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| 정현파 | 구형파 | 삼각파 | 톱니파 |
1. 개요
正弦曲線, 正弦波 / sine curve, sinusoid(al wave)사인함수의 기하학적 그래프. 정현파는 좌표평면 위에서 주기적인 모양을 갖는 개곡선이다. 전자기학과 현대물리학에서는 보편적으로 쓰이는 용어이다.
정현(正弦)은 활시위 혹은 현을 뜻하는 산스크리트어 ज्या(jyā; 지야) 또는 जीव (jīva; 지바)[1]를 한자어로 옮긴 표현이다. 영문 표현인 sine은 라틴어 sinus(굴곡, 공동空洞, 가슴 등)에서 유래한 말로, sinus는 산스크리트어 단어가 아랍어 جيب(jyb)를 통해 유럽 쪽에 전래되는 과정에서 오역되는 바람에[2] 생겨난 단어다.
2. 주기 및 형태
| 정현파의 개형 |
| 정현파를 그리는 모습 |
하지만 [math(\sin x)]의 계수 또는 [math(x)]의 계수를 [math(1)]이 아닌 다른 값으로 하면 모양이 달라진다. 사인함수의 식이 [math(y = a\sin bx+c)]로 주어지는 경우, [math(\cfrac{2\pi}{|b|})]를 주기로 하여 함숫값이 [math(c-|a|\le y\le c+|a|)]의 범위에서 변화한다. 정현파 형태를 파동의 모양과 비교하자면, 이 식에서 [math(b)]가 커질수록 파장은 짧아지고 [math(a)]가 커질수록 진폭이 큰 형태가 되는 셈이다.
- 주기: [math(y = \sin x)]에서 [math(x)]가 [math(0)]에서 [math(2\pi)]까지 변화하는 것이 한 주기에 해당하므로, 여기에 [math(x)] 대신 [math(bx)]를 넣으면 [math(y = \sin bx)]에서 [math(bx)]의 값이 [math(0)]에서 [math(2\pi)]까지 변화하는 것이 한 주기에 해당한다. 따라서 [math(x)]의 값이 [math(0)]에서 [math(\cfrac{2\pi}b)]까지 변화하는 것이 한 주기가 된다. 또한 [math(y = \cos x)]를 [math(\cfrac\pi2)]만큼 오른쪽으로 옮긴 것과 같다.
- 최솟값과 최댓값: [math(a\sin bx)]의 값이 [math(|a|)]일 때 함숫값이 최대가 되고, [math(-|a|)]일 때 최소가 된다. 따라서 [math(y = a\sin bx+c)]의 최솟값은 [math(c-|a|)], 최댓값은 [math(c+|a|)]이다.
코사인 함수를 나타낸 곡선 역시 정현파와 형태가 같고, 이는 직교 좌표계와 극좌표계에서 모두 해당한다. 하지만 코사인 곡선보다는 정현파라고 많이 부른다.[3]
2.1. 극대점과 극소점
정현파는 원점 대칭이기 때문에 원점을 기준으로 극대점과 이에 대응하는 극소점은 서로 반대 위치에 있다.극대점을 찾기 위해서는 원점에서 양의 방향으로 진행하여 [math(y)]값이 최대가 되는 지점을 찾아야 하는데, 사인함수의 식이 [math(y = a\sin bx ~ (a>0))][주의]라면 [math(bx=\cfrac\pi2)]가 되는 지점, 즉 [math(x=\cfrac\pi{2b})]인 지점에 해당한다. 해당 지점의 [math(y)]값을 구하면 [math(y=a)]가 되므로, 원점에서 가장 가까운 극대점의 좌표는 [math(\biggl(\cfrac\pi{2b},\,a\biggr))]가 된다. 또한 사인함수의 주기가 [math(\cfrac{2\pi}{|b|})]이므로 극대점의 좌표의 일반식은 [math(\biggl(\cfrac{4n+1}{2b}\pi,\,a\biggr))]가 된다. 따라서 극소점의 좌표의 일반식은 [math(\biggl(-\cfrac{4n+1}{2b}\pi,\,-a\biggr))]가 된다. 이때 [math(n)]은 정수이므로 [math(\biggl(\cfrac{4n-1}{2b}\pi,\,-a\biggr))]라고 표현할 수도 있다.
예를 들어 [math(y=2\sin7x)]의 경우 극대점의 좌표의 일반식은 [math(\biggl(\cfrac{4n+1}{14}\pi,\,2\biggr))], 극소점의 좌표의 일반식은 [math(\biggl(\cfrac{4n-1}{14}\pi,\,-2\biggr))]라고 할 수 있다. 원점에 가장 가까운 것부터 나열하면 극대점은 [math(\biggl(\cfrac\pi{14},\,2\biggr))], [math(\biggl(-\cfrac{3\pi}{14},\,2\biggr))], [math(\biggl(\cfrac{5\pi}{14},\,2\biggr))], [math(\cdots)]이고 극소점은 [math(\biggl(-\cfrac\pi{14},\,-2\biggr))], [math(\biggl(\cfrac{3\pi}{14},\,-2\biggr))], [math(\biggl(-\cfrac{5\pi}{14},\,-2\biggr))], [math(\cdots)]이다.
