1729 = 7×13×19
1. 자연수
1728보다 크고 1730보다 작은 자연수. 합성수로, 소인수분해하면 7×13×19이다.1.1. 수학적 특징
- 약수는 1, 7, 13, 19, 91, 133, 247, 1729로 총 8개이며, 진약수의 합은 509이므로 1729는 부족수다.
- 1089의 모든 약수의 합이다.
- 이 수는 '택시 수'이다. 하단 설명 참고.
- 이 수는 카마이클 수 이기도 하다.
- 참고로 19와 19의 자리수를 뒤집은 91을 곱한 수도 이 수다.1729 = 19 × 91.
- 또한 1+7+2+9=19이며 1729가 19로 나누어지므로 1729는 하샤드 수이다.
2. 택시 수
2.1. 특징
[math( 1729=12^3+1^3=10^3+9^3 )]1729는 서로 다른 세제곱수 두 개의 합으로 나타내는 방법이 두 가지인 가장 작은 수이다.
2.2. 어떻게 발견되었는가?
1918년 입원 중이던 스리니바사 라마누잔을 G. H. 하디가 문병 왔을 때였다. 두 사람은 대강 이런 내용의 대화를 나누었는데...하디: 내가 타고 온 택시 번호가 1729였는데... 되게 평범하고 별 의미 없는 숫자지?
라마누잔: 아뇨, 매우 흥미로운 숫자인데요. 서로 다른 세제곱수 2개의 합으로 나타내는 방법이 두 가지인 가장 작은 수잖아요.
하디: ...?!
라마누잔: 아뇨, 매우 흥미로운 숫자인데요. 서로 다른 세제곱수 2개의 합으로 나타내는 방법이 두 가지인 가장 작은 수잖아요.
하디: ...?!
실제로 [math( 1729=12^3+1^3=10^3+9^3 )]으로 나타낼 수 있으며 이는 이렇게 나타낼 수 있는 자연수 중 가장 작은 수이다. 사실 라마누잔은 분할수와 관련된 연구 중에 이 수를 찾아냈었던 적이 있었다.[1] 즉, 우연히 하디가 언급한 수가 라마누잔의 연구에서도 등장했기에 라마누잔이 즉흥적으로 답할 수 있었던 것이다.
하디는 네제곱일 경우에 가장 작은 수는 무엇인지도 물어봤는데, 라마누잔은 정확히는 모르겠지만 아주 큰 수일 것 같다고 대답했다.
정답은 [math(635318657 = 59^4 + 158^4 =133^4 + 134^4)]
참고로 하디가 원래 하려던 말은 1729 = 13 × 133이라서 13이 중복해서 나오는 불길한 수라는 농담이었다는 이야기도 있다. 아니면 혹시 라마누잔의 연구 성과를 미리 알고 모르는 척 말했을지도...
2.3. 택시 수
이와 같은 수들을 하디-라마누잔 수 또는 택시 수(taxicab number)라고 부르게 되었다. 이는 1 이상의 자연수에서만 고려한다.택시수의 다른 예제로는 4104, 13832 등이 있다.
[math( 4104 = 2^3 + 16^3 = 9^3 + 15^3 )]
[math( 13832 = 2^3 + 24^3 = 18^3 + 20^3 )]
참고로 어떤 수 n 이 택시 수 라면, 그 수에 임의의 세제곱수 [math(2^3=8, 3^3=27, 4^3 = 64, ... )] 을 곱한 수도 모두 택시 수다. 13832 = 1729*8 이다
3가지 이상의 세제곱의 합으로 표현되는 수도 있으며, 더 많은 방법으로 표현되는 수들도 존재한다.
[math(87539319=167^3 + 436^3 =228^3 + 423^3 =255^3 + 414^3)]
정수까지 범위를 확장하면 이는 cabtaxi number 라고 한다.
[math(91=3^3 + 4^3 =6^3 + (- 5)^3)]
3. 카마이클 수
이 수는 페르마의 소정리만으로 소수를 판정하지 못하게 만드는 '카마이클 수'이기도 하다. 페르마의 소정리 문서 참고.4. 문화재
- 대한민국의 보물 제1729호: 창원 성주사 목조석가여래삼불좌상
[1] 이 일화 몇 년 전에 라마누잔이 남긴 연구 노트에 [math( a^3+b^3=c^3±1 )] 꼴의 수를 연구한 흔적이 있는데, 실제로 [math( 135^3+138^3=172^3-1 )], [math( 11161^3+11468^3=14258^3+1 )] 같은 예시가 등장한다. 심지어 이 당시는 영국으로 왔을 때도 아니었다.