1. 개요
Knights and Knaves항상 진실만을 말하는 기사와 항상 거짓만을 말하는 건달에 관한 논리 퍼즐.
미국의 수학자 레이먼드 스멀리언(1919~2017)이 이 분야의 거장으로 통한다. "이 책의 제목은 무엇인가?"[1] "셰에라자드의 수수께끼"[2] 등의 저서에서 이런 부류의 문제들을 다루었다. 레이먼드 스멀리안이 고안한 훨씬 난이도 높은 진화 버전으로 가장 어려운 논리 퍼즐이 있다.
2. 문제
상기 했듯이 이런 문제들로만 책 십수권이 나와있기 때문에 대표적인 문제들만을 소개한다.- 전제
- 이 곳에 사는 사람은 모두 기사, 또는 건달이다.
- 외관상으로는 기사와 건달을 구별할 수 없다.
- 기사는 항상 논리적으로 진실인 문장만을 말한다.
- 건달은 항상 논리적으로 거짓인 문장만을 말한다.
2.1. 문제 1
가장 고전적인 문제.{{{#!wiki style="border:2px solid #00BFB3;border-radius:0px;padding:12px" | A, B, C는 기사와 건달의 섬의 주민들이다. 이 섬에 여행을 온 나는 그들 곁을 지나가다가 A에게 물었다. "당신은 기사입니까, 건달입니까?" 이에 A가 대답했지만, 발음이 애매해서 알아들을 수가 없었다. 그러자 B가 추가적으로 대답했다. "A는 자신이 건달이라고 말했습니다." 그 순간 C가 끼어들었다. "B는 지금 거짓말을 하고 있습니다." B와 C의 신분을(각각 기사인지 건달인지) 밝혀라. |
- [ 해답 ]
- ||<tablebordercolor=#552582>일단 이 문제에서 A의 신분은 중요치 않다. 만약 A가 기사였다면 사실대로 자신은 기사라고 대답했을 테고, 건달이었어도 거짓말을 해서 기사라고 대답했을 것이다. 즉 A는 기사든 건달이든 무조건 자신을 기사라고 말한다.
따라서 B의 'A는 자신이 건달이라고 말했다'라는 주장은 성립할 수 없는 거짓말이므로 B는 건달이고, B의 거짓말을 제대로 짚어낸 C는 기사이다. ||
2.2. 문제 2
문제 1을 본 레이먼드 스멀리언이 사실 C는 하는 일 없는 쩌리라는 사실을 알고 변형한 문제.{{{#!wiki style="border:2px solid #00BFB3;border-radius:0px;padding:12px" | 내가 A에게 다음과 같이 물었다고 해보자. "여러분 중에 기사는 몇 분이나 있습니까?" A가 대답했으나 이번에도 발음이 애매해서 알아들을 수가 없었고, B가 추가적으로 대답했다. "A는 우리 중에 기사는 한 명이라고 말했습니다." 그 순간 C가 끼어들었다. "B는 지금 거짓말을 하고 있습니다." B와 C의 신분을 밝혀라. |
- [ 해답 ]
- ||<tablebordercolor=#552582>B와 C의 의견이 엇갈리므로 한 명은 기사, 한 명은 건달일 것이다. 그리고 A가 기사인가 아닌가에 따라 일행의 구성은 '기사 2 & 건달 1' 혹은 '기사 1 & 건달 2'로 나뉜다.
A가 기사일 경우, A는 B 혹은 C 중에 한 명과 자신을 합쳐서 "2명"이라고 대답했을 것이다. 이는 B의 대답과 모순되므로 B는 거짓말을 한 건달이고, B의 거짓말을 잡아낸 C는 기사이다.
A가 건달일 경우, 살짝 복잡하지만 A가 몇 명이라고 대답했는지 경우의 수를 따져보면 간단하다.- 0명 : A의 대답을 왜곡한 B는 건달이고 C는 기사이다. A는 기사는 한 명도 없다고 거짓말을 했으므로 문제는 없다.
- 1명 : B는 기사이고 C는 건달이겠지만, A는 기사가 1명이라는 사실을 말했으므로 건달일 수는 없다.
너 정체가 뭐냐 - 2명 / 3명 : 0명인 경우와 같이, A의 대답을 왜곡한 B는 건달이고 C는 기사이다. 마찬가지로 A는 C 외에 기사가 있다고 거짓말을 했으므로 문제는 없다.
따라서 B는 건달이고, C는 기사이다. ||
2.3. 문제 3
{{{#!wiki style="border:2px solid #00BFB3;border-radius:0px;padding:12px" | A, B 두 사람이 등장한다. A가 "나는 건달이거나 혹은 B는 기사이다." 라고 말했다고 하자. A와 B는 각각 어떤 사람인가? |
- [ 해답 ]
- ||<tablebordercolor=#552582>논리학에서 문장 "ㄱ 또는(or) ㄴ이다."가 참이기 위해서는 명제 ㄱ, ㄴ 둘 중 하나 혹은 둘 다 참이면 된다.