2.2. 정현파와 x축 사이의 넓이
사인함수의 식이 [math(y=a\sin bx)] [math((a>0))]인 경우 정현파와 [math(x)]축의 교점 중에는 원점과 [math(\biggl(\cfrac\pi b,\,0\biggr))]이 있다. 따라서 [math(0)]부터 [math(\cfrac\pi b)]까지 사인함수를 적분하여 다음과 같이 구할 수 있다.| [math(\begin{aligned}\int_0^{\frac\pi b} a\sin bx{\rm\,d}x &= {\left[ \frac{-a\cos bx}b \right]}_0^{\frac\pi b} \\ &= \frac ab+\frac ab \\ &= \frac{2a}b \end{aligned})] |
2.3. 정현파의 길이
사인함수 [math(y=a\sin bx ~ (a\ne0))]는 주기가 [math(\cfrac{2\pi}{|b|})]인 주기함수이며 원점에서부터 [math(\cfrac14)] 주기마다 선대칭 및 점대칭 점이 나타나므로 대칭 이동 및 평행 이동으로 다른 구간과 동형인 모양을 만들 수 있다. 원점부터 [math(\cfrac14)] 주기까지의 길이는 다음 공식을 이용하면 구할 수 있다.| [math(\begin{aligned} L &= \int_0^{\frac\pi{2b}} \sqrt{{\rm d}x^2 + {\rm d}y^2} \\ &= \int_0^{\frac\pi{2b}} \sqrt{1+{\left(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\right)}^2}{\rm\,d}x\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} L &= \int_0^{\frac\pi{2b}} \sqrt{1+(ab\cos bx)^2}{\rm\,d}x \\ &= \int_0^{\frac\pi{2b}} \sqrt{1+a^2b^2 -a^2b^2\sin^2bx}{\rm\,d}x \quad (bx = \theta) \\ &= \frac1b\int_0^{\frac\pi2} \sqrt{1+a^2b^2-a^2b^2\sin^2\theta}{\rm\,d}\theta \\ &= \frac{\sqrt{a^2b^2+1}}b\int_0^{\frac\pi2} \sqrt{1-\frac{a^2b^2}{a^2b^2+1}\sin^2\theta}{\rm\,d}\theta \\ &= \frac{\sqrt{a^2b^2+1}}b E{\left(\frac{|ab|}{\sqrt{a^2b^2+1}}\right)} \end{aligned})] |
반 주기[math(\biggl(0\le x\le\cfrac\pi b\biggr))] 구간에서의 길이를 구하고 싶다면 위 값을 2배, 한 주기[math(\biggl(0\le x\le\cfrac{2\pi}b\biggr))] 구간이라면 4배 하면 된다.
3. 곡률
곡률 [math(\kappa)]는 2차원 평면에서 어떤 함수 [math(f(x(t),\,y(t)))]의 곡률 벡터 [math(\cfrac{\rm d}{{\rm d}t}{\bf T}(f))]의 크기 [math(\kappa(f) = \biggl\|\cfrac{\rm d}{{\rm d}t}{\bf T}(f)\biggr\|)]로 정의되며, 일반적으로 다음과 같이 주어지는데| [math(\begin{aligned} \kappa(f) &= \frac{\|{\bf a\bm\times v}\|}{\|{\bf v}\|^3} \\ &= \frac{|x(t)y'(t)-x'(t)y(t)|}{\sqrt{\{x'(t)\}^2+\{y'(t)\}^2}^3} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \kappa &= \dfrac{|ab^2\sin bt|}{\sqrt{1+a^2b^2\cos^2bt}^3} \\ &= \dfrac{b^2|a\sin bt|}{\sqrt{1+a^2b^2 - a^2b^2\sin^2bt}^3} \pod{|a\sin bt| = S} \\ &= \dfrac{b^2S}{\sqrt{1+a^2b^2 - b^2S^2}^3}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \frac{\rm d\kappa}{{\rm d}S} &= \dfrac{b^2}{\sqrt{1+a^2b^2 - b^2S^2}^3} - b^2S{\cdot}\frac32\frac{-2{b^2}S}{\sqrt{1+a^2b^2 - b^2S^2}^5} \\ &= \dfrac{b^2(1+a^2b^2 + 2b^2S^2)}{\sqrt{1+a^2b^2 - b^2S^2}^5}\end{aligned})] |
위 식을 통해서도 알 수 있지만, 가장 기본적인 형태인 [math(y=\sin x)]의 경우 [math(a=b=1)]이기 때문에 극댓값 및 극솟값에서의 곡률은 1이다.
