해당 내용에 대한 대수학적·해석기하학적 증명 그리고 평가원, 교육청, EBS, 한국과 일본의 각종 대학별 고사 등의 주요 대학 입시 관련 기출 문제를 실었다. 또한 원칙적으로 대한민국 고등학교 수학 교육과정의 범위 내에서 설명하지만, 설명의 편의상 교육과정을 벗어나는 내용이 등장할 수도 있음을 밝힌다. 이에 대해서는 각주 등으로 부연 설명을 했다.
'차수별 특징' 문단의 경우 차수에 대하여 유일, 최소, 최대를 다루므로 다항함수 전체에 대하여 역이 성립하지 않을 수 있다. 그러나 나머지 명제들은 특별한 언급이 없는 한 역도 성립한다.
다항함수 중에서는 그래프가 선형인 상수함수 및 일차함수에 대하여 성립하며, 그래프가 곡선인 경우에는 삼차함수의 경우에만 성립한다. 이차 이상의 모든 짝수 차수 다항함수는 점대칭함수가 아니며, 홀수 차수 다항함수 중에서는 삼차함수만이 모든 경우에 그래프가 점대칭이고 오차 이상의 경우 일부 특수한 경우만이 점대칭이다.
예제 [펼치기·접기]
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2021학년도 10월 20번
문제의 조건으로 보아 [math(f(x))]의 그래프는 점 [math((1,0))]에 대하여 점대칭이다. 따라서 [math(f(0)=0)]이면 [math(f(2)=0)]이다. 한편 [math(f(x))]의 최고차항의 계수는 [math(1)]이므로 다음이 성립한다.
이때 [math(y=f'(t)(x-t)+f(t))]는 다름 아닌 함수 [math(y=f(x))]의 그래프 위의 점 [math((t,\,f(t)))]에서의 접선의 방정식이다. 이것이 [math(f(x))] 자체와 일치해야 하므로 [math(f(x))]의 그래프는 직선이다. 그래프가 직선인 함수는 상수함수 또는 일차함수이므로 이 두 경우에 해당 식이 성립하는 것이다. 이 증명은 위에서 소개한 두 명제를 훌륭하게 연계해 준다.
이번에는 상수함수와 일차함수는 모두 그래프가 직선이라는 사실에 입각하여 [math(f(x)=px+q)]로 놓고 직접 계산을 진행해 보자. [math(f(x))]는 [math(p=0)]이면 상수함수, [math(p\neq 0)]이면 일차함수인 것이다. [math(f(x))]의 역도함수는 [math(F(x)=px^2/2+qx)]이므로 다음이 성립한다.
문제에서 위 식만을 제시했을 때 함수 [math(f(x))]의 그래프가 직선임을 알아내기 위해서는 전자의 방법을 쓰는 것이 옳다. 어떤 참인 명제의 이가 무조건 참이라는 보장이 없는 만큼 [math(f(x)=px+q)]로 나타내어지지 않는 경우에는 무조건 모순이 발생한다는 보장이 없기 때문에 엄밀한 의미로서의 '증명'이 결코 아니다. 다시 말해서 [math(f(x)=px+q)]일 수 있음을 보일 수는 있지만, [math(px+q)] 이외의 다른 가능성이 정말 없는지를 제대로 확신할 수 없다는 것이다. 심지어, 후자의 방법은 처음부터 [math(f(x)=px+q)]임을 전제하여 모순이 없음을 보이기 때문에 [math(f(x)=px+q)]로 나타내어진다는 사실을 먼저 알지 않고서는 시도하기 어려운 방법이기도 하다.
대수학적으로는 계수비교법을 통해 추론할 수 있다. [math(t)]가 상수이므로 [math(f(x)=f'(t)(x-t)+f(t))]에서 우변은 일차식이므로 [math(f(x))] 역시 일차식인 것이다. 그러나 주의할 점이 있는데, 이 방법은 [math(n=0)]일 때를 포괄하지 못한다는 것이다. 이 방법은 [math((x-t))]라는 항을 보고 우변을 일차식으로 판단한 것인데, 만약 [math(f(x))]가 상수함수이면 [math(f'(t)=0)]이므로 우변의 [math((x-t))]가 무시되어 버리기 때문이다. 그래서 전체 식은 [math(f(x)=f(t))]가 되어 임의의 실수 [math(t)]에 대하여 이 식은 충분히 참이다. 결론적으로 [math(f(x))]는 상수함수 또는 일차함수이며, [math(f(x))]의 그래프는 직선이다.
계수비교법은 이러한 문제점 때문에 사실 완전한 방법이 아닌데, 이는 아래에서 소개할 [예제]에서도 중요하게 취급된다.
좌표평면 분석 [펼치기·접기]
---- 상수함수 [1] [math(f(x)>0)] 이 경우 정적분은 가로의 길이가 [math(b-a)]이고, 높이가 [math(f(a)=f(b))]인 직사각형의 넓이와 같으므로 다음이 성립한다.
음의 부호는 상쇄되므로 이 경우에도 식이 성립한다. 이상의 논의를 좌표평면에 시각화하면 다음과 같다.
일차함수 [1] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)>0)], [math(f(b)>0)] 이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(a))], [math(f(b))]인 사다리꼴의 넓이와 같으므로
일차함수 [2] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)<0)] 이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(-f(a))], [math(-f(b))]인 사다리꼴의 넓이에 음의 값을 붙인 것과 같으므로
일차함수 [4] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)=0)] 이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(-f(a))]인 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로
일차함수 [5] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)=0)], [math(f(b)<0)] 이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(b))]인 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로
일차함수 [7] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)>0)] [math(f(c)=0)]이라 하면, 정적분은 [math([a,\, c])] 구간의 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 [math([c,\, b])] 구간의 직각삼각형 넓이의 합과 같다. [3]~[6]의 결과를 사용하면,
일차함수 [8] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)>0)], [math(f(b)<0)] 일차함수 [7]과 비슷한 논법으로 확인할 수 있다. 이상의 논의를 좌표평면에 시각화하면 다음과 같다.
예제 [펼치기·접기]
---- 이 내용은 2020학년도 수능특강 수학Ⅱ & 미적분Ⅰ 178쪽 3번에 등장하여 2020학년도 수능 나형 28번에 연계 출제되었다.
2020학년도 수능특강 수학Ⅱ & 미적분Ⅰ 178쪽 3번
먼저 수능특강 문제를 보자. 위에서 증명한 바와 같이 (가)에 의하여 [math(f(x))]의 그래프가 직선이므로 [math(f(x)=px+q)]([math(p)], [math(q)]는 상수)로 놓을 수 있다. 여기에서 (나), (다)를 이용하면 [math(p=3,\,q=2)]가 도출되며, 따라서 [math(f(4)=14)]이다.
수능특강의 해설에는 다음과 같은 풀이가 제시되어 있다.
2020학년도 수능 나형 28번
수능특강에 [math(a)]와 [math(b)]로 나왔던 것이 수능에서는 각각 [math(1)]과 [math(x)]로 바뀌어 나왔다. (가)를 통해 [math(f(x))]의 그래프의 개형을 추론할 수 있다. (가)의 양변을 미분하면
[1] 계수비교법 좌변의 [math(f(x))]의 최고차항을 [math(ax^n)]이라고 하자. 그러면 우변의 [math(f'(x))]의 최고차항은 [math(nax^{n-1})]이며 [math((x-1)f'(x))]의 최고차항은 [math(nax^n)]이다. 따라서 [math(ax^n=nax^n)]이어야 하므로 계수비교법에 의하여 [math(n=1)]이며, [math(f(x))]는 일차함수가 될 수 있다. 중요한 사실은, 이것만으로 [math(\boldsymbol{f(x)})]를 일차함수로 단정해서는 안 된다는 것이다. [math(f(x))]가 상수함수인 경우를 생각해 보자. [math(f(x)=c)]라 하면 [math(f(1)=c)], [math(f'(x)=0)]이므로 다음이 성립한다.
따라서 [math(f(x))]는 상수함수여도 상관없다. 위 계수비교법으로는 [math(n=1)]이라는 결과만 나왔을 뿐 이와 같은 사실을 발견하지 못했는데, 이유는 위 [증명]에서 밝혔듯이 [math(f(x))]가 상수함수이면 [math(f'(x)=0)]이 되어 전체 식이 그저 0이 되어 버리기 때문이다. 계수비교법은 이를 간과하므로 사실 완전한 방법이 아니다.
2023 수능특강 수학Ⅱ 87쪽에서 이 문제를 계수비교법으로 해설한 바 있는데, EBS마저도 이 부분에서 오류를 범했다. [math(0)]이 아닌 상수 [math(a)]에 대하여 [math(f(x))]의 최고차항을 [math(ax^n)]으로 놓고 [math(n=1)]임을 도출했다는 것은 [math(f(x))]가 상수함수일 수도 있음을 간과한 오류이다.
[2] 사다리꼴 위와 같이 그래프가 직선이면 정적분의 값은 사다리꼴 모양의 색칠된 부분의 넓이와 같은데, (가)의 우변은 사다리꼴 넓이 공식과 일치한다. 다만 위 그림은 [math(f(1),\,f(x)>0)]인 경우인데, [좌표평면 분석]에서 밝혔듯이 그래프가 직선이기만 하면 [math(f(1))]과 [math(f(x))]의 값에 관계없이 해당 식이 성립하므로, (가)를 통해 [math(f(x))]의 그래프가 직선임을 알아낼 수 있다. 그러나 [좌표평면 분석]에서 밝혔듯이 각 경우에 따른 확고한 증명을 하기에는 계산이 복잡하여 시간이 오래 걸리므로, 이 역시 그다지 좋은 방법이 아니다. 그저 해석기하학적인 직관 정도로 참고하는 편이 좋다.