A가 건달일 경우, "A는 건달이거나 혹은 B는 기사이다."는 거짓이어야 한다. 하지만 앞쪽 명제(A=건달)가 참이기 때문에 전체 문장은 무조건 참일 수밖에 없고, A는 건달일 수가 없다. 따라서 A는 기사이다.
A는 기사이고 문장 전체는 참이어야 하므로, 뒤쪽 명제((B=기사)도 참이어야 한다. 따라서 B는 기사이다.
따라서 A, B 모두 기사이다. ||
2.4. 문제 4
{{{#!wiki style="border:2px solid #00BFB3;border-radius:0px;padding:12px" | A 한 명만 등장한다. A에게 "당신은 기사입니까?"라고 묻자, 그는 "내가 기사라면, 내 손에 장을 지진다."라고 대답했다. A는 자기 손에 장을 지져야 함을 증명하라. |
- [ 해답 ]
- ||<tablebordercolor=#552582>본 문제는 명제 논리에 대한 기본 지식이 없다면 이해하기 힘들 수도 있다. 일단 P이면 Q이다.(P→Q) 형식의 진리표를 확인하고 올 것. 조건문 문서도 참고하면 좋다.
'A면, 내 손에 장을 지진다.'라는 표현은 흔히, 'A가 절대 아니다' 또는 'A가 아님을 보장한다.'의 의미로 쓰인다.[3] 하지만 논리학에서 'A면 B다'라는 명제는, A가 거짓일 경우 B의 참-거짓 여부와 상관없이 참이다.[4] 즉, 누군가 "내가 기사라면, Q이다."는 진술을 했다면, 그 말을 한 당사자는 기사이며, Q는 참이어야만 한다.
P→Q 형식의 문장은 "P는 참이고 Q는 거짓일 경우, 그리고 오직 그 경우"에만 거짓이 된다. (진리표 참고) 따라서 A가 건달이라면 문장 "나는 기사이다→나는 장을 지질 것이다." 는 거짓이어야 하는데, 그러기 위해서는 "나는 기사=참, 장 지짐=거짓"이어야 한다. 하지만 「나는 기사이다」는 참일 수 없으므로, 건달은 절대로 위와 같은 문장을 말할 수 없다.
따라서 A는 기사이며, 자신이 한 말에 따라 장을 지져야 한다.기사는 진실되지만, 가끔 멍청한 말을 한다는 사실도 알 수 있다||
3. 변형
오래전부터 내려온 유서깊은 문제인만큼 배리에이션 역시 많다.- 천사와 악마 문제
- 미녀일까 호랑이일까
- 월화수에는 참말을, 다른 요일에는 거짓말을 하는 사자와 목금토에는 참말을, 다른 요일에는 거짓말을 하는 유니콘이 등장하는 사자와 유니콘 이야기.
- 패턴은 사자와 유니콘과 동일하지만 둘이 똑같이 생겨 구별할 수 없는 쌍둥이 튀틀덤과 튀틀디가 나오는 문제
- 랜덤하게 거짓말도 하고 참말도 하는 보통사람이 등장
- 요상한 법률에 의해 기사는 건달과, 건달은 기사하고만 결혼해야됨.
그리고 독자는 부부파티에 초대되어 고통받는다 - 자신의 신분을 거꾸로 알고 있고 진짜 신분과 반대되는 대답을 하는[5] 정신병자가 등장[6]
- 기사와 건달이 외국인이라 듣기는 가능하지만 말하는 것은 자기나라 말만 가능함. Yes/No에 해당되는 단어가 Bal/Da지만 어떤 단어가 Yes인지는 알지 못함.
4. 기타
장삼이라는 작가의 판타지 소설. 상단의 문단과는 동명일뿐 연관된 접점은 없다.[1] 책 제목이 "What Is the Name of This Book?"이다(...) 한국어로는 "퍼즐과 함께하는 즐거운 논리"라는 재미없는 이름으로 번역되었다. 내용중에 책 제목과 관련된 드립이 있는데 아쉬운 부분. 물론 원제의 뜻을 살려서 번역한 버젼도 있다.[2] 한국어로는 "사고력을 키워주는 논리퍼즐"이라는 이름으로 번역[3] 원문은 I will eat my hat. 그럴 일은 없다거나 사실이 아님을 장담할 때 사용하는 표현이다. 씽2게더의 등장인물 클라우스도 누시의 이틀만에 춤을 가르치겠다는 말에 "성공하면 내 모자를 먹고 만다"라고 말하면서 비웃는다.[4] "내일 해가 서쪽에서 뜨면, 내 손에 장을 지진다."라고 누군가가 말했다 치자. 그런데 다음날 해가 서쪽에서 뜨지 않았다면, 장을 지지든 지지지 않든 이 사람은 참을 말한 것이다.[5] 즉 반대로 알고 있는 신분에 따라 답하는[6] 즉 참말만을 하는 기사와 미친 건달, 거짓말만 하는 건달과 미친 기사의 4종류의 인간이 등장