3.1. 접촉원
상기 곡률을 이용해서 접촉원의 중심 [math((x_0,\,y_0))]의 자취를 구할 수 있다. 정현파의 식을 [math(y = a\sin bx + c)]라고 하자.우선 접촉원이므로 정현파에 접하는 접선의 방정식을 고려해볼 수 있다. 정현파 위의 점 [math((x_1,\,y_1))]에 대하여 접선 [math(l_t)]는 다음과 같이 주어지고
| [math(l_t: y = (ab\cos bx_1)(x - x_1) + y_1)] |
| [math(r = \dfrac{|(ab\cos bx_1)(x_0 - x_1) + (y_1 - y_0)|}{\sqrt{(ab\cos bx_1)^2 + 1}})] |
| [math(l_n: y = -\dfrac1{ab\cos bx_1}(x - x_1) + y_1)] |
| [math(y_1 - y_0 = \dfrac1{ab\cos bx_1}(x_0 - x_1))] |
| [math(\begin{aligned} r &= \frac{\left|(ab\cos bx_1)(x_0 - x_1) + \dfrac1{ab\cos bx_1}(x_0 - x_1)\right|}{\sqrt{(ab\cos bx_1)^2+1}} \\ &= \frac{\left|(x_0 - x_1)\dfrac{(ab\cos bx_1)^2+1}{ab\cos bx_1}\right|}{\sqrt{(ab\cos bx_1)^2+1}} \\ &= |x_0 - x_1|\frac{\sqrt{(ab\cos bx_1)^2+1}}{|ab\cos bx_1|}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} r &= \frac1\kappa \\ &= \frac{\sqrt{(ab\cos bx_1)^2 + 1}}{|ab^2\sin bx_1|}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} |x_0 - x_1| &= \frac{|ab\cos bx_1|}{|ab^2\sin bx_1|} \\ &= {\left|\frac{\cot bx_1}b\right|} \\ \therefore x_0 &= x_1 \pm\frac{\cot bx_1}b \end{aligned})] |
| [math(x_0 = x_1 + \dfrac{\cot bx_1}b)] |
| [math(\begin{aligned} y_0 &= -\frac1{ab\cos bx_1}(x_0 - x_1) + y_1 \\ &= -\frac1{ab\cos bx_1}\frac{\cot bx_1}b + a\sin bx_1+c \\ &= a\sin bx_1 + c -\frac1{ab^2\sin bx_1} \end{aligned})] |
| [math((x_0(t),\,y_0(t)) = {\left(t + \dfrac{\cot bt}b,\,a\sin bt + c -\dfrac1{ab^2\sin bt}\right)})] |
위 식으로부터 극대점과 극소점에서 접촉원의 중심 좌표를 짐작할 수 있는데 [math(\sin bt = \pm1)], 즉 [math(\cos bt = 0)]이 되는 지점이므로 극대점에서는 중심이 [math(\biggl(\cfrac{4n+1}{2b}\pi,\,a+c-\cfrac1{ab^2}\biggr))]이 되고, 극소점에서는 중심이 [math(\biggl(\cfrac{4n-1}{2b}\pi,\,a+c+\cfrac1{ab^2}\biggr))]이 된다. 예를 들어 [math(y=2\sin 3x)]의 경우, 극대점 [math(\biggl(\cfrac{4n+1}6\pi,\,2\biggr))]에서 접하는 접촉원의 반지름은 [math(\cfrac1{18})], 중심의 좌표는 [math(\biggl(\cfrac{4n+1}6\pi,\,\cfrac{35}{18}\biggr))]가 된다.
4. 쓰임
수학 이외의 분야에서도 소리나 빛의 파동, 교류전류의 전류, 전압 같은 주기적 현상을 설명하는데 유용하게 쓰인다. 파동을 사인함수 [math(y=A\sin\underline\omega t+c)]꼴(단, [math(\underline\omega = \omega/{\rm rad})])로 나타낼 때 [math(A)]는 진폭, [math(\omega)]는 주파수에 비례하고[5] 주기에 반비례한다.[6] 정현파 형태의 운동을 정현파 운동(sinusoidal motion)이라고 한다.바이오리듬을 나타내는 곡선도 정현파다.
지리학에서는 세계지도를 그리는 도법에 활용된다. 대표적으로 시뉴소이드 도법과 에케르트 도법(Eckert’s projection)이 있는데, 에케르트 도법은 총 6종류로, 이들 중 2종류가 정현파를 활용한다.
3D 그래픽에서 구면좌표계에서 3차원 직교좌표계로 상호 변환할 때도 쓰인다.
4.1. 푸리에 변환
연속하고 부드러운 주기함수(continuous smooth periodic function)는 여러 주파수의 정현파의 합으로 나타낼 수 있다. 이를 이용해 해당 주기함수를 [math(g:x\to y)]라고 둘 때, 해당 함수를 [math(G:\omega \to C)]로 변환할 수 있다. 이때, [math(\omega)]는 각속도로 주파수 [math(f)]로 나타내면 [math(\omega = 2\pi f{\rm\,rad})]이며, [math(C)]는 복소수다. [math(G)]의 어떤 입력값 [math(\omega)]에 대해 출력값 [math(C)]의 절댓값(magnitude) [math(|C|)]는 해당 주파수를 갖는 정현파의 진폭 [math(A)]를 의미하고 [math(C)]의 위상(phase)은 해당 사인함수의 위상차(phase difference)를 의미한다. 이를 이용해 주어진 주기함수를 푸리에 변환을 통해 복소함수로 나타내면, 특정 주파수의 정현파의 진폭을 바로 얻을 수 있으며, 이는 다양한 연구 분야에 활용된다. 특히 빛은 전자기파이므로, 한꺼번에 여러 주파수의 전자기파를 분석할 때 필수적인 기술이다. 자세한 것은 푸리에 변환 참조.비슷한 것으로 푸리에 급수가 있다. 푸리에 변환은 무한히 많은 함수의 적분 형태로 나타나는 반면 푸리에 급수는 무한급수 형태로 나타난다.
4.2. 시뉴소이드 도법
sinusoidal projection, -圖法세계지도를 그릴 때 경선을 정현파 형태로 그리는 방법이다.
