 [math(x^f)]으로 약분해서 극한을 구한다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+F_{f+1}x^{f+1}+F_fx^f}{\cdots+G_{g+1}x^{g+1}+G_gx^g}\\&=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+F_{f+1}x+F_f}{\cdots+G_{g+1}x^{g-f+1}+G_gx^{g-f}}\end{aligned})]
따라서 분모는 [math(0)]으로, 분자는 [math(F_f)]에 수렴하므로 극한은 [math(F_f>0)]이면 [math(\infty)]가, [math(F_f<0)]이면 [math(-\infty)]가 된다. [math(F_f\neq0)]임에 유의하자.
[2] [math(\boldsymbol{f>g\;(\min\{f,\,g\}=g)})]
이 경우 [math(g(x))]가 [math(f(x))]보다 최저차항의 차수가 낮다. 따라서 분모와 분자를 [math(x^g)]으로 약분해서 극한을 구한다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+F_{f+1}x^{f+1}+F_fx^f}{\cdots+G_{g+1}x^{g+1}+G_gx^g}\\&=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+F_{f+1}x^{f-g+1}+F_fx^{f-g}}{\cdots+G_{g+1}x+G_g}\\&=\dfrac0{G_g}=0\end{aligned})]
위 경우와는 정반대로 분모는 [math(G_g)]로, 분자는 [math(0)]에 수렴하므로 극한은 [math(0)]이다. [math(G_g\neq0)]임에 유의하자.
[3] [math(\boldsymbol{f=g\;(\min\{f,\,g\}=f=g)})]
이 경우 [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 최저차항의 차수가 같다. 따라서 분모와 분자를 [math(x^f=x^g)]으로 약분해서 극한을 구한다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+F_{f+1}x^{f+1}+F_fx^f}{\cdots+G_{g+1}x^{g+1}+G_gx^g}\\&=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+F_{f+1}x+F_f}{\cdots+G_{g+1}x+G_g}\\&=\dfrac{F_f}{G_g}\quad(\because F_fG_g\neq0)\end{aligned})]
[math(F_fG_g\neq0)]이므로 극한값은 [math(0)]이 아닌 실수가 된다.
위의 내용을 요약하면 다음과 같으므로, 해당 사실이 증명되었다.- [math(f<g)]: 극한이 무한대로 발산
- [math(f>g)]: 극한이 [math(0)]
- [math(f=g)]: 극한이 [math(0)]이 아닌 실수
또한 위 내용을 종합하면, 다항함수 [math(f(x))]와 [math(n>m)]인 두 자연수 [math(n)], [math(m)]에 대하여 다음이 성립한다.
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먼저, [math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x^n+\cdots}=p)]이면 [math(f(x))]의 최고차항은 [math(px^n)]임을 쉽게 알 수 있다. 이제 그 다음 단서를 보자. 위에서 [math(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^n}=a\neq0)]이면 [math(f(x))]의 최저차항은 [math(ax^n)]이라고 했다. 그렇다면 지금 언급하는 [math(\displaystyle\lim_{x\to k}\dfrac{f(x)}{(x-k)^m}=q)]인 경우는 어떨까? 이 경우 [math(x-k=t)]로 치환한 뒤 똑같이 생각하면 된다.[math(\displaystyle\lim_{x\to k}\dfrac{f(x)}{(x-k)^m}=\lim_{t\to0}\dfrac{f(t+k)}{t^m}=q)]
한편, [math(\displaystyle\lim_{x\to k}\dfrac{f(x)}{(x-k)^m}=q)]에서 분모가 [math(0)]에 수렴하는데 극한값이 존재하므로 분자 역시 [math(0)]으로 수렴해야 한다. 곧, [math(\displaystyle\lim_{x\to k}f(x)=f(k)=0)]이다. 이상의 내용을 종합하면, [math(f(x))]의 최고차항은 [math(px^n)]이고 최저차항의 차수는 [math(m)]이며 [math(f(k)=0)]이다. 곧, [math(f(x))]는 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{t\to0}\dfrac{f(t+k)}{t^m}&=\lim_{t\to0}\dfrac{\cdots+ct^{m+2}+bt^{m+1}+qt^m+dt^{m-1}+et^{m-2}+\cdots+zt}{t^m}\\&=\lim_{t\to0}\left(\cdots+ct^2+bt+q+\dfrac{d}{t}+\dfrac{e}{t^2}+\cdots+\dfrac{z}{t^{n-1}}\right)\\&=\begin{cases}q\quad&(d=e=\cdots=z=0)\\\textsf{\footnotesize{수렴하지 않음}}\quad&(\textsf{otherwise})\end{cases}\\\\\therefore f(t+k)&=\cdots+ct^{m+2}+bt^{m+1}+qt^m\quad(q\neq0)\\\\\rightarrow f(x)&=\cdots+c(x-k)^{m+2}+b(x-k)^{m+1}+q(x-k)^m\quad(q\neq0)\end{aligned})] [math(f(x)=p(x-k)^n+\cdots+c(x-k)^{m+2}+b(x-k)^{m+1}+q(x-k)^m)]
이때, [math(k=0)]이면 위와 같은 치환을 거칠 필요가 없으므로 간단히[math(f(x)=px^n+\cdots+cx^{m+2}+bx^{m+1}+qx^m)]
이 되며, 이는 [math(f(x))]의 최고차항은 [math(px^n)], 최저차항은 [math(qx^m)]임을 뜻한다.
