1. 정의
저항에 전류가 흐르면 그 저항에서 전력을 소비한다. 그 때 저항이 동일하면 소비되는 전력 역시 같은데, 소비되는 전력이 같게 되는 직류 전류 [math(I)]를 교류의 실횻값으로 정의한다. 즉
교류 전류의 실횻값 = 저항에 동일하게 평균전력을 공급하는 직류전류의 값
이것을 '실횻값'으로 정의하며, RMS(Root-Mean-Square, 제곱근-평균-제곱)을 이용해서 실횻값을 구할 수 있다.
2. 유도
전압, 전류가 변하지 않는 직류 전류의 경우 실횻값을 굳이 따로 구할 필요가 없지만, 교류 전류의 경우 이를 계산하여 구해야 한다.교류회로에서 저항에 공급되는 평균 전력 [math(P)]는 다음과 같다.
[math(\displaystyle P = {R \over T}\int_{0}^{T} {i(t)}^2\, {\rm d}t~~~)]([math(i(t))]: 전류,[math(T)]: 주기, [math(R)]: 저항)
그리고 직류회로에서의 전력 [math(P = I_\text{eff}^2 R )]이다. ([math(I_\text{eff} )]: 실효전류)
실효전류 [math(I_\text{eff} )]에 대해서 아래와 같이 정리할 수 있다.
[math(\displaystyle I_\text{eff} = \sqrt{{1 \over T}\int_{0}^{T} {i(t)}^2\, {\rm d}t })]
[math(\displaystyle V_\text{eff} = \sqrt{{1 \over T}\int_{0}^{T} {v(t)}^2\, {\rm d}t })]
2.1. 정현파에서
전압의 형태가 정현파 형태로 주어지는 경우 실횻값을 구해본다. 실횻값을 구할 때, 한 주기를 적분하게 되므로 위상각은 실횻값과 무관하다. 곧 일반성을 잃지 않고 전압을 아래 꼴의 식으로 쓸 수 있다.[math(\displaystyle v(t) = V_m\sin(\omega t) = V_m\sin\left( \frac{2\pi}{T}t\right)~~~)]([math(V_m)]: 교류전압의 진폭, [math(\omega)]: 각속도, [math(T)]: 주기)
이를 실효전압을 구하는 식에 대입하고 풀면 실효전압과 진폭의 관계가 도출된다.
[math(\begin{array}{cll} V_\text{eff} &=&\displaystyle \sqrt{{1 \over T}\int_{0}^{T} {v(t)}^2\, {\rm d}t })\\
&=&\displaystyle \sqrt{{1 \over T}\int_{0}^{T} {V_m^2\sin^2\left( \dfrac{2\pi}{T}t\right)}\, {\rm d}t } \longleftarrow t' = \frac{2\pi}{T}t,~dt' = \frac{2\pi}{T}dt\\
&=&\displaystyle V_m \sqrt{{1 \over 2\pi}\int_{0}^{2\pi} {\sin^2(t')}\, {\rm d}t'}\\
&=&\displaystyle V_m \sqrt{{1 \over 2\pi} \left[ \dfrac{t'- \dfrac{\sin\left(2t'\right)}{2} }{2} \right]^{2\pi}_0 }\\
&=&\dfrac{V_m}{\sqrt{2}} \end{array})]
&=&\displaystyle \sqrt{{1 \over T}\int_{0}^{T} {V_m^2\sin^2\left( \dfrac{2\pi}{T}t\right)}\, {\rm d}t } \longleftarrow t' = \frac{2\pi}{T}t,~dt' = \frac{2\pi}{T}dt\\
&=&\displaystyle V_m \sqrt{{1 \over 2\pi}\int_{0}^{2\pi} {\sin^2(t')}\, {\rm d}t'}\\
&=&\displaystyle V_m \sqrt{{1 \over 2\pi} \left[ \dfrac{t'- \dfrac{\sin\left(2t'\right)}{2} }{2} \right]^{2\pi}_0 }\\
&=&\dfrac{V_m}{\sqrt{2}} \end{array})]
전류가 정현파로 주어진 경우에도 같은 과정으로 아래 관계식을 도출할 수 있다.
[math(I_\text{eff} = \dfrac{I_m}{\sqrt{2}})]
대한민국 가정에 공급되는 전력의 전압 크기는 220V인데, 이는 실횻값이다. 공급 전압이 완전히 정현파의 모양을 띤다고 가정하고 위 식을 바탕으로 전압의 진폭을 구하면 약 311.12V를 얻는다. 따라서 대한민국 가정에 공급되는 교류 전압은 대략 ±311.12V 내에서 진동하는 정현파의 꼴임을 알 수 있다.