(적도에서의 위선 길이) : (직선의 중앙 경선 길이) = 2 : 1이고, 지도의 왼쪽 반과 오른쪽 반을 서로 대칭인 정현파로 둘러싸는 형태이다. 이 방법으로 그린 세계지도의 정중앙을 원점으로 하고 오른쪽 끝을 (2, 0), 북극을 (0, 1)로 한다면 [math(x = \pm2\cos\biggl(\cfrac{\pi y}2\biggr) ~ (|y|\le1))]의 그래프 형태의 정현파가 그려지는데, 이를 사인 함수로 나타내면 [math(x = \pm2\sin\biggl(\cfrac{1-y}2\pi\biggr) ~ (|y|\le1))]이다.
정현파는 최대값 주변에서는 변화폭이 작지만 그 주변으로 갈수록 변화의 폭이 급격히 늘어나므로, 고위도 지역의 경우 매우 심하게 왜곡되는 반면 저위도 지역은 왜곡이 훨씬 덜 되기 때문에 저위도 지역 중심으로 표현하는 데 많이 쓰이고 있다. 또한 가장자리 부분의 경선이나 중앙 경선이 아닌 다른 경선들도 가장자리 부분의 경선처럼 비례를 맞춰야 하기 때문에 정현파 형태로 표현되는데, 중앙 경선의 경도를 [math(0\degree)]라 할 때 동경이나 서경에 상관없이 경도를 [math(0\degree)]에서 [math(180\degree)] 사이의 값으로 표현한다면 경도 [math(k)]에서는 [math(x = \pm\cfrac k{180\degree}\times 2\sin\biggl(\cfrac{1-y}2\pi\biggr) ~ (|y|\le1))] 형태의 정현파가 된다. 이때 [math(k)]의 값이 커질수록 정현파가 가파르기 때문에 경도가 클수록, 즉 중앙 경선에서 많이 떨어져 있을수록 많이 왜곡된다. 게다가 지도의 형태상 쓸모없는 여백이 많아진다는 것도 단점.
참고로 이 도법을 이용하면 지구가 완전히 구라고 가정할 때, 위도에 관계없이 해당 지역의 위선의 길이를 정확한 비율로 맞출 수 있고, 따라서 넓이의 비율에 맞게 그릴 수 있다. 위도가 [math(\theta)]인 지역을 나타내는 위선에 해당하는 원의 반지름을 [math(r)], 지구의 반지름을 [math(R)]라 하면 [math(r=R\cos\underline\theta)] (단, [math(\underline\theta = \theta/{\rm rad})])인데, 시뉴소이드 도법에서는 위도가 [math(0{\rm\,rad})]인 지역을 나타내는 위선의 길이를 [math(R)]라 하면 위도가 [math(\theta)]인 지역을 나타내는 위선의 길이는 [math(R\cos\underline\theta)]가 되기 때문이다.
5. 극좌표에서의 정현파
직교 좌표가 아닌 극좌표에서도 정현파를 그릴 수 있는데, [math(r=\sin n\underline\theta ~(n\ge2))]꼴의 경우 꽃 모양이 되기 때문에 이것을 장미곡선[7]이라 부르기도 한다. 극좌표에서는 반지름 [math(r)]을 해당 '방향'이 [math(x)]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기 [math(\theta)]에 대한 함수로 보기 때문에 좌표평면에서와는 확연히 다른 모양의 곡선으로 나타난다. 또한 좌표평면에서의 사인함수 [math(y = a\sin bx+c)]에서의 상수 [math(c)]와 달리 극좌표에서의 사인함수 [math(r=\sin\underline\theta+k)]에서의 상수 [math(k)]는 곡선의 모양을 변화시킨다. 또한 함수식을 [math(r=a(\sin\underline\theta+k))] ([math(a)], [math(k)]는 상수)라 하면 [math(a)]는 모양에는 영향을 주지 않고 크기에만 영향을 주며, 반지름 [math(r)]은 [math(a)]에 비례하여 커진다.이하 내용에서 [math(underlinetheta = theta/{rm rad})]이다.
5.1. n장 꽃잎 장미꼴
[math(n)]-leaved rose[8][math(r = \sin(n\underline\theta))] (단, [math(n)]은 자연수)꼴로 표기되며 다음과 같은 특성이 있다.
- [math(r = \sin\underline\theta)]꼴의 곡선은 원 모양에 해당한다. 평면좌표에서의 [math(x)], [math(y)]좌표와 극좌표에서의 [math(r)], [math(\theta)]의 관계는 [math(x = r\cos\underline\theta)], [math(y = r\sin\underline\theta)]인데, [math(r = \sin\underline\theta)]의 양변에 [math(r)]을 곱하면 [math(r^2 = r\sin\underline\theta)]가 되고, [math(x^2 + y^2 = r^2)]이므로 이 식은 [math(x^2 + y^2 = y)]로 변형되며, 다시 정리하면 [math(x^2 + \biggl(y-\cfrac12\biggr)^2 = \cfrac14)], 즉 중심이 [math(\biggr(0,\,\cfrac12\biggr))]이고 반지름이 [math(\cfrac12)]인 원임을 알 수 있다.