3.8. 차수별 특징
차수별로 특기할 만한 점을 다음과 같이 정리할 수 있다. 문제에서 직·간접적으로 제시되는 단서는 다음과 같은 내용들을 함의하곤 한다.‘유일’은 그 차수의 다항함수만이 갖는 특징임을, ‘최소’는 다른 차수의 다항함수에서도 나타나는 특징이지만 해당 차수의 함수가 이 성질이 나타나는 최소 차수의 다항함수임을, ‘최대’는 최대 차수의 다항함수임을 의미한다. 또한, 함수는 실수 전체의 집합에서 정의되었다고 가정한다.
- 상수함수
- 유일
- 차수가 로그함수와 동일
- 원시함수가 도함수와 차수가 같음(참고)
- 원시함수가 도함수와 일치할 수 있음([math(y=0\Rightarrow y'=0)])(참고)
- 가능한 모든 그래프의 기울기가 일치(0으로 일정)(참고)
- 극점의 개수가 무한대(참고)
- 그래프와 [math(x)]축과의 교점이 존재하되 유한할 수 없음
- 같은 차수의 그래프끼리 교점이 존재하되 유한할 수 없음
- 홀함수가 아니면서 그래프가 점대칭
- 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수의 최댓값이 함수의 차수와 다름(참고)
- 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수의 최솟값이 함수의 차수와 같음(참고)
- 그래프 위의 모든 점이 극대점이자 극소점이자 최대점이자 최소점(참고)
- 최소
- 그래프의 기울기가 일정(그래프가 선형)(참고)
- 그래프와 수직인 직선에 대하여 대칭
- 그래프 위의 임의의 점에 대하여 대칭
- 선대칭이면서 점대칭
- 극값의 개수가 1(참고)
- 가능한 모든 그래프의 극값의 개수가 일치(1)(참고)
- 극댓값과 극솟값이 일치할 수 있음(참고)
- 극댓값과 극솟값을 동시에 가질 수 있음
- 가능한 모든 그래프가 합동(참고)
- 가능한 모든 그래프가 닮음(참고)
- 그래프와 [math(x)]축과의 교점이 존재하지 않을 수 있음
- 일대일대응이 아님
- 같은 차수의 그래프끼리 교점의 개수가 유한할 수도 있고 무한할 수도 있음
- 그래프 위의 점의 접선과 그래프의 교점의 개수가 무한대(접선과 그래프가 일치)(참고)
- 서로 다른 차수의 다항함수(일차함수)와 그래프가 닮음/합동일 수 있음[A]
- 오목성 및 볼록성을 띠지 않음[B]
- 일차함수
- 유일
- 최소
- 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수의 최댓값이 함수의 차수와 같음(참고)
- 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수의 최솟값이 함수의 차수와 다름(참고)
- 그래프와 [math(x)]축과의 교점이 항상 존재(참고)
- 역함수가 존재(일대일대응)
- 그래프에 따라 역함수의 그래프와의 교점의 개수가 달라짐
- 역함수의 그래프와의 교점의 개수가 무한대일 수 있음
- 극값이 존재하지 않을 수 있음(참고)
- 그래프의 접선이 그래프와 교차하지 않음
- 최대
- 그래프의 기울기가 일정(선형)(참고)
- 그래프와 수직인 직선에 대하여 대칭
- 그래프 위의 임의의 점에 대하여 대칭
- 가능한 모든 그래프가 합동(참고)
- 그래프 위의 점의 접선과 그래프의 교점의 개수가 무한대(접선과 그래프가 일치)(참고)
- 같은 차수의 그래프끼리 교점의 개수가 유한할 수도 있고 무한할 수도 있음
- 서로 다른 차수의 다항함수(상수함수)와 그래프가 닮음/합동일 수 있음[A]
- 오목성 및 볼록성을 띠지 않음[B]
- 기타
- 이차함수
- 유일
- 가능한 모든 그래프가 닮음이면서 직선이 아님(참고)
- 그래프가 선대칭이면서 직선이 아님(참고)
- 그래프가 선대칭이면서 점대칭이 아님(참고)
- 그래프의 접선의 기울기가 같은 서로 다른 점이 존재하지 않음(참고)
- 그래프 위의 점의 접선과 그래프의 교점의 개수가 유한하고 일정(1)(참고)
- 그래프가 직선이 아니면서 극값의 개수가 1(참고)
- 그래프가 직선이 아니면서 볼록성이 바뀌지 않음
- 평균값 정리를 만족시키는 점이 항상 해당 구간의 정중앙에만 존재(참고)
- 최고차항의 계수가 고정되어 있을 때 그래프와 임의의 한 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이가 전적으로 두 교점의 [math(x)]좌표의 차에 의존
- 최소
- 기울기가 일정하지 않음(그래프가 직선이 아님)(참고)
- 그래프가 직선이 아니면서 그래프와 [math(x)]축과의 교점이 존재하지 않을 수 있음(참고)
- 그래프가 직선이 아니면서 일대일대응이 아님(참고)
- 그래프가 직선이 아니면서 점대칭이 아님(참고)
- 가능한 모든 그래프가 합동이지는 않음(참고)
- 최대
- 삼차함수
- 유일
- 가능한 모든 그래프가 점대칭이면서 직선이 아님(참고, 참고)
- 가능한 모든 그래프가 점대칭이지만 선대칭이 아님(참고, 참고)
- 가능한 모든 그래프가 변곡점이 존재하면서 변곡점의 개수가 일치(1)(참고)
- 가능한 모든 그래프에 평균값 정리의 역의 반례가 존재(참고)[9]
- 최소
- 변곡점이 존재(참고)
- 변곡점의 개수가 홀수(참고)
- 그래프가 선대칭이 아님(참고)
- 평균값 정리의 역의 반례가 존재(참고)
- 일대일대응일 수도 있고 아닐 수도 있음(참고)[10]
- 그래프가 직선이 아니면서 일대일대응일 수 있음(개형 ②, ③, ⑤, ⑥)
- 역함수가 존재하면 역함수의 그래프와의 교점의 개수가 유한함
- 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수의 최솟값이 0이 아님(참고)
- 그래프가 직선이 아니면서 그래프와 [math(x)]축과의 교점이 항상 존재(참고)
- 그래프에 따라 극값의 개수가 달라질 수 있음(참고)
- 그래프가 직선이 아니면서 극값이 존재하지 않을 수 있음(참고)
- 그래프가 직선이 아니면서 극값의 개수가 항상 짝수(참고)
- 그래프가 직선이 아니면서 극댓값과 극솟값을 동시에 가질 수 있음(개형 ①, ④)
- 그래프가 직선이 아니면서 볼록성이 바뀜[11]
- 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 점이 그래프 위에 존재할 수 있음(개형 ②, ⑤)
- 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 그래프 위의 점이 존재하면 그 개수는 일정함(1)(개형 ②, ⑤)
- 역함수가 존재하면 역함수의 그래프에 미분불능점이 존재할 수 있음(개형 ②, ⑤)
