1. 개요
Compound interest is the eighth wonder of the world. He who understands it, earns it … he who doesn't … pays it.
"여덟 번째 세계 불가사의는 바로 복리다. 복리를 이해하는 자는 돈을 벌고 그렇지 못하는 자는 지불하게 될 것이다."[1]
- 알베르트 아인슈타인
"여덟 번째 세계 불가사의는 바로 복리다. 복리를 이해하는 자는 돈을 벌고 그렇지 못하는 자는 지불하게 될 것이다."[1]
- 알베르트 아인슈타인
72의 법칙(Rule of 72)
복리의 이율로 어떤 금액의 가치가 2배로 증가하기까지 걸리는 시간을 간단히 구할 수 있는 마법의 법칙. 예를 들면, 100만원을 연 5%(세후 수익률)로 저축해 200만원을 만드는 데 걸리는 시간은 72÷5=14.4년이 걸린다는 것이다. 10% 수익률이라면 72÷10=7.2년이 걸린다.
반대로도 사용할 수 있는데, 100만원을 n년 후에 200만원으로 만들고싶다면 (72÷n)%의 수익률로 투자하여야 한다.
사용할 때는 0.72/r(이자율) 혹은 72/R(퍼센트로 고친 이자율)이라는 것에 주의하자. 즉, 10%의 이자율이라면 72/0.1이 아니라 72/10 이다.
69의 법칙, 70의 법칙으로도 불린다. 물론 다른 이름으로 부를 시에는 공식에 사용되는 수도 바뀐다. 그 본질은 경제학에서 이자율에 따라 재산(혹은 GDP)이 2배가 되는 기간을 간편하게 구하는 것으로, 72/(이자율)로 계산할 수 있다.
2. 상세
가장 오래된 기록은 이탈리아의 수학자이자 프란스시스코 수사였던 루카 파치올리(Luca Pacioli,1447-1517)[2]가 저술한 수학책으로 알려져 있다. 다음과 같이 적혀있다.연이율이 주어져 있는 상태에서 현재의 자본금이 두 배가 되려면 몇 년이 걸릴까를 알고싶을때는 72를 마음 속에 법칙으로 지니고 있도록 해라. 연이율로 72를 나누어 나온 숫자가 자본금이 두 배가 되는데 필요한 햇수이다. 예를 들면 연이율이 6퍼센트이면, 72를 6으로 나누면 12가 나온다. 12년 뒤에 그 자본금은 두 배가 된다.-Summa de arithmetica (Venice, 1494.)-
하지만 파치올리는 그 법칙이 어떻게 유도되었는지 등의 추가언급이 없다. 그래서 72의 법칙은 파치올리 이전에 발견되었던 것으로 여겨진다.
증명은 아래와 같다.
이자율(%)을 [math(100r)], 2배가 되는 기간을 [math(t)]라고 하자.
[math(2 = (1 + r)^{t})]
양변에 자연로그를 취하면
[math(\ln 2 = t \times \ln (1 + r))]
[math(\displaystyle \frac{\ln 2}{t} = \ln (1 + r))]
우변을 테일러 전개하면
[math(\displaystyle \ln (1 + r) = r - \frac{r^2}{2} + \frac{r^3}{3} -\cdots=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-r)^k}{k})] [3]
이므로, [math(r)]이 0에 가까우면 우변 [math(\ln (1 + r))]은 [math(r)]에 근사하게 된다.
다시말해 [math(\displaystyle \frac{\ln 2}{t})]가 [math(r)]에 근사한다. ([math(\ln2=0.693\cdots)]이므로 [math(\displaystyle\frac{69}{t})]가 이자율([math(100r)])에 근사) qed
즉 t×r≒ln2≒0.693이므로 69.3의 법칙, 또는 69.3의 근사인 70의 법칙, 또는 더 많은 자연수로 떨어져 실생활 계산에 편한 72의 법칙을 만든 것이다.
보통 이자율이 매우 작으면 69가 잘 맞고, 보통 70, 커질 수록 72에 맞게 되지만 별 의미는 없다. 어차피 이 식의 목적은 대강 언제쯤 가치가 2배가 되는지를 어림짐작하는 것이기 때문이다. 따라서 어느 정도의 오차는 허용되며, 정확한 값을 알고 싶다면 계산기 잠깐 두들겨서 쉽게 구할 수 있다. 오히려 69보다는 70이나 72가 잘 나누어떨어지기 때문에 그 쪽이 많이 쓰이는 듯 하다.
이 경우 ln (1 + r)을 3차까지 테일러 근사해서 공식을 조정해주면 상당히 정확해진다.
t = (69.3/R) * {(600 + 4R)/(600 + R)} (단, R = 100r)
100% 이자율하에서 원금이 2배되는데 0.99년, 거의 1년이라는 정답이 나온다.
참고로, 주요 연이자율 별 2배가 되는 기간(72로 계산 - 실제 기간)
1% : 72년 - 69.661년
2% : 36년 - 35.003년
3% : 24년 - 23.450년
4% : 18년 - 17.673년
6% : 12년 - 11.896년
8% : 9년 - 9.006년
9% : 8년 - 8.043년
10% : 7.2년 - 7.273년
12% : 6년 - 6.116년
18% : 4년 - 4.188년
24% : 3년 - 3.222년
36% : 2년 - 2.254년
하지만, 이자가 커질수록 오차범위가 커지는듯하다.
ex1) 1년에 72%수익이 나올 때 계산을 적용하면 1년만에 2배가 된다는 헛점이 있다. (72/72=1)
ex2) 1년에 100% 수익이 나올 때 계산을 적용하면 0.72년(약 8-9개월)만에 2배가 된다는 헛점이 있다.(100/72=0.72)
(ex2의 경우 계산까지 할 일 없이 1년만에 2배가 되는 이자율인데, 법칙에 의하면 8-9개월 만에 2배가 된다고 한다.)
[1] 흔히 '복리야 말로 최고의 발명품이다'로 알려져 있다.[2] 레오나르도 다 빈치에게 수학을 가르치고 같이 논문도 썼다. 서양에서 회계와 부기의 아버지(father of accounting and bookkeeping)라 불린다고[3] 이는 자연로그 함수에 대한 테일러 전개이다. 자연로그 함수는 테일러 전개하여 수렴하므로 근사에 써먹을 수 있다.