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| 프로젝트 | 우란프로옉트 | ||
| 생애 | 생애 | ||
| 소속 | 뮌헨 대학교 괴팅겐 대학교 | ||
| 관련 학자 | 닐스 보어 · 막스 보른 · 알베르트 아인슈타인 · 막스 플랑크 · 아르놀트 조머펠트 | ||
| 저서 | 부분과 전체 |
- 동시 통과입니다! - 전자 현미경 관측이 들어갑니다. - 양자 하나 차이로 3번마가 우승했습니다! - 이건 무효야! 관측으로 결과가 바뀌어 버렸잖아! |
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1. 개요
'불확정성 원리'(不確定性原理, uncertainty principle)'는 독일의 물리학자인 베르너 하이젠베르크가 제창한 물리학 이론으로, '어떤 입자의 위치와 운동량을 일정 기준 이하로 정확하게 측정할 수 없다'는 원리다.2. 상세
쿠르트 괴델의 불완전성 정리, 케네스 애로우의 불가능성 정리와는 이름이 닮아 있으나 다른 것이다.[math(\sigma_x \sigma_p \ge \dfrac\hbar2)]
여기서
[math(\sigma_x)]: 관측[1]하고자 하는 대상의 위치 [math(x)]의 표준 편차
[math(\sigma_p)]: 관측하고자 하는 대상의 운동량 [math(p)]의 표준편차
[math(\hbar)]: 디랙 상수. 플랑크 상수 [math(h)]에 대하여 [math(\hbar = \dfrac h{2\pi})]
또는 복사전이나 핵붕괴에 적용할 때는 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.여기서
[math(\sigma_x)]: 관측[1]하고자 하는 대상의 위치 [math(x)]의 표준 편차
[math(\sigma_p)]: 관측하고자 하는 대상의 운동량 [math(p)]의 표준편차
[math(\hbar)]: 디랙 상수. 플랑크 상수 [math(h)]에 대하여 [math(\hbar = \dfrac h{2\pi})]
[math(\Delta E \Delta t \ge \dfrac\hbar2)]
여기서
[math(\Delta E)]: 에너지 변화량 분포 범위의 폭
[math(\Delta t)]: 에너지가 더 높은 상태의 수명[2]
여기서
[math(\Delta E)]: 에너지 변화량 분포 범위의 폭
[math(\Delta t)]: 에너지가 더 높은 상태의 수명[2]
3. 정의
| 불확정성 원리에 대한 간단한 설명(1:05~2:30)[3] |
불확정성 원리의 핵심 내용은 입자의 위치와 운동량은 일정 수준의 정확도 이상으로는 동시에 측정할 수 없다는 것이다. 불확정성 원리는 양자역학에 대한 추가적인 가정이 아니고 양자역학의 통계적 해석으로부터 얻어진 근본적인 결과이다. 하이젠베르크의 방법 말고도 순수 통계학적 과정으로도 유도할 수 있다.
불확정성 원리에 따르면, 입자의 위치가 정확하게 측정될수록 운동량의 분산도(또는 불확정도)는 커지게 되고 반대로 운동량이 정확하게 측정될수록 위치의 분산도는 커지게 된다. 정규분포를 떠올리면 이해하기 쉬운데, '정확하게 측정된다'는 것은 곧 표준 편차 [math(\sigma)]가 작아져서 [math(0)]에 수렴하는 것을 의미하며 이를 정규분포의 그래프로 나타내면 폭이 좁고 마루가 높은 산이 되다가 결국 델타 함수 마냥 반직선이 되는 것에 해당한다.
이제 이 사실을 위 수식과 연관지어서 생각해보면 [math(\sigma_p \ge \cfrac{\hbar}{2\sigma_x})] 혹은 [math(\sigma_x \ge \cfrac{\hbar}{2\sigma_p})]이므로 둘 중 어느 하나의 표준편차가 [math(0)]으로 수렴한다는 것은 곧 다른 표준편차가 무한대로 발산한다는 것을 의미한다. 표준편차가 무한대로 발산하면 정규분포는 마루가 없고 높이도 [math(0)]에 수렴하는 수평선이 되는데 이는 수학적으로 측정값이 모든 값으로 나타날 수 있어 평균값을 추정할 수 없음을 의미한다.
에너지와 시간의 변화량의 곱도 같은 관계이며, 비단 이뿐만 아니라 파동의 형태로 기술할 수 있는 많은 물리량이 이런 관계를 따른다. 이는 입자가 슈뢰딩거 방정식[4]을 따르며 거동한다면 필연적으로 나타나는 결과이다. 이에 따르면 닐스 보어의 보어 원자모델은 폐기될 수도 있다.
애초에 현실에서 파동함수를 비롯한 양자 장(Field) 자체가 연속적인 그래프를 그리는 파동 형태인만큼 입자 위치를 콕 집어 말하는 것은 곤란하다.[5]
두 번째 표현은 복사전이나 핵붕괴에서의 에너지 변화량[6]이 갖는 자연선폭(natural line width)을 설명하기 위해 쓰이며, 이때 에너지 변화량의 값은 코시 분포를 따르고 코시 분포를 따르는 선윤곽을 로런츠 선윤곽(Lorentzian profile)이라 부른다.[7]
4. 하이젠베르크의 현미경
방 안에 헬륨 풍선이 하나 둥둥 떠다닌다고 해 보자. 방 안은 캄캄한 데다 당신은 안대를 차고 있기 때문에 앞을 전혀 볼 수 없다.
헬륨 풍선을 확인할 수 있는 방법은 손에 있는 막대기를 휘저어서 풍선을 치는 방법뿐이다. 헬륨 풍선은 매우 가볍기 때문에, 당신이 아무리 세심하게 막대기를 휘두른다고 해도, 풍선을 건드려서 위치를 확인하는 순간 헬륨 풍선은 다른 장소로 날아서 이동하게 된다.
따라서 당신은 헬륨 풍선의 정확한 위치를 알 수 없으며, 단지 어디쯤 존재할 것이라고 추측만 할 수 있다.
즉, 전자의 위치와 운동량을 전자로부터 직접 알아낼 수 있는 방법은 없으며, 빛이나 다른 입자[8]를 전자와 충돌시켜서 알아내려고 한다. 그런데 빛이나 다른 입자를 전자에 충돌시키는 순간 전자의 위치와 운동량(콤프턴 효과)은 변화하게 되므로, 결국 현재 전자의 위치와 운동량은 알 수 없고, 단지 추측만 할 수 있을 뿐이다는 것.헬륨 풍선을 확인할 수 있는 방법은 손에 있는 막대기를 휘저어서 풍선을 치는 방법뿐이다. 헬륨 풍선은 매우 가볍기 때문에, 당신이 아무리 세심하게 막대기를 휘두른다고 해도, 풍선을 건드려서 위치를 확인하는 순간 헬륨 풍선은 다른 장소로 날아서 이동하게 된다.
