| 유체역학 Fluid Mechanics | ||
| {{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px; min-height:2em; word-break:keep-all" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px" | <colbgcolor=#0D98BA><colcolor=#fff> 유체와 힘 | <colbgcolor=#fff,#1f2023>유체 · 뉴턴 유체 · 비뉴턴 유체(멱법칙 유체 · 오스트발트-드 웰 관계식 · 허쉘-버클리 유체 · 리-아이링 이론) · 압력 · 부력 (아르키메데스의 원리) · 항력 (수직항력 · 스토크스 법칙) · 응력(응용) · 양력 · 표면장력 · 상 · 밀도 · 기체 법칙 (이상 기체 법칙) · 달랑베르의 역설 |
| 유체동역학 | 유동 (압축성 · 탄성 · 점성/점성계수) · 난류 및 층류 · 레이놀즈 수송 정리 (체적 검사) | |
| 무차원수 | 마하 수 · 레이놀즈 수 · 프란틀 수 · 레일리 수 · 그라스호프 수 · 슈미트 수 · 네버러 수 · 프루드 수 | |
| 방정식 | 나비에-스토크스 방정식 · 연속 방정식 · 오일러 방정식 · 구성 방정식 · 베르누이 방정식 · 파스칼의 원리 · 브라운 운동 방정식 · 하겐-푸아죄유 법칙 · 글래드스톤-데일 방정식 | |
| 응용 및 현상 | 날씨 · 모세관 현상 · 마그누스 효과 · 케이 효과 · 카르만 효과 · 사이펀의 원리 · 대류 현상 · 슬립 스트림 · 최대동압점 · 스탈링 방정식 · 벤추리 효과 · 레인-엠든 방정식 · 엠든-찬드라세카르 방정식 · 라이덴프로스트 효과 | |
| 유체역학 연구 | 전산유체역학(CFD) · 풍동 실험 · 차원분석 | }}}}}}}}} |
1. 개요
레이놀즈 수송 정리(RTT,Reynolds transport theorem)는 물질 (시간) 도함수(material derivative 또는 material time derivative)와 물리량으로 표현되는 유체의 유동에서 자연법칙을 따르는 연속체 시스템(system)과 이것의 시공간속에서의 제어체적(CV,control volume) 변화량이 서로 동등한 관계에서 유효하게 해석될수있다는것을 보여준다.[1][2][가][4]제어체적(CV,control volume 또는 검사체적)은 자유물체도(Free Body Diagram)와 같이 물리적 법칙들이 선택적으로 제어될 수 있다고 이해할수있다. 레이놀즈 수송 정리(RTT)의 이러한 접근방법은 라그랑주가 발전시킨 라그랑지 시스템(Lagrangian system)과 오일러 방법(Eulerian method)의 미분방정식을 사용하는 제어체적((Eulerian control volume)의 정교한 결합이다.[5][6]
1.1. 1903년 레이놀즈 수송 정리
1903년 오스본 레이놀즈의 레이놀즈 수송 정리 표현식은 아래와 같다.[가][math(\overbrace{\dfrac{d}{dt}\left[\sum (QdS)\right]}^{\large①}=\overbrace{\sum \left( dS\dfrac{dQ}{dt} \right)}^{\large②} + \overbrace{\displaystyle \iiint \left(\dfrac{d}{dx}\overline{u}Q + \dfrac{d}{dy}\overline{v}Q +\dfrac{d}{dz}\overline{w}Q\right) dx\,dy\,dz}^{\large③})] |
- [math({\large①}=\dfrac{d}{dt} \left(\int Q dS\right))]: 질량 보존법칙, 일-에너지 정리 등 자연법칙을 따르는 이상 연속체(ideal continuum)인 계(system)
- [math({\large②}=\dfrac{\partial}{\partial t} \left(\int Q dS\right) )]: 자연법칙으로부터 일정부분 독립된 제어체적(control volume, CV)
- [math({\large③})]: 제어체적의 제어표면(control surface, CS)
이때 [math( F_T =F_F \left(\textsf{유체 유속}\right) - F_B\left(\textsf{경계 유속}\right) )]이고 [math( \overline{u}=F_x, \overline{v} = F_y , \overline{w} = F_z , dxdydz = dS)]에서[8]
| [math(\begin{aligned}\displaystyle \iiint\left( \dfrac{d}{dx}\overline{u}Q+ \dfrac{d}{dy}\overline{v}Q +\dfrac{d}{dz}\overline{w}Q \right)dx\,dy\,dz& = \dfrac{\partial}{\partial x}Q F_x + \dfrac{\partial}{\partial y}QF_y +\dfrac{\partial}{\partial z}QF_z\\& = \int F_{T} \cos\theta Q\,dA\end{aligned} )] |
[math( \dfrac{d}{dt} \left(\displaystyle \int Q dS\right) = \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\displaystyle \int Q dS\right) + \displaystyle \int F_{T} \cos\theta Q\,dA )]
1.2. 레이놀즈 수송 정리의 벡터 계산
| |
| 검사 체적의 경계면으로 흐르는 유체 |
[math( \begin{aligned}\dfrac{d}{dt} \left(\int Q dS\right) &= \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\int Q dS\right) + \int F_{T} \cos\theta Q\,dA \\&= \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\int Q dS\right) + \int \overline{F}\cdot \overline{N} Q\,dA\end{aligned})]
1.3. 레이놀즈 수송 정리의 일반 밀도 방정식
우선 비압축성 뉴턴유체 또는 이상유체를 자유물체도(Free Body Diagram)에서 전제하고제어체적(CV)을 발산정리에서 [math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\int Q dS\right) )]으로부터 미분을 적분으로 정리하면
[math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\int Q dS\right) = \displaystyle \int_{S} \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS )]
[math( \displaystyle \int_{S} \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS = \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS \right)^1 + \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS \right)^2 + \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS \right)^3 + \cdots + \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS \right)^n )]
