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Fast-growing hierarchy

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1. 개요2. 정의 및 설명3. FGH의 기본 수열
3.1. 웨이너 계층(Wainer hierarchy)
3.1.1. 오메가 이전 단계3.1.2. 오메가 단계 1(선형~다항식 단계)3.1.3. 오메가 단계 2(지수화 단계 이상)3.1.4. 엡실론 단계3.1.5. 제타-에타 단계
3.2. 베블런 함수(Veblen function)
3.2.1. 베블런 함수 단계3.2.2. 감마 단계3.2.3. 다변수 베블런 함수 단계
3.3. 서수 붕괴 함수(Ordinal collapsing function)
3.3.1. 대문자 오메가 단계3.3.2. 오메가 밑첨자 단계3.3.3. 접근 불가능 기수 단계3.3.4. 다변수 접근 불가능 기수 단계
3.4. 계산 불가능한 FGH 함수
4. 계산 예시5. 큰 수의 서열6. 왜 3이 기준인가?7. 관련 문서

1. 개요

큰 수들의 크기를 비교할 때 쓰이는 계층구조.[1] FGH는 커지면 커질수록 뭔가가 더 붙는 다른 큰 수 함수들과는 다르게[2] 간결하고 매우 강력하여 큰 수들을 비교할때 요긴하게 쓰인다.

2. 정의 및 설명

Fast-growing hierarchy[3]는 서수 [math(\mu)]와 기본 수열(fundamental sequence)[4] [math(S:\mu\cap\text{Lim}\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mu))][5]로 구성된다.
  1. [math( f_0(n) = n+1 )]
  2. 서수 [math( \alpha )]에 대해, [math( f_{\alpha +1}(n) = f_{\alpha}^n (n) )]
  3. [math( \alpha )]가 극한서수라면, [math( f_{\alpha}(n) = f_{\alpha [n]}(n) )]
이해를 돕기 위해서 정의를 풀어서 다시 쓰면 다음과 같다.
  1. 서수 0에 해당하는 함수는 '다음 수'라는 연산이다.
  2. 서수가 다른 서수 [math(\alpha)]의 다음 서수인 경우, [math(\alpha)]에 대응하는 함수를 [math(n)]번 합성한다.
  3. 서수가 더 작은 서수들의 극한서수인 경우, 기본 수열에서 [math(n)]번째 서수를 대입한다.
각 단계는 하나의 함수를 가리킨다. 정의 (2)에 의해서 n이 2 이상이라는 전제 하에 같은 서수에 더 큰 n을 집어넣는 것보다 더 큰 서수를 넣는 것이 결과값을 훨씬 크게 만든다. 서수가 조금만 커져도 우주 원자 수 정도는 가뿐히 넘는다. 대신 2를 대입한다면 정의 (3)에 의한 극한서수의 효과가 잘 나타나지 않기 때문에 n에 3을 대입하는 경우가 많다. 자세한 사항은 #왜 3이 기준인가?를 참고하면 된다.

3. FGH의 기본 수열

상술했듯 FGH에서 초한서수를 이용하기 위해서는 기본 수열을 명시하지 않았을 때 [math(\alpha[n])]이 무엇인지 알 수가 없기 때문에 반드시 그 서수들의 기본 수열을 정의해야 한다.[6] 따라서 표준적인 FGH에서는 기본 수열을 아래와 같이 정한다.

3.1. 웨이너 계층(Wainer hierarchy)

이 문서에서 쓰일 작은 가산서수의 기본 수열이다.
  1. [math(\omega[n]=n)]
  2. [math(\omega^{\alpha + 1}[n] = \omega^\alpha n)]
  3. [math(\omega^{\alpha}[n] = \omega^{\alpha[n]})] ([math(\alpha)]가 극한서수일 경우.)
  4. [math((\omega^{\alpha_1} + \omega^{\alpha_2} + \cdots + \omega^{\alpha_{k - 1}} + \omega^{\alpha_k})[n] = \omega^{\alpha_1} + \omega^{\alpha_2} + \cdots + \omega^{\alpha_{k - 1}} + \omega^{\alpha_k}[n])] (단, [math(\alpha_ 1 \geq \alpha_2 \geq \cdots \geq \alpha_{k - 1} \geq \alpha_k)])
  5. [math(\epsilon_0[0]=0)]
  6. [math(\epsilon_0[n+1]=\omega^{\epsilon_0[n]})]

이 기본 수열을 이용해서 칸토어 일반형(Cantor normal form)으로 이루어진 서수의 FGH를 계산 할 수 있다. 다음과 같이 계산된다.