[3] 직선의 기울기 위의 식을 적당히 변형하고 [math(x)]를 [math(t)]로 치환하면 다음과 같다.
[math(\dfrac{f(t)-f(1)}{t-1}=f'(1))]
좌변의 식은 [math(f(x))]의 그래프 위의 두 점 [math((1,\,f(1)))]과 [math((t,\,f(t)))]를 지나는 직선의 기울기를 뜻하며, [math(f'(1))]은 [math(f(x))]의 [math(x=1)]에서의 접선의 기울기를 뜻한다. 우변의 [math(f'(1))]은 상수로서, 일정한 값이다. [math(t)]를 [math(1)]이 아닌 어떤 값으로 잡더라도 항상 그래프 위의 해당 두 점을 이은 직선의 기울기가 같다는 것은, 곧 [math(f(x))] 자체의 그래프의 기울기가 일정하다는 뜻이며, [math(f(x))]는 그래프가 직선으로 그려지는 상수함수이거나 일차함수라는 뜻이다.[2] 앞선 두 방법보다 훨씬 깔끔하고 논리도 완전하므로, 이 방법이 정석이자 평가원의 출제 의도라고 할 수 있다.
그런데 어떤 방법이든 (가)만으로는 [math(f(x))]의 그래프가 직선이라는 것만 알 뿐 [math(f(x))]가 상수함수인지 일차함수인지까지는 결정할 수 없는데, [math(f(x))]를 상수함수로 가정하여 [math(f(x)=c)]라 하고 (나)를 계산하면 모순이 발생하여 [math(f(x))]는 일차함수라는 것을 알 수 있다.
참고로 (나)를 이용하면 [math(f(x)=\dfrac32x+1)]이며, 답은 [math(f(4)=7)]이다. 또한, 문제의 마지막에서 [math(f(0)=1)]이라는 조건을 알려주었다는 것 자체가 [math(f(x))]가 사실상 일차함수라는 뜻이 되므로 다소 미흡한 문제이다. 왜냐하면, (가)를 통해 [math(f(x))]가 상수함수 또는 일차함수라는 사실을 알았으며, (나)와 [math(f(0)=1)]이라는 조건을 통해 [math(f(x))]의 함수식을 구체화해야 하는데, 만약 [math(f(x))]가 함숫값이 일정한 상수함수라면 (나)를 볼 필요도 없이 [math(f(x)=f(0)=f(4)=1)]임을 그냥 알 수 있기 때문에 문제를 내는 의미가 없어지기 때문이다.
상수 [math(a)]와 임의의 실수 [math(x_1)], [math(x_2)]에 대하여 닫힌 구간 [math([a,\,b])]에서의 [math(f(x))]의 평균변화율이 [math(a)]로 일정하면
[math(f(x)=ax+b)]
[math(a=0)]이면 [math(f(x))]는 상수함수
[math(a\neq0)]이면 [math(f(x))]는 일차함수
이는 함수 [math(f(x))]의 그래프 위의 임의의 두 점을 이은 선분의 기울기가 [math(a)]로 일정하다는 뜻으로, [math(f(x))]의 그래프가 직선인 경우 성립하며 [math(f(x))]가 상수함수 또는 일차함수임을 알려준다.
예제 [펼치기·접기]
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2023학년도 수능특강 수학Ⅱ 42쪽 3번
(가)에 따라 [math(f(x))]는 그래프의 기울기가 [math(2)]인 일차함수가 된다. 곧, [math(f(x)=2x+a)]로 쓸 수 있다. 참고로 정답은 [math(22)]이다.
위 내용 역시 [math(f(x))]의 그래프가 직선인 경우 성립하며 [math(f(x))]가 상수함수 또는 일차함수임을 알려준다. 두 수식은 결국 의미하는 바가 같다. [math(x-a)]를 [math(a)]로, [math(x+a)]를 [math(b)]로 치환하면 이 둘의 평균인 [math(x)]는 [math((a+b)/2)]가 되기 때문이다.
증명 [펼치기·접기]
---- 먼저, [math(f(x))]는 다항함수이므로 그 함수식은 여러 단항식 또는 다항식의 합으로 나타낼 수 있다. 이에 따라 [math(f(x)=g(x)+h(x))]와 같이 [math(f(x))]를 두 다항함수 [math(g(x))]와 [math(h(x))]의 합으로 나타낼 수 있다. 이때 [math(g(x))], [math(h(x))]에 대하여 증명하고자 하는 해당 사실이 각각 성립한다면 [math(f(x))]에 대해서도 그러한데, 다음이 성립하기 때문이다.
나아가 [math(f(x)=g(x)+h(x)+i(x))]와 같이 [math(f(x))]를 세 다항함수의 합으로 나타내더라도 마찬가지의 논리가 성립함은 자명하다. 논리를 더욱 확장하면, [math(f(x))]를 동류항이 아닌 [math(k)]개의 항의 합으로 나타낼 때, 이 각 항들에 대하여 임의로 [math(f_1(x),\,f_2(x),\,\cdots,\,f_k(x))]를 대응시킬 수 있으며, 이 새로운 [math(k)]개의 다항함수들이 모두 해당 사실을 만족시킨다면 [math(f(x))] 역시 그러하다. 이 [math(k)]개의 항들은 서로 동류항이 아니므로 차수가 모두 다르다. 이 항들은 또 다시 함수로 표현 가능하므로, 증명을 위해서는 여러 차수의 함수에 따른 해당 사실의 성립 여부를 판별하기만 하면 된다. 이때, 각 항들의 계수는 이 성립 여부에 전혀 영향을 미치지 못한다. 차수가 같은 두 동류항의 계수가 각각 [math(p)], [math(q)]일 때, 이들을 각각 [math(f_p(x))], [math(f_q(x))]라 하면 등식의 성질에 의하여 다음이 성립하기 때문이다.
다시 말해서 두 명제는 서로 필요충분조건의 관계에 있기 때문에, 계수를 변경하는 것만으로는 명제의 진위를 바꿀 수가 없다는 것이다. 따라서 계산을 단순화하기 위해 [math(f(x))]가 계수가 [math(1)]인 단항식 또는 상수 [math(1)]인 경우만 다루어도 무방하다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.
[math(f(x)=x^n\quad\textsf{\footnotesize(}n\textsf{\footnotesize은 음이 아닌 정수)})]
이에 따르면
[math((x-a)^n+(x+a)^n=2x^n)]
을 만족시키는 음이 아닌 정수 [math(\boldsymbol n)]의 값이 [math(\boldsymbol 0)] 또는 [math(\boldsymbol 1)]뿐임을 증명하면 된다. [math(n=0)]이면 [math(f(x)=x^0=1)]이므로 상수함수, [math(n=1)]이면 [math(f(x)=x^1=x)]이므로 일차함수가 되는 것이다. 다시 말해서 [math(f(x)=1)] 또는 [math(f(x)=x)]인 경우에만 해당 사실이 성립하고 [math(f(x)=x^2,\,x^3,\,x^4,\cdots)]에 대해서는 그렇지 않음을 증명하기만 하면, 무수히 많은 모든 다항함수에 대하여 증명을 완료한 것이나 다름없으므로, 이를 증명하자.
곧, 두 전개식을 비교해 보면 [math(a^0,\,a^2,\,a^4,\,\cdots)]와 같이 [math(a)]가 짝수 번 제곱되는 항은 부호가 같으므로 두 번 더해지고 [math(a^1,\,a^3,\,a^5,\,\cdots)]와 같이 [math(a)]가 홀수 번 제곱되는 항은 부호가 다르므로 상쇄되는 것이다.
[math(n=0,\,1,\,2,\,3,\,4)]일 때의 계산 결과를 통해 더 쉽게 이해해 보자.
위 계산 결과가 [math(2f(x))]와 일치하는지 판별해 보자. [math(n=0,\,1,\,2,\,3,\,4)]일 때 [math(f(x))]는 차례대로 [math(1)], [math(x)], [math(x^2)], [math(x^3)], [math(x^4)]이므로, [math(\boldsymbol{n=0,\,1})]일 경우에만 일치한다. 요컨대, [math(n\geq2)]일 경우 계산 결과에서 [math(\boldsymbol{2x^n})]과 동류항이 아닌 항이 출현하므로, [math(2f(x)=2x^n)]과 일치할 수 없게 되는 것이다. 곧, 해당 사실은 [math(\boldsymbol{f(x)})]가 상수함수이거나 일차함수일 경우에만 성립함이 증명되었다.
예제 [펼치기·접기]
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1978년 오사카대학 본고사 전기 문과 3번
한국어 번역임의의 [math(x)]에 대하여 [math(f(x+1)-2f(x)+f(x-1)=0)]이 성립하는 다항식 [math(f(x))]는 [math(ax+b)]의 형태로 나타내어짐을 보이라.
위 내용을 그대로 증명하는 문제이다. 단, 어느 정도의 계산의 편의를 위하여 [math(a=1)]로 고정되었다. 앞서 밝힌 방식대로 증명할 수 있다.
실제로 [math(f(x)=px+q)]라고 하면 다음이 성립한다. [math(f(x))]는 [math(p=0)]이면 상수함수, [math(p\neq0)]이면 일차함수인 것이다.
