복소로그함수

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1. 개요2. 간단한 예시

2.1. 음수의 로그2.2. 허수 및 복소수의 로그

3. 초등적 관점4. 복소해석학에서의 관점5. 기타

1. 개요

이 문서에선 복소해석학의 관례에 따라 자연로그를 [math(\log)]로 표기합니다.

복소해석학에서 로그함수의 진수를 복소수로 확장한 것이다. 간단히 말하면 복소 자연로그 [math(w = \log z)]는 [math(z = e^w)]의 역함수로 정의되고, 일반적 로그함수는 몫 [math(\log_{a} b = (\log b)/(\log a))]로 정의될 수 있다. 다만, 이 역함수를 [math(z\ne0)]인 모든 복소수에서 항상 잘 정의되게 하는 것이 불가능하기 때문에, 사용 시 약간의 주의가 필요하다.

2. 간단한 예시

2.1. 음수의 로그

오일러 공식 [math(e^{ix} = \cos x + i \sin x)]를 이용하면 [math(\log (-1))]이 무엇인지 알 수 있다. 정수를 [math(n)]으로 나타낼 때 [math(x=\pi+2n\pi = (2n+1)\pi)]를 대입하면 [math(e^{i(\pi+2n\pi)}=\cos(\pi+2n\pi) + i\sin(\pi+2n\pi)=-1)]이므로, 양변에 로그를 취하면 다음과 같이 로그의 결과값으로 복소수가 나온다.

[math(\log (-1) = (2n+1)i\pi)]
[math(\rm Log (-1) = i\pi)]

2.2. 허수 및 복소수의 로그

오일러 공식의 [math(x)]값에 적당한 다른 수를 대입함으로써 허수에 대한 로그값도 구할 수 있다. [math(x = \dfrac\pi2+2n\pi = {\left(\dfrac12+2n\right)}\pi)] 를 대입하면 [math(e^{i{\left(\frac\pi2+2n\pi\right)}} = \cos{\left(\dfrac\pi2+2n\pi\right)}+i\sin{\left(\dfrac\pi2+2n\pi\right)}=i)]이므로, 양변에 로그를 취하면

[math(\log (i) = {\left(\dfrac12+2n\right)}i\pi)]
[math(\operatorname{Log} (i) = {\dfrac12}i\pi)]

위 관계식에서 [math(n=0)]인 경우, [math(\log)]를 [math(\rm Log)]로 나타낸다.

3. 초등적 관점

좀더 일반적인 표현을 위해서는 오일러의 공식과 복소수의 극형식을 이용해, [math(z = e^w)] ([math(z \neq 0)])이 되는 복소수 [math(w)]를 모두 구해보면 다음과 같다. 복소수 [math(z)]의 편각을 [math(\theta)]라 하면 다음이 성립하므로

[math( \displaystyle z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) = e^{\log |z| + i \theta})]

해 하나를 [math(w = \log |z| + i \theta)]로 찾을 수 있다. 역으로 만약 [math(w=x+iy)]가 [math(z=e^w)]를 만족시킨다면,

[math( \displaystyle e^w = e^x (\cos y + i \sin y) = |z|(\cos \theta + i \sin \theta))]

에서 [math((x,y) = (\log |z|, \theta + 2n \pi))]의 해를 얻는다.

복소 자연로그를 다가 함수(multivalued function)로 보는 입장에서는 이들 수 모두가 로그의 값이 된다. 편각에 대해서 쓰는 [math(\arg z)]라는 표기는 [math(\theta + 2n \pi)] 중 어떤 것도 될 수 있는 각으로 쓰인다.

이 다가함수를 일반 함수로 생각하려면 이 편각 중에서 정확히 하나를 골라 줘야 하는데, 보통 다음의 과정을 걸친다. 우선, 좌표평면에서 원점을 출발한 반직선 [math(l)] 하나를 정해 정의역에서 제외하고, 이를 분지 절단(branch cut)이라고 한다. 이 [math(l)]이 원점에서 [math(\alpha)]의 일반각으로 뻗어 있다고 하면, 정의역 [math(\mathbb{C} \setminus l)] 위에서 편각이 구간 [math((\alpha-2\pi, \alpha))]에 속하게 유일하게 결정할 수 있다. 이렇게 선택된 함수를 일반적으로는 다가함수의 분지(branch)라 한다.