3.1.1. 오메가 이전 단계

3.1.2. 오메가 단계 1(선형~다항식 단계)

3.1.3. 오메가 단계 2(지수화 단계 이상)

3.1.4. 엡실론 단계

[math(\epsilon_0)]은 [math(\{1,ω,ω^ω,ω^{ω^ω},\cdots\})]의 극서수이고, [math(\epsilon_{a+1})]은 [math(\{\epsilon_a+1,ω^{\epsilon_a+1},ω^{ω^{\epsilon_a+1}},\cdots\})]의 극서수이다.
*[math(f_{\epsilon_0}(n)=f_{ω↑↑(n-1)}(n))]
*[math(f_{\epsilon_0\omega}(n)=f_{\omega^{\epsilon_0+1}}(n))]
*[math(f_{\epsilon_{a+1}}(n)=f_{ω^{ω^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\epsilon_a+1}}}}}}(n))] ([math(ω)]가 [math(n-1)]개)[8]

3.1.5. 제타-에타 단계

3.2. 베블런 함수(Veblen function)

베블런 함수의 기본 수열이다.

3.2.1. 베블런 함수 단계

3.2.2. 감마 단계

3.2.3. 다변수 베블런 함수 단계

앞의 함수를 위와 같이 일반화할 수 있다.즉, 뒤 배열을 중첩해야 앞 배열에 1이 추가된다. 예를 들어 [math(f_{\Gamma_0}(n))]는 [math(f_{\varphi_{\varphi_{\varphi_{...\varphi_{0}(0)...}(0)}(0)}(0)}(n))]이고, 이를 [math(f_{\varphi(\varphi(\varphi(...\varphi(0,0,)...,0),0),0)}(n))]으로 표기할 수 있으므로 [math(f_{\Gamma_0}(n))]은 [math(f_{\varphi(1,0,0)}(n))]이다. 같은 규칙으로 [math(f_{\Gamma_a}(n))]은 [math(f_{\varphi(\varphi(\varphi(...\varphi(1,0,{a-1})+1...,0),0),0)}(n))]로 표기할 수 있으므로 [math(f_{\varphi(1,0,a)}(n))]이다.

3.3. 서수 붕괴 함수(Ordinal collapsing function)

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큰 가산서수 항목에는 TFBO(Takeuti-Feferman-Buchholz ordinal)까지만 서술되어 있는데 그 이후의 표기법도 상당히 많다.

먼저 TFBO 다음엔 부츠홀츠의 확장 붕괴함수를 사용하여 오메가 밑첨자를 끝없이 내린다. 이후의 표기법에 대해서 googology 사이트 내에서도 가장 오해가 많은데 Rathjen's Φ function를 사용하는게 맞는 표현법이다. 다만 많은 유저들이 그저 접근 불가능 기수인 I를 사용하고 있다.

그 이후에는 I를 대각화하기 위해 말로 기수를 기반으로 하는 함수가 사용되고 그 이후엔 말로 함수를 대각화하기 위해 약 콤팩트 기수를 기반으로 하는 Rathjen psi함수( 둘의 표기법이 조금 다르다. ) 그 다음엔 stegert 함수가 사용되는 표기법이 상당히 복잡하다. 여기까지가 제대로 정의된 가장 큰 함수라고 할 수 있다.