대수적으로는 임의의 두 실수에 대하여 함숫값의 평균은 평균의 함숫값과 같다는 의미가 되며, 해석기하학적으로는 그래프가 그래프 위의 임의의 점에 대하여 점대칭이라는 의미가 된다. 다른 홀함수와는 달리, 일차함수의 그래프는 양쪽으로 한없이 뻗어나가는 직선이므로, 어느 점을 잡아도 그 점에 대하여 점대칭이 될 수밖에 없다. 또한, 상수함수는 홀함수는 아니지만 동일한 성질을 지닌다는 점에서 특기할 만하다. 다음 그림을 참고하자.
모든 이차함수는 대칭축에 대해 대칭이기 때문에 그렇다. 그러나 모든 좌우 대칭 함수가 이차함수인 것이 아니기에, 이 단서만 보고 이차함수로 단정해서는 안 된다. 예를 들어 사차함수 중에서도 좌우 대칭인 경우가 있다.(예시 1, 예시 2) 고등학교에서는 오차 이상의 다항함수, 짝함수인 특수함수는 다루지 않으므로, 고등학교 과정의 문제에서 찾고자 하는 함수가 다항함수라고 명시되어 있다면[3] 이차함수 혹은 사차함수일 확률이 매우 높다.
사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 예시 1, 예시 2와 같은 개형이면 [math(f(a))]는 극솟값, 예시 3, 예시 4와 같은 개형이면 [math(f(a))]는 극댓값이다. 그러나 모든 좌우 대칭 함수가 사차함수인 것이 아니기에, 이 단서만 보고 사차함수로 단정해서는 안 된다.
---- 위 그림에서 이차함수 [math(f(x))]의 그래프에 대하여 [math(x=t)]에서의 접선의 방정식을 [math(y=g(x))]라 하면
[math(f(t)=g(t),\,f'(t)=g'(t))]
이므로 [math(h(x)=f(x)-g(x))]라 하면 [math(h(t)=h'(t)=0)]이 성립하며, 4문단에서 후술한 원리에 따라 [math(h(x))]는 [math((x-t)^2)]을 인수로 갖는다. 이때 [math(y=g(x))]는 직선의 방정식으로서 일차식이므로 [math(f(x))]와 [math(h(x))]의 최고차항의 계수는 같다. 이 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면
[math(h(x)=a(x-t)^2\quad(a\neq0))]
과 같이 완전제곱식으로 나타내어지므로 [math(a>0)]이면 [math(h(x)\geq0)]이고 [math(a<0)]이면 [math(h(x)\leq0)]이다. 이때
차수별로 특기할 만한 점을 다음과 같이 정리할 수 있다. 문제에서 직·간접적으로 제시되는 단서는 다음과 같은 내용들을 함의하곤 한다.
‘유일’은 그 차수의 다항함수만이 갖는 특징임을, ‘최소’는 다른 차수의 다항함수에서도 나타나는 특징이지만 해당 차수의 함수가 이 성질이 나타나는 최소 차수의 다항함수임을, ‘최대’는 최대 차수의 다항함수임을 의미한다. 또한, 함수는 실수 전체의 집합에서 정의되었다고 가정한다.
이 문단에서는 설명에 앞서 하나의 표현을 약속하자. 다항식 [math(f(x))]에 대하여 어떤 다항식 [math(Q(x))]와 상수 [math(a)]가 존재하여
[math(f(x)=(x-a)^FQ(x)\;(Q(a)\neq0))]
를 만족시키는 정수 [math(F)]의 값을 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 [math(\boldsymbol{(x-a)})]의 개수라고 하자. 즉 [math(f(x))]가 [math((x-a))]로 [math(F)]번까지 나누어떨어질 때, [math(f(x))]가 [math((x-a))]를 [math(F)]개 갖는다고 표현하자는 것이다.
[math(f(a)=g(a)=0)]인 두 다항함수 [math(f(x))], [math(g(x))]에 대하여 [math((x-a))]의 개수를 각각 [math(F)], [math(G)]라 할 때, [math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{g(x)}{f(x)})]는
[math(F>G)]이면 발산
[math(F\leq G)]이면 수렴
[math(F=G)]이면 [math(0)]이 아닌 값으로 수렴
[math(F<G)]이면 [math(0)]으로 수렴
특히, [math(f(x)=p(x-a)^F\;(p\neq0))]이고 [math(a=0)]이면
[math(f(x)=px^F)]이고, [math(F)], [math(G)]는 각각 [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 최저차항의 차수
특히, [math(p=1)]이면 [math(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{g(x)}{px^F}=\lim_{x\to0}\dfrac{g(x)}{x^F}=\textsf{\footnotesize(}g(x)\textsf{\footnotesize의 최저차항의 계수)})]
따라서 [math(F)]와 [math(G)]의 대소 관계에 따른 극한식의 계산 결과가 증명되었다.
이제 [math(f(x)=px^F\;(p\neq0))]이고 [math(a=0)]이면 [math(F)], [math(G)]가 각각 [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 최저차항의 차수를 뜻하는 이유를 알아보자. 먼저 [math(f(x)=px^F)]은 단항식이므로 차수 [math(F)]가 그대로 최저차항의 차수가 됨이 자명하다. 이제 [math(g(x))]를 조사하자. [math(g(x))]는 다항함수이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(g(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^{b_k})]
이때 모든 [math(k)]에 대하여 [math(a_k\neq0)]이다. 이때, [math(b_k)]가 최소가 되도록 하는 [math(k)]의 값을 [math(j)]라 하자. 그러면 [math(b_j)]는 [math(g(x))]의 최저차항의 차수가 되며, 다음과 같이 쓸 수 있다.
[13]보다시피 [math(g(x))]를 [math(x)]로 [math(b_j)]번 나누었을 때 [math(Q_g(x))]는 [math(a_j)]라는 상수항을 갖는다. 따라서 여기에서 한 번 더 [math(x)]로 나누면 나누어떨어지지 않으며, [math(G=b_j)]임을 알 수 있다. 즉, [math(G)]는 [math(g(x))]의 최저차항의 차수이다.
과 같이 극한이 [math(0)]으로 수렴하므로 [math(f(x))]는 [math(g(x))]보다 [math((x-1))] 및 [math((x-2))]의 개수가 많다. 이때 (가)에 의하여 [math(g(x))]는 [math((x-1))]을 인수로 갖는다. 따라서 [math(f(x))]는 [math((x-1))] 및 [math((x-2))]의 개수가 각각 적어도 [math(2)], [math(1)]이다. [math(f(x))]는 최고차항의 계수가 [math(1)]인 삼차함수이므로 다음과 같이 [math(f(x))]가 확정된다.
이에 [math(a=-7)], [math(b=13)]이므로 [math(g(x)=(x-1)(x^2-7x+13))]이며 [math(g(5)=12)]이다.
참고로, (나)에서 [math(n=3)], [math(n=4)]일 때 극한이 모두 [math(0)]이 아닌 상수로 수렴하므로 [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 [math((x-3))] 및 [math((x-4))]의 개수는 같으며, [math(f(x))]가 [math((x-3))]과 [math((x-4))]를 인수로 갖지 않으므로 [math(g(x))] 역시 그러하다는 사실을 알 수 있는데, 실제로 [math(g(x))]를 구한 결과 이와 같은 사실이 성립한다. 그러나 보다시피 이 문제에서는 정답을 구하는 데에 이 사실이 필요하지는 않았다.
의 경우 극한이 [math(0)]이 아닌 값으로 수렴하므로 분모와 분자의 [math(x)]의 개수는 같다. 즉, [math(f(x))]는 [math(x)]를 인수로 갖는다. 또한 [math(f(x))]의 [math(x)]의 개수는 최저차항의 차수를 뜻하며, 극한값인 [math(9)]는 최저차항의 계수를 뜻한다. 따라서 [math(f(x))]의 최저차항은 [math(9x)]이다.
의 경우 극한이 [math(0)]으로 수렴하므로 분자가 분모보다 [math((x-3))]의 개수가 많다. 이때 [math(f(x))]는 삼차함수이고 이미 [math(x)]를 인수로 갖는 상태이므로 [math(f(x))]의 [math((x-3))]의 개수는 [math(2)]가 된다. 따라서
[math(f(x)=ax(x-3)^2\;(a\neq0))]
으로 쓸 수 있으며 [math(f(x))]의 최저차항은 [math(9x)]이므로 [math(a=1)]이다. 따라서 곡선 [math(y=f(x))]와 [math(x)]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 다항함수/공식/넓이 문서의 3.1문단에서 밝힌 [math(1/12)] 공식에 따라 다음과 같이 구할 수 있다.
실제 수능완성에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, [math(f(3)=f'(3)=0)]이라는 사실에서 [math(f(x))]가 [math((x-3)^2)]을 인수로 가짐을 알아내어 바로 [math(f(x))]의 함수식을 [math(f(x)=ax(x-3)^2\,(a\neq0))]의 형태로 작성하고 [math(f'(0)=9)]를 이용하여 [math(a=1)]을 구하는 방식이 간편함에도 함수식을 [math(f(x)=ax(x-3)(x+k)\,(a\neq0))]의 형태로 작성하는 바람에 복잡한 계산으로 [math(f(x))]를 구하게 된 점이 매우 미흡하다. 반면 앞서 밝힌 형태의 극한이 갖는 의미를 숙지했다면 매우 쉽게 정답을 구할 수 있다. 또한 구하고자 하는 넓이 역시 공식으로 간편하게 구하지 않고 직접 정적분을 계산한 점 역시 미흡하다.
