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1. 개요
레퓨닛 수(repunit)는 10진법에서 [math(1)]이 늘어선 수[1]를 의미하며, 10진법의 경우 [math(1)]이 [math(n)]개 늘어선 수를 [math(\dfrac{10^n-1}9)]로 나타낼 수 있다. [math(R_n)]과 같은 방식으로 표기하기도 한다. 레퓨닛 소수는 10진법에서의 단위 반복 소수와 같다. [2]회문 소수[3]가 아니면서도 거꾸로 뒤집었을 때 여전히 소수가 되는 소수는 치환 가능 소수라고 한다. 물론, 회문 소수가 아닌 모든 재배열 가능 소수는 모두 치환 가능 소수이다. (다만, 주어진 진법에서의 모든 자릿수가 [math(1)]로 된 단위 반복 소수[4][5]는 모두 회문 소수이기 때문에 제외한다.) 이는 수소[6]와도 관련이 있는데, 수소란 주어진 진법에서 각 자리 숫자의 합을 한 자리 수가 될 때까지 반복했을 때, 나타나는 수들도 전부 소수인 소수를 말한다. 물론 네 자리 이상이 되면 해당 소수들을 각 자리 숫자의 합으로 가지는 수가 모두 100자리가 넘기에 매우 커져 나타내기는 힘들겠지만 말이다. 이런 경우는 [math(n)]진법에서 각 자리 숫자의 합이 [math(p)]라고 할때, [math(p)]가 [math(n-1)]의 소인수이면 무조건 [math(p)]의 배수가 되므로 소수일 수 없다. 따라서 [math(n-1)]이 소수나 소수의 제곱과 같이 약수의 개수가 적은 수여야 하고, 각 자리 숫자의 합은 한자릿수가 될 때까지 반복할 때 [math(n-1)]의 소인수가 아닌 수가 최종적으로 나와야 하는데, 이런 경우는 최소 6진법부터 존재할 수 있다. 그리고 나중에는 각종의 기수법 별로 이러한 특성을 가진 소수의 목록이나 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 [math(k)]개만큼 늘어선 수의 소인수분해 및 소수 [math(p)]에 대하여 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 [math(p)]개만큼 늘어선 수가 소수가 되게하는 [math(n)]의 값에 해당하는 수, 그리고 [math(m)]진법에서 [math(1)]이 [math(k)]개만큼 늘어선 수가 소수가 되게 하는 [math(k)]의 값에 해당하는 소수의 목록도 만들어보면 된다. 참고로, [math(n)]이 [math(2)] 이상의 자연수일 때, [math(n)]의 값에 관계없이 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 [math(p)]개만큼 늘어서있을 때, [math(p = mk)]이고, [math(k)], [math(m)]은 각각 [math(2)] 이상의 자연수라고 한다면 [math(1)]이 [math(p)]개만큼 늘어선 수는 무조건 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 [math(p)]의 약수개만큼 늘어선 수로 나누어 떨어지게 되므로 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 [math(m)]개만큼 늘어선 수와 [math(1)]이 [math(k)]개만큼 늘어선 수를 약수로 가지게 되어 소수일 수 없다. 또한 앞에서도 말했듯이 [math(k)]가 [math(n-1)]의 소인수인 소수이면 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 [math(k)]개만큼 늘어선 수는 무조건 [math(k)]의 배수가 되므로 소수가 될 수 없다.
10과 서로소인 수는 레퓨닛 합성수를 반드시 배수로 가진다.
2. 레퓨닛 소수
한편 [math(1)]의 개수가 소수개일 경우 해당 수가 소수가 될 수도 있으나, 그렇지 않은 경우가 더 많다. [math(1)]의 개수가 합성수일 경우 해당 수는 무조건 합성수이며, 해당 수를 균등하게 나눈 수로 나누어떨어진다.[7] 레퓨닛 소수는 각 자릿수를 배열하는 방법이 한 가지이므로 무조건 재배열 가능 소수이다.현재 알려진 레퓨닛 소수는 다음과 같이 총 11개이다.