따라서 당신은 헬륨 풍선의 정확한 위치를 알 수 없으며, 단지 어디쯤 존재할 것이라고 추측만 할 수 있다.
이 비유는 양자역학을 쉽게 이해하게 해주므로 대부분의 현대물리 교과서에서 정식으로 가르치는 내용이다. 그러나 이는 불확정성 원리에 대한 정확한 설명이 아니며, 양자역학을 본격적으로 배우기 전 불확정성 원리를 쉽게 이해하게 하기 위해서 단순화한 예시이다. 실제 불확정성 원리는 '관측의 부정확'이라는 도화선이 따로 있는 것이 아니다. 즉, 설령 막대기가 풍선에 가한 에너지가 '0'이라 풍선의 운동이 전혀 영향을 받지 않을 상황을 가정하더라도, 풍선의 위치는 주위와 상호작용을 하든 안 하든 상관없이 그 자체로 불확정적이다. 즉 풍선의 정확한 위치라는 것이 애초에 존재하지 않는다. 단, 우리가 막대기로 풍선을 건드리려고 풍선이 존재할 수 있는 영역에 진입하는 순간 파동함수가 붕괴되어 특정한 값으로 풍선의 위치가 관측되는 것일 뿐이다.[9]
즉 관측 행위로 인해 현재 양자의 상태를 정확하게 파악할 수 없다는 게 맞긴 하지만 애초에 양자는 입자이자 동시에 파동이라서 측정 행위와 무관하게 하나의 고정된 상태로 존재하지 있지 않는다(중첩)는 의미다.
사실 이러한 비유만 접한 많은 사람들이 불확정성 원리를 부정확하게 이해하고 있다. 그럼에도 불구하고 실제로 불확정성이 생기는 이유를 일반인에게 쉽게 설명할 방법이 없으므로 아직도 쓰이며, 교과서에도 나오는 예시이다. 그 이유 중 하나는 이 원리를 발견한 하이젠베르크 본인이 만든 설명이기도 하기 때문이다. 하이젠베르크 본인도 양자역학의 태동기에는 불확정성의 원리가 단순한 관측의 부정확함에서 오는 것으로 생각했었으며, 하이젠베르크와 토론 과정에서 이를 대차게 깠던 보어조차도 다른 과학자들과의 논쟁 중간에 이를 헛갈리는 경우가 있을 정도였다. 그러나 애초에 이 설명은 전자의 이중-단일 슬릿의 관찰 조건 변화에 따른 실험적 결과를 설명하지 못한다.
하지만 불확정성 원리의 본질적인 의미가 아니라 실제 관측이라는 과정 자체가 관측되는 물리량(또는 다른 물리량을 포함하여)을 미세하게나마 변화시키는 것 역시 옳기 때문에, 이러한 해석 자체가 틀렸다는 의미는 아니다. 일부 사람들이 이 예시를 근본적으로 틀린 것으로 이해하나, 그것은 물리학과의 교육과정에 대한 이해가 결여된 해석일 뿐이다. 본질적인 의미에 대한 설명은 아래 참조.
5. 좀 더 자세한 설명
우선 제일 먼저 유의해야 할 것은, 어떠한 '관측'을 할 때, 그러니까 다른 어떤 것과 상호작용을 하면서 물리량 중 하나가 직접 관여하게 될 때는, 심지어는 에너지가 전혀 연관되어 있지 않는 관측을 하더라도 불확정성은 존재한다.[10] 이는 양자역학의 형식에 근본적으로 내재된 속성이다.저 관계의 참 뜻은, 수만 개 이상의 사건을 통해서 위치와 운동량을 동시에 측정한다고 했을 때, 위치와 운동량에 대해서 평균값을 구할 수 있지만, 구한 평균값을 통해서 표준편차를 구하였을 때, 위치의 표준편차와 운동량의 표준편차가 0이 되지 않고[11] 두 표준편차의 곱이 [math(\dfrac\hbar2)]의 관계로 묶여 있다는 것을 의미한다.
완벽하게 앞뒤가 같은 동전을 수만 번 던지는 실험을 했다 하자. 그러면 던진 횟수당 앞, 혹은 뒤가 나온 경우의 수 비율은 1/2이 된다. 이를 통해, 우리는 실험이 종료한 후에 다음에 동전을 던졌을 때, 앞이 나올 기대를 1/2 확률만큼 존재한다고 주장할 수 있게 된다. 반면, 어느 이상한 동전은 수만 번 던져 볼 때마다 항상 앞이 나온다면, 우리는 직접 던지지 않고도 앞면(표준편차가 0 인 상태)이 나올 것이라고 기대할 수 있다.
즉, 표준편차 두 개 모두 0이 될 수 없다라는 뜻 자체는 다음에 위치와 운동량을 측정했을 때, 표준편차에 따라 다른 값을 가질 수 있는 확률이 존재한다는 뜻이며, 평균적으로 표준편차크기만큼 벗어날 뿐, 더 많이 벗어난 값도, 덜 벗어난 값도 측정가능하다. 이것은 어떤 상태에 대해서 명확하게 위치와 운동량을 지정할 수 없다는 뜻으로 확장된다.
그런데 세상만사가 단순하게 돌아가는 것은 아니라서, 어느 일정한 온도를 유지하는 기체나 고체, 혹은 액체만 바라보더라도, 물질 속 원자(혹은 분자)들 모두가 독립적으로 운동하지 않으며, 서로 충돌을 하면서 에너지를 교환하게 된다. 그래서 각 원소가 가지게 될 운동량 크기의 평균값은 분명 볼츠만 상수로 정의되는 물리계 전체의 운동량 크기값과 같지만, 속으로 들어가면 다른 원소(혹은 분자)와 충돌해서 평균값보다 더 큰 값이나 적은 값을 가지는 원자(혹은 분자)가 있을 수도 있다.
우리가 확률이란 개념을 도입하여 사용하면 사용할수록, 부분적으로 평균값에서 벗어나는 수가 늘어나며, 이 오차를 제거할 수 있는 방법은 존재하지 않는다.[12] 다만, 코펜하겐 해석에 따라 파동함수를 정의하면, 위와 같이 위치와 운동량의 표준편차가 연결되어 있으며, 표준편차 곱 최소값은 [math(\dfrac\hbar2)]이다.
