| 7차 교육과정 고등학교 수학 ('02~'08 高1) | |||||||
| 공통 | 수학 10-가/수학 10-나 | ||||||
| 선택 | 수학Ⅰ | 수학Ⅱ | |||||
| 심화 | 미분과 적분 | 확률과 통계 | 이산수학 | ||||
| 과학고 | 고급 수학 | ||||||
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| 나형(인문) | 수학Ⅰ | ||||||
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1. 개요
‘이산수학’은 10단계의 수학에 도달 여부에 관계없이 학생들이 선택할 수 있는 과목으로서 수학의 기본 개념, 원리, 법칙을 활용하여 실생활에서 일어나는 유한이나 불연속의 이산 상황의 문제를 해결하는 능력과 태도를 기르게 한다. 이 과목은 수학에서 이산적인 내용의 학습을 경험하고자 하는 모든 학생이 이수하기에 알맞은 과목이다. 이산수학의 내용은 이산적인 상황에 맞는 사고의 적용을 강조하여 선택과 배열, 그래프, 알고리즘, 의사결정과 최적화 등의 4개 영역으로 하고, 수학의 이산적인 상황의 문제를 쉽고 흥미롭게 지도할 수 있도록 다양한 실생활을 소재로 하여 구성한다. 이산수학의 학습에서는 수학 학습에서 습득된 지식과 기능을 활용하여 실생활의 여러 가지 이산적인 상황을 수학적으로 간결히 표현하고 처리할 수 있도록 하는 데 중점을 둔다. 또, 전 영역에 걸쳐서 복잡한 계산이나 문제해결을 위하여 계산기나 컴퓨터를 적극적으로 활용한다.
대한민국 교육부 1997 고시 7차 교육과정 총론 발췌
대한민국 교육부 1997 고시 7차 교육과정 총론 발췌
2. 단원 목차
2.1. Ⅰ. 선택과 배열
- 학습요소: 합의 법칙, 곱의 법칙, 순열, 조합, 비둘기집의 원리, 포함배제의 원리, 수의 분할[f], 집합의 분할, [math(_{n}\rm P \it _{r})], [math(n!)], [math(_{n}\rm C \it _{r})]
- 1. 순열과 조합
- 합의 법칙과 곱의 법칙
- 순열과 조합
- 나열하지 않고 주어진 조건을 만족하는 순열이나 조합의 수
③ 일일이 나열하지 않고도 어떤 주어진 조건을 만족하는 순열이나 조합의 수를 구할 수 있다. ||
② 포함 배제의 원리를 이용하고 이를 활용할 수 있다.
③ 유한집합을 서로소인 몇 개의 집합의 합집합으로 나타낼 수 있는 방법의 수를 구할 수 있다.
④ 어떤 자연수를 몇 개의 자연수의 합으로 나타낼 수 있는 방법의 수를 구할 수 있다.
⑤ 주어진 조건에 맞는 여러 가지 분배의 수를 구할 수 있다. ||
2.2. Ⅱ. 그래프
- 학습요소: 그래프, 꼭지점, 변, 꼭지점의 차수, 경로, 회로, 수형도, 생성수형도, 오일러회로, 해밀턴회로, 인접행렬
- (1) 그래프
- 그래프의 뜻
- 그래프에서의 꼭지점의 차수와 변의 수
- 여러 가지 그래프
③ 여러 가지 그래프를 이해한다. ||
- (2) 수형도
- 여러 가지 수형도
- 생성 수형도
- (3) 여러 가지 회로
- 오일러 회로
- 해밀턴 회로
- 오일러 회로와 그래프 회로가 존재하기 위한 필요조건
③ 간단한 그래프에서 해밀턴 회로가 존재하기 위한 필요조건을 이해한다. ||
- (4) 그래프의 활용
- 행렬의 뜻
- 행렬 계산
- 그래프와 행렬
- 색칠문제
③ 색칠 문제 등의 실생활 문제를 그래프를 이용하여 해결할 수 있다. ||
2.3. Ⅲ. 알고리즘
- 학습 요소: 알고리즘, 순서도, 점화관계, 일반항, 부분합, [math(a_{n})], [math(S_{n})]
- (1) 수와 알고리즘
- 수와 관련된 규칙 문제
- 이진법 판정 알고리즘
- 소수 판정 알고리즘
- 최대공약수와 최소공배수를 구하는 알고리즘
③ 소수를 판정하는 알고리즘을 이해한다.
④ 최대공약수와 최소공배수를 구하는 알고리즘을 이해한다. ||
- (2) 점화 관계
- 두 항 사이의 관계식
- 세 항 사이의 관계식
2.4. Ⅳ. 의사결정의 최적화
- 학습 요소: 최적의 경로
- (1) 의사결정과정
- 2×2 게임
- 선거와 정당성
- (2) 최적화와 알고리즘
- 계획세우기
- 최적의 경로 구하기
3. 차기 교육과정과 비교
- 2007 개정 교육과정 이래로 '비둘기 집의 원리', '포함·배제의 원리'는 대학교 과정에서만 배울 수 있게 되었다.