- 그래프의 접선이 그래프와 교차할 수 있음
- 접선의 기울기가 변곡점에서 무조건 최대 혹은 최소
- 변곡점을 중심으로 접선의 기울기가 같은 두 대칭점을 가지며, 그 접선들 또한 변곡점에 대해 대칭
- [math(y)]좌표가 같은 그래프 위의 두 점의 [math(x)]좌표의 차에 최댓값이 존재할 수 있음(참고)
- 사차함수
- 유일
- 이중접선이 존재하면 이중접선의 개수는 일정함(1)(참고)
- 이중접선이 존재하면 이중접선은 그래프와 교차하지 않음(참고)
- 이중접선이 존재하면 이중접선과 그래프의 교점의 개수가 일정함(2)
- 최소
- 그래프에 따라 변곡점의 개수가 달라짐(참고)
- 변곡점의 개수가 짝수(참고)
- 그래프가 비대칭일 수 있음[12](개형 ①, ②를 제외한 모든 개형)
- 그래프가 비대칭이면서 극값의 개수가 1일 수 있음(⑨, ⑩)
- 한 그래프에 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 점과 극점이 동시에 존재할 수 있음(개형 ⑤, ⑥)
- 극값의 개수와 극점의 개수가 달라질 수 있음(개형 ②, 참고)
- 극댓값 또는 극솟값이 둘 이상 존재할 수 있음(개형 ③, ④)
- 그래프의 이중접선이 존재할 수 있음(개형 ①, ⑨, ⑩을 제외한 모든 개형, 참고)
- 그래프에 따라 이중접선의 개수가 달라질 수 있음(참고)
- 그래프의 접선이 그래프와 교차할 수도 있고 교차하지 않을 수도 있음
- 변곡점이 존재하면 모든 변곡점에서의 접선의 기울기는 최대도 최소도 아님
- 변곡점이 존재할 수 있으면서 변곡점의 존재와 이중접선의 존재가 서로 필요충분조건
- 오차함수
- 최소
- 역함수를 초등함수로 표현할 수 없음[13]
- 그래프가 직선이 아니면서 극댓값과 극솟값이 일치할 수 있음
- 극솟값이 극댓값보다 클 수 있음
- 최댓값과 최솟값이 존재하지 않으면서 한 그래프에 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 점과 극점이 동시에 존재할 수 있음
- 변곡점이 둘 이상일 때 변곡점에서의 접선의 기울기의 부호가 모두 같을 수 있음
- 서로 다른 변곡점의 접선의 기울기가 동일할 수 있음
- 접선의 기울기가 변곡점에서 최대 혹은 최소일 수 있고 그렇지 않을 수도 있음
- 이중접선이 존재하면 그래프에 따라 이중접선의 개수가 달라질 수 있음
- 이중접선이 존재하면 이중접선과 그래프가 교차함
- 이중접선이 존재하면 그래프에 따라 이중접선과 그래프의 교점의 개수가 달라질 수 있음
- 육차함수
- 유일
- 삼중접선이 존재하면 삼중접선의 개수는 일정함(1)
- 삼중접선이 존재하면 이중접선은 그래프와 교차하지 않음
- 삼중접선이 존재하면 이중접선과 그래프의 교점의 개수가 일정함(3)
- 최소
4. 인수
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- 증명 [펼치기·접기]
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어떤 정수 [math(k)]에 대하여 [math(f(x))]가 [math((x-a)^{n+k}\;(n+k\geq0))]으로 나누어떨어진다고 하자. 그러면 다항함수 [math(g(x))]에 대하여 [math(f(x))]를 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(\begin{aligned}f(x)&=(x-a)^{n+k}g(x)\quad(g(a)\neq0)\\\\\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{(x-a)^n}{f(x)}&=\lim_{x\to a}\dfrac{(x-a)^n}{(x-a)^{n+k}g(x)}\end{aligned})]
이때, [math(k\geq0)]이면 다음과 같이 분모와 분자를 [math((x-a)^n)]으로 약분하여 극한을 구할 수 있다.[math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{(x-a)^n}{(x-a)^{n+k}g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac1{(x-a)^kg(x)})]
[math(k)]의 값에 따라 다음과 같이 극한은 달라지지만 [math(0)]이 되지는 않는다.- [math(\boldsymbol{k=0})]
- [math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac1{(x-a)^0g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac1{g(x)}=\dfrac1{g(a)}\neq0)]
- [math(\boldsymbol{k>0})]
- [math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac1{(x-a)^kg(x)}=\infty)]
- [math(\boldsymbol{k<0})]
- [math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{(x-a)^n}{(x-a)^{n+k}g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{(x-a)^{-k}}{g(x)}=\dfrac0{g(x)}=0)]
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- 증명 [펼치기·접기]
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먼저, 어떤 상수 [math(d_0,\,d_1,\,d_2,\,\cdots)] 및 [math(a)]에 대하여 [math(n)]차함수 [math(f(x))]를 다음과 같이 나타낼 수 있다.[math(\begin{aligned}f(x)&=d_n(x-a)^n+\cdots+d_1(x-a)+d_0\\&=\displaystyle\sum_{i=0}^nd_i(x-a)^i\end{aligned})]
이에 따라 [math((x-a)f'(x))]는 다음과 같다.[math(\begin{aligned}f'(x)&=\displaystyle\sum_{i=0}^nid_i(x-a)^{i-1}\\\rightarrow(x-a)f'(x)&=\displaystyle\sum_{i=0}^nid_i(x-a)^i\end{aligned})]
그러면 구하고자 하는 값은 다음과 같다.