사실 FGH가 자주 쓰이는 googology에서 볼 수 있는 거의 모든 수들은 Denis Maksudov라는 유저가 만들었다. Denis Maksudov가 만든 숫자들을 보면 말로 기수 단계의 수 이후에 바로 타르 함수로 넘어가는데 타르 함수는 Taranovsky's C를 사용하여 만들어졌다. 확실한 증거는 없지만 타르 함수는 2차 산술의 증명재귀서수보다 성장률이 빠를것으로 기대된다. 기대가 맞다면 타르 함수는 말로 기수 단계마저도 먼지로 만들어버리고도 한참 남을 정도로 거대한 수이며 그 이후에 약 콤팩트 기수, stegert의 함수들까지 모두 압도해버린다고 할 수 있다.

3.3.1. 대문자 오메가 단계

더 나아가를 생각 할 수 있고, 이 밑첨자를 큰 베블런 서수(Large Veblen Ordinal, LVO)라고 한다.이렇게 오메가를 무한히 쌓아올리면, [math(\alpha \mapsto \Omega^\alpha)]를 만족하게 되어 더는 오메가를 쌓아올릴 수 없다. 이 밑첨자를 바흐만-하워드 서수(Bachmann-Howard Ordinal, BHO)라고 한다.엡실론 밑첨자에서 다시 쌓을 수도 있다.

3.3.2. 오메가 밑첨자 단계

=f_{\psi(\epsilon_{\Omega+1})}(n))]

3.3.3. 접근 불가능 기수 단계

오메가 밑첨자를 무한히 내리면 [math(\alpha \mapsto \Omega_\alpha)]가 성립. 더 이상 내릴 수 없고 이를 오메가 부동점(Omega fixed point)라고 한다.

3.3.4. 다변수 접근 불가능 기수 단계

3.4. 계산 불가능한 FGH 함수

가장 작은 비재귀적인 서수인 처치-클린 서수(Church-Kleene ordinal) [math(\omega^\text{CK}_1)]를 이용한 fgh 함수인 [math(f_{\omega_1^\text{CK}}(n))]은 계산 불가능하며, 이 서수의 기본 수열은 클린의 [math(\mathcal O)]로 정의되어진다. 이 함수의 성장률은 바쁜 비버 함수에 근사할 것으로 예상되나, 현재까지는 성장률이 [math(f_{\omega+3}(n))]보다 강력하다는 것만 증명되었을 뿐 정확한 성장률은 증명된 바 없다. 또한 [math(\omega^\text{CK}_2,\ \omega^\text{CK}_3,\ \omega^\text{CK}_\omega,\ \omega^\text{CK}_{\epsilon_0})]같은 확장이나, [math(\omega^\text{CK}_{\omega^\text{CK}_1})]같은 무시무시한중첩도 가능하다. 이러한 처치-클린 서수의 확장들은 피쉬 수 4, 크시 함수(Xi function)나 무한 시간 튜링 머신(Infinite Time Turing Machine) 같은 계산 불가능한 함수들의 크기를 가늠해볼 때 쓰이기도 한다. 다만 라요 수부터는 fgh의 한계에 부딪히게 된다.

4. 계산 예시

정의에 의해 서수 0에 해당하는 함수는 '다음 수'라는 연산이다. [math( f_0(n) = n+1,\ f_0(100)=101 )]

서수 1에 해당하는 함수는 '다음 수'를 [math(n)]번 반복한 것이므로 [math( f_1(n) = n+n = 2n,\ f_1(100)=200 )]

서수 2에 해당하는 함수는 2배하기를 [math(n)]번 반복하는 것이므로[15] [math(2 \times 2 \times ... \times 2 \times n = n \times 2^n)]이다. [math(f_2(n) = n \times 2^n,\ f_2(100)=100 \times 2^{100} \sim 1.26765 × 10^{32})]

서수 3에 해당하는 함수는 [math( n \times 2^n, (n \times 2^n) \times 2^{(n \times 2^n)}, ... )] 이런식으로 [math(n)]번 합성하는 것이다.[16]줄임표를 사용하지 않고 정확하게 나타내기는 힘들고 근삿값은 [math(2^nn((2^{2^nn}\uparrow\uparrow(n-1)))] 정도이다.[math( \uparrow \uparrow )]의 의미는 커누스 윗화살표 표기법 참고.