2026학년도 수능특강 51쪽 4번
(가)에서, 극한이 수렴하기 위해서는 분자가 분모보다 [math((x+2))]의 개수가 크거나 같아야 하므로 [math(f(x)-2)]의 [math((x+2))]의 개수는 [math(2)] 이상이다. 이때 [math(f(x))]의 최고차항의 계수는 [math(1)]이므로 상수 [math(a)]에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(f(x)-2=(x+2)^2(x-a))]
이제 (나)를 보자. 열린구간 [math((3,\,5))]에서 함수 [math(f(x))]는 [math(x=4)]에서 최솟값을 가져야 한다. 즉, [math(f(x))]는 [math(x=4)]에서 극소이다. 따라서 다항함수/공식/길이 문서의 4.1문단에서 밝힌 삼차함수의 비율 관계에 따라
[math(\{4-(-2)\}:(a-4)=2:1)]
이므로 [math(a=7)]이다. 곡선 [math(y=f(x))]를 그림으로 나타내면 다음과 같다.
따라서 [math(f(x)=(x+2)^2(x-7)+2)]이며, [math(f(8)=10^2\times1+2=102)]이다.
수능특강에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 직접 극한과 [math(a)]의 값을 계산한 점이 미흡하다. 반면 공식을 사용하면 [math(f(x))]의 식을 빠르게 작성할 수 있으며 [math(a)]의 값까지 비율 관계에 의하여 바로 구할 수 있다.
또한 이 내용을 3.7문단의 내용과 종합하면, 다항함수 [math(f(x))]와 [math(n>m)]인 두 자연수 [math(n)], [math(m)]에 대하여 다음과 같이 식을 작성할 수 있다.
(가)는 [math(f(x))]의 최고차항이 [math(2x^2)]임을, (나)는 [math(f(x))]의 최저차항이 [math(3x)]임을 알려주는 단서이다. 따라서 [math(f(x)=2x^2+3x)]이며, [math(f(2)=14)]이다. 보다시피 최고차항과 최저차항의 차수가 딱 하나 차이이기 때문에 (가)와 (나)만으로도 [math(f(x))]가 확정되는 것이다.
2020학년도 수능 나형 14번
위 문제와 마찬가지로 (가)는 [math(f(x)g(x))]의 최고차항이 [math(2x^3)]임을, (나)는 [math(f(x)g(x))]의 최저차항이 [math(-4x^2)]임을 알려주는 단서이다. 따라서
[math(f(x)g(x)=2x^3-4x^2=2x^2(x-2))]
이다. 이때 [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 상수항과 계수가 모두 정수이므로, [math(f(2))]가 최대가 되기 위해서는 [math(f(x)=2x^2)]이어야 하며 그때의 [math(f(2))]의 값은 [math(8)]이다. 이 문제에서도 최고차항과 최저차항의 차수가 딱 하나 차이이기 때문에 (가)와 (나)만으로도 [math(f(x)g(x))]가 확정되는 것이다.
예제(심화) [펼치기·접기]
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2020학년도 6월 고3 나형 20번
문제에서 다항함수 [math(f(x))]에 대한 두 극한 중 [math(x)]가 [math(\infty)]로 가는 극한은 [math(f(x))]의 최고차항 쪽에 대한 단서를 주며, [math(x)]가 [math(0)]으로 가는 극한은 [math(f(x))]의 최저차항 쪽에 대한 단서를 준다는 사실을 상기하면 어렵지 않게 풀 수 있다. 단, [math(x)]가 [math(\infty)]로 가는 극한에서는 분자에 [math(f(x))] 이외의 다항식이 더해져 있다는 점을 어떻게 다룰 것인지가 문제를 푸는 열쇠이다. 이때 [math(f(x))]에 더해져 있는 다항식은 [math(-4x^3+3x^2)]으로서 삼차항과 이차항으로 이루어져 있는데, [math(x)]가 [math(\infty)]로 가는 극한에서 분모는 [math(x^{n+1}+1)]이므로, [math(n)]의 값에 따라서는 [math(f(x))]에 이 삼차항과 이차항을 더함으로써 분자의 삼차항과 이차항의 계수가 바뀔 때 극한값도 바뀔 수 있다는 점을 고려해야 한다. 따라서 다음과 같이 [math(n)]의 값에 따라 경우를 분류해야 정답을 구할 수 있다.
[1] [math(\boldsymbol{n\geq3})] 이 경우 [math(\infty)]로 가는 극한에서 분모가 [math(x^{n+1}+1)]이므로 이 극한이 [math(6)]으로 수렴하려면 분자는 최고차항의 계수가 [math(6)]인 [math((n+1))]차식이어야 한다. 분모에서 [math(n+1\geq4)]이므로, 분자에서 [math(f(x))]에 [math(-4x^3+3x^2)]을 더하는 것이 극한값에 아무런 영향을 주지 않는다. 한편 [math(0)]으로 가는 극한이 [math(4)]로 수렴하려면 [math(f(x))]의 최저차항이 [math(4x^n)]이어야 한다. 따라서 [math(f(x))]는 다음과 같다.
[math(f(x)=6x^{n+1}+4x^n)]
[2] [math(\boldsymbol{n=2})] 이 경우 [math(\infty)]로 가는 극한에서 분모가 [math(x^3+1)]이므로 이 극한이 [math(6)]으로 수렴하려면 분자는 최고차항의 계수가 [math(6)]인 삼차식이어야 한다. 따라서 [math(f(x))]의 최고차항은 [math(10x^3)]이다. 분모에서 [math(n+1=3)]이므로, 분자에서 [math(f(x))]에 [math(-4x^3)]을 더하는 것이 극한값에 영향을 주며, [math(3x^2)]을 더하는 것은 영향을 주지 않는다. 한편 [math(0)]으로 가는 극한이 [math(4)]로 수렴하려면 [math(f(x))]의 최저차항이 [math(4x^2)]이어야 한다. 따라서 [math(f(x))]는 다음과 같다.
[math(f(x)=10x^3+4x^2)]
[3] [math(\boldsymbol{n=1})] 이 경우 [math(\infty)]로 가는 극한에서 분모가 [math(x^2+1)]이므로 이 극한이 [math(6)]으로 수렴하려면 분자는 최고차항의 계수가 [math(6)]인 이차식이어야 한다. 따라서 [math(f(x))]의 삼차항과 이차항은 각각 [math(4x^3)], [math(3x^2)]이다. 분모에서 [math(n+1=2)]이므로, 분자에서 [math(f(x))]에 [math(-4x^3)]을 더하는 것과 [math(3x^2)]을 더하는 것이 모두 극한값에 영향을 준다. 한편 [math(0)]으로 가는 극한이 [math(4)]로 수렴하려면 [math(f(x))]의 최저차항이 [math(4x)]이어야 한다. 따라서 [math(f(x))]는 다음과 같다.
[math(f(x)=4x^3+3x^2+4x)]
[1], [2], [3]에서 [math(f(1))]의 값은 각각 [math(10)], [math(14)], [math(11)]이므로 [math(f(1))]의 최댓값은 [math(14)]이다.
상수 [math(a)]에 대하여 다항함수 [math(f(x))]의 [math((x-a))]의 개수가 [math(F)]이면 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{(x-a)f'(x)}{f(x)}=F)]
특히, [math(a=0)]이면
[math(f(x))]의 [math(x)]의 개수는 [math(F)]
[math(f(x))]의 최저차항의 차수는 [math(F)] ||
증명(고등학교 수준) [펼치기·접기]
---- [math(f(x)=(x-a)^FQ(x)\;(Q(a)\neq0))]로 쓸 수 있다. [math(F\neq0)]인 경우 양변을 미분하면
---- [math(F=0)]인 경우는 이 방식으로 증명할 수 없다. 다음을 보다시피 분모에서 [math(F)]가 곱해지기 때문이다. [math(F\neq0)]인 경우에 한하여 [math(f(x)=(x-a)^FQ(x))]로 쓴 뒤 다음과 같이 식을 변형하여 첫째 극한에 로피탈의 정리를 적용하면 된다.[14]
으로서, [math(f(x)=(x-a)^FQ(x))]이므로 [math(0/0)] 꼴의 극한이 되어 로피탈의 정리를 적용할 수 있는 것이다.
또한 주의할 점은 위 식을 조작하면서 추가된 상수 [math(F)]는 다른 상수로 바꾸어 쓸 수 없다는 것이다. 겉보기에는 이를 [math(G\;(F\neq G))]라는 다른 상수로 대체하면 동일한 계산을 거쳐 [math(G)]라는 결과가 나오는 것처럼 보이나 이는 [math(F=G)]라는 모순[15]을 낳으므로 당연히 말이 되지 않는다. 그렇다면 계산 과정의 어딘가에서 오류를 범했다는 뜻인데, 요컨대 위와 같은 형태의 계산을 하려면 추가하는 상수로는 반드시 [math(F)]만을 사용해야 한다. 그 이유는 이 상수의 값에 따라 극한식의 수렴 여부가 달라지기 때문이다. 위 식의 첫째 줄에서는
가 모두 수렴해야 하므로 사실은 이 극한들이 모두 수렴함을 증명해야 완전한 증명이 된다. 먼저 세 번째 식은 [math(x)]와 관계없는 상수의 극한이므로 [math(F)]로 수렴함이 자명하다. 첫째 식의 경우 [math(f(x)=(x-a)^FQ(x))]이므로 분모와 분자의 [math((x-a))]의 개수가 같아 [math(0)]이 아닌 값으로 수렴한다. 첫째 식에 로피탈의 정리를 적용하면
이고 두 번째 식은 이 식의 역수 형태이므로 역시 [math(0)]이 아닌 값으로 수렴함을 알 수 있다. 따라서 위 증명처럼 식을 변형해도 문제가 없다. 이제 이 증명 결과를 바탕으로 [math(F)]를 다른 상수 [math(G\;(F\neq G))]로 대체하여 두 극한
과 같이 극한값의 역수인 [math(3)]으로 수렴한다. 이 역수의 극한은 앞서 밝힌 대로 [math(f(x))]가 [math(x)]로 [math(3)]번까지 나누어떨어짐을 의미하는 것이다. 다른 말로는, [math(f(x))]의 최저차항은 삼차항인 것이다. 즉, 다항식 [math(Q(x))]에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(f(x)=x^3Q(x)\;(Q(0)\neq0))]
이때 [math(f(x))]의 차수를 [math(n)]이라고 하자. [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 [math(1)]이므로 [math(f(x))]의 최고차항은 [math(x^n)]이고 [math(xf'(x))]의 최고차항은 [math(nx^n)]이다. 따라서 다음이 성립한다.