[math(n)] | [math(\dfrac{10^n-1}9)] | 발견일[8] | 증명일[9] |
[math(1)] | 1 | 기원전 489년 | ? |
[math(2)] | 11 | 기원전 463년 | ? |
[math(19)] | 1111111111111111111 | 1874년 6월 27일 | ? |
[math(23)] | 11111111111111111111111 | 1933년 2월 18일 | ? |
[math(317)] | [math(R_{317})]([math(1)]이 317개) | 1978년 5월 16일 | ? |
[math(1031)] | [math(R_{1031})] | 1986년 10월 5일 | ? |
[math(49081)] | [math(R_{49081})] | 1999년 9월 9일 | 2022년 3월 22일 |
[math(86453)] | [math(R_{86453})] | 2000년 10월 26일 | 2023년 5월 15일 |
[math(109297)] | [math(R_{109297})] | 2007년 3월 26일 | (아직 증명 안 됨) |
[math(270343)] | [math(R_{270343})] | 2007년 7월 11일 | (아직 증명 안 됨) |
[math(5794777)] | [math(R_{5794777})] | 2023년 5월 19일 | (아직 증명 안 됨) |
[math(8177207)] | [math(R_{8177207})] | 2023년 7월 1일 | (아직 증명 안 됨) |
3. 소인수분해
[math(R_{120})]까지의 소인수분해의 결과는 다음과 같다. 굵게 표시한 수는 [math(1)]이 소수개 늘어선 수이며, 밑줄 친 수는 레퓨닛 소수이다. 나머지 레퓨닛 수들의 소인수분해는 여기에서 [math(R_{300,000})]까지 확인할 수 있다.R1 = 1 (소수도 합성수도 아님)
R2 = 11 (소수, 레퓨닛 소수)
R3 = 3 · 37 (합성수)
R4 = 11 · 101 (합성수)
R5 = 41 · 271 (합성수)
R6 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 (합성수)
R7 = 239 · 4649 (합성수)
R8 = 11 · 73 · 101 · 137 (합성수)
R9 = 32 · 37 · 333667 (합성수)
R10 = 11 · 41 · 271 · 9091 (합성수)
R11 = 21649 · 513239 (합성수)[10]
R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901 (합성수)
R13 = 53 · 79 · 265371653 (합성수)
R14 = 11 · 239 · 4649 · 909091 (합성수)
R15 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161 (합성수)
R16 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353 (합성수)
R17 = 2071723 · 5363222357 (합성수)
R18 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667 (합성수)[11]
R19 = 1111111111111111111 (소수, 레퓨닛 소수)
R20 = 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 (합성수)
R21 = 3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689 (합성수)
R22 = 112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 (합성수)
R23 = 11111111111111111111111 (소수, 레퓨닛 소수)
R24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
R25 = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001
R26 = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
R27 = 33 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
R28 = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
R29 = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
R30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161
R31 = 2791 · 6943319 · 57336415063790604359
R32 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 69857 · 5882353
R33 = 3 · 37 · 67 · 21649 · 513239 · 1344628210313298373
R34 = 11 · 103 · 4013 · 2071723 · 5363222357 · 21993833369
R35 = 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 123551 · 102598800232111471
R36 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001
R37 = 2028119 · 247629013 · 2212394296770203368013
R38 = 11 · 909090909090909091 · 1111111111111111111
R39 = 3 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · 900900900900990990990991
R40 = 11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5964848081
R41 = 83 · 1231 · 538987 · 201763709900322803748657942361
R42 = 3 · 72 · 11 · 13 · 37 · 43 · 127 · 239 · 1933 · 2689 · 4649 · 459691 · 909091 · 10838689
R43 = 173 · 1527791 · 1963506722254397 · 2140992015395526641
R44 = 112 · 23 · 89 · 101 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261