서수 4에 해당하는 함수는 위의 함수를 [math(n)]번 합성한 것이므로 근삿값으로 [math( 2 \uparrow \uparrow 2 \uparrow \uparrow.. \uparrow \uparrow n )]이고 이것은 [math( 2 \uparrow \uparrow \uparrow n)]보다 크다.

서수 5에 해당하는 함수는 위의 함수를 [math(n)]번 합성한 것이므로 근삿값으로 [math(2 \uparrow \uparrow \uparrow 2 \uparrow \uparrow \uparrow 2 \uparrow \uparrow \uparrow ... \uparrow \uparrow \uparrow n)]이고 이것은 [math(2 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n)]보다 크다. 즉 유한 서수 [math(\alpha+1)]에 대한 함수는 대략 커누스 윗화살표 표기법으로 화살표가 [math(\alpha)]개 있는 것과 비슷하다. (화살표 앞뒤에 붙는 수의 크기는 2 이상이기만 하면 크게 중요하지 않다.)

일반적으로 [math(2<m<\omega)]인 서수 [math(m)]에 대해 다음이 성립한다.

[math(f_{m+1}(n)>f_{m}(n)\uparrow^{m} n>2\uparrow^{m} n)]

그렇다면 따름서수만 가지고 모든 단계를 근사할 수 있을까? 아니다. 아직 정의 (3)은 쓰지도 않았다. 여기서 가장 작은 극서수인 [math(\omega)]가 등장한다.

서수 [math(\omega)]에 해당하는 함수는 정의(3)에 의해 [math(\omega)]에 n을 대입해서 n단계 함수가 된다. [math(\omega)]의 fundamental sequence의 [math(n)]번째 항은 [math(n)]이기 때문이다. 즉 [math(f_{\omega}(100)=f_{100}(100))]이다.

서수 [math(\omega+1)] 에 해당하는 함수 [math(f_{\omega+1}(n))]은 절대 [math(f_{n+1}(n))]가 아니다. [math(\omega+1)]은 극서수가 아니기 때문에 정의 (2)에 의하여 [math(f_{\omega+1}(n) = f^n_{\omega}(n))]이므로 [math(f_{100}(100))]을 계산해서 나오는 엄청 큰 수를 [math(A_1)]라고 하면 서수 [math(A_1)]에 해당하는 함수인 [math(f_{A_1}(A_1))]를 계산해서 나온 결과를 [math(A_2)]라 하는 식으로 반복해서 [math(A_{100})]에 도달해야 [math(f_{\omega+1}(100))]이 나온다. 또한 이 [math(f_{\omega+1}(100))]은 그레이엄 수보다도 커진다.

[math(f_{\omega2}(n))]는 [math(\omega2)]가 서수의 수열 [math(\omega+1, \omega+2, \cdots)]로 정의되기 때문에, 정의 (3)에 의해 [math(f_{\omega+n}(n))]와 같다.[17] 이를 반복하면 [math(f_{\omega (m+1)}(n))]는 [math(f_{\omega m+n})]가 된다.

[math(f_{\omega^2}(n))]는 같은 원리로 정의 (3)을 사용하여 [math(f_{\omega n}(n))]가 되고, [math(f_{\omega^\omega}(n))]는 [math(f_{\omega^n}(n))]이 된다.

이제 몇몇 큰 수들을 이 표기법으로 어떻게 나타낼 수 있는지 알아보자.

구골의 경우, 약간의 계산을 거치면 [math(f_{2}(323)=323\times2^{323}\lt10^{100}\lt324\times2^{324}=f_{2}(324))]임을 알 수 있다. 하지만 서수 3에 대한 함수로는 [math(f_{3}(2)=2048\lt10^{100}\lt f_{3}(3))]이 되어, 비교하는 의미가 없어진다.[18]

스큐스 수의 경우, 대략 [math(f_3(4)\lt e^{e^{e^{79}}}\lt f_3(5))]이다.