그런데 코펜하겐 해석에 쓰여 있는 것 같이, 파동함수는 불변하길 바라는데 정보를 측정할 때마다 다른 물리량이 측정된다는 뜻으로 보인다. 이를 통해서 우리가 파동함수를 통해 위치만을 잘 측정해서 규정 하였고,이후에 운동량을 측정하는 것으로 관점을 바꿔 운동량을 잘 측정하게 되었다면, 위치를 측정한 이후의 운동량을 측정하는 순간 파동함수가 변화해야한다라는 해석에 도달한다. 겉으로 보기에 코펜하겐 해석을 위반한 것처럼 보이나, 우리가 위치를 측정하기 위해서는 물리계 전체를 나타내는 불변한 파동함수 중 위치에 대한 정보를 선택적으로 뽑아야, 위치를 정확하게 알 수 있다라는 점이다. 즉, 파동함수 원형 자체는 여전히 유일하고 불변적이나 부분적으로 우리가 선택한 정보만이 관측에 의해서 변화(혹은 파괴)된다는 것을 의미 하기 때문에, 실상 문제는 없다.[13][14]
다른 예를 들어 보자. 어떤 입자의 운동량을 매우 정밀하게 측정해서 위치를 정확하게 알 수 없다고 가정한다. 측정된 위치의 오차가 1 m라고 하고 실험 기구의 오차가 1 mm라 할 때, 측정할 때 이 입자는 어떻게 보이겠는가? 사람들은 입자가 1m 범위에 뿌옇게 흐려져 있는 상황을 상상하고, 불확정성이 1 m이기 때문에 실험기기의 오차가 1 mm인 것은 무의미하다고 생각할 것이다. 그러나 이것은 참이 아니다. 실제로는 관측을 하면 실험기기의 오차인 1 mm 안쪽의 정밀도로 위치를 알아낼 수 있다. 다만 그 입자가 가질 수 있는 위치의 범위가 1 m일 뿐이다. 비유를 하자면, 분당 0.5 m씩 움직일 수 있는 입자를 1 mm의 오차로 측정했을 때, 1분 후에 그 물체가 가질 수 있는 위치를 예측하는 것과 비슷하다. 그러한 상황의 동일한 입자 여럿을 두고 하나씩 꺼낸 다음에 위치를 측정해 보면 그 위치는 1 mm 안쪽의 정밀도로 결정되나 분포가 1 m에 걸쳐져 있다. 여기서 같은 입자의 위치를 여러 번 측정하지 않는 이유는 실험의 엄밀성을 위해서이다.
서두에서도 언급되어 있듯이, 입자의 위치와 운동량은 동시에 어떠한 정확도 이상으로는 측정되지 않는다는 것은 물체가 슈뢰딩거 방정식을 따르며 거동한다면 필연적으로 나타나는 결과이다. 웨이브 패킷의 일반적인 모양[15]
양자역학에서 미시 세계의 물질은 이처럼 한 '점'이 아니라 (비교적) 넓은 영역에 걸쳐서 확률적으로 존재한다.[16] 여기서 위치 [math(x)]의 정확성을 높히기 위해 위치를 파동함수 위의 특정 범위로 제한하고자 한다면, 나머지 영역의 함수값은 버려야 하므로 결과적으로 운동량의 정확도가 제한된다.[17] 반대로 운동량을 더 정확하게 알아내고자 한다면 파동함수에서 보다 넓은 영역을 고려해야 하므로 위치 [math(x)]는 그만큼 더 불확정해진다.[18] 이는 상술했다시피 미시 세계의 물질들이 입자이자 동시에 파동이기 때문에 수학적으로 도출되는 한계이며, 관측 장비의 실용적, 또는 물리적 한계와는 무관하다. 불확정성의 "원리"라고 명명된 것도 이 때문.[19]
보다 직관적으로 설명하자면, 사실 '나무를 보면 숲이 보이지 않고, 숲을 보면 나무가 보이지 않는다' 와 같은 이야기이다. 어떤 나무(입자)가 숲에서 어디에 위치해 있는지를 보기 위해서는 멀리 떨어져서 숲 전체를 보아야 한다. 그런데 그러면 그 특정한 나무가 어떤 특성(운동량)을 가졌는지에 대해서는 알기 힘들다. 그렇다고 접근해서 그 나무에 대해 측정하면 그 나무의 특성은 알 수 있게 되겠지만, 숲 전체에서 그 나무가 어디에 위치하는지는 알 수 없게 되는 것이다. 나무와 숲이야 움직이지 않으니 두 관측 결과를 조합해서 숲과 나무에 대해 확정적인 정보를 얻을 수 있겠지만, 불확정성 원리에서 말하는 입자와 파동은 결코 멈추지 않으므로 이 원리를 극복하는 것은 불가능하다.
다시 이과 이야기로 돌아가서, 이러한 관계는 가관측량(observable) [math(a)], [math(b)]에 대응하는 연산자 [math(\hat A)], [math(\hat B)]의 교환자(commutator)가 0이 아닐 때 성립한다.[20] 특히 물체의 상태의 [math(a)], [math(b)]공간에서의 표현이 서로 푸리에 변환되는 관계를 가지거나, 혹은 동등한 조건으로, 각각의 물리량에 대응하는 연산자 [math(\hat A)], [math(\hat B)]의 교환자가 [math(i\hbar)]일 때는 가우스 파속(波束)(gaussian wavepacket)의 성질을 이용하여 불확정성의 원리를 증명할 수 있다. 이런 관계를 만족하는 가관측량으로는 예를 들면 운동량과 위치 말고도 에너지와 시간 같은 게 있다.
여기까지 정말 어렵게 설명했지만, 힐베르트 공간에 대해서 조금 이해가 있다면 아주 간단하게 표현된다.
| [math(\left[\hat x,\,\hat p \right] = i\hbar)] |
위에서 언급된 두 번째 식과 [math(E = mc^2)]를 합하면 진공에서 입자-반입자 쌍이 짧은 시간[22] 동안 자연적으로 발생했다 사라질 수 있다는 결론이 나오며, 실제로 일어나는 현상임이 오래 전에 확인되었다. 물리적으로 진공은 단순히 비어 있는 공간이 아니라 입자와 에너지가 요동하고 있는 복잡한 상태에 있는데, 이러한 상태를 양자 요동(Quantum Fluctuation) 또는 양자 떨림(Quantum Jitter) 혹은 진공 요동(vacuum fluctuation)이라고 한다.[23] 진공 에너지와 다르니 유의할 것.