R45 = 32 · 31 · 37 · 41 · 271 · 238681 · 333667 · 2906161 · 4185502830133110721
R46 = 11 · 47 · 139 · 2531 · 549797184491917 · 11111111111111111111111
R47 = 35121409 · 316362908763458525001406154038726382279
R48 = 3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 5882353 · 99990001 · 9999999900000001
R49 = 239 · 4649 · 505885997 · 1976730144598190963568023014679333
R50 = 11 · 41 · 251 · 271 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 182521213001 · 78875943472201
R51 = 3 · 37 · 613 · 210631 · 2071723 · 52986961 · 5363222357 · 13168164561429877
R52 = 11 · 53 · 79 · 101 · 521 · 859 · 265371653 · 1058313049 · 1900381976777332243781
R53 = 107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 7198858799491425660200071
R54 = 33 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 757 · 52579 · 333667 · 70541929 · 14175966169 · 440334654777631
R55 = 41 · 271 · 1321 · 21649 · 62921 · 513239 · 83251631 · 1300635692678058358830121
R56 = 11 · 29 · 73 · 101 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 121499449 · 127522001020150503761
R57 = 3 · 37 · 21319 · 10749631 · 1111111111111111111 · 3931123022305129377976519
R58 = 11 · 59 · 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 · 154083204930662557781201849
R59 = 2559647034361 · 4340876285657460212144534289928559826755746751
R60 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · 101 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 2906161 · 4188901 · 39526741
R61 = 733 · 4637 · 329401 · 974293 · 1360682471 · 106007173861643 · 7061709990156159479
R62 = 11 · 2791 · 6943319 · 57336415063790604359 · 909090909090909090909090909091
R63 = 32 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10837 · 23311 · 45613 · 333667 · 10838689 · 45121231 · 1921436048294281
R64 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 19841 · 69857 · 976193 · 5882353 · 6187457 · 834427406578561
R65 = 41 · 53 · 79 · 271 · 265371653 · 162503518711 · 5538396997364024056286510640780600481
R66 = 3 · 7 · 112 · 13 · 23 · 37 · 67 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 599144041 · 183411838171 · 1344628210313298373
R67 = 493121 · 79863595778924342083 · 28213380943176667001263153660999177245677
R68 = 11 · 101 · 103 · 4013 · 2071723 · 28559389 · 1491383821 · 5363222357 · 21993833369 · 2324557465671829
R69 = 3 · 37 · 277 · 203864078068831 · 11111111111111111111111 · 1595352086329224644348978893
R70 = 11 · 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 9091 · 123551 · 909091 · 4147571 · 102598800232111471 · 265212793249617641
R71 = 241573142393627673576957439049 · 45994811347886846310221728895223034301839
R72 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 73 · 101 · 137 · 3169 · 9901 · 52579 · 98641 · 333667 · 99990001 · 999999000001 · 3199044596370769
R73 = 12171337159 · 1855193842151350117 · 49207341634646326934001739482502131487446637
R74 = 11 · 7253 · 2028119 · 247629013 · 422650073734453 · 296557347313446299 · 2212394296770203368013
R75 = 3 · 31 · 37 · 41 · 151 · 271 · 4201 · 21401 · 25601 · 2906161 · 182521213001 · 15763985553739191709164170940063151
R76 = 11 · 101 · 722817036322379041 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 · 1369778187490592461
