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최근 수정 시각 : 2024-08-17 03:11:00

제곱수

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1. 개요2. 성질
2.1. 자연수로 나눈 나머지2.2. 제곱수의 십의 자리 수2.3. 제곱수의 약수의 개수 (열려있는 사물함)
2.3.1. 증명
2.4. 제곱수의 역수의 합2.5. 제곱수의 합
3. 제곱수의 개수4. 제곱수 목록
4.1. 10000까지의 제곱수
5. 바리에이션
5.1. 10000까지의 세제곱수5.2. 10000까지의 네제곱수
6. 유리수에서7. 관련 문서

1. 개요

어떤 자연수[1]를 두 번 곱해서 나오는 정수. 개체가 해당 수만큼 있으면 이들을 정사각형 모양으로 배열할 수 있으므로 사각수, 정사각수라고도 한다. 즉, [math(n=m^2)]인 자연수 [math(m)]이 존재하는 [math(n)]을 말한다.

2. 성질

2.1. 자연수로 나눈 나머지

제곱수를 어떤 자연수로 나누었을 때, 나올 수 있는 나머지는 다음과 같다.
제수 나머지
3 0, 1
4 0, 1
5 0, 1, 4
6 0, 1, 3, 4
7 0, 1, 2, 4
8 0, 1, 4
9 0, 1, 4, 7
10 0, 1, 4, 5, 6, 9
...
제수가 6과 10인 경우는 각각 제수가 3과 5인 경우인 0, 1과 0, 1, 4에서 홀수와 짝수의 경우에 해당한다.

이 성질을 이용해서 어떤 자연수가 제곱수가 아님을 일차적으로 판별할 수 있다.

제곱수를 자연수 [math(n)]으로 나누었을 때, [math(n)] 미만의 제곱수 [math(k^2)] (단, [math(k)]는 음이 아닌 정수)는 항상 나머지로 나올 수 있다. [math(an+k)] (단, [math(a)]는 음이 아닌 정수)의 제곱은 [math((an+k)^2 = a^2n^2+2ank+k^2 = n(a^2n+2ak)+k^2)]이므로 [math(a)]의 값에 관계없이 [math(n)]으로 나눈 나머지가 항상 [math(k^2)]이기 때문이다.

제곱수 [math(k^2)]를 자연수 [math(n)]으로 나누었을 때의 나머지가 [math(m)]이면 [math((k+n)^2)]를 [math(n)]으로 나눈 나머지도 역시 [math(m)]이다. 증명은 다음과 같다.
먼저 [math(k^2 = an+m)]이라고 가정하자. 이때 다음이 성립한다.
  • [math((k+n)^2 = k^2+2kn+n^2 = an+m+2kn+n^2 = (a+2k+n)n+m)]
따라서 [math((k+n)^2)]를 [math(n)]으로 나눈 나머지 역시 [math(m)]이다.

이를 일반화하면, 이때 임의의 자연수 [math(p)]에 대해 [math((k+pn)^2)]를 [math(n)]으로 나눈 나머지도 역시 [math(m)]이다. 증명은 앞의 증명의 계산식을 다음으로 바꾸기만 하면 된다.
따라서 제곱수를 특정 자연수 [math(n)]으로 나눈 나머지로 나올 수 있는 값을 모두 확인하려면, 1부터 [math(n)]까지의 자연수의 제곱을 [math(n)]으로 나눈 나머지만 모두 확인하면 된다. 1부터 [math(n-1)]까지의 자연수의 제곱을 [math(n)]으로 나눈 나머지와 0의 합집합으로 해도 된다.

2.2. 제곱수의 십의 자리 수

제곱하기 전의 원래 수 [math(n)]을 10으로 나눈 나머지 [math(k)]가 0, 1, ..., 9인 경우 그 제곱수 [math(n^2)]를 20으로 나눈 나머지 [math(m = n^2 \mod 20)]는 다음과 같다.
[math(k)] [math(n^2)] [math(m)]
0 [math((10a)^2=100a^2)] 0
1 [math((10a+1)^2=100a^2+20a+1)] 1
2 [math((10a+2)^2=100a^2+40a+4)] 4
3 [math((10a+3)^2=100a^2+60a+9)] 9
4 [math((10a+4)^2=100a^2+80a+16)] 16
5 [math((10a+5)^2=100a^2+100a+25)] 5
6 [math((10a+6)^2=100a^2+120a+36)] 16
7 [math((10a+7)^2=100a^2+140a+49)] 9
8 [math((10a+8)^2=100a^2+160a+64)] 4
9 [math((10a+9)^2=100a^2+180a+81)] 1

따라서 다음을 알 수 있다.