즉, [math(n=3)]이며, [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 [math(1)]이므로 [math(Q(x)=1)]이다. 즉, [math(f(x)=x^3)]이며, 정답은 [math(f(2)=8)]이다.
실제 수능완성에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 일일이 극한을 계산하는 과정이 번거롭다. 반면 앞서 밝힌 형태의 극한이 갖는 의미를 숙지했다면 매우 쉽게 정답을 구할 수 있다.
2018학년도 수능 나형 18번
먼저 문제의 극한식에서 분모가 [math(0)]으로 수렴하는데 극한값이 존재하므로 분자 역시 [math(0)]으로 수렴해야 한다. 곧, [math(f(2)=0)]이다. 따라서 상수 [math(a)]에 대하여 [math(f(x)=(x-1)(x-2)(x-a))]로 쓸 수 있다. 이제 문제의 극한식의 양변에 역수를 취하면
따라서 [math(a=-2)]이므로 [math(f(x)=(x-1)(x-2)(x+2))]이고, [math(f(3)=10)]이다.
단, 이 문제는 공식 없이 다음과 같이 미분계수의 정의를 이용하는 풀이도 충분히 간단하다. 앞서 밝혔듯이 문제의 극한식에서 분모가 [math(0)]으로 수렴하는데 극한값이 존재하므로 분자도 [math(0)]으로 수렴하는바 [math(f(2)=0)]이다. 따라서 다음과 같이 식을 조작할 수 있다.
이어야 한다. 그 이유는 바로 다음 [math(F=1)]인 경우를 보면 이해할 수 있을 것이다. 위 극한이 [math(0)]으로 수렴하기 위해서는 [math(Q(a)\neq0)]이므로 [math(F-1\geq1)], 즉 [math(F\geq2)]이어야 한다. 따라서 [math(F\geq2)]일 경우 해당 극한은 수렴하며, 그 극한값은 [math(0)]이다. 반면 [math(F=1)]이면
이어야 하고, 이를 위해서는 [math(|Q(a)|\neq0)]이므로 [math(F-1\geq1)], 즉 [math(F\geq2)]이어야 한다. 또한 같은 이유에서 [math(F\leq1)]이면 해당 극한은 발산한다.
예제(기본) [펼치기·접기]
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2026학년도 수능완성 52쪽 20번
위에서 밝힌 원리에 따라 (가)는 [math(f(x)-3x)]의 [math(x)]의 개수가 [math(2)] 이상이어야 한다는 뜻이다. 이때, [math(f(x))]는 최고차항의 계수가 [math(1)]인 삼차함수이므로 상수 [math(a)]에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
실제 수능완성에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 앞서 증명한 바와 계산 과정이 사실상 같으나 일일이 계산하는 것이 다소 번거롭다. 반면 해당 사실을 유도하는 과정을 이해한 뒤 그 결과를 공식처럼 암기하고 있다면 일일이 계산하지 않고도 이러한 유형의 문제를 더욱 간편하게 풀 수 있다.
2024학년도 10월 10번
극한식이 명시적으로 주어지지 않은 형태의 문제로, 스스로 문제를 해석하여 단서를 만드는 것이 중요하다.
의 값이 존재해야 한다. 따라서 [math(f(x))]는 [math((x-1)^2)]을 인수로 갖는다. 또한 [math(g(3)=0)]이므로 [math(f(3)=0)]이다. [math(f(x))]는 최고차항의 계수가 [math(1)]인 삼차함수이므로 이상에서 [math(f(x)=(x-1)^2(x-3))]이며, [math(f(4)=9)]이다.
서울특별시교육청에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 위에서 밝힌 원리를 알고 있다면 굳이 극한을 계산하지 않고도 함수식을 작성할 수 있다.
예제(심화) [펼치기·접기]
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2026학년도 6월 고3 21번
어느 하나의 값으로 가는 극한이 아니라 모든 실수에 대한 극한을 논하는 문제로서 위에서 밝힌 사실을 응용하는 문제이다.
의 값이 존재하지 않는다는 것은 좌극한과 우극한에서 [math(|f(x)|)]가 [math(f(x))]로 계산되는 경우와 [math(-f(x))]로 계산되는 경우가 모두 나타나서 좌극한과 우극한의 값이 각각 [math(1)], [math(-1)] 또는 [math(-1)] 또는 [math(1)]이 된다는 것과 같다. 이를 위해서는 [math(x=a)]에서 [math(f(x))]의 부호가 바뀌어야 한다. [math(f(x)=(x-1)(x-2))]이므로, 이를 만족시키는 [math(a)]의 값은 [math(1)], [math(2)]이다. 따라서
의 값이 존재하려면 [math(g(a)=0)]인 경우만 살펴보면 된다. [math(g(a)\neq0)]인 경우에는 분모가 [math(0)]이 아닌 값으로 수렴하면서 분자 역시 수렴하므로 문제의 조건을 만족시킴이 자명하기 때문이다. 이때 [math(g(1)=g(2)=0)]이므로, [math(g(x)-f(x))]는 위에서 밝힌 원리에 따라 [math(a=1)]에서 [math((x-1)^2)]을, [math(a=2)]에서 [math((x-2)^2)]을 인수로 가짐을 도출할 수 있다. [math(g(x))]의 최고차항의 계수가 [math(1)]이므로, 이상의 내용을 종합하면 다음이 성립한다.
의 값이 존재한다는 것을 [math(g(x)-g(k))]가 [math((x-k)^2)]을 인수로 갖는다는 의미로 해석해서는 안 된다. 문제에서 [math(g(x)=|f(x)-t|)]이므로 [math(g(x)-g(k))]는 다항함수가 아니기 때문이다. 이 조건을 올바르게 해석하는 방법은 미분 문서의 4.5문단 참고. 이 문제의 해설을 볼 수 있다.
또한 위 사실을 변형 및 응용하면 다음과 같은 사실도 정리할 수 있다.
[math((x-a))]의 개수가 [math(F)]인 다항함수 [math(f(x))]에 대하여 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{\sqrt{|f(x)|}}{x-a})]는
[math(F\geq3)]이면 [math(0)]으로 수렴
[math(F\leq2)]이면 발산 ||
증명 [펼치기·접기]
---- 이 역시 유사한 논리로 증명하면 된다. [math(f(x)=(x-a)^FQ(x)\;(Q(a)\neq0))]로 쓸 수 있으므로 다음이 성립한다.
이어야 하는데, 이를 위해서는 [math(Q(a)\neq0)]이므로 [math(F-2\geq1)], 즉 [math(F\geq3)]이어야 하며, 그 외의 경우인 [math(F\leq2)]에서는 해당 극한이 발산한다.
[math((x-a))]의 개수가 [math(F\;(F\geq1))]인 다항함수 [math(f(x))]와 실수 [math(a)]에 대하여 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=a)]에서
[math(x)]축과 만나면
점 [math((a,0))]은 [math(x)]축에 대한 교점
[math(f(a)=0)], [math(F\geq1)]
[math(x)]축에 접하되 교차하지 않으면
점 [math((a,0))]은 [math(x)]축에 대한 변곡점이 아닌 접점
[math(f(a)=f'(a)=0)], [math(F)]는 [math(2)] 이상의 짝수
[math(x)]축에 접하면서 교차하면
점 [math((a,0))]은 [math(x)]축에 대한 접점이자 변곡점
[math(f(a)=f'(a)=f''(a)=0)], [math(F)]는 [math(3)] 이상의 홀수
[math(f(a)=0)]이면 [math(f(x))]의 그래프가 점 [math((a,0))]을 지나므로 당연히 [math(x)]축과 만난다. [math(f(x))]는 다항함수이므로 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 또한 [math(x)]축은 수평선이므로 기울기가 [math(0)]이다. 따라서 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=a)]에서 [math(x)]축에 접한다는 것은 [math(f'(a)=0)]이라는 뜻이다. 나아가 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x)]축에 접하면서 교차하려면 [math(f'(a)=0)]임은 물론이고 [math(f(a)=0)]이면서 [math(x=a)] 좌우에서 [math(f(x))]의 부호가 반대여야 한다. 즉, 점 [math((a,0))]이 변곡점이라는 뜻이다.
다음 그림들을 참고하자.
사차함수까지만 명시적으로 다루는 고등학교 수학에서는 대부분의 경우 세제곱까지만 알면 충분하다. 네제곱의 경우 [math(y=x^4)]의 그래프와 같은 단조로운 개형뿐이므로 그다지 자주 출제되지 않기 때문이다.