그레이엄 수의 경우, 윗 화살표가 [math(g_{63})]개이므로 유한 서수로 나타내기에는 너무 크다. 대신, [math(g_{1}=3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3\lt f_{64}(64))]에서 시작하여 [math(g_{2}\lt f_{f_{64}(64)}(f_{64}(64)))]를 보이고, 이 과정을 64번 반복하면 [math(g_{64}\lt f_{\omega+1}(64))]인 것을 알 수 있다.[19]

하이퍼 그레이엄은, 그레이엄 수가 [math(f_{\omega+1}(64))]라고 근사했으므로 그레이엄 수를 그레이엄 수번 재귀한 하이퍼 그레이엄 은 [math(f_{\omega+1}^{f_{\omega+1}(64)}(64))]이고, 이건 [math(f_{\omega+1}^{f_{\omega+1}(64)}(f_{\omega+1}(64))=f_{\omega+2}(f_{\omega+1}(64)))]보다 작으므로 하이퍼 그레이엄[math(<f_{\omega+2}(f_{\omega+1}(64)))]이다.

이처럼 큰 수나 빠르게 증가하는 함수들은 그 크기나 성장률에 "대응"하는 서수를 가지는 경우가 많기 때문에, 큰 수나 빠르게 증가하는 함수들의 크기와 성장률을 편리하게 비교할 수 있다.

5. 큰 수의 서열

6. 왜 3이 기준인가?

[math(\Gamma_0)]에 대해, [math(f_{\Gamma_0}(2))]를 구해보자. 이 서수는 [math(\{1, \varphi_1(0), \varphi_{ \varphi_1(0)}(0), \varphi_{ \varphi_{ \varphi_1(0)}(0)}(0), \cdots\})]의 극서수이므로 이것은 [math(f_{\varphi_1(0)}(2)=f_{\epsilon_0}(2))]과 같다. [math(\epsilon_0)]은 [math(\{1, \omega, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega} \cdots\})]의 극서수라서, 이것은 [math(f_{\omega}(2))]와 같고, [math(f_{\omega}(2)=f_{2}(2)=8)]이 된다. 이렇듯 많은 극서수를 정의하는 수열이 1부터 시작하므로, 2 이하의 수는 계산이 너무 쉽게 끝나게 된다. 만약 [math(\Gamma_0+1)]과 같이 극서수가 아니라 따름서수라면 [math(f_{\Gamma_0+1}(2)=f_{\Gamma_0}(f_{\Gamma_0}(2))=f_{\Gamma_0}(8))]처럼 재귀를 통해 값이 안쪽의 값이 3 이상이 된 채 다시 계산하게 되어 그나마 낫다.[25]

나아가서 1을 넣으면 어느 가산 서수이던 결과값이 2로 고정된다.[26] 0의 경우 1이 되는 것은 말할 필요도 없다. fundamental sequence가 1로 시작하는 극서수[27]인 [math(\alpha)]에 대해 [math(f_\alpha(1))]를 계산하면 [math(f_1(1)=f_0(1)=2)]가 된다. [math(\alpha)]가 따름서수라도 한번만 재귀하게 되어 [math(f_{\alpha}(1)=f_{\alpha-1}(1))]이므로 재귀를 통해 값을 늘릴 수도 없다.