로그함수의 주 분지(principal branch)는 이 분지들 중에서 [math(\alpha = \pi)]인, 즉 음수인 반직선으로 분지 절단을 했을 때 나타나는 분지를 의미한다. 이 분지에 대한 범위 [math((-\pi,\pi])]로 고정된 편각을 [math(\mathrm{Arg})], 이 범위에서 정의된 로그함수를 따로 [math(\mathrm{Log})]라 표기한다.

이렇게 직선을 잘라내는 이유는 정의역 위에서 편각이 연속적으로 변하게 만들어야 하기 때문이다. 예로 주 분지에서 [math(z = -1 + \epsilon i)] ([math(\epsilon>0)])를 따라 접근하는 극한은 [math(\mathrm{Log}(z) \rightarrow i\pi)]가 되지만, [math(z = -1 - \epsilon i)]를 따라 접근하면 [math(\mathrm{Log}(z) \rightarrow -i\pi)]가 되기 때문이다. 원점을 중심으로 한 바퀴 돌 때마다 편각이 [math(2\pi)]씩 증가하기 때문에, 돌지 못하도록 직선을 잘라준다고 이해하면 편하다.

한편, [math(\Re(z) < 0)]일 경우 [math(\mathrm{Log}(z) = \mathrm{Log}(|z|) + i\pi)]가 성립하므로 실수부를 취한 [math((\Re \circ \mathrm{Log}))]는 [math(y)]축 대칭함수(even function)이다.

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4. 복소해석학에서의 관점

영역 내에서 연속인 복소로그함수가 존재한다면 미분가능하고[1], 그 미분은 [math(1/z)]이 되어야 함을 증명할 수 있다. 역으로 영역 내에서 [math(1/z)]의 원시함수가 존재한다면 이는 (복소로그함수)+(상수)의 형태로 나타난다. 한편 정칙함수의 원시함수가 존재할 필요충분조건은 영역 내의 임의의 닫힌 고리 위에서 선적분이 0인 것인데, 고리 위에서 [math(\mathrm{d}w/w)]의 선적분 값은 일반적으로 [math(2 \pi i)]*(원점을 도는 횟수)로 주어진다.

이를 종합하면, [math(z=1)]을 포함하는 열린 영역 [math(U \subset \mathbb{C} \setminus 0)]에 원점을 포함하는 고리가 없을 때, [math(U)] 위에서의 복소로그함수의 분지는 다음의 복소선적분으로 유일하게 존재한다.

[math( \displaystyle \log z=\int_{\gamma}\frac{\mathrm{d}w}{w}\quad(\gamma:[0,1]\rightarrow U,\,\gamma(0)=1,\,\gamma(1)=z) )]

역으로 [math(U)] 내부에 원점을 한 바퀴 이상 도는 고리가 있다면, [math(U)] 위에서 연속인 복소로그함수는 존재하지 않는다.

일반적인 다가함수의 분지는 열린 집합 [math(U)]에서 다가함수와 일치하는 연속함수로 정의되고, 위의 분지는 여기서 [math(U)]를 [math(\mathbb{C} \setminus l)]로 택한 특수한 경우이다. 예를 들자면, 분지 절단으로 원점에서 뻗어나가는 직선이 아니라 아무 모양의 곡선을 잘라내도 문제는 없고, 이 때 편각의 의미는 정의역 [math(U)] 위에서만 이동할 때에 일반각이 변한 정도로 해석할 수 있다. 역으로 다가함수를 정확히 이해하려면 이들 분지들을 모두 붙인 리만 곡면(Riemann Surface)으로 생각해야 하고, 특히 복소로그함수의 리만곡면은 [math(y = e^z)]인 [math((y,\,z) \in \mathbb{C}^2)]의 집합으로 생각할 수 있다.

5. 기타

양의 실수가 아닌 복소수 범위에서는 로그법칙들 모두가 성립하지 않는 경우가 있다.지수함수는 복소수 범위에서 주기함수가 되기 때문.이 무수히 많은 값들 중 어떤 값을 골라도 로그법칙에서의 양변이 달라지는 경우가 생긴다.
무한 지수 탑 함수를 정의하는 데 쓰인다.
특수각이 아닌 각에 삼각함수/역삼각함수를 취할 경우(환원 불능) 등장하는 함수이다.

[1] 엄밀히는 역함수 정리에 의해서

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