예제 [펼치기·접기]
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2016학년도 6월 고3 A형 21번
[math(f(x))]는 다항함수이므로 인수정리에 의하여 [math(f(n)=0)]이면 [math(f(x))]는 [math((x-n))]을 인수로 갖는다. 그러면 (나)의 [math((x+n)f(x))]는 [math((x+n))]과 [math((x-n))]을 인수로 갖는다. 그러면 이 함수의 그래프가 [math(x=n)]과 [math(x=-n)]에서 [math(x)]축과 만나는데, 그러면서도 함수가 항상 [math(0)] 이상이려면 그래프가 여기에서 [math(x)]축과 접해야만 한다. [math(f(x))]는 삼차함수이므로, 결국 다음이 성립한다.
[math((x-a)^2)]으로 나누어떨어지기 위한 필요충분조건([math(F\geq2)]): [math(f(a)=f'(a)=0)]
[math((x-a)^3)]으로 나누어떨어지기 위한 필요충분조건([math(F\geq3)]): [math(f(a)=f'(a)=f''(a)=0)]
[math((x-a)^n)]으로 나누어떨어지기 위한 필요충분조건([math(F\geq n)]): [math(f(a)=f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0)][16]
사차함수까지만 명시적으로 다루는 고등학교 수학에서는 [math((x-a)^3)]으로 나누어떨어지기 위한 필요충분조건까지 알면 충분하다. 위 조건들을 잘 이용하면 그래프를 보고 함수식을 세우거나 함수식을 보고 그래프를 그리는 것이 더욱 쉬워질 것이다. 개별 명제에 대한 증명의 경우, [math(1)]제곱은 인수정리 그 자체이므로 생략하고, 제곱과 세제곱에 대해서만 소개한 뒤 모든 [math(n)]에 대한 일반적인 증명을 소개한다.
이므로 [math(x=a)]를 대입하면 [math(f''(a)=0)]이다. 이제 역을 증명하자. [math(f(x))]를 [math((x-a)^3)]으로 나눈 몫을 [math(Q(x))]라 하고 나머지를 [math(px^2+qx+r)]이라 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
먼저 [math(P(n))]을 수학적 귀납법으로 증명하자. 그러면 [math(P(1))]이 참임을 보인 뒤, 자연수 [math(k)]에 대하여 [math(P(k))]가 참일 때 [math(P(k+1))] 역시 참임을 보이면 된다. 먼저 [math(P(1))]은 사실 인수정리의 일부[18]로서, 이는 참으로 잘 알려져 있다. 이제 [math(P(k))]가 참이라고 가정하자. 그러면
즉, [math(g(x))]를 [math((x-a)^{n+1})]으로 나눈 몫은 [math(Q_3(x))]이며, [math((n+1))]차식으로 나누었으므로 그 나머지는 [math(n)]차 이하의 다항식이 된다는 것이다. 이때 [math(R_i)]는 상수로서, 나머지의 [math(i)]차항의 계수이다. 그러면 [math(g(x))]가 [math((x-a)^{k+1})]을 인수로 가지려면 모든 [math(R_i)]들이 [math(0)]이어야 한다. 미지수는 [math(R_0)]부터 [math(R_n)]까지 [math((n+1))]개이며, 방정식 역시 [math(g(a)=0)]부터 [math(g^{(n)}(a)=0)]까지 [math((n+1))]개이므로 이 연립방정식을 풀면 모든 미지수의 값을 결정할 수 있다. 따라서 [math(g^{(k)}(a))]를 계산하자. 이때, [math(k)]는 물론 [math(0\leq k\leq n)]인 정수이다.
이때, [math((\rm b))]는 위에서 계산했던 [math((\rm a))]와 같은 형태이므로, 결국 모든 [math(n)]에 대하여 [math((x-a))]를 인수로 가짐을 이미 안다. 그렇다면 위 식에 [math(x=a)]를 대입하면 [math((\rm b))]는 사라지고 [math(R(x))]만이 남는다. 결국 풀어야 할 연립방정식은 모든 [math(k)]에 대하여
이다. 미분의 성질에 의하여 합의 미분은 미분의 합과 같으므로[20] 각 항의 미분을 조사하자. 일반적으로, 다항식의 미분에서 [math(ax^n)]을 미분하면 [math(nax^{n-1})]이 되므로 [math(i)]차항은 [math(i)]번 미분할 때 상수가 되며 그 값은 다음과 같다.
[math(R_i\times i!)]
이에 따라 [math(i)]차항은 [math((i+1))]번 이상 미분하면 [math(0)]이 된다. 이 점을 이용하여 [math(R^{(n)}(x)=0,)] [math(R^{(n-1)}(x)=0...)] 순으로 풀어가는 것이 증명의 열쇠이다. 앞서 [math(n=2)]일 때와 [math(n=3)]일 때의 증명에서도 이 순서로 푼 것이 바로 이 때문이다. [math(R^{(n)}(x)=0)]을 먼저 보자. [math(R(x))]의 최고차항은 [math(n)]차항이므로
[math(R^{(n)}(x)=R_n\times n!=0)]
이 된다. [math(n)]차 미만의 항들은 모두 [math(0)]이 되어 버린 것이다. 이때 [math(n!\neq0)]이므로 조건을 만족시키기 위해서는 [math(R_n=0)]이어야 한다. 결국 [math(R(x))]의 차수는 [math((n-1))]로 줄어들었다. 이 상태에서 [math(R^{(n-1)}(x)=0)]을 풀면 마찬가지로
[math(R^{(n-1)}(x)=R_{n-1}\times(n-1)!=0)]
이 되며, [math((n-1)!\neq0)]이므로 [math(R_{n-1}=0)]이다. 이러한 과정을 반복하면 결국 다음의 결론에 도달한다.
이며, [math(g(x))]는 [math((x-a)^{n+1})]을 인수로 가짐이 증명되었다. 즉, [math(P(n))]이 수학적 귀납법으로 증명된 데 이어 [math(P(n))]의 역까지 증명되었다. 최종적으로, 처음에 증명하고자 했던 다음의 쌍조건문이 모든 [math(n)]에 대하여 완전히 증명되었다.
다항함수 [math(f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^k)]과 음이 아닌 정수 [math(n)]에 대하여
[math(a_k=\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!})]
특히, [math(f^{(0)}(0)=f(0)=a_0)], [math(f^{(1)}(0)=f'(0)=a_1)]
즉, 다항함수 [math(f(x))]에 대하여 [math(\boldsymbol{f(0)})]은 상수항을, [math(\boldsymbol{f'(0)})]은 일차항의 계수를 뜻한다는 말이다. 고등학교 수준의 시험을 위해서는 이 두 가지만 기억해도 충분하다. [math(f(0))]이 상수항이라는 사실은 비교적 많이 인지하는 편인 반면 [math(f'(0))]이 일차항의 계수라는 사실은 간과하는 경우가 많으나 이 또한 시험에서 도움이 되는 단서로 작용할 수 있다.
증명 [펼치기·접기]
---- 우선 다항함수 [math(f(x))]에 대하여 [math(f(0))]이 상수항임은 꽤 자명하므로 증명은 생략하고, 이 사실을 받아들인 채 모든 [math(n)]에 대하여 증명하자.
다항함수 [math(f(x))]의 [math(k)]차항 [math(a_kx^k)]을 계속 미분하면 다음과 같이 변해 간다.
즉, [math(0\leq l\leq k)]인 정수 [math(l)]에 대하여 [math(k)]차항을 [math(l)]번 미분하면 [math({}_k{\rm P}_la_kx^{k-l})]이므로, [math(k=l)]일 때 상수항이 되며 그 값은 [math({}_k{\rm P}_ka_k=k!\times a_k)]이다. 다항함수 [math(f(x))]에 대하여 [math(f(0))]이 상수항임을 생각하면 이 사실을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
로 식을 세운 뒤 [math(f'(0)=-7)]임을 이용하여 [math(a)]의 값을 구해도 되지만, [math(f'(0)=-7)]을 [math(f(x))]의 일차항의 계수로 해석하여
[math(f(x)=x^3+ax^2-7x+b)]
와 같이 이미 전개된 형태로 식을 세운 다음 [math(f(1)=f(2)=0)]을 이용하여 [math(a)]와 [math(b)]의 값을 구하는 것이 더 편하다. 왜냐하면 위 문제를 풀기 위해서는 결국 정적분을 계산해야 하는데 이를 위해서는 [math(f(x))]의 부정적분을 구해야 하기 때문이다. 처음에 [math(f(x))]를 인수들의 곱으로 나타낸다면 나중에 정적분을 계산하기 위해서 그 식을 전개하는 번거로운 과정을 거쳐야 한다. 반면 전개된 형태로 식을 세우면 처음부터 정적분의 계산에 유리한 형태로 [math(f(x))]를 구할 수 있다. [math(f'(0))]의 값이 일차항의 계수라는 해석을 하지 못한다면 불가능한 일이다. 참고로 정답은 ⑤이며, 부정적분을 직접 계산하지 않고도 넓이 공식을 사용하여 답을 구할 수 있는데, 이에 대해서는 다항함수/공식 문서의 여담 문단 참고.
2025학년도 3월 고3 22번
[math(f(0))]과 [math(f'(0))]의 의미가 동시에 등장하는 문제이다.
생략 없이 처음 단계부터 문제를 풀어보자. 풀이 과정을 건너뛴 채 마지막 부분만 보아도 좋다. [math(g(x))]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로, 연속이기도 하다. 먼저 [math(f(x))]와 [math(y=2x^2-8)]은 모두 다항함수이므로 실수 전체의 집합에서 미분가능하며 연속이다. 이에 따라 [math(|f(x)|)]와 [math(y=|2x^2-8|)] 역시 연속이다. 그러나 [math(f(x))] 및 [math(2x^2-8)]이 [math(0)]이 되는 [math(x)]의 값에서는 [math(|f(x)|)]와 [math(y=|2x^2-8|)]의 그래프에 미분불가능한 첨점이 발생할 수 있으므로 이를 조사해야 한다. 이 사실들을 염두에 두고 [math(g(x))]를 조사하자.