바로 아래에서 살펴 보겠지만, 위 극한식의 값은 분자와 분모가 [math((x-a))]로 몇 번 약분되는지에 따라 달라진다. 이때 어떤 [math(d_i)]의 값이 [math(0)]이라면 그 [math(d_i)]가 곱해진 항은 무시해도 좋으므로, 결국 위 식의 극한을 계산할 때는 [math(d_i)]의 값이 [math(0)]이 아니어서 항 [math((x-a))]가 그대로 남아 있게 되는 [math(i)]의 최솟값을 조사해야 한다. 그 이유를 알아보자. 예를 들어 [math(d_1\neq0)]이면 [math((x-a))]로는 약분할 수 있어도 [math((x-a)^2)]으로는 약분할 수 없는 반면, [math(d_1=0)]이면 해당 항들이 아예 사라져 [math((x-a)^2)]으로도 약분할 수 있게 된다. 이와 같이 [math(d_i\neq0)]인 [math(i)]의 최솟값에 따라서 분자와 분모가 [math((x-a))]로 약분되는 횟수가 달라지는 것이다. 이에 따라 그 최솟값을 [math(k)]라 하면 극한값은 다음과 같이 계산된다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{(x-a)f'(x)}{f(x)}&=\lim_{x\to a}\frac{\displaystyle\sum_{i=0}^nid_i(x-a)^i}{\displaystyle\sum_{i=0}^nd_i(x-a)^i}\\&=\lim_{x\to a}\frac{nd_n(x-a)^n+\cdots+1\cdot d_1(x-a)+0\cdot d_0}{d_n(x-a)^n+\cdots+d_1(x-a)+d_0}\end{aligned})]
곧, [math(d_i\neq0)]인 [math(i)]의 최솟값 [math(k)]가 그대로 극한값이 되며, 이때의 [math(f(x))]는 다음과 같다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{(x-a)f'(x)}{f(x)}&=\lim_{x\to a}\frac{\displaystyle\sum_{i=0}^nid_i(x-a)^i}{\displaystyle\sum_{i=0}^nd_i(x-a)^i}\\&=\lim_{x\to a}\frac{\displaystyle\sum_{i=k}^nid_i(x-a)^i}{\displaystyle\sum_{i=k}^nd_i(x-a)^i}\\&=\lim_{x\to a}\frac{nd_n(x-a)^n+(n-1)d_{n-1}(x-a)^{n-1}+\cdots+kd_k(x-a)^k}{d_n(x-a)^n+d_{n-1}(x-a)^{n-1}+\cdots+d_k(x-a)^k}\\&=\lim_{x\to a}\frac{nd_n(x-a)^{n-k}+(n-1)d_{n-1}(x-a)^{n-1-k}+\cdots+kd_k}{d_n(x-a)^{n-k}+d_{n-1}(x-a)^{n-1-k}+\cdots+d_k}\\&=\frac{kd_k}{d_k}=k\quad(\because d_k\neq0)\end{aligned})]
따라서 [math(f(x))]는 [math((x-a)^k)]을 인수로 가지지만 [math((x-a)^{k+1})]을 인수로 가지지는 않으며, [math((x-a))]로 [math(k)]번까지만 나누어떨어진다. [math(f(x))]가 이러한 형태일 때 극한값이 [math(k)]가 되는 것이다.[math(\begin{aligned}f(x)&=\displaystyle\sum_{i=0}^nd_i(x-a)^i=\sum_{i=k}^nd_i(x-a)^i\\&=d_n(x-a)^n+d_{n-1}(x-a)^{n-1}+\cdots+d_k(x-a)^k\\&=(x-a)^k\left\{d_n(x-a)^{n-k}+d_{n-1}(x-a)^{n-1-k}+\cdots+d_k\right\}\end{aligned})]
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다음 그림들을 참고하자.
사차함수까지만 명시적으로 다루는 고등학교 수학에서는 대부분의 경우 세제곱까지만 알면 충분하다. 네제곱의 경우 [math(y=x^4)]과 같은 단조로운 개형뿐이므로 그다지 자주 출제되지 않기 때문이다.
