1. 개요
恒等寫像항등 사상 (Identity Morphism)은 범주론에서 특정 대상이 자기 자신으로 사상되는 특별한 사상이다. 항등사상은 모든 대상 [math(X)]에 대해 정의되며, 범주의 기본적인 성질인 결합법칙을 만족하는 데 필수적이다. 이를 통해 범주 내에서 사상의 구조를 이해하고, 더 복잡한 개념으로 확장할 수 있다.
2. 정의
- 항등사상의 정의
범주 [math(C)]에서, 대상 [math(X)]의 항등사상 [math(\text{id}_X : X \to X)]은 다음 조건을 만족하는 사상이다:
[math(\forall f : X \to Y, \ f \circ \text{id}_X = f)]
[math(\forall g : Z \to X, \ \text{id}_X \circ g = g)]
이 정의는 범주론의 결합법칙과 밀접하게 연결되어 있다.
- 기호적 표현
항등사상은 보통 [math(\text{id}_X)] 또는 [math(1_X)]로 표기하며, 모든 대상에 대해 유일하게 존재한다.
3. 성질
- 결합법칙과의 관계
항등사상은 범주 내의 모든 사상이 결합법칙을 만족하도록 보장한다. 즉, 임의의 사상 [math(f : X \to Y)], [math(g : Y \to Z)]에 대해 다음이 성립한다:
[math((g \circ f) \circ \text{id}_X = g \circ (f \circ \text{id}_X)) = g \circ f)]
- 유일성
각 대상 [math(X)]에 대해 항등사상 [math(\text{id}_X)]은 유일하다. 이는 모든 사상 구조에서 기준점 역할을 한다.
- 자기 닫힘성
항등사상은 자기 자신과의 합성에서 변하지 않는다:
[math(\text{id}_X \circ \text{id}_X = \text{id}_X)]
4. 예시
- 집합의 범주 [math(Set)]
집합 [math(X)]에서 항등사상은 함수 [math(\text{id}_X : X \to X)]로, 모든 원소를 자기 자신으로 대응시킨다:
[math(\text{id}_X(x) = x \quad \forall x \in X)]
- 위상 공간의 범주 [math(Top)]
위상 공간 [math(X)]에서 항등사상은 집합의 항등사상과 동일하지만, 추가적으로 위상 구조를 보존한다:
[math(\text{id}_X \text{ is continuous})]
- 군의 범주 [math(Grp)]
군 [math(G)]에서 항등사상은 항등 함수이며, 군의 연산을 보존한다:
[math(\text{id}_G(g \cdot h) = \text{id}_G(g) \cdot \text{id}_G(h) \quad \forall g, h \in G)]
5. 항등사상의 응용
- 동형사상
사상 [math(f : X \to Y)]가 동형사상이기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다:
[math(f \circ f^{-1} = \text{id}_Y \quad \text{및} \quad f^{-1} \circ f = \text{id}_X)]
이 조건은 항등사상이 동형사상의 정의에 중심적 역할을 한다는 것을 보여준다.
- 단사 사상과 전사 사상
- 자기 동일성과 범주의 안정성
항등사상은 범주의 정의에서 모든 사상이 안정적으로 작동하게 하는 역할을 한다. 이는 범주론적 다이어그램에서 항등사상을 포함하는 하위구조의 안정성을 설명한다.
6. 확장된 예제
- 자유 범주
자유 범주에서 항등사상은 모든 경로의 시작과 끝을 정의하는 기본 사상으로 나타난다. 이는 경로의 결합 및 분리에 사용된다.
- 모노이드 범주
모노이드는 단일 객체를 가지는 범주로, 항등사상은 모노이드의 항등원 역할을 한다. 예를 들어, [math(1 \in \mathbb{Z})]는 항등사상에 해당한다.
7. 역사 및 발전
항등사상의 개념은 에일린버그와 맥레인이 범주론을 정립하면서 처음 정의되었다. 이후 수학 전반에서 핵심적인 도구로 자리 잡았으며, 대수학, 위상수학, 논리학 등에서 광범위하게 활용되고 있다.