따라서 우변의 첫번째 항을 취하면
[math( \displaystyle \int_{S} \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS = \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS \;\; -\; (1))]
제어표면(CS,control surface)은
[math( \int F_{T} cos\theta QdA = \left( \dfrac{\partial}{\partial x}\left(Q F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(QF_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(QF_z \right) \right) \;\; -\; (2) )]
[math( (1) + (2))]는
[math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) + \dfrac{\partial}{\partial x}\left(Q F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(QF_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(QF_z \right) =0 )]이므로
[math( Q = \rho \text{(밀도)} )]로 정리해보면
[math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\rho \right) + \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\rho F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\rho F_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(\rho F_z \right) =0 )]
레이놀즈 수송 정리의 일반 밀도 방정식(general density equation)을 얻을수있다.
한편
[math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) + \left( \dfrac{\partial}{\partial x}\left(Q F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(QF_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(QF_z \right) \right) =0 )]에서
[math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) + \left( \dfrac{\partial}{\partial x}\left( F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(F_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(F_z \right) \right)Q =0 )]이고
[math( \left( \dfrac{\partial}{\partial x}\left( F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(F_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(F_z \right) \right) = F \cdot \nabla )] 이므로 연속방정식(continuity equation) 을 얻을수있다
따라서
[math( \dfrac{\partial Q}{\partial t} + \left( F \cdot \nabla \right)Q =0 )]
이것은 물질 시간 도함수(material time derivative)의 오일러 방정식이다.
[math( Q )]를 정리하면
[math( \dfrac{\partial }{\partial t} + \left( F \cdot \nabla \right) =0 )]
이것은 물질 시간 도함수(material time derivative)이다.
2. 물질 시간 도함수
2.1. 1903년 물질 시간 도함수
1903년 오스본 레이놀즈의 물질 시간 도함수 표현식[math( \dfrac{d}{dt} ({}_p Q_1 ) = - \dfrac{d}{dt} \left( {}_pQ_2 + \& c \right) )]
이 방법은 1903년 오스본 레이놀즈(Osborne Reynolds)가 그의 저서 <Papers on mechanical and physical subjects VOLUME3>(직역:기계 및 물리적 주제에 관한 논문 제3권)에서 사용하였다.[가]
2.2. 물질 시간 도함수와 발산
물질[math( (m) )]의 시간에 따른 변화량[math( m(t + \Delta t) )]와 시공간 좌표계[math( (t,x,y,z) )]에서[math( m = m(t,x,y,z) )]를 편미분하면
[math( dm = \dfrac{\partial m}{\partial t} dt + \dfrac{\partial m}{\partial t} dx + \dfrac{\partial m}{\partial t}dy + \dfrac{\partial m}{\partial t}dz )]이고
물질의 이동 거리[math( (L) )]을 추가해보면
[math( L dt= L_{x,y,z} dt)]이므로
[math( dm = \dfrac{\partial m}{\partial t} dt + \dfrac{\partial m}{\partial t} L_{x}dt + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{y}dt + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{z}dt )]
[math( dm = \left( \dfrac{\partial m}{\partial t} + \dfrac{\partial m}{\partial t} L_{x} + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{y} + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{z} \right) dt )]이고
[math( \left( \dfrac{\partial m}{\partial t} L_{x} + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{y} + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{z} \right) = L \cdot \nabla m \; )]
[math( \nabla m)]에서 [math( \nabla )] 는 기울기 벡터(gradient vector),[math( L \cdot \nabla )]에서 [math( \cdot \nabla )] 는 발산(divergence)이다.
