다항함수/공식/길이

1. 개요

2. 일차함수

3. 이차함수

3.1. 초점과 준선

• 초점: [math(\left(-\dfrac{b}{2a},\, \dfrac{4ac-b^2+1}{4a} \right))]
• 준선: [math(y = \dfrac{4ac-b^2-1}{4a} )]

3.2. 접선과 삼각형

증명 [펼치기·접기]

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위 그림에서 계산의 단순화를 위해 [math(k_1=0)]이라 하면 다음이 성립한다.

[math(f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta))]

그러면 점 [math(\rm C)]의 [math(y)]좌표는 [math(f(x))]의 최솟값으로서 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 평균인 [math(x=(\alpha+\beta)/2)]를 [math(f(x))]에 대입한 값이 된다. 이를 계산하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f\left(\dfrac{\alpha+\beta}2\right)&=a\left(\dfrac{\alpha+\beta}2-\alpha\right)\left(\dfrac{\alpha+\beta}2-\beta\right)\\&=a\times\dfrac{-\alpha+\beta}2\times\dfrac{\alpha-\beta}2\\&=-\dfrac{a}4(\beta-\alpha)^2\end{aligned})]

또한, 점 [math(\rm A)]와 점 [math(\rm B)]에서의 접선의 방정식을 각각 [math(l_A)], [math(l_B)]라 하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}l_A&=f'(\alpha)(x-\alpha)+f(\alpha)\\&=a(\alpha-\beta)(x-\alpha)\\ \\ l_B&=f'(\beta)(x-\beta)+f(\beta)\\&=a(\beta-\alpha)(x-\beta)\end{aligned})]

점 [math(\rm D)]는 두 접선의 교점이다. 위 그림은 좌우 대칭인바 점 [math(\rm D)]의 [math(x)]좌표는 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 평균인 [math((\alpha+\beta)/2)]임이 자명하므로 [math(l_A)] 또는 [math(l_B)]에 [math(x=(\alpha+\beta)/2)]를 대입한 값을 구하면 된다. 여기에서는 [math(l_A)]에 대입해 보자.

[math(\begin{aligned}a(\alpha-\beta)\left(\dfrac{\alpha+\beta}2-a\right)&=a(\alpha-\beta)\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)\\&=-\dfrac{a}2(\beta-\alpha)^2\end{aligned})]

[math(\begin{aligned}\therefore\overline{\rm MC}:\overline{\rm MD}&=\dfrac{a}4(\beta-\alpha)^2:\dfrac{a}2(\beta-\alpha)^2\\&=1:2\\ \\ \overline{\rm MC}:\overline{\rm CD}&=\overline{\rm MC}:\left(\overline{\rm MD}-\overline{\rm MC}\right)\\&=1:(2-1)=1:1\end{aligned})]

그러면 위 그림과 같이 [math(\overline{\rm AB}\parallel\overline{\rm A'B'})]이므로 다음이 성립한다.

[math(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm B'A'D},\;\angle{\rm ABD}=\angle{\rm A'B'D}\quad\textsf{\footnotesize(동위각)})]

[math(\therefore\triangle{\rm ABD}\sim\triangle{\rm A'B'D}\quad\textsf{\footnotesize(}\textsf{\footnotesize{\rm AA}}\;\textsf{\footnotesize닮음)})]

그런데 [math(\overline{\rm MC}=\overline{\rm CD})]이므로 다음의 길이 관계도 닮음비에 따라 성립할 수밖에 없다.

[math(\begin{aligned}\overline{\rm AA'}&=\overline{\rm A'D}\\\overline{\rm BB'}&=\overline{\rm B'D}\end{aligned})]

나아가 위 그림은 좌우 대칭이므로 다음 역시 성립한다.

[math(\begin{aligned}\angle{\rm ABD}=\angle{\rm A'B'D}&=\angle{\rm BAD}=\angle{\rm B'A'D}\\\overline{\rm AA'}=\overline{\rm A'D}&=\overline{\rm BB'}=\overline{\rm B'D}\\\overline{\rm AD}&=\overline{\rm BD}\\\overline{\rm AM}&=\overline{\rm MB}\\\overline{\rm A'C}&=\overline{\rm B'C}\end{aligned})]

따라서 [math(\triangle\rm{ABD})]는 이등변삼각형이다.

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증명 [펼치기·접기]

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[math(\triangle\rm{ABD})]가 정삼각형이 되려면 [math(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AD}=\overline{\rm BD})]이어야 한다. 각 변의 길이는 다음과 같이 쓸 수 있으므로 다음이 성립해야 한다.

[math(\begin{aligned}\overline{\rm AB}&=\beta-\alpha\\{\color{#DA3832}\overline{\rm AD}}={\color{#48A0E2}\overline{\rm BD}}&={\color{#DA3832}\sqrt{\overline{\rm AM}^2+\overline{\rm MD}^2}}={\color{#48A0E2}\sqrt{\overline{\rm MB}^2+\overline{\rm MD}^2}}\\&=\sqrt{\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^2+\left\{\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^2\right\}^2}\\&=\sqrt{\dfrac{(\beta-\alpha)^2}4+\dfrac{a^2}4(\beta-\alpha)^4}\\&=\sqrt{\dfrac{(\beta-\alpha)^2}4\left\{1+a^2(\beta-\alpha)^2\right\}}\\&=\dfrac{\beta-\alpha}2\sqrt{1+a^2(\beta-\alpha)^2}\quad(\because\beta-\alpha>0)\\\\\therefore\beta-\alpha&=\dfrac{\beta-\alpha}2\sqrt{1+a^2(\beta-\alpha)^2}\end{aligned})]

[math(\beta-\alpha\neq0)]이므로 양변을 [math((\beta-\alpha)/2)]로 나누고 양변을 제곱하면 다음을 얻는다.

[math(\begin{aligned}2&=\sqrt{1+a^2(\beta-\alpha)^2}\\\rightarrow4&=1+a^2(\beta-\alpha)^2\end{aligned})]

[math(\therefore a^2(\beta-\alpha)^2=3)]

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증명 1: 피타고라스 정리 [펼치기·접기]

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[math(\triangle\rm{ABD})]가 직각삼각형이 되려면 피타고라스 정리에 의하여

[math(\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm BD}^2=\overline{\rm AB}^2)]

이어야 한다. 각 변의 길이는 다음과 같이 쓸 수 있으므로 다음이 성립해야 한다.

[math(\begin{aligned}\overline{\rm AB}&=\beta-\alpha\\{\color{#DA3832}\overline{\rm AD}}={\color{#48A0E2}\overline{\rm BD}}&={\color{#DA3832}\sqrt{\overline{\rm AM}^2+\overline{\rm MD}^2}}={\color{#48A0E2}\sqrt{\overline{\rm MB}^2+\overline{\rm MD}^2}}\\&=\sqrt{\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^2+\left\{\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^2\right\}^2}\\&=\sqrt{\dfrac{(\beta-\alpha)^2}4+\dfrac{a^2}4(\beta-\alpha)^4}\\&=\sqrt{\dfrac{(\beta-\alpha)^2}4\left\{1+a^2(\beta-\alpha)^2\right\}}\\&=\dfrac{\beta-\alpha}2\sqrt{1+a^2(\beta-\alpha)^2}\quad(\because\beta-\alpha>0)\\\\\therefore(\beta-\alpha)^2&=2\left\{\dfrac{\beta-\alpha}2\sqrt{1+a^2(\beta-\alpha)^2}\right\}^2\\&=\dfrac{(\beta-\alpha)^2}2\left\{1+a^2(\beta-\alpha)^2\right\}\end{aligned})]

[math(\beta-\alpha\neq0)]이므로 위 식을 [math((\beta-\alpha)^2)]으로 나누면 다음을 얻는다.

[math(1=\dfrac{1+a^2(\beta-\alpha)^2}2)]

[math(\therefore a^2(\beta-\alpha)^2=1)]

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증명 2: 직교의 성질 [펼치기·접기]

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또는, 두 접선이 직교한다는 사실을 이용할 수도 있다. 곧, 다음이 성립해야 한다.