7. 관련 문서

[1] 이름부터 Fast Growing hierarchy(고속 성장하는 계층구조)다.[2] 대신 서수의 정의가 조금씩 더 복잡해지긴 한다.[3] 한국어로 번역하자면 "급성장 계층" 정도가 된다.[4] 극한서수를 이루는 더 작은 서수들의 표준적인 수열[5] [math(S(\alpha)(n))]은 편의상 [math(\alpha[n])]으로 나타내고, [math(\text{Lim})]는 극한서수의 모임이다.[6] 예를 들어, [math(\{1,2939,\omega,\omega+1,\omega+2,....\})]의 극한서수나 [math(\{\omega+1,\omega+2,\omega+3,....\})]의 극한서수나 똑같은 [math(\omega2)]이다. 표준적인 수열을 정의해 놓지 않는다면 [math(\omega2[2])]는 [math(2939)]나 [math(\omega+2)]가 모두 가능하게 된다.[7] 여기서 [math(\uparrow^{m-1})]은 윗방향 화살표가 [math(m-1)]개 있다는 뜻이다.[8] [math(\epsilon_a)]다음에 나오는 [math(+1)]의 위치에 유의한다.[9] 즉 엡실론 단계까지는 테트레이션을 할때마다 밑첨자가 1씩 올라갔지만, 제타부터는 테트레이션을 [math(\omega)]회, 즉 fgh에서는 n회 해야 밑첨자가 1 올라간다.[10] [math(\gamma=0)]이고 [math(\beta)]가 따름서수일 경우.[11] [math(\gamma,\beta)]가 따름서수일 경우.[12] [math(\gamma)]가 극한서수일 경우.[13] [math(\gamma=0)]이고 [math(\beta)]가 극한서수일 경우.[14] [math(\gamma)]가 따름서수이고 [math(\beta)]가 극한서수일 경우.[15] [math(n)]을 [math(n)]번 더하는게 아니라 '자기 자신을 더하는 것'을 [math(n)]번 반복하는 것임에 유의해야 한다.[16] 예를 들어 [math(f_3(3))]은 [math((3×2^3)×2^{(3×2^3)})×2^{((3×2^3)×2^{(3×2^3)})}))]과 같고 이는 [math(24×2^{24}×2^{24×2^{24}})] 이므로 약 [math(6.89×10^{121210694})]이다.[17] [math(2 \times \omega)]라고 쓰면 안된다. 서수 연산에서는 교환법칙이 성립하지 않아서, [math(\omega=2\omega\not = \omega2)]이다.[18] 저 수는 자릿수가 1억 자리를 넘는다. 서수 4 이상부터는 그냥 말이 필요없다.[19] 더 정확히는 [math(f^{64}_{\omega}(4))]보다 크고 [math(f^{64}_{\omega}(5))]보다는 작은 수로 근사할 수 있다.[20] 이는 그레이엄 수를 그레이엄 수 번 재귀한 숫자다. BEAF로는 {3,G(64),2,2} 에서 {3,G(64)+1,2,2}에 근사한다.[21] n = 3일 경우인 {3,3,3,3}만 해도 그레이엄 수를 그레이엄 수 만큼 재귀한 하이퍼 그레이엄 조차도 먼지로 만들어버리고도 한참 남고도 썩어 우주를 돌고도 또 남을만큼을 만큼 매우 크다. 참고로 {5,5,5,5} 이상이면 덧셈, 곱셈, 지수, 화살표, 그레이엄 함수, 그레이엄 재귀 식으로 단계를 올리고 다시 단계의 수를 재귀하는 것을 바로 전단계에 나온 수만큼 올리는 식으로는 택도 없을 만큼 무섭게 커져버린다.[22] 여기서부터 그레이엄 수보다 더 많은 숫자가 배열 내에 들어간다.[23] 정확하겐 이를 넘어가면 fgh와 값이 별 차이가 없다.[24] 대략 [math(f_{\psi(\psi_{I_\omega}(0))}(200))] 정도 된다.[25] 그나마 나은게 아니라, 그레이엄 수, 계산 가능한 피쉬 수 들과는 비교도 안되게 엄청나게 커진다. TREE(3) 덤벼라! 딱대![26] 비유하자면 경우의 수가 충분히 많은 게임에서 연속으로 같은 경우가 나오는 것을 생각해보자. 아무리 경우의 수가 많아도 어차피 처음의 것은 아무거나 나와도 되기 때문에 연속되는 횟수가 최소 2회는 되어야 한다. 물론 TREE(3)같이 넣은 수가 특정 값을 넘어가는 순간 상상도 할 수 없을 정도로 커지는 게 아닌 이상 fgh의 성장률을 따라잡기는 무리다.[27] 그렇지 않은 극서수도 있다. 예를 들어 [math(\omega2)]는 [math(\omega+1)]로 시작한다. 그러나 이렇게 따름서수가 되더라도 [math(\omega+1)]에서 [math(+1)]은 사라지고 값은 늘리지 못한채 더 작은 극서수(이 경우에는 [math(\omega)])가 되어 끝내는 1이 된다.

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