- [math(r = \sin(2n\underline\theta))]꼴의 곡선은 [math(x)]축과 [math(y)]축, 원점 대칭이며 잎이 [math(2n)]개인 꽃 모양이 되는데, [math(0\le\underline\theta\le2\pi)]의 구간을 [math(2n)]등분한 각 구간의 중심부가 꽃잎의 가장 바깥쪽에 해당하고 각 구간의 경계 부분이 꽃잎의 가장 안쪽에 해당한다. 예를 들어 [math(r = \sin6\underline\theta)]의 경우 잎이 12개인 꽃 모양이 되고, [math(0\le\underline\theta\le2\pi)]의 구간을 12등분한 각 구간[math(\biggl(0\le\underline\theta\le\cfrac\pi6)], [math(\cfrac\pi6\le\underline\theta\le\cfrac\pi3)], [math(\cdots\biggr))]의 중심부에 해당하는 [math(\underline\theta = \cfrac\pi{12})], [math(\cfrac\pi4)], [math(\cdots)] 등이 꽃잎의 가장 바깥쪽이고, 경계 부분에 해당하는 [math(\underline\theta = 0)], [math(\cfrac\pi6)], [math(\cdots)] 등이 가장 안쪽에 해당한다.
- 예를 들어 [math(r = \sin2\underline\theta)]의 경우 [math(\underline\theta)]에 따라 점을 찍어서 곡선의 모양을 추정해 보면 다음과 같다. [math(0\le\underline\theta\le\cfrac\pi2)]에서는 [math(\sin2\underline\theta = r\ge0)]이기 때문에 제1사분면에 하나의 잎이 그려지고, [math(\cfrac\pi2\le\underline\theta\le\pi)]에서는 [math(r<0)]이기 때문에 제2사분면의 반대 방향에 있는 제4분면에 잎이 하나 그려진다. 같은 방법으로 계속해 나가면 제3사분면, 제2사분면 순서로 잎이 하나씩 그려진다는 것을 알 수 있다.
[math(\underline\theta)] [math(r=\sin2\underline\theta)] 점의 좌표 [math((r,\,\underline\theta))] 잎이 그려지는 위치 [math(0)] [math(0)] [math((0,\,0))] [math(\dfrac\pi8)] [math(\dfrac{\sqrt2}2)] [math({\left(\dfrac{\sqrt2}2,\,\dfrac\pi8\right)})] 제1사분면 [math(\dfrac\pi4)] [math(1)] [math({\left(1,\,\dfrac\pi4\right)})] [math(\dfrac{3\pi}8)] [math(\dfrac{\sqrt2}2)] [math({\left(\dfrac{\sqrt2}2,\,\dfrac{3\pi}8\right)})] [math(\dfrac\pi2)] [math(0)] [math({\left(0,\,\dfrac\pi2\right)})] [math(\dfrac{5\pi}8)] [math(-\dfrac{\sqrt2}2)] [math({\left(-\dfrac{\sqrt2}2,\,\dfrac{5\pi}8\right)})] 제4사분면 [math(\dfrac{3\pi}4)] [math(-1)] [math({\left(-1,\,\dfrac{3\pi}4\right)})] [math(\dfrac{7\pi}8)] [math(-\dfrac{\sqrt2}2)] [math({\left(-\dfrac{\sqrt2}2,\,\dfrac{7\pi}8\right)})] [math(\pi)] [math(0)] [math((0,\,\pi))] - [math(r=\sin\{(2n+1)\underline\theta\})]꼴의 곡선은 잎이 [math(n)]개인 꽃 모양이 되는데, [math(y)]축 대칭인 형태이다. [math(r=\sin\{(4n+1)\underline\theta\})]꼴의 경우 [math(\theta = \cfrac\pi2)]가, [math(r=\sin\{(4n+3)\underline\theta\})]꼴의 경우 [math(\theta = \cfrac{3\pi}2)]가 한 꽃잎의 가장 바깥쪽에 해당한다. 실제로 각각의 식에 [math(\underline\theta = \cfrac\pi2)], [math(\cfrac{3\pi}2)]를 대입하면 [math(r)]이 최댓값인 [math(r=1)]이 됨을 알 수 있다.
- 예를 들어 [math(r=\sin3\underline\theta)]의 경우, [math(0\le\underline\theta\le2\pi)]의 구간 중 [math(0\le\underline\theta\le\cfrac\pi3)], [math(\cfrac{2\pi}3\le\underline\theta\le\pi)], [math(\cfrac{4\pi}3\le\underline\theta\le\cfrac{5\pi}3)]에서는 [math(r>0)]아고, 나머지 구간에서는 [math(r<0)]이다. 따라서 제1사분면 → 제2사분면 → ...의 순서로 그려지지 않고 도중에 제3사분면과 제4사분면을 지나는 잎 모양[9]을 그린 후 제2사분면에 포함되는 잎 모양을 그리게 된다. [math(\underline\theta)]값에 따라 실제로 그려 보면 [math(0\le\underline\theta\le\pi)]까지의 부분이 [math(\pi\le\underline\theta\le2\pi)] 부분에서 반복해서 나타난다.