[math(f'(\alpha)f'(\beta)=-1)]

위 그림은 좌우 대칭이기 때문에 [math(f'(\alpha)=-f'(\beta))]이므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\{f'(\alpha)\}^2&=\{f'(\beta)\}^2=1\\\\f(x)&=a(x-\alpha)(x-\beta)\\\rightarrow\quad f'(x)&=a\{(x-\alpha)+(x-\beta)\}\\\\f'(\alpha)&=a(\alpha-\beta)\\f'(\beta)&=a(\beta-\alpha)\\\\\therefore\{f'(\alpha)\}^2&=\left\{a(\alpha-\beta)\right\}^2\\=\{f'(\beta)\}^2&=\left\{a(\beta-\alpha)\right\}^2\\&=a^2(\beta-\alpha)^2=1\end{aligned})]

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4. 삼차함수

4.1. 1:2:1 공식

• 점 [math(\rm D)], [math(\rm E)]는 각각 [math(y=f(x))]의 그래프가 [math(\rm Q)], [math(\rm R)]에서의 접선과 만나는 점이다.
• 점 [math(\rm A)]는 점 [math(\rm E)]에서 직선 [math(\overline{\rm DQ})]에 내린 수선의 발이고, 점 [math(\rm H)]는 점 [math(\rm D)]에서 직선 [math(\overline{\rm ER})]에 내린 수선의 발이다.
• 점 [math(\rm F)]는 점 [math(\rm Q)]에서 직선 [math(\overline{\rm ER})]에 내린 수선의 발이고, 점 [math(\rm C)]는 점 [math(\rm R)]에서 직선 [math(\overline{\rm DQ})]에 내린 수선의 발이다.
• 점 [math(\rm B)], [math(\rm G)]는 각각 점 [math(\rm P)]에서 직선 [math(\overline{\rm DQ})], [math(\overline{\rm ER})]에 내린 수선의 발이다.

증명 [펼치기·접기]

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계산의 단순화를 위해, 위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 삼차함수 [math(y=f(x))]가 [math(x=0)]에서 [math(x)]축과 교차하고 [math(x=\beta)]에서 접하며 [math(x=\alpha)]에서 극값을 갖는다고 하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=ax(x-\beta)^2\\\\\rightarrow f'(x)&=a(x-\beta)^2+2ax(x-\beta)\\&=a(x-\beta)\{(x-\beta)+2x\}\\&=a(x-\beta)(3x-\beta)\end{aligned})]

따라서 [math(f'(\beta)=f'(\beta/3)=0)]이므로 [math(f(x))]는 [math(x=\beta)] 또는 [math(x=\beta/3)]에서 극값을 갖는다. 또한, 이계도함수를 구하면

[math(\begin{aligned}f''(x)&=3a(x-\beta)+a(3x-\beta)\\&=6ax-4a\beta\\&=2a(3x-2\beta)\end{aligned})]

따라서 [math(f''(2\beta/3)=0)]이므로 변곡점의 [math(x)]좌표는 [math(2\beta/3)]이다. 이상에서 다음이 성립한다.

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기하학적 해석 [펼치기·접기]

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위 그림과 같이 삼차함수 [math(y=f(x))]의 도함수 [math(y=f'(x))]는 이차함수이므로, 곡선 [math(y=f'(x))]의 극점의 [math(x)]좌표는 두 영점의 [math(x)]좌표의 평균과 같다. 도함수의 그래프로부터 원시함수의 그래프를 도출할 때, 극점은 변곡점으로, [math(x)]축과 교차하는 부분의 영점은 극점으로 [math(x)]좌표가 그대로 이어지므로, 곡선 [math(y=f(x))]의 변곡점의 [math(x)]좌표는 두 극점의 [math(x)]좌표의 평균과 같다. 따라서 [math(1:1)]의 비율 관계가 성립한다.

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예제 [펼치기·접기]

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이 사실을 활용할 수 있는 문제는 빈번히 출제되어 왔으므로 이 공식은 필히 암기해야 한다.

2001학년도 수능 인문계 11번

이 사실 자체가 그대로 출제된 간단한 문제이다. 문제의 조건에 따르면, [math(f(x))]의 그래프는 [math(x=a)]에서 [math(x)]축에 접하고 [math(x=b)]에서 [math(x)]축과 교차한다. 따라서 그래프는 다음과 같이 그릴 수 있다.


가능한 경우는 위 네 가지로, 어떤 경우이든지 삼차함수의 비율 관계에 따라서 점 [math((c,\,0))]은 점 [math((a,\,0))]과 [math((b,\,0))]을 [math(2:1)]로 내분하므로 [math(c=(a+2b)/3)]이다.

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예제 [펼치기·접기]

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2011학년도 4월 가형 19번

이 사실을 거의 직접적으로 다루는 기본 문제이다. [math(f(x)-g(x))]의 그래프는 다음과 같다.


함수 [math(y=f(x)-g(x))]의 그래프는 [math(x=a)]에서 [math(x)]축과 교차하고, [math(x=b)]에서 [math(x)]축에 접하며, 점 [math((a,\,f(a)))]가 변곡점이다. 그러므로 앞서 설명한 관계에 따라서 [math(b)]의 [math(\frac13)]인 [math(\frac{b}3)]가 극대점의 [math(x)]좌표가 되며, 점 [math((a,\,0))]이 원점과 점 [math((b,\,0))]을 [math(2:1)]로 내분하므로 [math(\frac{b-a}a=\frac12)]이다. 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

경기도교육청에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 처음에 [math(f(x)=px^3+qx^2+rx\;(p>0))] 그리고 [math(g(x)=mx\;(m\neq0))]로 놓고 미분 등을 실행하여 일반적인 증명을 할 수밖에 없다. 비율 관계를 암기하고 있다면 불필요한 과정이다.

2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 54쪽 3번

이 공식을 적극 활용하면 시간을 대폭 단축할 수 있는 문제이다. 센스가 좋으면 아예 눈으로도 풀 수 있으나 직접 계산하면 다소 시간이 걸린다.

접선 [math(l)]은 곡선 [math(f(x))]에 [math(x=2)]에서 접하고 [math(x=-4)]에서 교차한다. 이때 [math(-4<a<2)]이므로 점 [math(\rm R)]은 함수 [math(f(x))]에 대하여 닫힌구간 [math([-4,\,2])]에서 평균값 정리를 만족시키는 점이 된다. 이 말이 이해가 되지 않는다면 아래 해설의 그림을 보자.

그러면 이 점의 [math(x)]좌표 [math(a)]는 공식에 따라 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}a-(-4):2-a&=1:2\\\therefore a&=-2\end{aligned})]

따라서 [math(b=f(a)=22)]이므로 [math(a+b=20)]이다.

실제 수능특강에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 접선 [math(l)]의 기울기를 구하는 등 각종 수식을 일일이 계산하는 과정이 번거롭다. 그러나 삼차함수의 그래프의 개형을 깊이 있게 이해하면서 공식을 활용할 수 있다면 접선 [math(l)]의 기울기를 구할 필요도 없는 등 눈으로도 금방 풀 수 있는 문제이다.

4.2. 1:√3 공식

증명 [펼치기·접기]

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위 그림과 같이, 최고차항의 계수가 [math(a)]인 삼차함수 [math(f(x))]에 대하여 계산의 단순화를 위해 [math(f'(-\alpha)=f'(\alpha)=0)]이라고 한 뒤, 곡선 [math(f(x))]의 [math(x)]절편을 찾아보자. 우선 [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(3a)]이므로

[math(\begin{aligned}f'(x)&=3a(x+\alpha)(x-\alpha)\\&=3a\left(x^2-\alpha^2\right)\\\\\therefore f(x)&=ax^3-3a\alpha^2x\\&=x\left(ax^2-3a\alpha^2\right)\end{aligned})]

곡선 [math(f(x))]의 [math(x)]절편을 구하기 위해 다음 방정식을 풀자.

[math(\begin{aligned}f(x)&=x\left(ax^2-3a\alpha^2\right)=ax\left(x^2-3\alpha^2\right)\\&=ax\left(x+\sqrt3a\right)\left(x-\sqrt3a\right)=0\\\\\therefore x&=0\quad\textsf{or}\quad x=\pm\sqrt3\alpha\end{aligned})]

곧, 원점 대칭인 삼차함수의 그래프에서 두 극점의 [math(x)]좌표가 [math(-\alpha)], [math(\alpha)]이면 세 [math(x)]절편은 [math(-\sqrt3\alpha)], [math(0)], [math(\sqrt3\alpha)]이므로 해당 사실이 증명되었다.