- 예제 [펼치기·접기]
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[math(f(x))]는 다항함수이므로 인수정리에 의하여 [math(f(n)=0)]이면 [math(f(x))]는 [math((x-n))]을 인수로 갖는다. 그러면 (나)의 [math((x+n)f(x))]는 [math((x+n))]과 [math((x-n))]을 인수로 갖는다. 그러면 이 함수의 그래프가 [math(x=n)]과 [math(x=-n)]에서 [math(x)]축과 만나는데, 그러면서도 함수가 항상 [math(0)] 이상이려면 여기에서 [math(x)]축과 접해야만 한다. [math(f(x))]는 삼차함수이므로, 결국 다음이 성립한다.2016학년도 6월 고3 A형 21번 [math(\begin{aligned}f(x)&=(x+n)(x-n)^2\\(x+n)f(x)&=(x+n)^2(x-n)^2\end{aligned})]
참고로 [math(a_n=32n^3/27)]이며 정답은 ③이다.
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- 증명(제곱) [펼치기·접기]
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증명하고자 하는 명제는다항식 [math(f(x))]가 [math((x-a)^2)]으로 나누어떨어진다.
[math(\Leftrightarrow\; f(a)=f'(a)=0)]
과 같이 쌍조건문이다. 따라서 if 조건과 그 역을 모두 증명해야 한다. 먼저 if 조건을 증명하자. [math(f(x))]가 [math((x-a)^2)]으로 나누어떨어지면 그 몫을 [math(Q(x))]라 하여[math(f(x)=(x-a)^2Q(x))]
로 인수분해할 수 있다. 양변에 [math(x=a)]를 대입하면 [math(f(a)=0)]이고, 양변을 미분하면[math(f'(x)=2(x-a)Q(x)+(x-a)^2Q'(x))]
이므로 [math(x=a)]를 대입하면 [math(f'(a)=0)]이다. 이제 역을 증명하자. [math(f(x))]를 [math((x-a)^2)]으로 나눈 몫을 [math(Q(x))]라 하고 나머지를 [math(ax+b)]라 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(f(x)=(x-a)^2Q(x)+px+q\;\cdots\,(\rm A))]
여기에서 조건 [math(f(a)=0)]과 [math(f'(a)=0)]을 이용하면 [math(p)]와 [math(q)]의 값을 구할 수 있다. [math((\rm A))]의 양변을 미분하면[math(f'(x)=2(x-a)Q(x)+(x-a)^2Q'(x)+p)]
이고 양변에 [math(x=a)]를 대입하면[math(f'(a)=p)]
에서 [math(p=0)]이다. 또한 [math((\rm A))]의 양변에 바로 [math(x=a)]를 대입하면[math(f(a)=pa+q=q)]
이므로 [math(q=0)]이다. 따라서 다음과 같이 [math(f(x))]는 [math((x-a)^2)]으로 나누어떨어진다.[math(f(x)=(x-a)^2Q(x))]
이 내용은 다음과 같이 2023학년도 수능특강 수학Ⅱ 36쪽에 실린 적도 있다.[14]
- 증명(세제곱) [펼치기·접기]
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증명하고자 하는 명제는다항식 [math(f(x))]가 [math((x-a)^3)]으로 나누어떨어진다.
[math(\Leftrightarrow\; f(a)=f'(a)=f''(a)=0)]
과 같이 쌍조건문이다. 따라서 if 조건과 그 역을 모두 증명해야 한다. 먼저 if 조건을 증명하자. [math(f(x))]가 [math((x-a)^3)]으로 나누어떨어지면 그 몫을 [math(Q(x))]라 하여[math(f(x)=(x-a)^3Q(x))]
로 인수분해할 수 있다. 양변에 [math(x=a)]를 대입하면 [math(f(a)=0)]이고, 양변을 미분하면[math(f'(x)=3(x-a)^2Q(x)+(x-a)^3Q'(x))]
이므로 [math(x=a)]를 대입하면 [math(f'(a)=0)]이다. 양변을 또 미분하면[math(\begin{aligned}f''(x)&=6(x-a)Q(x)+3(x-a)^2Q'(x)\\&+3(x-a)^2Q(x)+(x-a)^3Q'(x)\end{aligned})]
이므로 [math(x=a)]를 대입하면 [math(f''(a)=0)]이다. 이제 역을 증명하자. [math(f(x))]를 [math((x-a)^3)]으로 나눈 몫을 [math(Q(x))]라 하고 나머지를 [math(px^2+qx+r)]이라 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(f(x)=(x-a)^3Q(x)+px^2+qx+r\;\cdots\,(\rm A))]
여기에서 조건 [math(f(a)=0)], [math(f'(a)=0)], [math(f''(a)=0)]을 이용하면 [math(p)], [math(q)], [math(r)]의 값을 구할 수 있다. [math((\rm A))]의 양변을 두 번 미분하면[math(\begin{aligned}f(x)&=6(x-a)Q(x)+3(x-a)^2Q'(x)\\&+3(x-a)^2Q'(x)+(x-a)^3Q(x)\\&+2p\end{aligned})]
이고 양변에 [math(x=a)]를 대입하면[math(f''(a)=2p)]
에서 [math(p=0)]이다. 또한 [math((\rm A))]의 양변을 한 번 미분하면[math(f'(x)=3(x-a)^2Q(x)+(x-a)^3Q'(x)+2px+q)]
이고 양변에 [math(x=a)]를 대입하면[math(f'(a)=2pa+q=q)]
에서 [math(q=0)]이다. 이제 [math((\rm A))]에 바로 [math(x=a)]를 대입하면[math(f(a)=pa^2+qa+r=r)]
이므로 [math(r=0)]이다. 따라서 다음과 같이 [math(f(x))]는 [math((x-a)^3)]으로 나누어떨어진다.[math(f(x)=(x-a)^3Q(x))]
- 증명(모든 n) [펼치기·접기]
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증명하고자 하는 명제는다항식 [math(f(x))]가 [math((x-a)^n)]으로 나누어떨어진다.