따라서
[math( dm = \left( \dfrac{\partial m}{\partial t} + L \cdot \nabla m \right) dt )]
[math( \dfrac{dm}{dt} = \left( \dfrac{\partial m}{\partial t} + L \cdot \nabla m \right) )]
물질[math( (m) )]을 정리해보면
물질 시간 도함수 [math( \dfrac{d}{dt} = \left( \dfrac{\partial }{\partial t} + L \cdot \nabla \right) = \dfrac{D}{Dt} )]을 얻을수있고 발산 정리를 조사할수있다.
3. RTT 아이디어
[math( \sum(Q \delta S) = \iiint Qdxdydz )] is put for the quantity within a space S enclosed by the surface s at the instant considered,
[math( \sum({}_oQ \delta S) )] is the quantity enclosed at a previous instant.
[math( \sum({}_pQ \delta S) )] is the quantity which has been produced within s during the interval, and
[math( \sum({}_cQ \delta S) )] is the quantity which has crossed the surface inwards during the interval.
Then [math( \sum(Q \delta S) = \sum({}_oQ \delta S) + \sum({}_pQ \delta S)+\sum({}_cQ \delta S) )]
is a complete expression for the Axiom [가]
[math( \sum(Q \delta S) = \iiint Qdxdydz )] 은 고려되는 순간 표면 s로 둘러싸인 공간 S내의 물리량으로,
[math( \sum({}_oQ \delta S) )]는 이전 순간에 포함되어있었던 물리량입니다.
[math( \sum({}_pQ \delta S) )]는 간격[math( (t+ \delta t) )] 동안 s 내에 생겨난 물리량이고,
[math( \sum({}_cQ \delta S) )]는 간격 동안 표면을 안쪽으로 교차한 물리량입니다.
그런 다음 [math( \sum(Q \delta S) = \sum({}_oQ \delta S) + \sum({}_pQ \delta S)+\sum({}_cQ \delta S) )]
은 이러한 공리의 완전한 표현식입니다.
[math( \sum({}_oQ \delta S) )] is the quantity enclosed at a previous instant.
[math( \sum({}_pQ \delta S) )] is the quantity which has been produced within s during the interval, and
[math( \sum({}_cQ \delta S) )] is the quantity which has crossed the surface inwards during the interval.
Then [math( \sum(Q \delta S) = \sum({}_oQ \delta S) + \sum({}_pQ \delta S)+\sum({}_cQ \delta S) )]
is a complete expression for the Axiom [가]
[math( \sum(Q \delta S) = \iiint Qdxdydz )] 은 고려되는 순간 표면 s로 둘러싸인 공간 S내의 물리량으로,
[math( \sum({}_oQ \delta S) )]는 이전 순간에 포함되어있었던 물리량입니다.
[math( \sum({}_pQ \delta S) )]는 간격[math( (t+ \delta t) )] 동안 s 내에 생겨난 물리량이고,
[math( \sum({}_cQ \delta S) )]는 간격 동안 표면을 안쪽으로 교차한 물리량입니다.
그런 다음 [math( \sum(Q \delta S) = \sum({}_oQ \delta S) + \sum({}_pQ \delta S)+\sum({}_cQ \delta S) )]
은 이러한 공리의 완전한 표현식입니다.
| |
4. 관련 문서
[1] Papers on mechanical and physical subjects \[VOLUME I\], Osborne Reynolds, 1900https://archive.org/details/papersonmechanic01reynrich/page/n8/mode/1up?view=theater[2] Papers on mechanical and physical subjects \[VOLUME II\], Osborne Reynolds, 1901https://archive.org/details/papersonmechanic02reynrich/page/n8/mode/2up[가] Papers on mechanical and physical subjects \[VOLUME III\], Osborne Reynolds, 1903https://archive.org/details/papersonmechanic03reynrich/page/n7/mode/2up SECTION II The General Equations of Motion of any Entity p9[4] Basics of Fluid Mechanics ,Genick Bar-Meir 2014 GFDLhttps://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/85 7.4 ENERGY EQUATION IN ACCELERATED SYSTEM[5] Basics of Fluid Mechanics ,Genick Bar-Meir 2014 GFDLhttps://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/85 P162 CHAPTER 5. MASS CONSERVATION 5.1[6] Joseph Louis Lagrange, Méchanique analytique 1788 Chez la veuve Desaint https://books.google.co.kr/books/about/M%C3%A9chanique_analytique.html?id=HTEVAAAAQAAJ&redir_esc=y[가] [8] Basics of Fluid Mechanics ,Genick Bar-Meir 2014 GFDLhttps://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/85 P250 CHAPTER 8. DIFFERENTIAL ANALYSIS,8.2 Mass Conservation, (Part I) Integral Analysis P162 CHAPTER 5. MASS CONSERVATION 5.3Continuity Equation[가] [가]