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5.2. r=sin(aθ/b)(a⊥b) 꼴
이 경우에는 잎이 서로 겹치는 복잡한 모양이 그려지며, 잎의 개수는 [math(2a)]개이고 [math(b)]가 클수록 원 모양에 가까워지는 형태이다. 그래프를 [math(\underline\theta)]의 변화를 기준으로 보면 같은 모양이 잎의 개수만큼 반복되는 모습을 볼 수 있다. 이들 중 간단한 편에 속하는 [math(r = \sin\cfrac{3\underline\theta}2)]의 그래프도 잎이 6개이며 잎이 최대 2개 겹치는 복잡한 형태로, [math(\underline\theta)]의 변화에 따라 점을 찍어서 그래프의 모양을 추측해 보면 전체적으로는 시계 반대 방향으로 이동하지만 제1사분면 → 제2사분면 → 제4사분면 → 제1사분면으로 이동하는 등 상당히 복잡하게 이동함을 알 수 있다. 이러한 꼴의 경우 [math(\underline\theta=0)]일 때와 [math(\underline\theta=2\pi)]일 때의 [math(r)]의 값이 서로 다르고, 극좌표에서 점 [math((r,\,\underline\theta))]의 위치는 [math(r)]과 [math(\underline\theta)]값 모두에 의해 변화하기 때문에 [math(0\le\underline\theta\le2\pi)]의 구간을 그려도 곡선이 완전히 그려지지 않는 경우가 많은데, 예를 들어 [math(r = \sin\cfrac{5\underline\theta}3)]의 경우에는 [math(0\le\underline\theta\le3\pi)]의 구간에 대하여 그래프를 그려야 완전히 그려진다. [math(b)]가 홀수일 때는 [math(0\le\underline\theta\le b\pi)], 짝수일 때는 [math(0\le\underline\theta\le2b\pi)]의 구간을 그려야 한다.[math(r = \sin\cfrac{\underline\theta}n ~(n\ge2))]의 곡선은 자연수 [math(n)]이 커질수록 복잡한 모양이 되는데, [math(n)]이 짝수일 때는 [math(x)]축과 [math(y)]축 대칭이 되며, 홀수일 때는 [math(y)]축 대칭만 된다. [math(n\ge4)]라면 홀수인지 짝수인지에 상관없이 [math(r = \sin\cfrac{\underline\theta}n)]의 곡선의 안쪽에는 [math(r = \sin\cfrac{\underline\theta}{n-2})]의 곡선과 비슷한 모양이 있고 바깥쪽을 원과 비슷한 모양이 둘러싸고 있는 듯한 형태가 되는데, [math(n)]이 짝수이면 원점에서 2개의 폐곡선이 접하는 듯한 모양이며 홀수이면 하트에 가까운 모양이다. 또한 [math(\cfrac{\underline\theta}n)]이 [math(0)]부터 [math(2\pi)]까지 변화하는 것이 한 주기이므로 곡선을 다 그리려면 [math(0\le\underline\theta\le2n\pi)]까지 그려야 한다.
참고로 [math(r = \sin\cfrac{\underline\theta}2)]의 그래프의 모양을 [math(\underline\theta)]에 따라 점을 찍어 분석하자면 다음과 같다.
- [math(\underline\theta = 0)]일 때 [math(r = 0)]으로 원점을 지나며, 이후 [math(\underline\theta)]가 커짐에 따라 제1사분면에 그려진다.
- [math(\underline\theta = \cfrac\pi2)]일 때 [math(r = \sin\cfrac\pi4)]이므로 직교 좌표계상의 [math(\biggl(0,\,\cfrac{\sqrt2}2\biggr))]에 점이 찍힌다. 그 이후 제2사분면에 그려진다.
- [math(\underline\theta = \pi)]일 때 [math(r = 1)]이므로 직교 좌표계상의 [math((-1,\,0))]에 점이 찍힌다. 그 이후 제3사분면, 제4사분면으로 이동하며 [math(\underline\theta = 2\pi)]일 때 다시 원점에 온다. [math(0 < \underline\theta < 2\pi)]일 때 [math(r)]의 값이 양수가 되므로 사분면 순서대로 이동하는 것이다. 그 이후 [math(2\pi\le\underline\theta\le4\pi)] 구간에서는 [math(0\le\underline\theta\le2\pi)]일 때의 모양과 좌우 대칭되는 모양을 그리게 된다.