5.1. 수식을 이용한 설명
물론 양자역학적인 것을 설명하려고 한다면 수식을 동원해서 설명하는 것이 가장 적합하고 확실하다. 무엇보다 위에서 잠깐 언급한 일반적인 경우의 엄밀한 증명도 가능하다.[24]먼저 우리가 원하는 것을 힐베르트 공간의 용어를 동원하여 잠시 정리해 보자. 우선 어떤 '상태'가 주어져 있을 것이다. 그게 입자 하나든 뭐든 중요하진 않다. 이걸 브라-켓 표기법을 써서 [math(|\psi\rangle)]라고 표기할 수 있을 것이다. 이제 어떤 물리량을 측정한다고 치자. 위치든 운동량이든 에너지든 각운동량이든 상관 없다. 아무튼 이것에 해당하는 힐베르트 공간 상의 어떤 연산자가 존재할 것이다. 이걸 [math(\hat A)]라고 표기하겠다. 그러면 [math(\hat A)]는 실제 측정할 수 있는 물리량이므로 에르미트 연산자(Hermitian operator)이다. 즉, [math({\hat A}^\dagger = \hat A)]이다. 이때 학부 양자역학 시간에 주어진 상태 [math(|\psi\rangle)]에서 [math(\hat A)]에 해당하는 물리량을 측정하였을 때 그 값의 평균이 다음과 같다는 것을 배웠을 것이다.[25]
| [math(\langle A \rangle = {\left\langle \psi {\left| \hat A \right|} \psi \right\rangle})] |
| [math(\sigma_A = \sqrt{\left\langle \psi {\left| {\left( \hat A - \langle A \rangle \right)}^2 \right|} \psi \right\rangle})] |
하지만 예외가 있는데, 만약 주어진 상태가 이미 그 물리량에 해당하는 연산자의 고유 상태이면 (측정 장치의 오차가 0이라는 가정 하에) 측정 결과는 항상 같을 것이다. 혹은, 근본적으로 극복할 수 없는 오차라고 해도 결국 주어진 상태가 고유 상태에 가까우면 작아진다는 것을 알 수 있다. 이렇게 놓고 보면 근본적으로 극복할 수 없는 오차조차 0으로 만들 수 있다는 것으로 보인다.[26]
이제부터가 진짜 문제인데, 지금까지는 물리량 하나만 생각했지만 이제부터는 물리량 두 개를 같이 생각할 것이다. 이들에 해당하는 에르미트 연산자들을 각각 [math(\hat A)], [math(\hat B)]라고 놓자. 그리고 같은 상태에 대하여 이들 물리량 두 개를 각각 재는 실험을 무수히 많이 했다고 치자. 위와 비슷한 예를 들어, 주어진 상태의 복사본을 2억 개 준비하고 그 중 1억 개는 [math(\hat A)]에 해당하는 물리량을 재는 데에, 나머지 1억 개는 [math(\hat B)]에 해당하는 물리량을 재는 데에 썼다고 하자. 그러면 이 두 세트 각각에 대해서 두 물리량의 평균과 표준 편차를 구할 수 있을 것이다. 언뜻 두 물리량 각각에서 나온 결과가 서로 상관 없을 것 같아 보이지만 가만 보면 또 그렇지도 않다. 이를 확인해 보기 위해 다음 식을 생각해 보자.
| [math({\left\langle \psi {\left| {\left( \hat A - \langle A \rangle \right)}^2 \right|} \psi \right\rangle} {\left\langle \psi {\left| {\left( \hat B - \langle B \rangle \right)}^2 \right|} \psi \right\rangle})] |
| [math(\begin{aligned} \Bigl| \psi_A \Bigr\rangle &= {\left( \hat A - \langle A \rangle \right)} \Bigl| \psi \Bigr\rangle \\ \Bigl| \psi_B \Bigr\rangle &= {\left( \hat B - \langle B \rangle \right)} \Bigl| \psi \Bigr\rangle\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} {\left\langle \psi {\left| {\left( \hat A - \langle A \rangle \right)}^2 \right|} \psi \right\rangle} {\left\langle \psi {\left| {\left( \hat B - \langle B \rangle \right)}^2 \right|} \psi \right\rangle} &= \langle \psi_A | \psi_A \rangle \langle \psi_B | \psi_B \rangle \\ & \ge \left| \langle \psi_A | \psi_B \rangle \right|^2\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \mathcal{Im}(\langle \psi_A | \psi_B \rangle) &= \frac1{2i} (\langle \psi_A | \psi_B \rangle - \langle \psi_A | \psi_B \rangle^* ) = \frac1{2i} (\langle \psi_A | \psi_B \rangle - \langle \psi_B | \psi_A \rangle) \\ &= \frac1{2i} {\left\{ {\left\langle \psi \Big| {\left( \hat A - \langle A \rangle \right)} {\left( \hat B - \langle B \rangle \right)} \Big| \psi \right\rangle} - {\left\langle \psi \Big| {\left( \hat B - \langle B \rangle \right)} {\left( \hat A - \langle A \rangle \right)} \Big| \psi \right\rangle} \right\}} \\ &= \frac1{2i} {\left( {\left\langle \psi {\left| \hat A \hat B \right|} \psi \right\rangle} - {\left\langle \psi {\left| \hat B \hat A \right|} \psi \right\rangle} \right)} \\ &= \frac1{2i} {\left\langle \psi {\left| {\left[\hat A,\,\hat B\right]} \right|} \psi \right\rangle} \end{aligned})][28] |
| [math({\sigma_A}^2 {\sigma_B}^2 \ge {\left( \dfrac1{2i} {\left\langle \psi {\left| {\left[\hat A,\,\hat B\right]} \right|} \psi \right\rangle} \right)}^2)] |
| [math(\sigma_A \sigma_B \ge {\left| \dfrac1{2i} {\left\langle \psi {\left| {\left[\hat A,\,\hat B\right]} \right|} \psi \right\rangle} \right|})] |
| [math(\sigma_x \sigma_p \ge \dfrac\hbar2)] |
5.2. 불확정성 원리와 결정론
일반인도 불확정성 원리에 대해 간단한 개념은 알아두는 게 좋다. 이 불확정성 원리에 의해서 '라플라스의 악마'로 대표되는 고전적인 결정론 자체는 부정되었으며, 제대로 된 현대 물리학자라면 완전한 결정론을 지지하는 사람은 없다. 불확정성 원리 뿐만 아니라 '측정' 에 의한 파동함수의 붕괴까지 고려한다면 고전적인 결정론은 설 자리를 완전히 잃는다. 다만 이 이론을 "세상은 모두 랜덤이야!"로 받아들이면 곤란하다. 양자역학의 확률론은 세상에 아무런 법칙이 없이 무작위로 모든 가능한 현상이 일어난다는 말과 같지 않다. 양자역학의 발전 이후에 미시 세계에 대한 예측이 가능해져 나노, 반도체, 액정 등 온갖 현대 산업이 발달한 것을 생각해보자.그리고 무엇보다도 '랜덤(Random)'이라는 말은 모든 현상이 일어날 확률이 동일하다는 의미를 지니는데, 양자역학은 입자가 처한 물리적 상태 등에 따라서 해당 입자가 특정한 위치에서 발견될 확률와 특정한 운동량을 가질 확률 등이 다르게 계산된다. 이를 두고 기존 '비결정론'이란 말 대신 철학계에서는 확률론적 결정론 이라 칭하기도 한다. 물론 저 둘이 붙어 있는 것이 어색하다고 느끼는 것은 지극히 정상이다. 의식적으로든 무의식적으로든 거시계의 기계론적 인과율에 익숙한 우리는 저런 상충적 공존이 모순적이라고 느낄 수밖에 없다. 그럼에도 불구하고 저런 애매한 상태로 방치할 수밖에 없는데, 양자역학적 미시계의 현실을 부정할 수 없는 것처럼, 일상적인 거시계의 현실 또한 17세기 기계적 결정론에서 설명하는 것과 다를 바가 없기 때문이다.[30] 결국 이건 철학의 하위 분야인 과학철학이나 존재론의 영역이기도 하다.[31]
간혹 양자역학이 확률론적 결정론을 지지한다고 해서 결정론을 부정하는 과학자들은 사이비라고 주장하는 사람이 있는데, 이는 확률론적 결정론을 단순히 고전적인 결정론으로 받아들여서 생긴 잘못된 이해이다. 고전적인 결정론은 하나의 사건이 하나의 결과만을 낳는 선형적인 인과관계만을 인정하는 것이며, 확률론적 결정론은 하나의 사건이 여러 가능한 결과를 가질 수 있는 트리 구조의 인과관계를 받아들이는 것이다. 이렇게 둘은 전혀 다른 인과 구조를 가지므로 확률론적 결정론을 단순한 고전적인 결정론의 수정으로 생각할 수 없다. 또한 대부분의 과학자들은 아무 수식어가 없는 결정론이라는 단어를 고전적인 결정론으로 이해하므로, 결정론을 부정한다고 사이비로 몰아가는 큰 사고를 치고 다니지 말자. 게다가 논리나 인과론의 기반을 결정론으로 이해하는 사람이 있는데, 논리나 인과론은 결정론보다도 더 기초적인 개념이므로, 결정론이 이들의 기반이 절대로 될 수 없다. 심지어 최근에는 양자얽힘이 양자단위를 넘어 분자단위나 더 큰 물질에 대해서도 성립된다는 것이 과학적 실험을 통해 증명되면서, 거시세계 조차 결정론이 아니라 확률론이라는 주장이 대세가 되고 있는 추세이다. 좀 더 자세한 설명은 결정론문서를 참고하자.