- '자연수의 분할', '집합의 분할'은 본래 고등학교 이산수학 내에 있었던 내용인데, 항간에선 대학 과정에서 넘어왔다고(심지어 인기 인터넷 강사까지) 하는 사람들이 많았으나 이는 오해였다. 2007 개정 교육과정에서 빠졌다가 2009 개정 교육과정 확률과 통계에 다시 '자연수의 분할', '집합의 분할'이 되돌아 온 것이다. 그러나 2015 개정 교육과정부터는 진짜로 정규(일반) 고등학교 과정에서 배울 수 없는 내용이 되었다.
- 'Ⅱ. 그래프' 단원은 아주 일부만 2007 개정 교육과정 수학Ⅰ으로 편입되었으나 2009 개정 교육과정부터는 통째로 고급 수학Ⅰ으로 올라갔다. 고급 수학은 주로 과학고 학생들이 배웠던 심화 교과라 일반고 학생들은 배울 일이 드물었으며, 교과 편성이 된다고쳐도 입시 수업을 나가기 바빴다. 2015 개정 교육과정 역시 고급 수학Ⅰ에 여전히 잔류하고 있다.
- 순열과 조합 중 이 교과에만 있던 중복조합은 각각 적분과 통계와 미적분과 통계 기본으로 계승되었다. 대신 기존 수학Ⅰ에 있던 원순열, 중복순열 등은 적분과 통계에서만 계승되었다.
- 이진법, 십진법 관련 내용은 당시 교육과정에서 중학교 1학년 수학에서도 비중있게 다뤘던 내용이고, 이 교과서에서도 비중있게 다루었다. 그러나 시대의 흐름을 고려한다는
잠깐, 시대의 흐름을 고려한다면 오히려 이진법을 더 비중있게 다뤄야 하는 거 아닌가???연유로, 2007 개정 교육과정부터는 아예 고등학교 정규 교육과정에서마저 쫓겨났다. - 소수 판정법이 빠지면서, 이후 '소수' 관련 내용은 중학교 1학년 수학 내에서만 배우게 되었다.
- 이후로 최대공약수, 최소공배수도 자연수 내에서만 다루며(중1 수학), 다항식 간에 배수약수 관계는 중고등학교 과정에서 완벽하게 제외되었다. 참고로 본래 이 내용은 7차 수학 10-가/10-나, 2007 개정 고1 수학에서까지 다루었던 내용이다.
- 'Ⅳ. 의사결정의 최적화' 단원은 아예 덜어냈다. 비중은 그다지 크지 않았지만 한붓그리기 관련 내용이 그래프 단원으로 흡수되어 2009 개정 교육과정에 부활시킨 뒤 고급 수학Ⅰ으로 올라갔다.
- 2022 개정 교육과정에서 과학 계열 선택 과목 이산 수학(2022)로 부활하였다.
4. 대학수학능력시험 수리 영역
7차 교육과정이 적용되던 2005 수능부터 2011 수능까지 수리 가형의 선택과목이었다. 즉 자연계열 교과였던 것. 하지만 그 점이 무색하게 교과 내용을 모르고 눈치껏 풀어도 답이 나오는 문제가 한 두문제씩 섞여있기도 했으며 당시 이산수학 최저 정답률을 기록한 문제의 수준이 쎈 B단계 '상' 수준이었으니 말 다했다. 이런 점을 보면 선택률이 높을 것 같지만 수능에서의 선택률은 처참하기 그지없었으며 1%에도 못미치는 0.5 ~ 0.8%에 그쳤다.이 과목을 선택하는 학생들은 대부분 컴퓨터공학과를 지망 하는 학생들이나 미적분을 못해서 초월함수의 미적분을 포기하고 이산수학을 선택한 경우이다. 그러나 후자의 경우 확률과 통계라는 훌륭한 대체제가 있어서 이산수학으로 유입되는 경우는 많은 편은 아니었다. 미적분을 못하지만 수학Ⅰ의 행렬, 수열, 경우의 수 단원에 강세를 보이는 학생에게 유리한 과목이다. 미분과 적분에 비해 약간의 표준점수 손해가 예상되기 때문에 이산수학이 유리하기 위해서는 행렬, 수열, 경우의 수 단원에서 그냥 강세 정도가 아니라 압도적인 강세를 보여야 했다. 이러한 조건을 갖춘 가형 선택자들의 숫자 자체도 그다지 많지가 않았다. 게다가 경우의 수 단원에 강세를 보인다면 그 뒷부분인 확률, 통계 단원에서도 강세를 보일 가능성이 높기 때문에 학습량이 적은 확률과 통계가 더 유리하다. 그리고 어차피 확률과 통계나 이산수학 모두 문제풀이는 노가다성이기 때문에 확률과 통계와 비교했을때 이산수학이 유리한 부분도 딱히 없었다. 그런 이유로 인해 수리 가형에서 선택자수가 가장 적은 과목이었다. 결론적으로 미적분을 잘 못하는 컴퓨터공학과 지망생이 이 과목을 선택했다고 생각하면 될 것이다.[2]
대부분의 수험생들은 대학에서의 유용성을 고려해서 과목을 선택했다. 특히 당시 자연계 입시에서 서울대학교 공과대학을 비롯한 인서울 상위권 대학은 미분과 적분 선택자만 지원할 수 있게 막아 놨으니 사실상 표준이나 다름없었으며 이공계 대학의 교과 과정을 생각해봐도 미분과 적분이 대학 진학 후에도 훨씬 유용했다. 그러나 일부 최상위권 대학과 중상위권 대학의 경우 가형만 지정되고 선택과목이 지정되지 않은 경우도 있었기 때문에 전략적으로 이산수학을 선택하여 시험을 치르는 경우도 있었다. 의외로 연세대학교도 선택과목이 지정되지 않아 이산수학을 선택해도 문제가 없었다.