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5.3. r=k(sinθ+1) 꼴
[math(y)]축 대칭 형태로, 직교 평면좌표 기준으로 원점과 [math((\pm k,\,0))], [math((0,\,2k))]의 점을 지난다. 실제로 점을 찍어 보면 하트 모양을 뒤집은 것과 비슷한 모양이 나온다는 것을 알 수 있다. 예를 들어 [math(k = 1)]일 때 [math(r = \sin\underline\theta + 1)]의 그래프의 형태를 점을 찍어 추측해 보면 대략 다음과 같다.| [math(\underline\theta)] | [math(r = \sin\underline\theta + 1)] | 점의 좌표 [math((r,\,\underline\theta))] | 그려지는 위치 또는 점의 좌표 [math((x,\,y))] |
| [math(0)] | [math(1)] | [math((1,\,0))] | [math((1,\,0))] |
| [math(\cfrac\pi6)] | [math(\cfrac32)] | [math(\biggl(\cfrac32,\,\cfrac\pi6\biggr))] | 제1사분면 |
| [math(\cfrac\pi3)] | [math(1+\cfrac{\sqrt3}2)] | [math(\biggl(1+\cfrac{\sqrt3}2,\,\cfrac\pi3\biggr))] | |
| [math(\cfrac\pi2)] | [math(2)] | [math(\biggl(2,\,\cfrac\pi2\biggr))] | [math((0,\,2))] |
| [math(\cfrac{2\pi}3)] | [math(1+\cfrac{\sqrt3}2)] | [math(\biggl(1+\cfrac{\sqrt3}2,\,\cfrac{2\pi}3\biggr))] | 제2사분면 |
| [math(\cfrac{5\pi}6)] | [math(\cfrac32)] | [math(\biggl(\cfrac32,\,\cfrac{5\pi}6\biggr))] | |
| [math(\pi)] | [math(1)] | [math((1,\,\pi))] | [math((-1,\,0))] |
| [math(\cfrac{7\pi}6)] | [math(\cfrac12)] | [math(\biggl(\cfrac12,\,\cfrac{7\pi}6\biggr))] | 제3사분면 |
| [math(\cfrac{4\pi}3)] | [math(1-\cfrac{\sqrt3}2)] | [math(\biggl(1-\cfrac{\sqrt3}2,\,\cfrac{4\pi}3\biggr))] | |
| [math(\cfrac{3\pi}2)] | [math(0)] | [math(\biggl(0,\,\cfrac{3\pi}2\biggr))] | [math((0,\,0))] |
| [math(\cfrac{5\pi}3)] | [math(1-\cfrac{\sqrt3}2)] | [math(\biggl(1-\cfrac{\sqrt3}2,\,\cfrac{5\pi}3\biggr))] | 제4사분면 |
| [math(\cfrac{11\pi}6)] | [math(\cfrac12)] | [math(\biggl(\cfrac12,\,\cfrac{11\pi}6\biggr))] | |
| [math(2\pi)] | [math(1)] | [math((1,\,0))] | [math((1,\,0))] |
5.4. 기타
- [math(r = k(\sin\underline\theta + a))] ([math(k)]는 상수, [math(a)]는 [math(0<a<1)]인 상수) 꼴
폐곡선 안에 폐곡선이 있는 [math(y)]축 대칭 형태로, 직교 평면좌표 기준으로 원점[10]과 [math(\underline\theta = 0)] 또는 [math(\underline\theta = \pi)]일 때 [math((\pm ak,\,0))], [math(\underline\theta = \cfrac\pi2)]일 때 [math((0,\,k(1 + a)))]를 지난다. 예를 들어 [math(r = \sin\underline\theta + \cfrac12)]은 [math(\underline\theta = 0)], [math(\underline\theta = \cfrac\pi2)], [math(\underline\theta = \pi)]일 때 각각 [math(\biggl(\cfrac12,\,0\biggr))], [math(\biggl(0,\,\cfrac12\biggr))], [math(\biggl(-\cfrac12,\,0\biggr))]을 지나고, [math(\sin\underline\theta = -\cfrac12)], 즉 [math(\underline\theta = \cfrac{4\pi}3)] 또는 [math(\underline\theta = \cfrac{5\pi}3)]일 때 원점을 지난다. - [math(r = k(\sin\underline\theta + a))]([math(k)]는 상수, [math(a)]는 [math(a>1)]인 상수) 꼴
원점을 지나지 않고, [math(a)]가 클수록 원에 가까운 형태이다. 직교 좌표계 기준으로 [math(y)]축의 반대 방향이 약간 찌그러진 형태이다. - [math(r = k(\sin\underline\theta + a))]([math(a)], [math(k)]는 상수, [math(0\le\underline\theta\le2\pi)])의 곡선의 형태는 [math(r = k(\sin\underline\theta - a))]와 같다. 즉 위 두 식에서 [math(+a)]를 [math(-a)]로 치환해도 곡선의 형태가 변하지 않는다는 것이다. 이는 [math(k(\sin\underline\theta + a) = -k\{\sin(\pi+\underline\theta) - a\})]이므로, 좌변의 곡선에서 각이 [math(\underline\theta)]일 때 찍히는 점의 위치가 우변에서 각이 [math(\underline\theta+\pi)]일 때 찍히는 점의 위치와 같기 때문이다. 좌우변에서 각이 서로 반대 방향이지만 부호도 반전되기 때문에 극좌표상에서 점이 찍히는 위치는 서로 같다.
- 예를 들어 [math(r = \sin\underline\theta + 1)]과 [math(r = \sin\underline\theta - 1)]의 두 곡선의 모양은 같은데, 전자에서 [math(\underline\theta = \cfrac\pi6)]일 때 [math(r = \cfrac32)]이고, 후자에서 [math(\underline\theta = \cfrac{7\pi}6)]일 때 [math(r = -\cfrac32)]이다. 반지름의 부호와 각이 모두 서로 반대이므로 점이 찍히는 위치는 서로 같다.
- [math(r = \sin(n\underline\theta)+1 ~ (n\ge2))]의 곡선은 상술한 [math(r = \sin(n\underline\theta))]처럼 꽃 모양이 되는데, 그것과 달리 [math(n)]이 짝수인지 홀수인지의 여부에 상관없이 꽃잎이 [math(n)]개이다. [math(n)]이 짝수일 때는 원점 대칭이고, 홀수일 때는 [math(y)]축 대칭이다.
- [math(n)]이 홀수일 때, [math(r = \sin(n\underline\theta) + 1)]과 [math(r = \sin(n\underline\theta) - 1)]의 형태는 서로 같다. 상술한 부분의 내용을 여기에 적용시키면 그 이유를 알 수 있다.