6. 결함?
세계일보 기사'양자역학의 뿌리' 불확정성 원리 결함 발견
양자역학 기본이론 불확정성 원리 결함 발견
와 같은 기사가 뜬 적이 있었다.
2012년 1월 15일에 하이젠베르크의 부등식[32] 을 보완한 식이 실험적으로 확인되었다는 연구가 나왔다. 다만 헷갈리지 말아야 할 점은 하이젠베르크의 불확정성 원리가 부정되었다는 것은 아니다. 가장 잘못 이해된 듯한 부분을 해석하면 다음과 같다.
Eq.2(불확정성 원리)는 수학적 기반이 있지만(즉 증명되어 있지만), 직관적으로 측정에 대한 제한을 주지는 않는다. 이 식은 일반적으로 상태해석이나 과거로부터 미래를 예측하는 것의 한계로 해석된다. 반면에, 물리량 [math(A)]에 대한측정에러와 이 측정에 의한 물리량 [math(B)]의 교란의 관계식은 straightforward하지 않은데, 이는 하이젠베르크가 측정 이후의 상태에 대해 뒷받침되지 않은 가정을 사용하였기 때문이다. 이하 중략...
즉 수학적으로는 다음과 같다. 하이젠베르크는 측정에 의한 변화에 의해서 불확정성 관계에 있는 다른 물리량을 정확히 측정할 수 없다고 주장했는데, [math(A)]라는 물리량의 측정 결과를 얻어내는 연산자에 의한 에러의 표준편차를[math(\epsilon(A))], 이 측정에 의한 다른 물리량 [math(B)]에 대한 교란의 제곱평균제곱근값 [math(\eta(B))]에 대해서 하이젠베르크의 수식은 아래와 같이 표현할 수 있다.| [math(\epsilon(A)\eta(B) \ge \dfrac12 |\langle \psi |[A,\,B]| \psi \rangle |)] |
| [math(\epsilon(A)\eta(B) + \epsilon(A)\sigma(B) + \sigma(A)\eta(B) \ge \dfrac12 |\langle \psi |[A,\,B]| \psi \rangle|)] |
7. 다른 현상과의 유사성
불확정성 원리가 설명하는 현상과 같거나 비슷한 현상은 의외로 양자역학 밖에 널려 있다.단순 무식하게 말한다면 서로 다른 두 유형의 정보가 함께 존재하는 신호에 대해서, 해당 신호가 가진 두 유형의 정보 중 하나를 더 잘 알게 될수록 다른 하나를 알 수 없게 된다는 것이다. 즉, 신호에서 정보를 확인하는 것에 있어 발생하는 양자택일이다.불확정성 원리는 더 나아가 (적어도 양자역학에서는) 한 신호에 병존하는 두 가지 정보의 내용은 확정되어 있지 않다는 것까지 추가한 것이다.
입자이자 파동인 신호에 대해서는 이것이 증명되어 불확정성 원리가 되었는데, 이것을 더 일반화하여 모든 종류에 신호에 다 적용할 수 있는지는 확실하지 않다. 그러나, 하나의 신호에 두가지 정보가 있을 경우 양자택일이 되는 현상만큼은 정말 광범위하게 발견된다. 이 중에는 진짜로 불확정성 원리와 동일한 원리인 경우도 있다.
아예 불확정성 원리와 직결되는 수학적 원리도 있으니 바로 푸리에 변환이다. 이에 대해서는 3Blue1Brown이 설명한 영상이 있으니 참고. 이 푸리에 변환과 관련하여 설명할 수 있는 불확정성 원리의 사례 중 하나가 도플러 딜레마다. 이쪽의 경우 대상의 속도를 정확히 알 수록 거리를 정확히 알 수 없게 되며, 아예 수학적으로 불확정성 원리와 연결된다.
모두 불확정성 원리와 수학적으로 같다는게 증명된 건 아니지만 의외로 일상에서도 흔히 불확정성 원리의 존재를 체험할 수 있다. 라우드니스 워가 대표적이다. 트랙의 음 세기 정보를 더 많이 확보할수록 음들의 음량 차이의 구분에 관한 정보가 상실된다. 즉, 시끄러운 음반일수록 음반의 음질을 좌우하는 해상도를 포기해야 한다.
만약 불확정성 원리를 확장해서 모든 종류의 병존 정보가 있는 신호들에 대하여 적용할 수 있게 된다면 정말 흥미로울 것이다. 불확정성과 비슷한 것이 발견되는 것들은 대부분 "회색지대"가 존재하여 어느 한쪽으로 쏠릴수록 다른 쪽이 흐려지는 것인데, 아예 yes or no, 곧 0과 1이 되는 경우에도 비슷한 현상이 왕왕 있다. 공개-개인키를 이용한 비대칭형 암호화가 이런 경우다. 비대칭형 암호 체계는 두가지 기능을 가지고 있다. 하나는 내용을 제 3자가 알 수 없게하는 Confidentiality고, 다른 하나는 그 내용이 변조되지 않았고 보낸 사람이 바로 그 사람 맞고 누가 사칭한게 아니라는 것을 알 수 있게 하는 Authentication이다. 그러나, 이 두가지 기능을 동시에 활용할 수는 없다. 전자는 공개 -> 개인, 후자는 개인 -> 공개로 암호화와 복호화를 하게 되는데, 전자의 경우 보낸 사람의 열쇠가 공개되어 있으니 바로 그 사람이 보냈다는 보장은 당연히 없다. 후자의 경우 받는 사람이 열쇠가 공개되어 있으니 누구나 뜯어볼 수 있다. 애당초 이런 이유로 비대칭성 암호라고 하는 것이다. 이 문제를 우회하려면 반드시 대칭형 암호가 병행되어야 한다. 비대칭 암호화로 대칭형 암호의 열쇠를 안전히 전달하여 그 열쇠로 암호를 풀게하면 비밀 유지와 인증 문제가 동시에 해결된다.