당시 같은 선택과목의 위치였던 확률과 통계는 현재 교육과정에서는 수능에서 중요한 비중을 차지하는 과목으로까지 위상이 올랐으나 이산수학은 결국 7차 초기를 제외하면 역사의 뒤안길로 사라졌다.
5. 여담
- 컴퓨터공학에서는 굉장히 뼈가 되고 살이 되는 내용들임에도 불구하고, 입시의 이과 '미분과 적분', '확률과 통계'와 함께 3중 1택이라는 취사선택에 밀려 상당수의 일반 고등학교에선 수업조차 개설하지 않는 과목이었다.
- 'Ⅲ. 알고리즘' 단원은 엄밀히 말하자면 유한수열 단원이다. 일반항, 부분합, 알고리즘과 순서도, 점화식 등 당시 수학Ⅰ의 '수열' 단원과 상당히 겹치나 당시엔 10단계(수학 10-가/10-나)만 배우고서도 선택하는 과정이었기 때문에 수학Ⅰ이 선이수 과목의 개념은 아니었다.[3]
- 교과서가 분리되어있다고는 하나 사실 이 때도 고1수학, 수학Ⅰ 등에서는 이산수학적인 내용이 다수 있었다.
- 수학 10-가
- 집합
- 항등원과 역원
- 산포도와 표준편차
- 수학 10-나
- 함수
- 수학Ⅰ
- 경우의 수
- 순열과 조합
- 확률
- 이산확률분포, 확률질량함수
- 수학Ⅱ - 없음
- 미분과 적분 - 없음
- 확률과 통계 (확률밀도함수 부분 제외)
- 이산수학
- 워낙 마이너해서 서점 검색대에 '이산수학'을 검색하면 몇만원짜리 컴퓨터공학 관련 책들만 잔뜩 나온다. 심지어 수학의 정석으로 유명한 홍성대조차 버린 과목이니 말 다했다. 고교 과정에서 7차 교육과정이 처음 적용되었던 해는 2002년이므로, 당시 고등학교 개정 교육과정 문제집은 학생들이 고1이었던 2002년부터 나오기 시작했다. 2002년~2004년 정도까지 출시되었던 7차 교육과정 초기 판본에는 정석 시리즈 소개에서 '이산수학(발매예정)'이라는 문구가 들어가 있었다. 이산수학 교과서도 국정교과서였고, 이산수학 교재를 발간한 회사는 천재교육과 신사고[4] 정도 뿐이었다.
[f] 이후 2009 개정 교육과정 확률과 통계에서는 '자연수의 분할'로 다루었다.[2] 컴퓨터공학과에서도 미적분을 사용해야 하지만 대학도 못간 상태에서 그것은 전혀 고려할 사항이 아니다. 급한 불부터 꺼야 하기 때문에 이산수학을 선택해서라도 대학을 가야 한다.[3] 그러나 수리 가형의 시험 범위에 수학Ⅰ 뿐만 아니라 수학Ⅱ까지도 포함되기 때문에 출제자들은 충분히 수학Ⅰ와 수학Ⅱ의 내용을 엮어서 문제출제를 해도 규정상으로 문제가 되지는 않았다. 물론 수학Ⅱ의 내용을 엮을 것이 없긴 하지만...[4] 천재교육의 설립자 최용준, 신사고의 설립자 홍범준은 둘 다 수학 전공자이다. 전공자니까 관심 쓴 결과인 듯.