[math(\Leftrightarrow\; f(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0)]
과 같이 쌍조건문이다. 따라서 if 조건과 그 역을 모두 증명해야 한다. 이때, if 조건은 자연수 [math(n)]에 대하여다항식 [math(f(x))]가 [math((x-a)^n)]으로 나누어떨어진다.
[math(\Rightarrow\; f(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0)]
이 성립하는 것이다. 이를 명제함수 [math(P(n))]으로 정의하여 수학적 귀납법으로 증명하고, [math(P(n))]의 역다항식 [math(f(x))]가 [math((x-a)^n)]으로 나누어떨어진다.
[math(\Leftarrow\; f(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0)]
은 별도로 모든 [math(n)]에 대하여 동시에 증명하자.
먼저 [math(P(n))]을 수학적 귀납법으로 증명하자. 그러면 [math(P(1))]이 참임을 보인 뒤, 자연수 [math(k)]에 대하여 [math(P(k))]가 참일 때 [math(P(k+1))] 역시 참임을 보이면 된다. 먼저 [math(P(1))]은 사실 인수정리의 일부[15]로서, 이는 참으로 잘 알려져 있다. 이제 [math(P(k))]가 참이라고 가정하자. 그러면다항식 [math(f(x))]가 [math((x-a)^k)]으로 나누어떨어진다.
[math(\Rightarrow\; f(a)=\cdots=f^{(k-1)}(a)=0)]
이 성립하게 되어 [math(f(x))]를 [math((x-a)^k)]으로 나눈 몫을 [math(Q_1(x))]라 하면[math(f(x)=(x-a)^kQ_1(x))]
로 쓸 때, [math(f(a)=\cdots=f^{(k-1)}(a)=0)]이 성립한다. 이 상태에서 또 다른 함수[math(g(x)=(x-a)f(x)=(x-a)^{k+1}Q_1(x))]
를 정의하여 [math(g(x))]가[math(g(a)=\cdots=g^{(k)}(a)=0)]
을 만족시킴을 보이자. 이를 위하여 [math(g(x))]를 [math(n)]번 미분한 식을 쓰자. 이때 [math(n)]은 [math(k)] 이하의 음이 아닌 정수로서, 라이프니츠 법칙에 의하여 다음이 성립한다.[16]
여기에서 [math(\binom ni)]는 조합으로, 고등학교 교육과정에서는 [math({}_n{\rm C}_i)]로 표기한다. 이때, [math((x-a))]는 미분하면 다음과 같이 변해 간다.[math(\begin{aligned}g^{(n)}(x)&=\dfrac{\rm d}{{\rm d}x^n}(x-a)f(x)\\&=\displaystyle\sum_{i=0}^n\binom nif^{(n-i)}(x)\dfrac{\rm d}{{\rm d}x^i}(x-a)\;\cdots\;(\rm a)\end{aligned})] [math(\begin{aligned}\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}(x-a)&=1\\\dfrac{\rm d}{{\rm d}x^2}(x-a)&=\dfrac{\rm d}{{\rm d}x^3}(x-a)=\cdots=0\end{aligned})]
따라서 [math((\rm a))]를 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(\begin{aligned}g^{(n)}(x)&=\binom n0f^{(n)}(x)\cdot(x-a)+\binom n1f^{(n-1)}(x)\cdot1\\&=(x-a)f^{(n)}(x)+nf^{(n-1)}(x)\end{aligned})]
앞서 [math(P(k))]가 참이라고 가정했으므로[math(f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(k-1)}(a)=0)]
인 상태이다. 즉, [math(k)] 이하의 모든 음이 아닌 정수 [math(n)]에 대하여 [math(f^{(n)}(a)=0)]이다. 따라서 [math(k)] 이하의 자연수 [math(n)]에 대하여 다음이 성립한다.[math(\begin{aligned}g^{(n)}(a)&=(a-a)f^{(n)}(a)+nf^{(n-1)}(a)\\&=nf^{(n-1)}(a)=0\end{aligned})]
한편 [math(g(a))]의 경우[math(g(x)=(x-a)f(x)=(x-a)^{k+1}Q_1(x))]
이므로 당연히 [math(g(a)=0)]이 된다. 따라서 모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(P(n))]은 참이다. 이제 [math(P(n))]의 역을 모든 [math(n)]에 대하여 동시에 증명하자. 다시 말해서,[math(g(a)=g'(a)=\cdots=g^{(n)}(a)=0)]
이면 [math(g(x)=(x-a)f(x))]가 [math((x-a)^{n+1})]을 인수로 가짐을 증명하자. 우선 다음과 같이 쓰자.