2.3. 제곱수의 약수의 개수 (열려있는 사물함)

열려있는 사물함은 대개 이런 문제로 알려져 있다.
학생 100명이 있고, 사물함이 100개가 있다.
그리고 학생들에게 1부터 100까지의 번호를 부여해주고, 사물함에도 1부터 100까지의 번호를 부여해준다.
사물함은 모두 닫혀있다고 했을때,
1번 학생은 자기 번호의 배수인 사물함을 연다.
2번 학생은 자기 번호의 배수인 사물함을 닫는다.
3번 학생은 자기 번호의 배수인 사물함이 열려있으면 닫고 닫혀있으면 연다.
4번 학생은 자기 번호의 배수인 사물함이 열려있으면 닫고 닫혀있으면 연다.
...
99번 학생은 자기 번호의 배수인 사물함이 열려있으면 닫고, 닫혀있으면 연다.
100번 학생은 자기 번호의 배수인 사물함이 열려있으면 닫고, 닫혀있으면 연다.
자. 그렇다면 100번 학생까지 이 과정을 마쳤을 때, 열려있는 사물함의 개수는 몇 개일까?

이런 문제는 1부터 n까지의 제곱수를 구하면 된다.

원리는 닫혀있으면 열고, 열려있으면 닫는 데에 있다.
번호 여는 과정 열리거나 닫히는 횟수
1번 열고 1번
2번 열고 닫고 2번
3번 열고 닫고 2번
4번 열고 닫고 열고 3번
...
99번 열고 닫고 열고 닫고 열고 닫고 6번
100번 열고 닫고 열고 닫고 열고 닫고 열고 닫고 열고 9번

또한 열리거나 닫히는 횟수는 그 수의 약수의 개수와 일치하는데, 열려있는 번호는 약수의 갯수가 홀수 개다. 이는 제곱수의 특징인 약수가 홀수개라는 것을 보여준다.

2.3.1. 증명

제곱수의 약수가 홀수 개임을 증명하면 다음과 같다.
먼저 [math(1^2=1)]의 약수는 1뿐으로 1개이므로 홀수 개이다.

1을 제외한 모든 제곱수는 [math((p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k})^2 = p_1^{2a_1}p_2^{2a_2} \cdots p_k^{2a_k})] (단, [math(k)]와 [math(a_1)], [math(a_2)], ..., [math(a_k)]는 자연수이고 [math(p_1)], [math(p_2)], ..., [math(p_k)]는 서로 다른 소수)로 나타낼 수 있다.

이 수의 약수는 [math((2a_1+1)(2a_2+1) \cdots (2a_k+1))]개이며, 여기서 [math(2a_1+1)], [math(2a_2+1)], ..., [math(2a_k+1)]은 모두 홀수이므로 이들의 곱인 약수의 개수 역시 홀수이다.

따라서 모든 제곱수의 약수의 개수는 홀수이다.
이 증명을 통해 다음을 알 수 있다.

2.4. 제곱수의 역수의 합

레온하르트 오일러는 제곱수의 역수의 합을 다음과 같이 계산했다. 놀랍게도 결과값으로 원주율이 튀어나온다. 이외에도 푸리에 급수를 이용하여 같은 결과를 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} \cdots = \frac{\pi^2}{6})]
또한 오일러는 같은 방식으로 네제곱수의 역수합[2]도 계산해냈다. 이후 이를 일반화한 것이 그 유명한 리만 제타 함수이다.