- [math(n)]이 짝수일 때, [math(r = \sin(n\underline\theta) + 1)]과 [math(r = \sin(n\underline\theta) - 1)]은 서로 좌우 대칭이다.
- [math(r = \sin(n\underline\theta) + k)]([math(k>1)]인 상수, [math(n\ge2)])의 곡선은 원점을 지나지 않고 잎이 [math(n)]개인 모양이다. [math(k)]가 커질수록 원에 가까워진다.
6. 위상수학자의 사인곡선
7. 기타
- 반원을 나타내는 곡선과 정현파를 크게 구분하지 않는 경우가 있는데, 이 둘은 서로 엄연히 다르다. 최댓값 부분에서의 기울기는 둘 다 0이지만, 반원의 경우 끝부분에서의 기울기가 무한대로 발산하는 반면 정현파는 유한하다.
- 정현파와 포물선도 서로 다르다. 위로 볼록한 모양의 정현파와 포물선의 일부분, 이를테면 [math(0\le x\le2)]에서 각각 [math(y = \sin\pi x)], [math(y = -(x-1)^2+1)]을 생각하면 되는데, 둘 다 원점과 [math((2,\,0))]에서 기울기가 유한하고 [math((1,\,1))]에서 기울기가 0이라는 점은 같지만, 원점에서의 기울기는 정현파는 [math(\pi)], 포물선은 [math(2)]이다.
- '정현파'는 일본식 표현이기 때문에 이러한 표기를 피하고 '사인파' 혹은 '사인 곡선'으로 대체해야 한다고 주장하는 사람들이 있으나, 사실 관계부터가 틀리다. '정현'(正弦)이라는 용어는 명나라를 방문했던 독일 출신[11]의 예수회 수도사였던 요한 슈레크(Johann Schreck, 1576 ~ 1630)가 서양의 수학서를 한문으로 옮기면서 처음 썼기 때문이다. 그의 사후인 숭정 4년(1631년)에 출판된 《대측》(大測)에서 正弦[12]이라는 표기를 찾아볼 수 있다. 현재 중국 수학 교육과정에서도 사인을 正弦, 코사인을 余弦, 탄젠트를 正切이라는 단어를 사용한다.
한편, 일본어 잔재설과는 상관없이 '정현파', '여현파'(코사인 곡선)라고 하면 못 알아듣는 사람이 많다. 실제로 광복 직후 1950년 이전까지는 제대로 된 교육체제가 갖추어지지 않아 정현, 여현이라는 말로 가르쳤지만, 1차 교육과정 이후 교과서에서는 정현, 여현 대신 사인, 코사인이라고 가르치기 때문에 한자어 표현은 빠르게 사어가 되었다.
8. 관련 문서
[1] जीव는 일반적으로 '삶', '생명'을 뜻하는 단어이지만, 천문학 및 수학 분야에서는 '현', '사인(sine)'을 의미하는 단어로 쓰였다.[2] 아랍어는 자음을 나열한 뒤 모음을 각종 기호로 표기하는 언어인데, 문제는 이 모음 표기가 일상적으로는 생략되기 일쑤이다. 앞선 جيب는 목둘레깃, 옷깃('가슴'을 에둘러 말할 때도 쓰인다), 공동空洞 등을 의미하는 جَيْب(jayb; 자이브)와 산스크리트어 जीव(jīva; 지바)를 단순히 음차한 جِيبَ(jiyba; 지바) 두 경우로 읽을 수 있는데 sinus는 جَيْب(jayb)에 해당하는 역어이다.[3] 애초에 '코사인'이라는 이름 자체가 라틴어 'complimenti sinus'(상보적인 것(=여각)에 대한 sine)에서 유래한 것도 있고 영어 명칭 sinusoid 자체가 'sine과 유사한 것'을 의미하기 때문이다.[주의] [math(a\sin)]을 [math(\operatorname{asin})]으로 쓰면 다른 의미가 된다.[5] 정확히는 정현파의 각주파수 내지 각속도에 해당하는 값이다. 참고로 [math(\omega=2\pi f{\rm\,rad})](단, [math(f)]는 주파수)다.[6] 주기가 주파수의 역수로 정의되므로 각주파수에 반비례하는 것은 당연한 일이다.[7] 형태만 봐서는 '왜 장미 곡선이지?' 할 수 있겠으나, 사실 오늘날 흔히 볼 수 있는 겹꽃 장미는 18세기에 나온 것이다. 비슷한 이유로 장미 전쟁도 용어상의 문제로 혼선을 빚곤 한다.[8] Stewert 미분적분학에서 쓰는 명칭이다.[9] [math(\cfrac\pi3\le\underline\theta\le\cfrac{2\pi}3)], 각에 해당하는 사분면은 제1, 2사분면이지만 [math(r<0)]이므로 사분면이 반대가 된다.[10] [math(\sin\underline\theta + a = 0)]일 때 [math(r = 0)]이 되므로 [math(\underline\theta)]의 값에 상관없이 반드시 지난다.[11] 스위스라고 표기된 문헌도 있다.[12] 엄밀하게는 처음에는 정반현(正半弦)으로 언급하고 이후부터는 정현(正弦)으로 약칭한다.