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예제 [펼치기·접기]

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2023학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 69쪽 5번

(가)와 (나)에 따르면 [math(f(x))]의 그래프는 다음과 같다.


곧, 극소점의 [math(x)]좌표가 [math(2)]이다. 앞서 밝힌 비율 관계에 따르면, [math(x)]절편은 [math(-2\sqrt3)], [math(0)], [math(2\sqrt3)]임을 쉽게 알 수 있다. 곧, 다음이 성립한다.

[math(f(x)=x\left(x+2\sqrt3\right)\left(x-2\sqrt3\right)=x\left(x^2-12\right))]

참고로 [math(n)]의 범위는 [math(-16<n<16)]이며, 답은 [math(31)]이다.

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4.3. 두 극값의 차

증명 [펼치기·접기]

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먼저, 계산의 단순화를 위해 [math(\alpha=0)]이라 하고, 극점 대신에 [math(f(x))]의 그래프와 [math(x)]축의 교점의 [math(x)]좌표를 [math(\beta)]라 하여 [math(f(x))]의 그래프가 다음과 같다고 하자.


그러면 [math(f(x)=ax^2(x-\beta))], [math(f(0)=0)]이고 앞서 밝힌 비율 관계에 의하여 [math(f'(2\beta/3)=0)]이 된다. 이때 [math(f(x))]의 두 극값의 차는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\left|f(0)-f\left(\dfrac{2\beta}3\right)\right|&=\left|f\left(\dfrac{2\beta}3\right)\right|\\&=\left|a\left(\dfrac{2\beta}3\right)^2\left(\dfrac{2\beta}3-\beta\right)\right|\\&=\left|a\times\dfrac{4\beta^2}9\times\left(-\dfrac{\beta}3\right)\right|\\&=\left|-\dfrac{a}{27}\times4\beta^3\right|=\dfrac{|a|}2\cdot\left(\dfrac23\beta\right)^3\;\left(\because\beta^3>0\right)\end{aligned})]

이때 [math(2\beta/3)]는 바로 [math(f(x))]의 두 극값의 [math(x)]좌표의 차 [math(2\beta/3-0)]과 일치하므로 해당 사실이 증명되었다.

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예제 [펼치기·접기]

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2016학년도 6월 고3 A형 21번

이 공식을 매우 직접적으로 사용할 수 있는 문제이다. 다항함수/추론 문서에서 설명한 다항함수의 특징에 의하여 추론을 거치면 [math(f(x)=(x+n)(x-n)^2)]이다. 그러면 4.1문단에서 밝힌 비율 관계에 의하여 [math(f(x))]는 [math(x=-n/3)]에서 극대이다. 이를 그래프로 그리면 다음과 같다.


공식에 의하여 [math(\{a_n\})]은 다음과 같이 구할 수 있다.

[math(\begin{aligned}a_n&=\dfrac{|1|}2\times\left[\dfrac23(\{n-(-n)\}\right]^3\\&=\dfrac{32}{27}n^3\end{aligned})]

따라서 [math(\{a_n\})]이 자연수가 되도록 하는 [math(n)]의 최솟값은 [math(3)]이다.

2015학년도 7월 A형 12번

삼차함수 문서에서 밝혔듯이 삼차함수의 두 극값의 차는 삼차방정식의 실근의 개수와도 밀접한 연관이 있다. 따라서 이러한 내용의 문제에서도 이 공식을 요긴하게 활용할 수 있다.

[math(f(x)=x^3+3x^2-9x+4)]라 하면, 문제의 조건을 만족시키는 [math(k)]는 [math(f(x))]의 두 극값 사이의 값이어야 한다. 이에 대해서는 삼차함수 참고. 따라서 먼저 두 극점의 [math(x)]좌표를 찾으면

[math(f'(x)=3x^2+6x-9=3(x+1)(x-3)=0)]

에서 [math(x=-1)], [math(x=3)]이 이 이차방정식의 두 실근으로서 각각 극대점과 극소점의 [math(x)]좌표이다. [math(f(x))]는 정수 계수와 정수 상수로 이루어진 다항식이므로 두 극값 역시 정수이다. 따라서 가능한 [math(k)]의 값의 개수는 두 극값의 차에서 [math(\bf1)]을 뺀 값이다.[6] 두 극값의 차를 공식으로 구하면

[math(f(-1)-f(3)=\dfrac{|1|}2\{3-(-1)\}^3=32)]

이므로 답은 [math(32-1=31)]이다.

인천광역시교육청에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 함수식을 이용하여 직접 두 극값을 구해야 하므로 공식을 사용하는 것에 비해 번거롭다.

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5. 사차함수

5.1. 개형 1(사중근 1개)

5.1.1. 접선과 삼각형

증명 [펼치기·접기]

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위 그림에서 계산의 단순화를 위해 [math(k_1=0)]이라 하자. 그러면 [math(f(x))]의 그래프는 [math(x=\alpha)]와 [math(x=\beta)]에서 [math(x)]축과 만나면서 좌우 대칭이므로, 꼭짓점의 [math(x)]좌표는 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 평균인 [math((\alpha+\beta)/2)]이다. 그러므로 먼저 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(f(x)=a\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^4+k)]

이때 [math(f(\alpha)=f(\beta)=0)]임을 이용하여 [math(k)]의 값을 구하면 [math(k=-a\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^4)]이므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=a\left\{\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^4-\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^4\right\}\\f'(x)&=4a\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^3\end{aligned})]

그러면 점 [math(\rm C)]의 [math(y)]좌표는 [math(f(x))]의 최솟값으로서 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 평균인 [math(x=(\alpha+\beta)/2)]를 [math(f(x))]에 대입한 값이 된다. 이를 계산하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f\left(\dfrac{\alpha+\beta}2\right)&=a\left\{\left(\dfrac{\alpha+\beta}2-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^4-\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^4\right\}\\&=-a\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^4\end{aligned})]

또한, 점 [math(\rm A)]와 점 [math(\rm B)]에서의 접선의 방정식을 각각 [math(l_A)], [math(l_B)]라 하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}l_A&=f'(\alpha)(x-a)+f(\alpha)\\&=4a\left(\alpha-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^3(x-\alpha)\\&=-4a\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^3(x-\alpha)\\ \\ l_B&=f'(\beta)(x-\beta)+f(\beta)\\&=4a\left(\beta-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^3(x-\beta)\\&=4a\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^3(x-\beta)\end{aligned})]

점 [math(\rm D)]는 두 접선의 교점이다. 위 그림은 좌우 대칭인바 점 [math(\rm D)]의 [math(x)]좌표는 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 평균인 [math((\alpha+\beta)/2)]임이 자명하므로 [math(l_A)] 또는 [math(l_B)]에 [math(x=(\alpha+\beta)/2)]를 대입한 값을 구하면 된다. 여기에서는 [math(l_A)]에 대입해 보자.

[math(-4a\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^3\left(\dfrac{\alpha+\beta}2-\alpha\right)=-4a\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^4)]

[math(\begin{aligned}\therefore\overline{\rm MC}:\overline{\rm MD}&=a\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^4:4a\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^4\\&=1:4\\ \\ \overline{\rm MC}:\overline{\rm CD}&=\overline{\rm MC}:\left(\overline{\rm MD}-\overline{\rm MC}\right)\\&=1:(4-1)=1:3\end{aligned})]

그러면 위 그림과 같이 [math(\overline{\rm AB}\parallel\overline{\rm A'B'})]이므로 다음이 성립한다.

[math(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm B'A'D},\;\angle{\rm ABD}=\angle{\rm A'B'D}\quad\textsf{\footnotesize(동위각)})]

[math(\therefore\triangle{\rm ABD}\sim\triangle{\rm A'B'D}\quad\textsf{\footnotesize(}\textsf{\footnotesize{\rm AA}}\;\textsf{\footnotesize닮음)})]

그런데 [math(\overline{\rm MC}:\overline{\rm CD}=1:3)]이므로 다음의 길이 관계도 닮음비에 따라 성립할 수밖에 없다.

[math(\begin{aligned}\overline{\rm AA'}:\overline{\rm A'D}=\overline{\rm BB'}:\overline{\rm B'D}=1:3\end{aligned})]

나아가 위 그림은 좌우 대칭이므로 다음 역시 성립한다.