R77 = 239 · 4649 · 5237 · 21649 · 42043 · 513239 · 29920507 · 136614668576002329371496447555915740910181043
R78 = 3 · 7 · 11 · 132 · 37 · 53 · 79 · 157 · 859 · 6397 · 216451 · 265371653 · 1058313049 · 388847808493 · 900900900900990990990991
R79 = 317 · 6163 · 10271 · 307627 · 49172195536083790769 · 3660574762725521461527140564875080461079917
R80 = 11 · 17 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5070721 · 5882353 · 5964848081 · 19721061166646717498359681
R81 = 34 · 37 · 163 · 757 · 9397 · 333667 · 2462401 · 440334654777631 · 676421558270641 · 130654897808007778425046117
R82 = 11 · 83 · 1231 · 538987 · 2670502781396266997 · 3404193829806058997303 · 201763709900322803748657942361
R83 = 3367147378267 · 9512538508624154373682136329 · 346895716385857804544741137394505425384477
R84 = 3 · 72 · 11 · 13 · 29 · 37 · 43 · 101 · 127 · 239 · 281 · 1933 · 2689 · 4649 · 9901 · 226549 · 459691 · 909091 · 10838689 · 121499449 · 4458192223320340849
R85 = 41 · 271 · 2071723 · 262533041 · 5363222357 · 8119594779271 · 4222100119405530170179331190291488789678081
R86 = 11 · 173 · 1527791 · 57009401 · 2182600451 · 1963506722254397 · 2140992015395526641 · 7306116556571817748755241
R87 = 3 · 37 · 3191 · 4003 · 16763 · 43037 · 62003 · 72559 · 77843839397 · 310170251658029759045157793237339498342763245483
R88 = 112 · 23 · 73 · 89 · 101 · 137 · 617 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261 · 16205834846012967584927082656402106953
R89 = 497867 · 103733951 · 104984505733 · 5078554966026315671444089 · 403513310222809053284932818475878953159
R90 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 29611 · 52579 · 238681 · 333667 · 2906161 · 3762091 · 8985695684401 · 4185502830133110721
R91 = 53 · 79 · 239 · 547 · 4649 · 14197 · 17837 · 4262077 · 265371653 · 43442141653 · 316877365766624209 · 110742186470530054291318013
R92 = 11 · 47 · 101 · 139 · 1289 · 2531 · 18371524594609 · 549797184491917 · 11111111111111111111111 · 4181003300071669867932658901
R93 = 3 · 37 · 2791 · 6943319 · 57336415063790604359 · 900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991
R94 = 11 · 6299 · 35121409 · 4855067598095567 · 297262705009139006771611927 · 316362908763458525001406154038726382279
R95 = 41 · 191 · 271 · 59281 · 63841 · 1111111111111111111 · 1289981231950849543985493631 · 965194617121640791456070347951751
R96 = 3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · 97 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 9901 · 69857 · 206209 · 5882353 · 99990001 · 66554101249 · 75118313082913 · 9999999900000001
R97 = 12004721 · 846035731396919233767211537899097169 · 109399846855370537540339266842070119107662296580348039
R98 = 11 · 197 · 239 · 4649 · 909091 · 505885997 · 1976730144598190963568023014679333 · 5076141624365532994918781726395939035533
R99 = 32 · 37 · 67 · 199 · 397 · 21649 · 34849 · 333667 · 513239 · 1344628210313298373 · 362853724342990469324766235474268869786311886053883
R100 = 11 · 41 · 101 · 251 · 271 · 3541 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 27961 · 60101 · 7019801 · 182521213001 · 14103673319201 · 78875943472201 · 1680588011350901
R101 = 4531530181816613234555190841 · 129063282232848961951985354966759 · 18998088572819375252842078421374368604969