즉, [math(g(x))]를 [math((x-a)^{n+1})]으로 나눈 몫은 [math(Q_3(x))]이며, [math((n+1))]차식으로 나누었으므로 그 나머지는 [math(n)]차 이하의 다항식이 된다는 것이다. 이때 [math(R_i)]는 상수로서, 나머지의 [math(i)]차항의 계수이다. 그러면 [math(g(x))]가 [math((x-a)^{k+1})]을 인수로 가지려면 모든 [math(R_i)]들이 [math(0)]이어야 한다. 미지수는 [math(R_0)]부터 [math(R_n)]까지 [math((n+1))]개이며, 방정식 역시 [math(g(a)=0)]부터 [math(g^{(n)}(a)=0)]까지 [math((n+1))]개이므로 이 연립방정식을 풀면 모든 미지수의 값을 결정할 수 있다. 따라서 [math(g^{(k)}(a))]를 계산하자. 이때, [math(k)]는 물론 [math(0\leq k\leq n)]인 정수이다.[math(\begin{aligned}g(x)&=(x-a)^{n+1}Q_3(x)+R_nx^n+R_{n-1}x^{n-1}+\cdots+R_1x+R_0\\&=(x-a)^{n+1}Q_3(x)+\displaystyle\sum_{i=0}^nR_ix^i\end{aligned})]
이때, [math((\rm b))]는 위에서 계산했던 [math((\rm a))]와 같은 형태이므로, 결국 모든 [math(n)]에 대하여 [math((x-a))]를 인수로 가짐을 이미 안다. 그렇다면 위 식에 [math(x=a)]를 대입하면 [math((\rm b))]는 사라지고 [math(R(x))]만이 남는다. 결국 풀어야 할 연립방정식은 모든 [math(k)]에 대하여[math(\begin{aligned}g^{(k)}(x)&=\underbrace{\left[\dfrac{\rm d}{{\rm d}x^k}(x-a)^{n+1}Q_3(x)\right]}_{\large(\rm b)}+\dfrac{\rm d}{{\rm d}x^k}\underbrace{\displaystyle\sum_{i=0}^nR_ix^i}_{\large=R(x)}\\&=({\rm b})+R^{(k)}(x)\end{aligned})] [math(g^{(k)}(a)=R^{(k)}(a)=0)]
이 성립하는 것과 같다. 우선 [math(R(x))]를 전개하면[math(R(x)=R_nx^n+R_{n-1}x^{n-1}+\cdots+R_1x+R_0)]
이다. 미분의 성질에 의하여 합의 미분은 미분의 합과 같으므로[17] 각 항의 미분을 조사하자. 일반적으로, 다항식의 미분에서 [math(ax^n)]을 미분하면 [math(nax^{n-1})]이 되므로 [math(i)]차항은 [math(i)]번 미분할 때 상수가 되며 그 값은 다음과 같다.[math(R_i\times i!)]
이에 따라 [math(i)]차항은 [math((i+1))]번 이상 미분하면 [math(0)]이 된다. 이 점을 이용하여 [math(R^{(n)}(x)=0,)] [math(R^{(n-1)}(x)=0...)] 순으로 풀어가는 것이 증명의 열쇠이다. 앞서 [math(n=2)]일 때와 [math(n=3)]일 때의 증명에서도 이 순서로 푼 것이 바로 이 때문이다. [math(R^{(n)}(x)=0)]을 먼저 보자. [math(R(x))]의 최고차항은 [math(n)]차항이므로[math(R^{(n)}(x)=R_n\times n!=0)]
이 된다. [math(n)]차 미만의 항들은 모두 [math(0)]이 되어 버린 것이다. 이때 [math(n!\neq0)]이므로 조건을 만족시키기 위해서는 [math(R_n=0)]이어야 한다. 결국 [math(R(x))]의 차수는 [math((n-1))]로 줄어들었다. 이 상태에서 [math(R^{(n-1)}(x)=0)]을 풀면 마찬가지로[math(R^{(n-1)}(x)=R_{n-1}\times(n-1)!=0)]
이 되며, [math((n-1)!\neq0)]이므로 [math(R_{n-1}=0)]이다. 이러한 과정을 반복하면 결국 다음의 결론에 도달한다.[math(R_n=R_{n-1}=\cdots=R_1=R_0=0)]
즉, [math(R(x)=0)]이므로[math(\begin{aligned}g(x)&=(x-a)^{n+1}Q_3(x)+R(x)\\&=(x-a)^{n+1}Q_3(x)\end{aligned})]
이며, [math(g(x))]는 [math((x-a)^{n+1})]을 인수로 가짐이 증명되었다. 즉, [math(P(n))]이 수학적 귀납법으로 증명된 데 이어 [math(P(n))]의 역까지 증명되었다. 최종적으로, 처음에 증명하고자 했던 다음의 쌍조건문이 모든 [math(n)]에 대하여 완전히 증명되었다.다항식 [math(f(x))]가 [math((x-a)^n)]으로 나누어떨어진다.
[math(\Leftrightarrow\; f(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0)]
5. 반례
, 병리적 함수
위 단서의 일부 혹은 전부가 다항함수가 아닌 다른 함수의 특성을 띠는 반례가 존재한다. 다시 말해서 다항함수로 단정하기에는 너무 조건이 약하다.[18][19] 이런 반례는 주로 실해석학에서 다룬다.
- 상수함수: 계단함수([math({rm sgn}(x))], [math(pi(x))], [math(u(x))] 등)가 있다. 적분열 일부가 상수함수와 일치한다. 계단함수는 아니지만 디리클레 함수 [math({\bold 1}_{\mathbb Q}(x))]는 두 끝점이 무리수라는 조건 하에 위의 상수함수의 공식이 성립한다.
- 일차함수: 일차함수가 아닌 선형함수([math(|x|)], [math(x - lfloor x rfloor)], [math(xu(x))] 등)가 있다.