[math(\begin{aligned}\angle{\rm ABD}=\angle{\rm A'B'D}&=\angle{\rm BAD}=\angle{\rm B'A'D}\\\\\overline{\rm AA'}=\overline{\rm BB'},\,\overline{\rm A'D}&=\overline{\rm B'D},\,\overline{\rm AD}=\overline{\rm BD}\\\\\overline{\rm AM}=\overline{\rm MB}&,\,\overline{\rm A'C}=\overline{\rm B'C}\end{aligned})]

따라서 [math(\triangle\rm{ABD})]는 이등변삼각형이다.

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증명 [펼치기·접기]

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[math(\triangle\rm{ABD})]가 정삼각형이 되려면 [math(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AD}=\overline{\rm BD})]이어야 한다. 각 변의 길이는 다음과 같이 쓸 수 있으므로 다음이 성립해야 한다.

[math(\begin{aligned}\overline{\rm AB}&=\beta-\alpha\\{\color{#DA3832}\overline{\rm AD}}={\color{#48A0E2}\overline{\rm BD}}&={\color{#DA3832}\sqrt{\overline{\rm AM}^2+\overline{\rm MD}^2}}={\color{#48A0E2}\sqrt{\overline{\rm MB}^2+\overline{\rm MD}^2}}\\&=\sqrt{\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^2+\left\{\dfrac{|a|}4(\beta-\alpha)^4\right\}^2}\\&=\sqrt{\dfrac{(\beta-\alpha)^2}4+\dfrac{a^2}{16}(\beta-\alpha)^8}\\&=\sqrt{\dfrac{(\beta-\alpha)^2}4\left\{1+\dfrac{a^2}4(\beta-\alpha)^6\right\}}\\&=\dfrac{\beta-\alpha}2\sqrt{1+\dfrac{a^2}4(\beta-\alpha)^6}\quad(\because\beta-\alpha>0)\\\\\therefore\beta-\alpha&=\dfrac{\beta-\alpha}2\sqrt{1+\dfrac{a^2}4(\beta-\alpha)^6}\end{aligned})]

[math(\beta-\alpha\neq0)]이므로 양변을 [math((\beta-\alpha)/2)]로 나누고 양변을 제곱하면 다음을 얻는다.

[math(\begin{aligned}2&=\sqrt{1+\dfrac{a^2}4(\beta-\alpha)^6}\\\rightarrow4&=1+\dfrac{a^2}4(\beta-\alpha)^6\end{aligned})]

[math(\therefore a^2(\beta-\alpha)^6=12)]

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증명 1: 피타고라스 정리 [펼치기·접기]

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[math(\triangle\rm{ABD})]가 직각삼각형이 되려면 피타고라스 정리에 의하여

[math(\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm BD}^2=\overline{\rm AB}^2)]

이어야 한다. 각 변의 길이는 다음과 같이 쓸 수 있으므로 다음이 성립해야 한다.

[math(\begin{aligned}\overline{\rm AB}&=\beta-\alpha\\{\color{#DA3832}\overline{\rm AD}}={\color{#48A0E2}\overline{\rm BD}}&={\color{#DA3832}\sqrt{\overline{\rm AM}^2+\overline{\rm MD}^2}}={\color{#48A0E2}\sqrt{\overline{\rm MB}^2+\overline{\rm MD}^2}}\\&=\sqrt{\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^2+\left\{\dfrac{|a|}4(\beta-\alpha)^4\right\}^2}\\&=\sqrt{\dfrac{(\beta-\alpha)^2}4+\dfrac{a^2}{16}(\beta-\alpha)^8}\\&=\sqrt{\dfrac{(\beta-\alpha)^2}4\left\{1+\dfrac{a^2}4(\beta-\alpha)^6\right\}}\\&=\dfrac{\beta-\alpha}2\sqrt{1+\dfrac{a^2}4(\beta-\alpha)^6}\quad(\because\beta-\alpha>0)\\\\\therefore(\beta-\alpha)^2&=2\left\{\dfrac{\beta-\alpha}2\sqrt{1+\dfrac{a^2}4(\beta-\alpha)^6}\right\}^2\\&=\dfrac{(\beta-\alpha)^2}2\left\{1+\dfrac{a^2}4(\beta-\alpha)^6\right\}\end{aligned})]

[math(\beta-\alpha\neq0)]이므로 위 식을 [math((\beta-\alpha)^2)]으로 나누면 다음을 얻는다.

[math(2=1+\dfrac{a^2}4(\beta-\alpha)^6)]

[math(\therefore a^2(\beta-\alpha)^6=4)]

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증명 2: 직교의 성질 [펼치기·접기]

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또는, 두 접선이 직교한다는 사실을 이용할 수도 있다. 곧, 다음이 성립해야 한다.

[math(f'(\alpha)f'(\beta)=-1)]

위 그림은 좌우 대칭이기 때문에 [math(f'(\alpha)=-f'(\beta))]이므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\{f'(\alpha)\}^2&=\{f'(\beta)\}^2=1\\ \\ f(x)&=a\left\{\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^4-\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^4\right\}\\\rightarrow f'(x)&=4a\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^3\\f'(\alpha)&=4a\left(\dfrac{\alpha-\beta}2\right)^3,\quad f'(\beta)=4a\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^3\\\therefore\{f'(\alpha)\}^2&=\left\{4a\left(\dfrac{\alpha-\beta}2\right)^3\right\}^2\\=\{f'(\beta)\}^2&=\left\{4a\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^3\right\}^2=16a^2\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^6\\&=\dfrac14a^2(\beta-\alpha)^6=1\end{aligned})] [math(\therefore a^2(\beta-\alpha)^6=4)]

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5.2. 개형 2(삼중근 1개)

5.2.1. 1:3 공식

증명 [펼치기·접기]

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개형이 위 그림과 같은 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(y)]축과 수직인 직선 [math(y=k)]와 [math(x=\alpha)]에서 접하고 [math(x=\beta)]에서 교차한다고 하면 [math(f(x))]를 다음과 같이 쓸 수 있으므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=a(x-\alpha)^3(x-\beta)+k\\ \\ \rightarrow f'(x)&=a\left\{3(x-\alpha)^2(x-\beta)+(x-\alpha)^3\right\}\\&=a(x-\alpha)^2\{3(x-\beta)+(x-\alpha)\}\\&=a(x-\alpha)^2(4x-\alpha-3\beta)\end{aligned})]

따라서 [math(f'(\alpha)=f'((\alpha+3\beta)/4)=0)]인데, 이때 점 [math(((\alpha+3\beta)/4,\,k))]는 점 [math((\alpha,\,k))]와 [math((\beta,\,k))]를 정확히 [math(3:1)]로 내분하는 점이다.

또한 접선의 기울기가 [math(0)]이 아닌 변곡점의 [math(x)]좌표를 구하기 위하여, [math(f'(x)\neq0)]이지만 [math(f''(x)=0)]인 [math(x)]의 값을 찾자.

[math(\begin{aligned}f''(x)&=2a(x-\alpha)(4x-\alpha-3\beta)+4a(x-\alpha)^2\\&=2a(x-\alpha)(6x-3\alpha-3\beta)\end{aligned})]

이므로 이차방정식 [math(f''(x)=0)]의 해는 [math(x=\alpha)] 또는 [math(x=(\alpha+\beta)/2)]이다. 이때 [math(f'(\alpha)=0)]인 반면 [math(f'((\alpha+\beta)/2)\neq0)]이므로 구하고자 하는 값은 [math((\alpha+\beta)/2)]이며, 이 값은 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 평균이다. 즉, 점 [math(((\alpha+\beta)/2,\,k))]는 점 [math((\alpha,\,k))]와 [math((\beta,\,k))]를 정확히 [math(1:1)]로 내분하는 점이다. 이 비율과 위에서 구한 비율 [math(3:1)]을 종합하면 최종적으로 비율 관계 [math(2:1:1)]이 도출된다.

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기하학적 해석 [펼치기·접기]

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위 그림과 같이 사차함수 [math(y=f(x))]의 도함수 [math(y=f'(x))]는 삼차함수이므로, 4.1문단에서 밝힌 비율 관계에 따라 곡선 [math(y=f'(x))]의 변곡점의 [math(x)]좌표는 두 극점의 [math(x)]좌표의 평균과 같다. 도함수의 그래프로부터 원시함수의 그래프를 도출할 때, 극점은 변곡점으로, [math(x)]축과 교차하는 부분의 영점은 극점으로 [math(x)]좌표가 그대로 이어지므로, 곡선 [math(y=f(x))]의 두 변곡점과 한 극점의 [math(x)]좌표 역시 [math(2:1)]의 비율 관계가 성립한다.