8. 여담
잘 알려져 있지 않은 사실이지만 하이젠베르크는 아인슈타인과의 대화에서 이 원리를 떠올렸다. 아인슈타인은 물리학이 관측 가능한 것들만을 토대로 해야 한다는 하이젠베르크의 생각에 이의를 제기하고 '관측' 혹은 '관측장비'라는 요소가 필연적으로 그 사이에 끼어들 수 밖에 없다는 것을 상기시켰다는 것이다. 아인슈타인의 의도는 아마도 관측 내용에 의존하는 양자역학적 이론의 비직관성에 이의를 제기하는 것이었겠지만 하이젠베르크는 다른 방식으로 이 아이디어를 발전시켰다. 대중 일반에 농담처럼 알려진 것과는 달리 아인슈타인은 양자역학적 토대를 마련하는 데 있어 누구 못지 않은 공로가 있다.2012학년도 대학수학능력시험 언어 영역의 비문학 독해 과학 파트에 불확정성의 원리를 설명한 지문과 문제가 마지막 지문(47~50번)으로 출제되었다. 비트겐슈타인의 논리/철학 논고를 다룬 인문 지문, 조선시대 사대부들의 중국어 표기 방법을 다룬 언어 지문과 더불어 언어 영역의 변별력 확보를 위해 출제된 것으로 보인다. 그러나 실제로 지문이 그렇게 어렵지 않았기 때문에 문과생이라 하더라도 모두 맞힐 수 있는 수준이다. 말 그대로 일반인을 위한 교양 과학 수준으로 출제되어서 2010년대 학생들에게 불확정성의 원리의 인지도를 높이는 요인이 되었다.
은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서에서는 이 원리를 우주선 순수한 마음 호의 추진 장치로 사용해 버린다. 입자의 위치와 운동량은 동시에 어떠한 정확도 이상으로는 측정되지 않는다는 것을 이용하여 어느 물체의 정확도를 엄청나게 낮춰버려 우주의 모든 곳에 있어도 이상하지 않을 정도로 이동한다고 한다. 이걸 사용하면 하이퍼 스페이스보다 더 빠르게 이동할 수 있으나, 여러 가지 부작용(원하지도 않았던 승객이 탑승한다든가,[37] 행성의 미래를 바꿔버린다든가, 역사를 바꿔버린다든가 기타 등등)이 있지만, 다 필요없다. 그리고 더군다나 이 방식을 이용하고 정확한 좌표만 알면 어디든지 갈 수 있기에, 여러 역장으로 막혀져 있는 곳에 있는 사람, 예를 들어 우주를 지배하는 사람에게 갈 수 있는 방법 중 하나로 등장한다.
이 불확정성 원리는 관찰 대상과 관찰자 모두 같은 우주 즉 같은 '계'(System)안에 존재한다는 대전제를 깔고 있다. 만약 관찰자가 시스템의 외부에 존재한다면 이 불확정성 원리는 깨진다. 단 흔한 오해와 달리 시뮬레이션은 이 전제를 깨지 못한다. 시뮬레이션에서 다루는 정보라는 것의 정체가 엔트로피라는 게 이미 밝혀진 현재로서 시뮬레이션 결과를 읽는 것은 결국 엔트로피를 측정하는 것과 동의어이고 결국 불확정성 원리를 우회하지는 못한다. 일상생활에서 이를 크게 느끼지 못하는 것은 단순히 대응원리탓으로 디지털 컴퓨터에서 단순히 1비트를 표기하는 데 쓰이는 전자 수만 고려해도 충분히 거시적 근사가 가능한 수준이다.
포르투갈 영화감독 마노엘 드 올리베이라의 2002년 영화 불확실성의 원리는 이 이론에서 영화 제목을 따왔다. 내용 자체는 과학 이론과 연관 없이 부르주아들의 연애를 다룬 내용이지만, 서사 구조 면에서 의외로 영향을 받은 구석이 있다고 평가받는다. [38]
혹자들은 불확정성의 원리를 우주 시뮬레이션 이론의 대표적인 근거로 뽑기도 한다. 관측되기 전까지 정해진 값이 존재하지 않는 것은, 우리를 시뮬레이션 하는 거대한 시뮬레이터의 (인류가 거시적 세계에서 관측하지 않은 물리적 현상을 생략하는) 일종의 최적화 작업이고 이러한 최적화 작업이 존재한다는 것은 우리 우주가 시뮬레이션 된 허상이라는 증거라는 것이다. 우주가 완벽한 시뮬레이션이라면 이를 증명할 방법도 반증할 방법도 없기에 주류 학계에서는 별로 신경쓰지 않는 이론이지만 물리학자 브라이언 그린은 만일 우주가 시뮬레이션이 맞다면 언젠가 인류의 기술이 고도로 발달했을 때 메모리 한계로 생기는 물리법칙의 오차를 관찰할 수도 있을 것으로 추측했다.
미치오 카쿠는 결정론과 자유의지에 대한 논쟁에서 불확정성 원리가 바로 자유의지의 정체가 아닐까 하는 의견을 내놓았다. 하지만 이 주장은 논리적 비약이라는 의견이 많은데 설령 입자의 움직임이 진정으로 랜덤하고 그 랜덤성이 인간의 사고과정에 영향을 미쳐 결정론적으로 예측할 수 없는 랜덤한 행동으로 나타난다고 해도 이는 여전히 물리법칙에 의한 결과일 뿐이다. 각본대로 움직이는 꼭두각시 인형과 다르게 무작위로 흔들리는 꼭두각시 인형이 자유의지가 있다고는 할 수 없다. 인문학자들이 종종 물리학 개념에 대해 상당한 몰이해로 일관하는 것처럼 물리학자들 역시 철학적 개념에 대해 미묘한 몰이해를 드러내는 경우 중 하나라고 보아도 좋을 것이다. 의외로 랜덤 = 자유의지로 이해하는 네임드 과학자들이 꽤 되는 편.
우주 탐사에 초점을 맞춘 액션 어드벤처 게임 Outer Wilds에서도 초신성과 함께 불확정성 원리가 작중 핵심 떡밥으로 작용한다.
2024학년도 EBS 수능특강 국어영역 독서 주제통합 6번 지문의 소재로 나왔다.