- 삼차함수: 삼차함수 중 일부 개형과 닮은꼴인 함수([math(sinh x)], [math({rm artanh}, x)], [math({rm erfi}(x))], [math({rm igd}(x))], [math({rm Shi}(x))] 등)가 있다. 홀함수라는 점만 본다면 다항함수가 아닌 홀함수([math({rm sgn}(x))], [math(sin x)], [math({rm erf}(x))], [math({rm Si}(x))], [math(S(x))], [math(C(x))] 등)도 있다.[20]
- 이차함수, 사차함수: 다항함수가 아닌 짝함수([math(|x|)], [math(cos x)], [math(cosh x)], [math(e^{-x^2})] 등)가 있다.[21] 특히 [math(\cos x)]의 경우는 일부분만 그리는 경우가 많아[22] 개형만 보면 차수 많은 다항함수로 오해하기 딱 좋다. [math(\cosh x)] 역시 이차함수와 그래프의 개형이 닮았기 때문에[비교] 혼동이 잦다.
감이 잘 안 온다면 예시를 보자. 아래는 다항함수가 아닌 [math(y)]축 대칭함수(짝함수)의 예 중 하나인 정규분포 [math(y=e^{-x^2})]을 나타낸 것이다. 이 함수를 이차함수, 사차함수 추론 공식에 넣으면 이차함수 혹은 사차함수로 판정되는 모순이 발생하게 된다.[24] 이 때문에 추론에 곁들여 다항함수 외의 함수인지 실마리[25][26]를 찾아볼 필요가 있다.
6. 관련 문서
[1] 다루는 함수의 범위를 다항함수로 한정하지 않으면 점대칭이 아닌데도 대칭구간의 적분값이 [math(0)]인 경우를 배제할 수 없게 된다. 예를 들어 디리클레 함수로 알려진 [math(y={\bold 1}_{\mathbb Q}(x))]는 [math(y)]축에 대하여 선대칭이면서도 르베그 적분의 값이 항상 [math(0)]이다.[2] [math(t=1)]일 때는 [math(0/0)] 꼴의 부정형이 되어 버려 [math(f'(1))]을 제대로 알 수 없어 보이지만, [math(f(x))]가 다항함수이므로 실수 전체의 집합에서 미분 가능하다는 점을 이용하면, [math(t\neq1)]일 때 항상 기울기가 [math(1)]이라면 [math(t=1)]일 때도 기울기가 [math(1)]임을 알 수 있다.[3] 이 조건이 없으면 다항함수가 아닌 초등함수([math(\cos x)], [math(\sin x/x)], [math(e^{-x^2})] 등)나 절댓값 같은 교육과정 내의 비 다항함수로 함정을 파는 짓거리가 가능하다.[4] [math(\min)] 함수는 최솟값 함수로서, 두 수 [math(f)]와 [math(g)] 중에서 크지 않은 값을 함숫값으로 하는 함수이다.[A] 이런 경우는 상수함수와 일차함수뿐인데, 차수가 다른데도 둘 다 그래프가 완벽한 선형이기 때문이다.[B] 엄밀하게는 '위아래로 모두 볼록'하다. 혹은 '위아래로 모두 오목하다'라고도 표현할 수 있다.[A] [B] [9] 다름 아닌 변곡점이다.[10] 즉, 극값을 가질 수도 있고 갖지 않을 수도 있다. 고등학교 수학에서는 사차함수까지만 명시적으로 다루기 때문에, 이 범위에서는 삼차함수만이 이 특징을 가지게 되어 '극값을 가질/갖지 않을 조건' 등의 유형으로 중요하게 취급된다.[11] 볼록성이 바뀌는 지점은 다름 아닌 변곡점이다.[12] 즉, 선대칭도 아니고 점대칭도 아님[13] 그래서 오차함수부터는 브링 근호를 사용해야 한다.[14] 무슨 이유에서인지 매년 언급되는 것은 아니다. 2024학년도 수능특강에서는 결론만 언급되었고 증명은 누락되었다.[15] 인수정리는 정확히 말하면 [math(P(1))]과 그 역이 모두 성립한다는 정리이다.[16] 물론 라이프니츠 법칙 자체는 모든 음이 아닌 정수 [math(n)]에 대하여 훌륭히 성립한다. 단 지금은 [math(k)]계 미분의 값까지만 고려하는 상황이므로 [math(k\geq n)]으로 놓은 것이다.[17] 곧, [math((f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x))] 등의 것을 말한다.[18] 당장 삼차함수 추론 공식에 [math(y=\tan x)]를 넣어 보자. 탄젠트함수가 삼차함수가 되는 기적이 벌어진다.[19] 이로 인한 출제오류 가능성 때문에 다항함수 추론 문제는 무조건이라고 할 정도로 지문에 '다항함수'라는 것을 명시한다.[20] 참고로 다항함수가 아닌 홀함수는 다항함수인 홀함수의 무한합으로 근사할 수 있다.[21] 참고로 다항함수가 아닌 짝함수는 다항함수인 짝함수의 무한합으로 근사할 수 있다.[22] 사실 [math(\cos x)]는 끝이 없는 주기함수여서 공간이 얼마나 있든 그래프를 전부 그릴 수는 없다.[비교]
![파일:namu_이차함수_현수선_비교.png]()
[24] 대칭축이 [math(x=0)]이니, [math(f(-x)=f(x))]이고 임의의 실수 [math(t)]에 대해서 [math(\int_{-t}^0 f(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^{t} f(x) \,\mathrm{d}x)]이므로.[25] 예시로 든 아래의 정규분포 함수의 경우 점근선 [math(y=0)]이 있는데, 이차·사차함수에는 [math(\boldsymbol y)]축과 수직인 점근선이 없다는 것만 알면 이 함수가 이차함수나 사차함수가 아님을 쉽게 알 수 있다.[26] 더 엄밀히는, 함수의 콤팩트성이 일치하는지를 비교하는 것이다.