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예제 [펼치기·접기]

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2020학년도 10월 나형 20번

먼저, 식에 [math(x=0)]을 대입하면 [math(g(0)=0)]이다. 또한, [math(g(x))]를 미분하면 다음과 같다.

[math(g'(x)=f(x)-\{xf'(x)+f(x)\}=-xf'(x))]

식에 [math(x=0)]을 대입하면 [math(g'(0)=0)]이다. 한편, [math(g(x)\leq g(3))]이라는 것은 [math(g(x))]가 [math(x=3)]에서 최댓값을 갖는다는 뜻이다. 이때 [math(g(x))]가 다항함수인 이상 [math(g(x))]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로, [math(g'(3)=0)]이 되고 [math(x=3)]에서 극대가 된다. 또한, [math(g(x))]는 극값이 오직 하나이므로 [math(x=3)]에서 유일한 극값을 갖는다. 이 모든 조건을 만족시키는 [math(g(x))]의 그래프의 개형은 다음과 같은데, 앞서 밝힌 비율 관계에 따라 [math(x)]축과의 교점의 좌표를 결정할 수 있다.


한편, 일련의 과정에 따라 [math(g(x))]의 최고차항의 계수는 [math(-3)]이고, 곧 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}g(x)&=-3x^3(x-4)\\\rightarrow\displaystyle\int_0^1g'(x)\;{\rm d}x&=g(1)-g(0)\\&=9-0\\&=9\end{aligned})]

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5.2.2. 기울기가 0인 두 접선의 거리

증명 [펼치기·접기]

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계산의 단순화를 위해, [math(f(x))]의 그래프가 극소점이 아닌 점에서 [math(x)]축과 접한다고 하면, 앞서 밝힌 비율 관계에 의하여 위 그림과 같이 [math(f(x))]의 그래프는 [math(x=\beta+(\beta-\alpha)/3)]에서 [math(x)]축과 교차한다. 따라서 [math(f(x))]를 다음과 같이 쓸 수 있으므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=a(x-\alpha)^3\left(x-\beta-\dfrac{\beta-\alpha}3\right)\\f(\beta)&=a(\beta-\alpha)^3\times\left(-\dfrac{\beta-\alpha}3\right)\\&=-\dfrac{a}3(\beta-\alpha)^4\end{aligned})]

접선의 기울기가 [math(0)]인 점들의 [math(y)]좌표의 차는 위 계산 결과에 절댓값을 취하면 된다.

[math(\left|-\dfrac{a}3(\beta-\alpha)^4\right|=\dfrac{|a|}3(\beta-\alpha)^4\;\left(\because(\beta-\alpha)^4>0\right))]

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5.3. 개형 3(이중근 2개)

5.3.1. 1:1 공식

증명 [펼치기·접기]

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위 그림과 같은 개형의 사차함수 [math(y=f(x))]가 [math(y)]축에 수직인 직선 [math(y=k)]와 [math(x=\alpha)] 그리고 [math(x=\beta)]일 때 접한다고 하면 [math(f(x))]를 다음과 같이 쓸 수 있으므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2\\ \\ \rightarrow f'(x)&=2(x-\alpha)(x-\beta)^2+2(x-\alpha)^2(x-\beta)\\&=2(x-\alpha)(x-\beta)\{(x-\alpha)+(x-\beta)\}\\&=4(x-\alpha)(x-\beta)\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)\end{aligned})]

따라서 [math(f'(\alpha)=f'(\beta)=f'((\alpha+\beta)/2=0)]인데, 이때 점 [math(((\alpha+\beta)/2,\,k))]는 점 [math((\alpha,\,k))]와 점 [math((\beta,\,k))]를 정확히 [math(1:1)]로 내분하는 점이다.

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5.3.2. 두 극값의 차

증명 [펼치기·접기]

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계산의 단순화를 위해, 위 그림과 같이 극솟값이 [math(0)]인 경우를 생각하자. 앞서 밝힌 비율 관계에 의하여, 위 그림에서 [math(f(x))]의 그래프는 [math(x=\alpha)]와 [math(x=2\beta-\alpha)]일 때 [math(x)]축에 접한다. 따라서 [math(f(x))]를 다음과 같이 쓸 수 있고 [math(f(\beta))]가 극댓값이므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=a(x-\alpha)^2(x+\alpha-2\beta)^2\\f(\beta)&=a(\beta-\alpha)^2(\beta+\alpha-2\beta)^2\\&=a(\beta-\alpha)^2(\alpha-\beta)^2\\&=a(\beta-\alpha)^4\end{aligned})]

극댓값과 극솟값의 차는 위 계산 결과에 절댓값을 취하면 된다.

[math(\left|a(\beta-\alpha)^4\right|=|a|(\beta-\alpha)^4\;\left(\because(\beta-\alpha)^4>0\right))]

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예제 [펼치기·접기]

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2011학년도 수능 가형 24번

문제의 조건을 만족시키는 [math(f(x))]의 그래프를 추론하면 다음과 같다.


위에서 밝힌 공식에 따라

[math(|1|\times(\beta-\alpha)^4=|1|\times(\gamma-\beta)^4=19-3=16)]

이므로 [math(\beta-\alpha=\gamma-\beta=2)]임을 금방 구할 수 있다.

2023학년도 3월 고3 22번

문제의 조건을 만족시키는 [math(f(x))]의 그래프를 추론하면 다음과 같다.


위에서 밝힌 공식에 따라

[math(|1|\times(\gamma-\beta)^4=60-(-4)=64)]

이므로 [math(\gamma-\beta=2\sqrt2)]임을 금방 구할 수 있다. 참고로, 여기에서 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 값을 구하여 [math(f(x))]의 최종적인 식을 효율적으로 작성하기 위해서는 추가적인 공식이 필요하다. 이는 바로 다음 문단의 첫 번째 예제에서 이어서 해설한다.

여기에서 주목할 만한 포인트는, 위 두 문제에서 전자는 [math(3)]과 [math(19)]의 차이가 [math(2)]의 네제곱인 [math(16)]이고, 후자는 [math(-60)]과 [math(4)]의 차가 [math(2\sqrt2)]의 네제곱인 [math(64)]라는 것이다. 또한 두 문제 모두 [math(f(x))]가 사차함수로 주어져 있다. 그렇다면 [math(f(x))]의 그래프가 이 문단에서 다루는 소위 '이중근 2개'를 갖는 개형이어서 이 숫자들이 두 극값의 차를 나타내는 것은 아닐지 고려하는 것이 문제를 푸는 요긴한 열쇠가 될 수 있다. 실제로 이 문제들에 등장한 [math(3)], [math(19)], [math(-60)], [math(4)] 등은 모두 극점의 [math(y)]좌표로서, 이러한 예측이 들어맞았다. 이와 같이 문제에 등장한 숫자만 센스 있게 보더라도 함수의 그래프의 개형을 짐작해 볼 수 있는 것이다. 매사에 들어맞는 것은 물론 아니지만, 가능한 여러 개형 중에서 미리 짐작해 두었던 개형을 먼저 검토했을 때 그것이 문제의 조건에 모두 부합한다면 굳이 다른 개형을 조사할 필요가 없으므로 풀이 시간이 단축될 수 있는 것이다.

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예제 [펼치기·접기]

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2011년 7월 나형 20번

[math(f(x))]는 일차함수, [math(g(x))]는 최고차항의 계수가 [math(1)]인 사차함수이고 [math(h(x)=g(x)-f(x))]이므로 [math(h(x))]는 최고차항의 계수가 [math(1)]인 사차함수이며, [math(-2)]와 [math(1)]의 평균은 [math(-1/2)]이므로 [math(h(x))]의 극댓값을 공식으로 구하면 다음과 같다.

[math(|1|\times\left\{1-\dfrac12\right\}^4=\dfrac{81}{16})]

꼭 직접 문제를 풀어 보지 않아도, 각종 공식들이 무언가의 거듭제곱 꼴이기에 보기 중에서는 [math(\dfrac32)]의 네제곱인 [math(\dfrac{81}{16})]이 정답임을 미리 확신할 수 있을 것이다.