[1] 물리학적으로는 입자 간 상호작용과 완전 똑같다. 왜냐하면 관측을 위해선 무조건 상호작용을 해야 하기 때문이다. 예를 들어 중성미자는 광자랑 상호 작용을 안함에 따라 통상적인 방법으로는 측정이 불가능하여, 현대에는 지하에다 물 떠다놓아 중성미자랑 물 분자 사이 약한 상호작용을 통해 중성미자를 측정한다.[2] 복사전이에서는 아인슈타인 계수 [math(A_{21})](들뜬상태의 원자나 분자의 단위시간당 여기율)의 역수에 해당하는 값이며, 핵붕괴에서는 붕괴하는 핵의 평균수명 [math(\tau=\cfrac{T_{\frac12}}{\ln2})][math(\Bigl(T_{\frac12})]은 반감기[math(\Bigr))]에 해당하는 값이다.[3] 쿠르츠게작트의 영상. 하술되어있듯 이 설명은 일반인 눈높이에 맞추어 아주 굉장히 단순화한 형태이다.[4] 더 엄밀하게 말하자면, 슈뢰딩거 방정식의 유무에 관계없이 양자역학의 가정을 코펜하겐 해석에 따른다면 반드시 도출되는 결과이다. 다만 해당 설명을 제대로 이해하기 위해서는 리군(Lie group)이나 푸리에변환(Fourier transformation)이 파동함수를 어떻게 바꾸거나 표현하는지를 파악할 필요가 있다. 그래서 슈뢰딩거 방정식에서 등장하는 연산자를 통해 쉽게 증명할 수 있는 방법을 보여준다. 그런데, 슈뢰딩거 방정식의 연산자들의 관계를 설정한 것이 불확정성으로부터 나온 것이니, 마치 결과를 원인에 집어 넣어 다시 결과가 맞았다고 주장하는 순환논리가 되므로, 착각하지 말고 현명한 판단을 하도록 잘 분별하자.[5] 양자역학에서는 정규분포곡선처럼 덩어리진 모양도 파동으로 간주된다. 우리가 입자로 보는것도 모두 이런 덩어리들인 것.[6] 복사전이에서는 복사전이에 따른 방출선이나 흡수선의 주파수, 핵붕괴에서는 붕괴에서 나오는 알파선이나 감마선의 에너지에 상응한다. 베타 붕괴의 경우는 베타선과 중성미자가 붕괴 에너지를 무작위의 비율로 나눠 갖고 방출된다.[7] 자연선폭은 주로 핵붕괴에서 중요하고, 복사전이에서는 원자나 분자의 열운동에 따른 열적 도플러 선폭이 훨씬 중요하다. 이때 열적 도플러 선폭은 가우스 선윤곽(정규분포곡선과 형태가 같다)을 따른다. 또한 복사전이의 경우 복사전이에 따른 복사 방출이 일어날 때 복사를 내는 입자가 다른 입자와 충돌하면 순간적으로 복사의 위상이 일시적으로 뒤집히면서 복사의 진동수에 불확실성이 생기는데(충돌 선폭 증가) 이 역시 자연선폭처럼 로런츠 선윤곽을 따른다. 로런츠 선윤곽과 가우스 선윤곽 중 어느 한 쪽을 무시할 수 없는 경우에 선윤곽은 둘의 합성곱인 포크트 선윤곽(Voigt profile)을 따른다.[8] 양자역학에서는 빛도 하나의 입자로 취급할 수 있다.[9] 이래서 정말로 사전지식 없이 처음으로 실제 원리를 정식으로 설명하는 걸 듣고 있으면 '내가 뭘 들은 거지' 같은 느낌이 든다.[10] 정확히 말하자면 관측하고자 하는 입자의 파동함수가 관측하는 물리량에 대응되는 연산자의 고유(eigen)상태가 아닐 때 불확정성은 0이 아니다. 입자의 파동함수가 특정 연산자에 대해 고유상태일 때는, 운동량과 위치 같이 불확정성 관계에 있는 대응하는 연산자의 불확정성은 무한대이다.[11] 반대로 위치의 표준편차가 0이라는 뜻은 모든 사건에서 같은 위치를 측정한 것과 같다.[12] 확률적으로 다른 값을 가지는 상태는 분명 존재하기 때문이다. 대신 사건의 수가 늘어나면 표준편차의 크기가 줄어드는 대수의 법칙도 있다.[13] 오히려, 파동함수에서 위치에 대한 정보를 선택하는 것과 운동량에 대한 정보를 선택하는 것 이 둘을 동시에 할 수 없으며, 동시에 하려 하면 반드시 불확정성 원리에서 등장한 표준편차 크기가 등장한다는 것이 더 본질에 가깝다.[14] 파동함수는 반드시 고립계만을 표현한다는 것은 에렌페스트 정리를 통해서 확인이 가능한 내용이므로, 해당 내용과 연결하면 자연스럽게 전체가 망가져야하는 일은 존재하지 않는다는 것도 알 수 있다.[15] [math(x)]축: 위치, [math(y)]축: 확률 진폭(probability amplitude) 실제 확률은 확률 진폭의 제곱으로 구해진다.[16] 물질의 기본 단위가 입자임과 동시에 파동이라는 것은 이중 슬릿 실험 등으로 충분히 증명된 사실이다.[17] 극단적으로 딱 한 점으로 제한하면 운동량은 전혀 알 수 없다. 위에서 소개된 예시라든가, '전자는 너무 작아서 위치를 관찰하려고 다른 입자를 쏘는 순간 위치(운동량)가 바뀌어버린다' 따위의 케이스.[18] 극단적으로 운동량을 완벽하게 알아내고자 한다면 수학적으로 위치 x는 전혀 특정지을 수 없다.[19] '원리'는 정의에 의해 사실인 것에 붙는다. [math(1+1=2)]가 참인 이유는 [math(+)], [math(=)]라는 부호, 참이라는 개념을 어떻게 정의했냐 때문이지 어떠한 실험적 증거가 있어서 그런 게 아니듯이. 즉 양자 이론을 받아들이면 불확정성의 원리도 참이라는 결과가 나온다. 괜히 아인슈타인이 '신은 주사위를 던지지 않는다'며 죽을 때까지 양자이론을 받아들이지 않은 게 아니다.[20] 교환법칙이 성립하지 않는다는 이야기다. 교환자는 [math(\left[\hat A,\,\hat B \right] = \hat A\hat B - \hat B\hat A)]로 정의하며, 이게 0이 아니라는 것은 [math(\hat A\hat B \ne \hat B\hat A)]라는 것이다. 이상하게 보일 수 있지만, [math(\hat A)], [math(\hat B)]를 행렬과 같은 존재로 생각하면, 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 이해할 수 있을 것이다.[21] 여담이지만, 이와 같은 논리 전개는 입자물리학에서도 사용된다. 양자장론에서 입자의 생성, 소멸을 담당하는 연산자 [math(\hat a)], [math({\hat a}^\dagger)]에 대해서, 보존의 경우 (같은 운동량 모드에 대해) [math(\left[\hat a,\,{\hat a}^\dagger \right] = 1)], 페르미온의 경우 [math(\left\{\hat a,\,{\hat a}^\dagger \right\} = 1)]이라는 조건을 사용하여 이차양자화(second quantization)를 시킨다. 여기서 [math(\{\cdot\})]는 역교환자(anti-commutator)로, [math(\left\{\hat A,\,\hat B \right\} \equiv \hat A\hat B + \hat B\hat A)]로 정의된다.