R102 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 103 · 613 · 4013 · 210631 · 2071723 · 52986961 · 5363222357 · 21993833369 · 291078844423 · 13168164561429877 · 377526955309799110357
R103 = 1031 · 7034077 · 153211620887015423991278431667808361439217294295901387715486473457925534859044796980526236853
R104 = 11 · 53 · 73 · 79 · 101 · 137 · 521 · 859 · 1580801 · 265371653 · 1058313049 · 1900381976777332243781 · 632527440202150745090622412245443923049201
R105 = 3 · 31 · 37 · 41 · 43 · 71 · 239 · 271 · 1933 · 4649 · 123551 · 2906161 · 10838689 · 30703738801 · 625437743071 · 102598800232111471 · 57802050308786191965409441
R106 = 11 · 107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 47198858799491425660200071 · 9090909090909090909090909090909090909090909090909091
R107 = 643 · 999809 · 9885089 · 215257037 · 2386760191 · 511399538427507881 · 646826950155548399 · 10288079467222538791302311556310051849
R108 = 33 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 109 · 757 · 9901 · 52579 · 153469 · 333667 · 70541929 · 14175966169 · 999999000001 · 440334654777631 · 59779577156334533866654838281
R109 = 1192679 · 712767480971213008079 · 5295275348767234696493 · 246829743984355435962408390910378218537282105150086881669547
R110 = 112 · 23 · 41 · 271 · 331 · 1321 · 4093 · 5171 · 8779 · 9091 · 21649 · 62921 · 513239 · 83251631 · 20163494891 · 318727841165674579776721 · 1300635692678058358830121
R111 = 3 · 372 · 2028119 · 247629013 · 30557051518647307 · 2212394296770203368013 · 8845981170865629119271997 · 90077814396055017938257237117[12]
R112 = 11 · 17 · 29 · 73 · 101 · 113 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 5882353 · 121499449 · 73765755896403138401 · 127522001020150503761 · 119968369144846370226083377
R113 = 227 · 908191467191 · 53895712312217719065267103426685397298498705173449226555003346881878523705781079015749721646701723
R114 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 21319 · 1458973 · 10749631 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 · 3931123022305129377976519 · 753201806271328462547977919407
R115 = 41 · 271 · 31511 · 19707665921 · 20414137203567631 · 11111111111111111111111 · 5799951513941382144830754391 · 122403569491783662720773144041
R116 = 11 · 59 · 101 · 349 · 3191 · 16763 · 38861 · 43037 · 62003 · 618049 · 77843839397 · 154083204930662557781201849 · 11811806375201836408679635736258669583187541
R117 = 32 · 37 · 53 · 79 · 333667 · 265371653 · 240396841140769 · 537947698126879 · 3352825314499987 · 900900900900990990990991 · 2304017384484085131816292573
R118 = 11 · 1889 · 2559647034361 · 1090805842068098677837 · 4411922770996074109644535362851087 · 4340876285657460212144534289928559826755746751
R119 = 239 · 4649 · 923441 · 2071723 · 5363222357 · 3924966376871 · 768736559421401249042753476963 · 323012942148562751650814544437350454640448842187
R120 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · 73 · 101 · 137 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 1676321 · 2906161 · 4188901 · 39526741 · 99990001 · 5964848081 · 100009999999899989999000000010001
4. 제곱
[math(R_1)]부터 [math(R_9)]까지의 레퓨닛 수의 제곱은 [math(1)]부터 [math(1)]씩 차례대로 커지다 작아지는 형태의 대칭수이다.12 = 1
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321
1111112 = 12345654321
11111112 = 1234567654321