인천광역시교육청에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, [math(h(x))]를 직접 미분하여 조사해야 하므로 다소 번거롭다.


참고로 [math(h(x))]의 그래프는 다음과 같다.

5.3.3. 5:4 공식, 1:√3:√5:√6 공식

증명 [펼치기·접기]

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우선 위 그림에서 점 [math(\rm A)]와 점 [math(\rm C)]의 [math(x)]좌표를 각각 [math(-\alpha)], [math(\alpha)]라 하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\overline{\rm AC}&=2\alpha\\f(x)&=a(x+\alpha)^2(x-\alpha)^2\end{aligned})]

그러면 점 [math(\rm B)]의 [math(x)]좌표는 [math(0)]이며, 앞서 밝힌 공식에 따라

[math(\overline{\rm EB}=k_1=a\{0-(-\alpha)\}^4=a\alpha^4)]

이 성립한다. 점 [math(\rm D)], 점 [math(\rm F)]의 [math(x)]좌표를 구하기 위하여 방정식 [math(f(x)-k_1=0)]을 풀면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f(x)-k_1&=a(x+\alpha)^2(x-\alpha)^2-a\alpha^4\\&=a\left(x^2-\alpha^2\right)^2-a\alpha^4\\&=a\left\{\left(x^2-\alpha^2\right)^2-\left(\alpha^2\right)^2\right\}=0\\\\\therefore\left(x^2-\alpha^2\right)^2-\left(\alpha^2\right)^2&=\left(x^2-\alpha^2+\alpha^2\right)\left(x^2-\alpha^2-\alpha^2\right)\\&=x^2\left(x^2-2\alpha^2\right)=0\\\\\therefore x&=0\;\textsf{or}\;x=\pm\sqrt2\alpha\end{aligned})]

여기에서 [math(0)]은 중근으로서 점 [math(\rm E)]의 [math(x)]좌표이다. 점 [math(\rm D)]와 점 [math(\rm F)]의 [math(x)]좌표는 각각 [math(-\sqrt2\alpha)], [math(\sqrt2\alpha)]이고 [math(\overline{\rm DF}=2\sqrt2\alpha)]이다.

이제 두 변곡점의 [math(x)]좌표를 구하자. 변곡점은 이계도함수가 [math(0)]이 되는 점이므로 다음과 같이 구할 수 있다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=a(x+\alpha)^2(x-\alpha)^2=a\left(x^2-\alpha^2\right)^2\\\\f'(x)&=2a\left(x^2-\alpha^2\right)\cdot2x=4a\left(x^3-\alpha^2x\right)\\\\\rightarrow f''(x)&=4a\left(3x^2-\alpha^2\right)=0\\\\\therefore x&=\pm\dfrac{\alpha}{\sqrt3}\end{aligned})]

따라서 점 [math(\rm H)], [math(\rm J)]의 [math(x)]좌표는 각각 [math(-\alpha/\sqrt3)], [math(\alpha/\sqrt3)]이고 [math(\overline{\rm HJ}=2\alpha/\sqrt3)]이다. 한편 두 변곡점의 [math(y)]좌표, 곧 [math(k_2)]의 값은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}k_2&=f\left(\dfrac{\alpha}{\sqrt3}\right)=f\left(-\dfrac{\alpha}{\sqrt3}\right)\\&=a\left\{\left(\dfrac{\alpha}{\sqrt3}\right)^2-\alpha^2\right\}^2=\dfrac49a\alpha^4\end{aligned})]

이 결과는 점 [math(\rm I)]의 [math(y)]좌표와 같고 점 [math(\rm E)], [math(\rm I)], [math(\rm B)]는 곡선 [math(f(x))]의 대칭축 위에 있으므로, 다음이 증명되었다.

[math(\begin{aligned}\overline{\rm IB}&=\dfrac49a\alpha^4\\\overline{\rm EI}&=\overline{\rm EB}-\overline{\rm IB}=a\alpha^4-\dfrac49a\alpha^4=\dfrac59a\alpha^4\\\therefore\overline{\rm EI}:\overline{\rm IB}&=(k_1-k_2):k_2=5:4\quad(\because\alpha\neq0)\end{aligned})]

여기에서, 점 [math(\rm G)], [math(\rm K)]의 [math(x)]좌표를 구하기 위하여 방정식 [math(f(x)-k_2=0)]을 풀면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f(x)-k_2&=a(x+\alpha)^2(x-\alpha)^2-\dfrac49a\alpha^4\\&=a\left(x^2-\alpha^2\right)^2-\dfrac49a\alpha^4=a\left\{\left(x^2-\alpha^2\right)^2-\dfrac49\alpha^4\right\}\\&=a\left\{\left(x^2-\alpha^2\right)^2-\left(\dfrac23\alpha^2\right)^2\right\}\\&=a\left\{\left(x^2-\alpha^2\right)+\dfrac23\alpha^2\right\}\left\{\left(x^2-\alpha^2\right)-\dfrac23\alpha^2\right\}\\&=a\left(x^2-\dfrac13\alpha^2\right)\left(x^2-\dfrac53\alpha^2\right)=0\\\\\therefore x&=\pm\dfrac1{\sqrt3}\alpha\;\textsf{or}\;x=\pm\dfrac{\sqrt5}{\sqrt3}\alpha\end{aligned})]

여기에서 [math(-\alpha/\sqrt3)], [math(\alpha/\sqrt3)]는 각각 점 [math(\rm H)], [math(\rm J)]의 [math(x)]좌표이다. 점 [math(\rm G)], [math(\rm K)]의 [math(x)]좌표는 각각 [math(-{\sqrt5\alpha}/{\sqrt3})], [math({\sqrt5\alpha}/{\sqrt3})]이고 [math(\overline{\rm GK}=2{\sqrt5\alpha}/{\sqrt3})]이다.

위의 내용을 종합하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\overline{\rm HJ}:\overline{\rm AC}:\overline{\rm GK}:\overline{\rm DF}&=\dfrac2{\sqrt 3}\alpha:2\alpha:\dfrac{2\sqrt5}{\sqrt3}\alpha:2\sqrt2\alpha\\&=\dfrac2{\sqrt3}:2:\dfrac{2\sqrt5}{\sqrt3}:2\sqrt2\\&=1:\sqrt3:\sqrt5:\sqrt6\quad(\because\alpha\neq0)\end{aligned})]

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예제 [펼치기·접기]

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2023학년도 3월 고3 수학 22번

바로 앞 문단에서 다루었던 위 문제에 이 공식 역시 적용할 수 있다.


앞 문단에서, 위 그림에 대하여 [math(\gamma-\beta=2\sqrt2)]임을 구한 바 있다. 이제 [math(f(x))]의 식을 작성하기 위하여 [math(\alpha)], [math(\beta)]의 값을 모두 구하자. 위에서 밝힌 공식에 따라

[math(2-\beta=\beta-\alpha=\sqrt2(\gamma-\beta)=4)]

가 성립한다. 따라서 [math(\alpha=-6)], [math(\beta=-2)]이며, [math(f(x)=(x+2)^2(x+6)(x-2)+4)]가 된다. 참고로 정답은 [math(729)]이다.

2016학년도 10월 나형 21번

많은 과정을 거치지 않고 빠르게 공식을 적용해 볼 수 있는 문제이다. [math(f(x))]의 그래프를 그리면 다음과 같다.


설명한 공식을 사용하면 [math(f(-2)=f(0)=f(2)=1)]임을 알 수 있다. 참고로 [math(f(x))]의 최고차항의 계수 [math(a)]는 바로 앞 문단의 공식을 사용하여 금방 구할 수 있다.

[math(1-(-3)=|a|(\sqrt2-0)^4)]

에서 [math(a=1)]이다. 따라서 [math(f(x)=x^2(x+2)(x-2)+1=x^4-4x^2+1)]이다. 참고로 문제의 조건을 만족시키는 정수는 [math(-2)], [math(-1)], [math(0)], [math(1)]로서 이들의 합은 [math(-2)]이다.

서울특별시교육청에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 직접 부정적분을 계산하여 값을 일일이 대입해야 하므로 다소 번거롭다.