[22] 10-44초[23] 흔히 이런 식으로 설명하기는 하지만, 입자가 무엇인지 이해하기 이전에 입자가 없는 진공이란 게 무엇인지조차 제대로 이해하기 위해서는 양자장론을 정식으로 배우는 수밖에 없다.[24] 다음 내용은 웬만한 학부 양자역학 교재에서 찾을 수 있는 내용이다. 예를 들어 Griffiths의 Introduction to Quantum Mechanics (2nd Ed., Prentice Hall, 1995) 중 3.4를 보라.[25] 잠시 왜 저게 그 평균이 되는가를 복습해 보자. [math(\hat A)]에 해당하는 물리량이 가질 수 있는 각각의 값들 [math(a)]에 대하여 어떤 상태 [math(|a\rangle)]가 존재하여 [math({\left.\hat A\right|}a\Bigr\rangle = a\Bigl|a\Bigr\rangle)]이 성립한다. 사실 관측이라고 하는 행위를 보면 결국 주어진 상태를 [math(|a\rangle)]들 중 하나로 전이시키는 것이며, 그 확률은 다름 아닌 [math(|\langle a | \psi \rangle|^2)]와 같다. 따라서 측정을 하여 얻은 물리량의 값이 [math(a)]가 나올 확률은 [math(\displaystyle\int{\rm d}a\,a |\langle a | \psi \rangle |^2)]와 같게 된다. 이제 [math(\displaystyle\int{\rm d}a\,a |\langle a | \psi \rangle|^2 = \int{\rm d}a\,a \langle \psi |a \rangle \langle a| \psi \rangle = \int da {\left\langle \psi {\left| \hat A \right|} a \right\rangle} \Bigl\langle a \Big| \psi \Bigr\rangle = {\left\langle \psi {\left| \hat A {\left( \int{\rm d}a\,|a \rangle \langle a| \right)} \right|} \psi \right\rangle} = {\left\langle \psi {\left| \hat A \right|} \psi \right\rangle})]임을 얻게 된다. 사실 같은 이유로 측정값을 [math(a)]라 했을 때 임의의 다항식 [math(f)]에 대하여 [math(f(a))]의 평균도 비슷한 방법으로 [math({\left\langle \psi {\left| f{\left(\hat A\right)} \right|} \psi \right\rangle})]임을 알 수 있다. 이는 곧 소개될 오차 공식의 증명이기도 하다.[26] 물론 상태가 이미 주어져 있으면 그 극복할 수 없는 오차는 바꿀 수 없다.[27] 참고로 허수 성분 말고 실수 성분을 가지고 해도 바로 앞의 부등식과 아래와 비슷한 전개가 잘 성립한다. 하지만 [math(\mathcal{Re} \langle \psi_A | \psi_B \rangle = \dfrac12 {\left\langle {\left\{\hat A,\,\hat B\right\}} \right\rangle} - {\left\langle \hat A \right\rangle}{\left\langle \hat B \right\rangle})]가 되고, 결국 [math(\sigma_A\sigma_B \ge {\left| \dfrac12 {\left\langle {\left\{\hat A,\,\hat B\right\}} \right\rangle} - {\left\langle \hat A \right\rangle}{\left\langle \hat B \right\rangle} \right|})]가 되는, 재미 없는 결과가 나온다. 여기서 우변은 통계적 상관 관계(correlation)의 약간 변형된 꼴로, 풀어보면 공분산의 크기가 된다. 즉 실수부의 풀이는 공분산의 크기가 표준편차의 곱보다 작다는, 지극히 당연한 이야기를 하고 있을 뿐이며 그마저도 [math(A)]와 [math(B)]가 독립된 변수면 우변이 0이 되어 사라진다. 그런 이유로 다음 내용은 양자역학에서 복소수가 얼마나 중요한지 엿볼 수 있는 대목들 중 하나이다.[28] [math([X,\,Y]^\dagger = (XY)^\dagger - (YX)^\dagger = Y^\dagger X^\dagger - X^\dagger Y^\dagger = -{\left[X^\dagger,\,Y^\dagger\right]})]인 걸 생각하면 [math(\left[\hat A,\,\hat B\right])]는 반-에르미트 연산자(anti-Hermitian operator)일 것이고 따라서 그 고유값은 모두 순허수일 것이다. 이로부터 이 식이 항상 실수임을 알 수 있다.[29] 아인슈타인의 [math(E=mc^2)]와 더불어 간단한 모양새로 나름 유명한(?) 편이다.[30] 생각해 보면, 확률이라는 말이 붙어서 그렇지 파동방정식도 결정론적이다.[31] 양자물리학이 발전하면서 한계에 봉착함에 따라 철학도 진지하게 다루는 학자들도 많아졌다. 당장 이 불확정성 원리를 낸 하이젠베르크부터 닐스 보어 등 동양 철학에 조예가 깊은 경우가 많다. 오죽하면 철학자로도 소개될 지경이었다.[32] 즉, 일반적으로 알려진 불확정성 원리가 아니라, 하이젠베르크가 처음에 주장한 부등식. 즉, 관측이 오차를 만든다는 것에 대한 부등식. 논문을 읽어보아도 두 부등식을(Eq.1 과 Eq.2) 서로 다른 것으로 구분한다.[33] 여기서 [math(\sigma)]는 관측에 의한 양이 아니라 파동함수 자체의 불확정성이다.[34] 불확정성 원리는 양자역학으로부터 수학적으로 유도 되는 것이기 때문에 무너진다면 양자역학의 공리가 잘못되었다는 것이다. 즉 양자역학을 처음부터 다시 세워야 한다.[35] 혹은 하이젠베르크의 해석 이라고 보는 기사도 있다.(다음 각주에 링크 있음)[36] 그러나 이 실험도 하이젠베르크의 해석이 옳다는 주장이 Phys. Rev. Lett 에 실렸다는 기사 가 있다.[37] 아서 덴트와 포드 프리펙트. 다만 불확정성 원리 엔진의 부작용으로 인해 우주로 맨 몸에 쫓겨나서 살아남을 수 있는 시간인 30초가 끝나기 1초 전에 구조되었으며, 그렇게 구조되고 보니 승무원은 다른 남자가 꼬셔서 이 남자를 버리고 따라가버린 전 여친이였고, 주인이자 운전수는 바로 그 꼬신 남자였다.[38] 이 영화에서 올리베이라는 캐릭터의 이름부터 시작해 서사를 전개할 때 음향과 영상을 분리하거나 교란하면서 진행한다. 때문에 이 영화를 보는 관객은 영화의 모든 요소를 제대로 이해하지 않는 이상, 영화 속 캐릭터와 상황이 어떤 위치에 있고 어떻게 움직이는지 동시에 파악하기 힘들다. 참조