2.5. 제곱수의 합

위에서 제곱수의 역수 합을 구했으니 본래의 제곱수의 합도 구할 수 있는데, 1부터 n까지의 자연수의 제곱수의 합은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6})]

증명은 다음과 같다. 이때 1부터 n까지의 자연수의 합이
[math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2})]
임을 이용한다.
[math((k+1)^3-k^3 = 3k^2+3k+1)]에 [math(k=1,2,\cdots ,n)]을 차례대로 대입하면 다음과 같다.
  • [math(2^3-1^3 = 3\cdot 1^2+3\cdot 1+1)]
  • [math(3^3-2^3 = 3\cdot 2^2+3\cdot 2+1)]
  • [math(\cdots)]
  • [math(n^3-(n-1)^3 = 3n^2+3n+1)]

위 식을 모두 더하면 다음과 같다.
  • [math(n^3-1 = 3\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k+n = 3\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n)][3]

이 식을 정리하면 다음과 같다.
  • [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6})]

1부터 무한대까지의 제곱수의 합을 구할 때 특정한 계산 방법을 이용하면 아래와 같이 황당한 상황이 벌어진다.
[math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 \cdots = 0)]
0보다 큰 수를 모두 더하면 0이 되어버리는 이변이 생겼다. 사실 이 무한합은 원래라면 무한대로 발산하지만, 베른하르트 리만이 제타 함수를 복소해석학을 이용해 해석적으로 확장해서 계산해낸 값이다.[4]

3. 제곱수의 개수

1부터 [math(n)]까지의 자연수 중 제곱수의 개수는 [math(\left\lfloor \sqrt n \right\rfloor)]개이다. 예를 들어 1부터 500까지의 제곱수의 개수는 [math(\left\lfloor \sqrt {500} \right\rfloor = 22)]개이다.

4. 제곱수 목록

1~100까지의 제곱수이다. 솔직히 구구단만 하면 1~10까지는 기본이다
1~20까지의 제곱수는 외워두면 좋다. 중학교 수학부터 자주 이용하게 되고 고등학교 3학년까지 활용할 수 있다. 특히 완전제곱식 꼴의 인수분해에서 자주 사용된다.

4.1. 10000까지의 제곱수

5. 바리에이션

어떤 자연수를 세 번 곱해서 나오는 자연수를 세제곱수라고 하며, 네 번 곱하면 네제곱수 등으로 부른다. 이 중 세제곱수는 정육면체, 네제곱수는 정팔포체 배열을 할 수 있다.

두 자연수 [math(m)], [math(n)]에 대해서, 어떤 자연수 [math(k)]의 [math(mn)]제곱은 항상 [math(m)]제곱수이자 [math(n)]제곱수이다. [math(k^{mn}=(k^m)^n=(k^n)^m)]이기 때문이다.

5.1. 10000까지의 세제곱수

5.2. 10000까지의 네제곱수

6. 유리수에서

[math(\dfrac{101}{99^3}=\dfrac{101}{970299})]를 소수로 계산하면

[math(0.00\red {01}04\red {09}16\red {25}36\red {49}64 \cdots)]와 같이 제곱수가 나타난다.

마찬가지로 [math(\dfrac{1001}{999^3}=\dfrac{1001}{997002999})]를 소수로 계산하면

[math(0.000\red {001}004\red {009}016\red {025}036\red {049}064\red {081}100\red {121}144 \red{169}196 \red{225} \cdots)]과 같이 제곱수가 나타난다.

이를 일반화하면 다음과 같다.

[math(\displaystyle \frac{10^n+1}{(10^n-1)^3} = 0^2\cdot (\frac{1}{10})^n + 1^2\cdot (\frac{1}{10})^{2n} + 2^2\cdot (\frac{1}{10})^{3n} + \cdots = \sum_{k=1}^{\infty} (k-1)^2\cdot (\frac{1}{10})^{kn})]

7. 관련 문서


[1] 이 조건이 붙지 않으면 모든 수가 제곱수가 된다(제곱근 문서 참조). 만약 붙지 않으면, 허수도 제곱수이다. 사실, 매우 엄밀히 따지면 허수도 제곱수가 맞긴 맞다.[2] [math(\dfrac{\pi^4}{90})][3] 이 식은 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^2 \frac{(-1)^k}{3} \binom{3}k B_k n^{3-k})]로 변형 가능하다. [math(\binom{3}k)]는 조합, [math(B_k)]는 베르누이 수열이다.[4] 참고로 짝수 제곱의 무한합은 모두 0이 나오는데, 이를 리만 가설에서의 '자명한 근'이라고 한다. '자명'한 근이라고 불리는 이유에 대해서는 문서 참조.[5] 네제곱수는 제곱수의 제곱이므로, 네제곱수는 모두 2제곱수이다. 또한 6제곱수는 모두 2제곱수이자 3제곱수이다.

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