| 정수론 Number Theory | |||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | 공리 | ||
| 페아노 공리계 · 정렬 원리 · 수학적 귀납법 · 아르키메데스 성질 | |||
| 산술 | |||
| 나눗셈 | 약수·배수 | 배수 · 약수(소인수) · 소인수분해(목록 · 알고리즘) · 공배수 · 공약수 · 최소공배수 · 최대공약수 | |
| 약수들의 합에 따른 수의 분류 | 완전수 · 부족수 · 과잉수 · 친화수 · 사교수 · 혼약수 · 반완전수 · 불가촉 수 · 괴짜수 | ||
| 정리 | 베주 항등식 · 산술의 기본정리 · 나눗셈 정리 | ||
| 기타 | 유클리드 호제법 · 서로소 | ||
| 디오판토스 방정식 | 페르마의 마지막 정리 · 피타고라스 세 쌍 · 버치-스위너턴다이어 추측(미해결) | ||
| 모듈러 연산 | |||
| 잉여역수 · 2차 잉여 · 기약잉여계 · 완전잉여계 · 중국인의 나머지 정리 · 합동식 · 페르마의 소정리 · 오일러 정리 · 윌슨의 정리 | |||
| 소수론 | |||
| 수의 분류 | 소수 · 합성수 · 메르센 소수 · 쌍둥이 소수(사촌 소수 · 섹시 소수) · 페르마 소수 · 레퓨닛 수 | ||
| 분야 | 대수적 정수론(대수적 정수론/심화) · 해석적 정수론 | ||
| 산술함수 | 뫼비우스 함수 · 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 소수생성다항식 | ||
| 정리 | 그린 타오 정리 · 페르마의 두 제곱수 정리 · 디리클레 정리 · 소피 제르맹의 정리 · 리만 가설(미해결) · 골드바흐 추측(미해결)(천의 정리) · 폴리냑 추측(미해결) · 소수 정리 | ||
| 기타 | 에라토스테네스의 체 · 윌런스의 공식 | ||
1. 개요
[math(a)]가 하나의 정수일 때, 법[1] n에 대한 a의 잉여역수(arithmethic inverse) 란 aa'를 n으로 나눈 나머지가 1임을 만족하는 수 a'를 말한다. 이는 윌슨의 정리 증명 시 사용되는 개념이다. 잉여역원이라고도 한다.법 n이 소수일 경우, 페르마의 소정리 및 확장된 유클리드 호제법을 응용한 방법으로 잉여역수를 구할 수 있다.
2. 일반항
[math(a')]가 법 [math(n)]에 대한 [math(a)]의 잉여역수일 때, [math(aa'=kn+1)]([math(k)]는 정수)이므로 [math(\displaystyle a'=\frac{1+kn}{a})]([math(k)]는 정수)가 성립하며, 이것이 일반항이라고 할 수 있다. 따라서 잉여역수의 일반항을 수열이라고 하면 이것은 등차수열이다. 예를 들어 법 [math(5)]에 대한 [math(3)]의 잉여역수는 [math(3a')]를 [math(5)]로 나눈 나머지가 [math(1)]인 수 a'로, [math(\displaystyle a'=\frac{1+5k}{3})](k는 정수)꼴이며, k=1일 때 a'=2가 한 예이다.3. 성질
서로소인 두 정수 a([math(\not=0)]), n에 대하여 법 n에 대한 a의 잉여역수는 법 n에 대한 완전잉여계에 유일하게 존재한다.
3.1. 존재성
명제의 역도 성립한다. 즉, a와 n이 서로소이면 [math(aa'=1)] (mod n)을 만족하는 정수 a'이 존재한다.증명
베주 항등식에 의해 ax+ny=1을 만족하는 정수 x, y가 존재한다. 따라서 [math(ax\equiv 1)] (mod n)
역으로 [math(aa'\equiv 1)] (mod n)이면 aa'-kn=1을 만족하는 정수 k가 존재하므로 베주 항등식에 의해 gcd(a, n)=1이다.
3.2. 유일성
이제 유일성을 보이자. c, d가 법 n에 대한 a의 잉여역수라고 하자. 잉여역수의 정의에 의해 [math(ac\equiv ad\equiv 1)](mod n)이므로 [math(ac-ad=a(c-d)\equiv 0)] (mod n)임을 알 수 있다. 합동식의 정의에 의해 n|a(c-d)이고, gcd(a, n)=1이므로 [math(n|c-d)]을 얻는다. 따라서 c와 d를 n으로 나눈 나머지는 서로 같다. 즉, [math(c\equiv d)] (mod n)이므로 법 n에 대한 a의 잉여역수는 법 n에 대한 완전잉여계에 유일하게 존재한다. 이것을 잉여역수의 유일성이라고 한다.[1] 표수(characteristic)라고도 한다.