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5.3.4. 1:7 공식

증명 [펼치기·접기]

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계산의 단순화를 위해, 위 그림과 같이 곡선 [math(f(x))]가 [math(x=-\beta)]와 [math(x=\beta)]에서 접한다고 하자. 곧 다음과 같이 쓰자.

[math(\begin{aligned}f(x)&=a(x+\beta)^2(x-\beta)^2=a\!\left(x^2-\beta^2\right)^2\\\alpha&=0\end{aligned})]

그러면 점 [math(\rm A)], [math(\rm C)]의 좌표는 앞서 밝힌 길이 공식에 따라 각각

[math(\left(-\sqrt2\beta,\,|a|\beta^4\right),\,\left(-\sqrt2\beta,\,|a|\beta^4\right))]

이고 [math(f(x))]를 미분하면

[math(\begin{aligned}f'(x)&=2a\left(x^2-\beta^2\right)\cdot2x\\&=4ax\left(x^2-\beta^2\right)\end{aligned})]

이므로 두 점에서의 접선의 방정식은 각각 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}y&=-4\sqrt2a\beta^3\left(x+\sqrt2\beta\right)+|a|\beta^4\\\\y&=4\sqrt2a\beta^3\left(x-\sqrt2\beta\right)+|a|\beta^4\end{aligned})]

위 그림은 좌우 대칭이므로 두 접선의 교점은 직선 [math(x=0)] 위에 있다. 따라서 위 두 식 중 하나에 [math(x=0)]을 대입하여 나오는 [math(y)]의 값

[math(\begin{aligned}y&=-4\sqrt2a\beta^3\times\sqrt2\beta+|a|\beta^4\\&=-8a\beta^4+a\beta^4\quad(\because a>0)\\&=-7a\beta^4\end{aligned})]

이 두 접선의 교점 [math(\rm E)]의 [math(y)]좌표이다. 따라서 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\overline{\rm{\color{#DA3832}BD}}:\overline{\rm{\color{#55AE58}DE}}&=a\beta^4:{\color{#55AE58}7}a\beta^4\\&={\color{#DA3832}1}:{\color{#55AE58}7}\quad(\because\alpha\beta^4\neq0)\end{aligned})]

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5.3.5. 등차수열 공식

증명 [펼치기·접기]

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위 그림과 같이, 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프와 [math(x)]축의 교점 4개의 [math(x)]좌표가 공차가 [math(\alpha)]인 등차수열을 이룬다고 하되, 계산의 단순화를 위하여 곡선이 [math(y)]축 대칭이 되도록 각 교점의 [math(x)]좌표가 [math(-3\alpha/2)], [math(-\alpha/2)], [math(\alpha/2)], [math(3\alpha/2)]라고 하자. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=a\left(x+\dfrac32\alpha\right)\!\left(x+\dfrac12\alpha\right)\!\left(x-\dfrac12\alpha\right)\!\left(x-\dfrac32\alpha\right)\\&=a\left(x^2-\dfrac14\alpha^2\right)\!\left(x^2-\dfrac94\alpha^2\right)\\&=a\left(x^4-\dfrac52\alpha^2x^2+\dfrac9{16}\alpha^4\right)\\\\\rightarrow f'(x)&=a\left(4x^3-5\alpha^2x\right)\end{aligned})]

이제 극소점의 좌표를 알아내어 극소점에서의 접선(이중접선)의 방정식을 구하자.

[math(\begin{aligned}f'(x)&=a\left(4x^3-5\alpha^2x\right)\\&=4ax\left(x^2-\dfrac54\alpha^2\right)=0\\\\\therefore x&=0\quad\textsf{or}\quad x=\pm\dfrac{\sqrt5}2\alpha\end{aligned})]

따라서 극소점에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}y&=f\left(-\dfrac{\sqrt5}2\right)=f\left(\dfrac{\sqrt5}2\right)\\&=\left(\dfrac{\sqrt5}2-\dfrac32\right)\!\left(\dfrac{\sqrt5}2-\dfrac12\right)\!\left(\dfrac{\sqrt5}2+\dfrac12\right)\!\left(\dfrac{\sqrt5}2+\dfrac32\right)\alpha^4\\&=\dfrac1{2^4}\left(\sqrt5^2-3^2\right)\left(\sqrt5^2-1^2\right)\alpha^4=-\alpha^4\end{aligned})]

한편, 같은 방법으로 극대점에서의 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.

[math(\begin{aligned}y=f(0)&=-\dfrac32\times\left(-\dfrac12\right)\times\dfrac12\times\dfrac32\times\alpha^4\\&=\dfrac9{16}\alpha^4\end{aligned})]

또한, 곡선 [math(f(x))]는 [math(y)]축 대칭이므로, 양끝 교점에서의 접선의 교점은 [math(y)]축 위에 있다. 따라서 두 접선의 방정식을 모두 구할 필요 없이, 한쪽만 구해서 그 [math(y)]절편을 구하면 그것이 곧 두 접선의 교점의 [math(y)]좌표가 된다. 여기에서는 점 [math((3\alpha/2,\,0))]에서의 접선의 방정식을 구하자.

[math(\begin{aligned}y&=f'\left(\dfrac32\alpha\right)\!\left(x-\dfrac32\alpha\right)+f\left(\dfrac32\alpha\right)\\&=f'\left(\dfrac32\alpha\right)\!\left(x-\dfrac32\alpha\right)\\\\f'\left(\dfrac32\alpha\right)&=a\left\{4\times\left(\dfrac32\alpha\right)^{\!3}-5\alpha^2\times\dfrac32\alpha\right\}\\&=a\left(\dfrac{27}2\alpha^3-\dfrac{15}2\alpha^3\right)=6a\alpha^3\\\\\therefore y&=6a\alpha^3\left(x-\dfrac32\alpha\right)\end{aligned})]

여기에 [math(x=0)]을 대입하면

[math(6a\alpha^3\left(0-\dfrac32\alpha\right)=-9a\alpha^4)]

이 두 접선의 교점의 [math(y)]좌표이다. 따라서 다음과 같이 나타낼 수 있다.


[math(f(x))]의 최고차항의 계수 [math(a)]가 음수일 경우에도 본질적 계산은 동일한데, 길이는 항상 양이므로 최종적인 공식에서는 [math(a)]에 절댓값을 취하는 것뿐이다. [math(a\alpha^4\neq0)]이므로, 이상에서 해당 사실이 증명되었다.

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예제 [펼치기·접기]

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바로 아래 문단의 예제 2020학년도 9월 고3 나형 30번에서 한꺼번에 다루므로 바로 아래 문단 '이중접선과 좌우 대칭'을 참고하자.

5.3.6. 이중접선과 좌우 대칭

예제 [펼치기·접기]

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2020학년도 9월 고3 나형 30번

먼저 [math(f(-1))], [math(f(0))], [math(f(1))], [math(f(2))]가 등차수열을 이룬다는 말의 의미를 파악해야 한다. 이때 주목할 점은 [math(-1)], [math(0)], [math(1)], [math(2)] 역시 등차수열을 이룬다는 점이다. 다시 말해서, 등차수열을 이루는 네 수를 [math(f(x))]에 대입하여 나오는 함숫값 역시 등차수열을 이룬다는 것이다. 이는 기하학적으로 점 [math((-1,\,f(-1)))], [math((0,\,f(0)))], [math((1,\,f(1)))], [math((2,\,f(2)))]가 한 직선 위에 있다는 뜻이다. 그 직선의 방정식을 [math(y=g(x))]라 하면 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다.

파일:2020 9 나 30 해설.png
결국, 문제에서는 곡선 [math(f(x))]와 직선 [math(g(x))]의 양끝 교점에서 각각 그은 접선의 교점이 [math((k,\,0))]임을 알려주고 있는 것이다. 그런데 네 교점의 [math(\boldsymbol x)]좌표가 등차수열을 이루므로, 직선은 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 이중접선과 평행하며, 따라서 위에서 설명한 성질을 활용할 수 있다.

[math(f(x))]의 최고차항의 계수가 [math(1)]이므로 이상에서 다음이 성립함을 빠르게 알아낼 수 있다.