111111112 = 123456787654321
1111111112 = 12345678987654321
어디서 본 사람이 있을 거라 생각할 수 있는데, 수학 귀신의 첫날 밤에 수학 귀신이 소개한 식이다.
[1] 참고로 2진법에서 [math(1)]이 늘어선 수는 메르센 수라고 한다.[2] 여기서 단위 반복 소수란 2진법에서의 메르센 소수와 10진법에서의 레퓨닛 소수를 임의의 진법으로까지 확장해서 생기는 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 늘어선 수를 말한다. 가령 10진법에서 [math(1)]이 2개, 19개, 23개, 317개, 1031개, 49081개, 86453개, 109297개, 270343개, 5794777개, 8177207개 늘어선 수는 소수인데, 모든 자리수가 [math(1)]인 레퓨닛 소수이므로 단위 반복 소수의 일종이다.[3] 회문수이면서 소수인 수[4] 다만, [math(n)]이 [math(2)] 이상의 자연수라고 할 때, [math(m)]이 [math(n)]제곱수이면 [math(m)]진법에서 [math(1)]이 늘어선 형태를 하고 있는 소수의 경우는 [math(m)]의 [math(n)]제곱근에 해당하는 수의 진법에서 [math(1)]이 늘어선 형태를 한 수를 반드시 약수로 갖기 때문에, 아예 없거나 딱 하나로 유일하다가 된다. 따라서 [math(m)]의 소인수분해에서 각 소인수가 [math(2)] 이상인 것 중 지수가 가장 작은 것이 다른 소인수가 곱해진 그 어떤 지수의 약수가 되지 않아야 [math(m)]진법에서 [math(1)]이 늘어선 형태를 하고 있는 소수(단위 반복 소수)의 개수가 최소한 4개 이상이 된다. 또한 [math(p)]가 [math(n-1)]의 소인수이면 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 [math(p)]개만큼 늘어선 수는 무조건 [math(n-1)]의 소인수인 [math(p)]의 배수가 되기 때문에 소수가 될 수 없으므로, [math(n)]진법 표현에서 [math(1)]이 [math(p)]개만큼 늘어선 수가 소수라면 [math(p)]는 소수이며 [math(n)]을 [math(p)]로 나눈 나머지가 [math(1)]이 아닌 경우이어야 한다. 물론 그 역은 성립하지 않으니 [math(1)]이 [math(n-1)]의 소인수가 아닌 소수 [math(p)]개만큼 늘어서있는 수라고 해도 항상 소수가 되지는 않는단 얘기다.[5] 일단 주어진 진법에서 현재까지 발견된 단위 반복 소수들과 그 개수만 생각하며, [math(p)]가 소수일 때, [math(n)]진법에서 [math(p)]개만큼 늘어선 수가 소수가 되는 경우에 해당하는 자연수 [math(n)]이나 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 [math(k)]개 만큼 늘어선 수가 소수임을 만족하게 하는 소수 [math(k)]의 값에 해당하는 수의 목록도 만들어볼 수 있겠다. 특히 2진법이나 10진법이 아닌 다른 진법에서 훨씬 유용하다. 그 외에도 재배열 가능 소수, 왼편/오른편/양편 절단 가능 소수 및 양면 소수 및 이들의 개수와 가장 큰 것의 자릿수 개수도 10진법 이외의 다른 기수법에서도 생각할 수 있겠다.[6] 화학 원소 수소가 아니다.[7] 가령 [math(111111111)]([math(1)]이 9개)은 [math(111)]로 나누어떨어진다.[8] 발견된 수는 확률적 소수이므로 소수인지 아닌지 증명이 필요하다.[9] 소수임이 증명된 날[10] [math(11)]이 레퓨닛 수이므로 [math(R_{11})]은 최초의 이중 레퓨닛 수이다. 다만 레퓨닛 소수는 아니다. [math(R_{R_2} = R_{11})]이다.[11] 이 수는 레퓨닛 수 중 최소의 과잉수이기도 하다. 진약수의 합은 121,854,250,714,885,689(약 12경)이다.[12] [math(111)]이 레퓨닛 수이므로 [math(R_{111})]은 두 번째 이중 레퓨닛 수이다. [math(111)]은 3 · 37이라서 소수가 아니기 때문에 [math(1)]이 자기자신의 자릿수의 개수와 같고, 3개만큼 늘어선 [math(111)]과 [math(1)]이 37개 늘어선 매우 큰 [math(1111111111111111111111111111111111111)]([math(R_{37})])로 나뉘기 때문에 무조건 합성수다. 그리고 [math(1)]이 1111개, 11111개만큼만 늘어서있어도 수가 엄청나게 커져서 직접 작성하기가 매우 까다롭다.(대신 [math(1111 = 11\cdot101)], [math(11111 = 41\cdot271)]이므로 [math(1)]이 1111개 늘어선 수는 [math(1)]이 11개 만큼 늘어선 [math(11111111111)]의 약수인 [math(21649)], [math(513239)], 그리고 [math(1)]이 101개 만큼 늘어선 [math(R_{101})]과 그 수의 약수들을 약수로 가지며, 11111개 만큼 늘어선 수는 [math(1)]이 41개 늘어선 [math(R_{41} = 11111111111111111111111111111111111111111)]의 약수들과 271개 늘어선 [math(R_{271})]과 그 약수들을 약수로 가질 수 있다는 사실을 알 수 있겠다. 또한 [math(111111)]은 [math(3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37)]이라서 약수가 32개나 되므로 실질적으로는 [math(111111)]의 약수를 모두 구하기가 힘들 것 같고, [math(1)]이 1111111개 늘어선 수는 [math(1111111 = 239\cdot4649)]이므로 [math(1)]이 각각 239개, 4649개 늘어선 [math(R_{239})], [math(R_{4649})] 및 그 약수들을 가질 수 있다는 것만 알 수 있을 뿐이다.) 그리고 [math(3)], [math(11)], [math(37)], [math(41)], [math(73)], [math(101)], [math(137)], [math(239)], [math(271)], [math(4649)], [math(9091)], [math(21649)], [math(333667)], [math(513239)]는 모두 소수이지만, [math(1)]이 앞에서 언급했던 숫자들만큼 늘어선 수는 전부 합성수라는 점을 참고해두자.
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