먼저 [math(g(x))]의 연속성을 조사하자. 위에서 밝힌 사실들에 따라 [math(g(x))]는 [math(x\neq0)]일 때 연속이다. 문제가 되는 부분은 [math(x=0)]일 경우뿐이다. 연속의 정의에 따라
이 성립해야 하므로 [math(-f(0)=|f(0)|-8)]에서 [math(f(0)=4)]이다.
다음으로 [math(g(x))]의 미분가능성을 조사하자. 우선
[math(y=|2x^2-8|=|2(x+2)(x-2)|)]
이므로 [math(y=|2x^2-8|)]의 그래프는 [math(x=\pm2)]에서 다음과 같이 첨점을 갖는다.
단, [math(g(x)=|f(x)|-|2x^2-8|)]인 것은 [math(x\geq0)]일 때이므로 미분가능성이 보장되지 않는 경우는 [math(x=-2)]와 [math(x=2)] 중에서 [math(x=2)]뿐이다.
[math(x\geq0)]의 구간에서, [math(y=|2x^2-8|)]은 [math(x=2)]에서만 미분불가능하므로, [math(|f(x)|)] 역시 [math(x=2)]에서만 미분불가능해야 한다. 왜냐하면 [math(|f(x)|)]가 [math(x=2)]에서 미분가능하다면 [math(g(x))]는 [math(x=2)]에서 미분불가능하기 때문이다. 따라서 곡선 [math(y=f(x))]는 [math(x=2)]에서만 [math(x)]축과 접하지 않고 교차해야 한다. 즉, [math(f(2)=0)]이며, [math(f'(2)\neq0)]이다.
이제 [math(f'(2))]의 값을 찾아보자. [math(x=2)]에서 [math(y=|2x^2-8|)]이 미분불가능한데 [math(g(x))]는 미분가능하려면, [math(|f(x)|)]가 [math(x=2)]에서 어떤 좌미분계수와 우미분계수를 갖는지가 중요해진다. [math(y=|2x^2-8|)]의 [math(x=2)]에서의 좌미분계수와 우미분계수는 각각 [math(-8)], [math(8)]이다. [math(|f(x)|)]의 [math(x=2)]에서의 좌미분계수와 우미분계수는 반수 관계[21]에 있으므로[22] 그 값을 각각 [math(-p)], [math(p)]라 하면 [math(g(x))]의 [math(x=2)]에서의 좌미분계수와 우미분계수는 각각 [math(-p+8)], [math(p-8)]이 된다. [math(g(x))]는 [math(x=2)]에서 미분가능하므로, [math(-p+8=p-8)]에서 [math(p=8)]이다. 따라서 [math(f(2)=0)], [math(|f'(2)|=8)]이다. 다시 말하면 곡선 [math(y=f(x))]는 [math(x=2)]에서 [math(x)]축과 교차하며, 교차하는 순간 [math(-8)] 또는 [math(8)]이라는 미분계수를 가짐으로써 최종적으로 [math(|f(x)|)]의 그래프가 [math(x=2)]에서 첨점을 가지고 좌미분계수와 우미분계수가 각각 [math(-8)], [math(8)]이 된다는 것이다. 그러면 [math(g(x))]는 [math(x=2)]에서 미분계수가 [math(0)]으로 정의된다.
한편, [math(x\geq0)]의 구간에서, [math(y=|2x^2-8|)]은 [math(x=2)]에서만 [math(x)]축과 접하지 않고 교차하려면, 곡선 [math(y=f(x))]의 개형은 다음과 같아야만 한다.
곧, 앞서 도출한 단서인 [math(f(0)=4)]를 만족시키면서 [math(x=2)]에서 [math(x)]축과 접하지 않고 교차하는 그래프는 위와 같은 개형밖에 없다. 결국 [math(f'(2)<0)]이며, [math(f'(2)=-8)]인 것이다.
이제 마지막으로 [math(x=0)]에서의 [math(g(x))]의 미분가능성을 조사하자. [math(x=0)]에서 [math(g(x))]의 좌미분계수와 우미분계수는
이다. 이때 우미분계수의 계산은 [math(x>0)]에서 [math(g(x)=f(x)+(2x^2-8))]임에서 비롯되는 것이다. 따라서 [math(-f'(0)=f'(0))]에서 [math(f'(0)=0)]이다.
[math(f(x))]에 관하여 얻은 모든 단서를 다시 나열하면 다음과 같다.
[math(f(0)=4,\,f'(0)=0,\,f(2)=0,\,f'(2)=-8)]
문제에서 [math(f(x))]는 삼차함수라는 말밖에 없었으므로 삼차항의 계수, 이차항의 계수, 일차항의 계수, 상수항을 모두 모르는 상태이다. 곧, 미지수가 네 개이다. 이때 위와 같이 식도 네 개이므로 [math(f(x))]를 구할 수 있는데, [math(f(0))]의 값을 상수항, [math(f'(0))]의 값을 일차항의 계수로 해석하면
[math(f(x)=ax^3+bx^2+4)]
로 쓸 수 있다. 따라서 미지수가 두 개로 줄었고, 나머지 두 식 [math(f(2)=0)] 및 [math(f'(2)=8)]로 [math(a)]와 [math(b)]의 값을 구하면
[math(f(x)=-x^3+x^2+4)]
에서 정답은 [math(f(-5)=154)]이다. 반면 [math(f(0))]과 [math(f'(0))]의 의미를 생각하지 않으면 더 복잡한 연립방정식을 풀어야 할 수도 있다.
서울특별시교육청에서는 다음과 같은 해설을 제공했는데, 보다시피 [math(f(0)=4)]와 [math(f'(0)=0)]을 비롯한 여러 조건을 만족시키는 함수들이 모두 일차항이 없고 상수항이 [math(4)]임을 알 수 있다.
이므로 결국 [math(f(x)=0)]는 무수히 많은 실근을 가지게 되는데, 다항함수 중에서 이러한 성질을 가지는 것은 상수함수 [math(f(x) \equiv 0)]뿐이다. 하지만 [math(f(x))]는 상수함수가 아니므로 이는 모순이다. 이와 같은 현상이 일어나지 않으려면
[math(\alpha_0=2\alpha_0+1)]
이어야 하며, 이에 [math(\alpha_0=-1)]이다. [math(\alpha=-1)]이면 분모와 분자가 모두 [math(f(-1))]로 수렴하므로 위와 같은 모순이 발생하지 않는 것이다. 즉, [math(X=\{-1\})]이며 [math(g(-1)=-1)]이므로 [math(X)]가 함수 [math(g(x))]에 대하여 닫혀 있게 된다. 이상에서 방정식 [math(f(x)=0)]의 실근은 [math(-1)]뿐이므로 상수 [math(p)]에 대하여
로 쓸 수 있으며 이차방정식 [math(x^2+px+4=0)]은 실근을 갖지 않는다. 따라서 이 이차방정식의 판별식을 계산하여 [math(p)]의 범위를 구하자.
[math(D=p^2-16<0)]
에서 [math(-4<p<4)]이며, [math(a)]와 [math(b)]가 정수이면 [math(p)]도 정수이므로 결국 [math(-3\leq p\leq3)]이다. 이때
[math(f(1)=2\times(p+5)=2p+10)]
이므로 [math(f(1))]의 최댓값은 [math(p=3)]일 때 발생하며 그 값은 [math(16)]이다.
주의: 역의 반례 [펼치기·접기]
---- 주의할 것은, 이 문서서 설명하는 대부분의 명제들과 달리 이 명제는 역이 성립하지 않는다는 점이다. 즉, 다음 명제는 거짓이다.
[math(n)]차방정식[math((n\geq1))] [math(f(x)=0)]이 서로 다른 [math(t)]개의 실근 [math(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_t)]를 가질 때
집합 [math(X=\{x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_t\})]가 함수 [math(g(x))]에 대하여 닫혀 있으면
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [math(g(x))]와 모든 실수 [math(a)]에 대하여 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(g(x))}{f(x)})]의 값이 존재한다. ||
이 명제의 반례를 알아보자. [math(f(x)=x)]이고 [math(g(x)=\sqrt{|x|})]인 경우를 생각할 수 있다. 이 경우 함수 [math(g(x))]는 실수 전체의 집합에서 연속이며, [math(X=\{0\})]이고 [math(g(0)=0)]이므로 집합 [math(X)]는 함수 [math(g(x))]에 대하여 닫혀 있다. 이때 [math(g(x))]를 풀어 쓰면
4문단에서 설명한 내용 중 [math(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^n})]의 형태는, 로피탈의 정리를 적용하여 분석할 수도 있다. 이 극한의 계산 결과는 앞서 밝혔듯이 [math(f(x))]의 [math(x)]의 개수, 즉 [math(f(x))]의 최저차항의 차수와 [math(n)]의 대소 관계에 따라 다르다. [math(f(x))]의 [math(x)]의 개수를 [math(F)]라 하자. 즉, [math(f(x))]의 최저차항의 차수는 [math(F)]인 것이다.