[math(\begin{aligned}f(x)-g(x)&=x(x+1)(x-1)(x-2)\\\therefore f(x)&=x(x+1)(x-1)(x-2)+g(x)\\\\k&=\dfrac{-1+2}2=\dfrac{0+1}2=\dfrac12\\\therefore f(2k)&=f(1)=20\end{aligned})]

또한, 두 접선의 교점 [math((k,\,0))]을 지나고 직선 [math(g(x)=mx+n)]과 평행한 직선의 방정식을 [math(y=h(x))]라 하자. [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 [math(1)]이고 네 교점들의 [math(x)]좌표는 공차가 [math(1)]인 등차수열을 이루므로, 바로 위 문단 '등차수열 공식'에서 밝힌 공식에 따라 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}g(x)-h(x)&=9\times|1|\times1^4=9\\\\\therefore h(x)&=m(x-k)=m\left(x-\dfrac12\right)\\&=mx+n-9\\\rightarrow-\dfrac12m&=n-9\end{aligned})]

이 식과 위 단서 [math(f(1)=20)]을 이용하면 [math(m=22)], [math(n=-2)]가 구해지므로 다음과 같이 정답을 구할 수 있다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=x(x+1)(x-1)(x-2)+22x-2\\\\\therefore f(4k)&=f(2)=42\end{aligned})]

공식을 이용하지 않으면 직접 점 [math((-1,\,f(-1)))]과 [math((2,\,f(2)))]에서의 접선의 방정식을 모두 구하여 [math(k)]의 값을 구해야 하는데, 교점의 [math(x)]좌표가 두 접점의 정중앙에 존재한다는 단순한 사실만 알고 있어도 이 수많은 계산을 한방에 생략할 수 있다. 그뿐만 아니라 해당 비율 관계를 알고 있다면 두 접선의 방정식을 아예 구하지 않고도 온전히 정답에 도달할 수 있으므로, 공식의 편리함을 실감할 수 있다.

6. 여러 차수

6.1. x축에 접할 수 있는 경우

증명 [펼치기·접기]

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[math(\overline{\rm AH})], [math(\overline{\rm HB})], [math(\overline{\rm CH})]의 길이를 구하려면 결국 점 [math(\rm C)]의 좌표를 구하면 된다. 점 [math(\rm C)]는 극점이므로 먼저 방정식 [math(f'(x)=0)]을 풀자.

[math(\begin{aligned}f'(x)&=a\left[m(x-\alpha)^{m-1}(x-\beta)^n+(x-\alpha)^m\times n(x-\beta)^{n-1}\right]\\&=a\left[(x-\alpha)^{m-1}(x-\beta)^{n-1}\{m(x-\beta)+n(x-\alpha)\}\right]\end{aligned})]

이때, [math(m=1)]이면 [math((x-\alpha))]가 사라지고, [math(n=1)]이면 [math((x-\beta))]가 사라진다. 또한

[math(m(x-\beta)+n(x-\alpha)=0)]

[math(\rightarrow x=\dfrac{n\alpha+m\beta}{n+m})]

이므로 최종적으로 방정식 [math(f'(x)=0)]의 근은 다음과 같다.

[math(\begin{cases}\dfrac{n\alpha+m\beta}{n+m}\quad&(m=n=1)\\\beta,\,\dfrac{n\alpha+m\beta}{n+m}\quad&(m=1,\,n\neq1)\\\alpha,\,\dfrac{n\alpha+m\beta}{n+m}\quad&(m\neq1,\,n=1)\\\alpha,\,\beta,\,\dfrac{n\alpha+m\beta}{n+m}\quad&(m\neq1,\,n\neq1)\end{cases})]

결국 [math(m)]과 [math(n)]의 값에 관계없이 점 [math(\rm C)]의 [math(x)]좌표는 다음과 같다.

[math(\dfrac{n\alpha+m\beta}{n+m})]

또한 점 [math(\rm A)]와 점 [math(\rm B)]를 제외하면 극점은 점 [math(\rm C)]가 유일함이 증명되었다. [math(f'(x)=0)]이 되는 [math(x)]의 값은 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]를 제외하면 [math((n\alpha+m\beta)/(n+m))]뿐이며, 이곳을 기점으로 [math(f'(x))]의 부호가 바뀌기 때문이다.[9]

이때, 점 [math(\rm H)]는 점 [math(\rm C)]에서 [math(x)]축에 내린 수선의 발이므로 점 [math(\rm C)]와 [math(x)]좌표가 동일하다. 따라서 점 [math(\rm H)]는 선분 [math(\overline{\rm AB})]를 [math(m:n)]의 비율로 내분함이 증명되었다.

이제 [math(\overline{\rm CH})]의 길이를 구하자. 점 [math(\rm H)]는 [math(x)]축 위에 있으므로, 결국 이 길이는 점 [math(\rm C)]의 [math(y)]좌표의 절댓값이다. 이는 다음과 같이 계산된다.

[math(\begin{aligned}\left|f\left(\dfrac{n\alpha+m\beta}{n+m}\right)\right|&=\left|a\left(\dfrac{n\alpha+m\beta}{n+m}-\alpha\right)^m\left(\dfrac{n\alpha+m\beta}{n+m}-\beta\right)^n\right|\\&=\left|a\left[(\beta-\alpha)\dfrac m{m+n}\right]^m\left[-(\beta-\alpha)\dfrac n{m+n}\right]^n\right|\\&=\left|a\left(\dfrac{\beta-\alpha}{m+n}\right)^{m+n}m^mn^n\right|\\&=\left|a\left[\dfrac{m(\beta-\alpha)}{m+n}\right]^m\times\left[\dfrac{n(\beta-\alpha)}{m+n}\right]^n\right|\\&=|a|\times\left(\overline{\rm AH}\right)^m\times\left(\overline{\rm HB}\right)^n\end{aligned})]

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6.2. x축에 접할 수 없는 경우

증명 [펼치기·접기]

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[math(\overline{\rm AB})]와 [math(\overline{\rm AC})]의 길이는 각각 점 [math(\rm B)]와 점 [math(\rm C)]의 [math(y)]좌표의 절댓값과 같으므로 이 값을 구하자.

곡선 [math(y=f(x))]는 좌우 대칭이므로 점 [math(\rm B)]의 [math(y)]좌표는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f\left(\dfrac{\alpha+\beta}2\right)&=a\left[\left(\dfrac{\alpha+\beta}2-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^n-\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^n\right]\\&=-a\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^n\end{aligned})]

이제 점 [math(\rm C)]의 [math(y)]좌표를 구하자. 점 [math((\alpha,\,0))]에서의 접선의 방정식은

[math(\begin{aligned}y&=f'(\alpha)(x-\alpha)+f(\alpha)\\&=f'(\alpha)(x-\alpha)\end{aligned})]

이므로 [math(f'(x))]를 구하여 계산하면

[math(\begin{aligned}f'(x)&=an\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^{n-1}\\\rightarrow f'(\alpha)&=an\left(\alpha-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^{n-1}\\&=an\left(\dfrac{\alpha-\beta}2\right)^{n-1}=-an\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^{n-1}\end{aligned})]

그림은 좌우 대칭이므로, 점 [math(\rm C)]의 [math(y)]좌표는

[math(\begin{aligned}f'(\alpha)\left(\dfrac{\alpha+\beta}2-\alpha\right)&=-an\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^{n-1}\left(\dfrac{\alpha+\beta}2-\alpha\right)\\&=-an\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^{n-1}\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)\\&=-an\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^n\end{aligned})]

결론적으로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}&=|a|\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^n:|a|n\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^n\\&=1:n\\\\\therefore\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}&=\overline{\rm AB}:\left(\overline{\rm AC}-\overline{\rm AB}\right)\\&=1:(n-1)\end{aligned})]

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7. 여담

• 고등학교 수학 강사 현우진은 사차함수의 길이 공식을 강의하는 도중에 바로 위 문단 '여러 차수'의 직관적 해석을 해당 강의 영상의 31분 11초~32분 37초에서 언급한 바가 있다. '삼중근이면 파워가 세 배여서 길이가 세 배가 된다'는 식이다. 다만 그 원리는 자세히 밝히지 않고 지수의 비가 곧 길이의 비라고 생각해도 된다고만 말했다. 그런데 그것은 단순한 우연이 아니라 6.1문단에 나와 있듯이 다 정확한 이유가 있는 것이다.

8. 관련 문서

• 다항함수
• 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수
• 극값
• 미분, 도함수
• 등차수열
• 방정식
• 변곡점
• 접선, 수선의 발

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