위 식은 원래 식의 분모와 분자를 각각 [math(F)]번([math(n)]번) 미분하여 극한값을 구하는 과정이다. 다항식 [math(x^n)]을 한 번 미분하면 [math(nx^{n-1})]이 되어 차수가 하나 낮아지기 때문에, [math(n)]차항이 상수항이 되기까지는 [math(n)]번의 미분을 거쳐야 한다. 따라서 [math(f(x))]는 [math((F-1))]번 미분했을 때까지는 상수항이 생기지 않으며, [math(F)]번째 미분에서 상수항이 생긴다. 위 식은 [math(x)]가 [math(0)]으로 가는 극한이므로, [math((F-1))]번째 미분까지는 극한값이 계속해서 [math(0/0)] 꼴이 되며, 분모와 분자의 최저차항의 차수가 같으므로 [math(F)]번째 미분에서 동시에 분모와 분자 모두에 상수항이 생긴다. 따라서 로피탈의 정리를 [math(F)]번 적용할 수 있으며, 그 극한값은 [math(0)]이 아니다. 또한 이 극한값은 앞서 밝혔듯이 [math(f(x))]의 최저차항의 계수이다. 따라서 [math(f(x))]의 [math(F)]차항의 계수가
이 경우는 분모가 분자보다 최저차항의 차수가 낮아서 분모와 분자를 [math(n)]번 미분했을 때 분모가 먼저 [math(n!)]이라는 [math(0)]이 아닌 상수항이 되어 버린다. 반면 [math(F>n)]이므로 [math(f^{(n)}(x))]는 상수항을 갖지 않으며, 여기에 [math(0)]으로 가는 극한을 취하면 분자는 [math(0)]으로 수렴한다. 따라서 최종적인 극한값은 [math(0)]이 된다. 따라서 4문단에서 설명한 바와 동일한 결과를 얻는다.
이 경우는 분모가 분자보다 최저차항의 차수가 낮아서 분모와 분자를 [math(F)]번 미분했을 때 분자가 먼저 [math(F!)]이라는 [math(0)]이 아닌 상수항을 갖게 된다. 이 값은 물론 분자의 최저차항인 [math(x^F)]을 [math(F)]번 미분한 결과이다. 따라서 [math(f^{(F)}(0)=F!)]이며, 이 값은 [math(0)]이 아니다. 반면 [math(F<n)]이므로 [math(x^n)]을 [math(F)]번 미분하여 얻는 식 [math({}_n{\rm P}_F\times x^{n-F})]은 상수항을 갖지 않으며, 여기에 [math(0)]으로 가는 극한을 취하면 분모는 [math(0)]으로 수렴한다. 결론적으로 극한은 발산하며, 4문단에서 설명한 바와 동일한 결과를 얻는다.
예제 [펼치기·접기]
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2025학년도 5월 15번
[math(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}x=1)]
이라는 것은 4문단에서 밝힌 원리에 따라 [math(f(x))]의 최저차항이 일차항이라는 뜻이며, 그 일차항의 계수가 [math(1)]이라는 뜻이다. 즉, [math(f(x))]는 최저차항으로 [math(x)]를 가지며 상수항은 갖지 않는다. 따라서 [math(f(0)=0)], [math(f'(0)=1)]이 성립한다. 한편 로피탈의 정리를 적용하여 동일한 결과를 얻을 수도 있다. 먼저 분모가 [math(0)]으로 수렴하는데 전체 극한은 [math(1)]로 수렴하므로 분자 역시 [math(0)]으로 수렴해야 한다. 따라서
감이 잘 안 온다면 예시를 보자. 아래는 다항함수가 아닌 [math(y)]축 대칭함수(짝함수)의 예 중 하나인 정규분포 [math(y=e^{-x^2})]의 확률밀도함수를 그래프로 나타낸 것이다. 이 함수를 이차함수, 사차함수 추론 공식에 넣으면 이차함수 혹은 사차함수로 판정되는 모순이 발생하게 된다.[30] 이 때문에 추론에 곁들여 다항함수 외의 함수인지 실마리[31]를 찾아볼 필요가 있다.
[1] 다루는 함수의 범위를 다항함수로 한정하지 않으면 점대칭이 아닌데도 대칭구간의 적분값이 [math(0)]인 경우를 배제할 수 없게 된다. 예를 들어 디리클레 함수로 알려진 [math(y={\bold 1}_{\mathbb Q}(x))]는 [math(y)]축에 대하여 선대칭이면서도 르베그 적분의 값이 항상 [math(0)]이다.[2] [math(t=1)]일 때는 [math(0/0)] 꼴의 부정형이 되어 버려 [math(f'(1))]을 제대로 알 수 없어 보이지만, [math(f(x))]가 다항함수이므로 실수 전체의 집합에서 미분 가능하다는 점을 이용하면, [math(t\neq1)]일 때 항상 기울기가 [math(1)]이라면 [math(t=1)]일 때도 기울기가 [math(1)]임을 알 수 있다.[3] 이 조건이 없으면 다항함수가 아닌 초등함수([math(\cos x)], [math(\sin x/x)], [math(e^{-x^2})] 등)나 절댓값 같은 교육과정 내의 비 다항함수로 함정을 파는 짓거리가 가능하다.[A] 이런 경우는 상수함수와 일차함수뿐인데, 차수가 다른데도 둘 다 그래프가 완벽한 선형이기 때문이다.[B] 엄밀하게는 '위아래로 모두 볼록'하다. 혹은 '위아래로 모두 오목하다'라고도 표현할 수 있다.[A][B][8] 다름 아닌 변곡점이다.[9] 즉, 극값을 가질 수도 있고 갖지 않을 수도 있다. 고등학교 수학에서는 사차함수까지만 명시적으로 다루기 때문에, 이 범위에서는 삼차함수만이 이 특징을 가지게 되어 '극값을 가질/갖지 않을 조건' 등의 유형으로 중요하게 취급된다.[10] 볼록성이 바뀌는 지점은 다름 아닌 변곡점이다.[11] 즉, 선대칭도 아니고 점대칭도 아님[12] 그래서 오차함수부터는 브링 근호를 사용해야 한다.[13] 이때 [math(\displaystyle\sum)] 밑에 [math(k\neq j)]라는 부등식이 나오는 것은 고등학교 수준에서 등장하지 않는 표기법인데, 해당 식의 변수는 [math(k)]이며 [math(k\neq j)]인 경우에만 더한다는 의미이다. 이때 아주 정확하게는 [math(\displaystyle\prod_{k=0\,k\neq j}^n)]와 같이 표기해야 하지만 [math(k=0,\,1,\,\cdots,\,n)]인 것은 문맥상 분명하므로 이 부분을 생략하고 간략하게 [math(k\neq j)]만을 표기한 것으로 이해하면 된다.[14] 고등학교 과정 외의 정리이지만 일부 문제를 풀기 쉽게 해 주는 도구로서 고등학생들에게도 많이 알려져 있다. 간단히 말해서 [math(0/0)] 꼴 또는 [math(\infty/\infty)] 꼴의 극한은 분모와 분자를 각각 미분하여 극한을 계산해도 값이 같다는 정리이다. 로피탈의 정리 참고.[15] 이는 [math(1=2)]라는 것과도 같은데, [math(1=2)] 문서의 '극한 2' 문단에서 극한 계산에 대한 주의점을 해설한다.[16] 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(f^{(n)}(x))]는 [math(f(x))]를 [math(n)]번 미분한 함수를 뜻한다. [math(f^{(0)}(x))]는 [math(f(x))] 자기 자신이고, [math(f^{(1)}(x))]는 [math(f(x))]의 도함수이며, [math(n\geq2)]이면 [math(f^{(n)}(x))]는 [math(f(x))]의 [math(n)]계도함수라고 할 수 있다.[17] 무슨 이유에서인지 매년 언급되는 것은 아니다. 2024학년도 수능특강에서는 결론만 언급되었고 증명은 누락되었다.[18] 인수정리는 정확히 말하면 [math(P(1))]과 그 역이 모두 성립한다는 정리이다.[19] 물론 라이프니츠 법칙 자체는 모든 음이 아닌 정수 [math(n)]에 대하여 훌륭히 성립한다. 단 지금은 [math(k)]계 미분의 값까지만 고려하는 상황이므로 [math(k\geq n)]으로 놓은 것이다.[20] 곧, [math((f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x))] 등의 것을 말한다.[21] 부호는 다르나 절댓값이 같은 두 수[22] 그 이유에 대한 자세한 설명은 미분 문서의 4.5문단 참고.[23] 다시 말해서, [math(x_i\in X)]이면 [math(g(x_i)\in X)]라는 것이다.[24] 당장 삼차함수 추론 공식에 [math(y=\tan x)]를 넣어 보자. 탄젠트함수가 삼차함수가 되는 기적이 벌어진다.[25] 이로 인한 출제오류 가능성 때문에 다항함수 추론 문제는 무조건이라고 할 정도로 지문에 '다항함수'라는 것을 명시한다.[26] 참고로 다항함수가 아닌 홀함수는 다항함수인 홀함수의 무한합으로 근사할 수 있다.[27] 참고로 다항함수가 아닌 짝함수는 다항함수인 짝함수의 무한합으로 근사할 수 있다.[28] 사실 [math(\cos x)]는 끝이 없는 주기함수여서 공간이 얼마나 있든 그래프를 전부 그릴 수는 없다.[비교] [30] 대칭축이 [math(x=0)]이니, [math(f(-x)=f(x))]이고 임의의 실수 [math(t)]에 대해서 [math(\int_{-t}^0 f(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^{t} f(x) \,\mathrm{d}x)]이므로.[31] 예시로 든 아래의 정규분포 함수의 경우 점근선 [math(y=0)]이 있는데, 이차·사차함수에는 [math(\boldsymbol y)]축과 수직인 점근선이 없다는 것만 알면 이 함수가 이차함수나 사차함수가 아님을 쉽게 알 수 있다.
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