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1. 개요
倍數 / Multiple어떤 정수의 ‘정수 배’가 되는 정수.[1] 예를 들어, [math(4)]는 [math(2)]의 두 배이므로 [math(4)]는 [math(2)]의 배수가 된다. 수학적인 정의는 다음과 같다.
기초적인 것은 5학년 올라와서 배우지만, 중학교 입학하게 되면 더 심화된 내용으로 나온다.
| 정수 [math(a)]가 정수 [math(b)]의 배수가 된다는 것은 어떤 정수 [math(k)]가 존재하여 [math(a = kb)]가 성립함을 의미한다. |
따라서 배수는 음수에 대하여도 정의된다.[2] 예를 들면, [math(-6)]은 [math(3)]에 [math(-2)]를 곱한 것이므로 [math(-6)]은 [math(3)]의 배수이다. [math(0)]은 [math(3)]에 [math(0)]을 곱한 것이므로 [math(0)]도 [math(3)]의 배수가 된다. 그리고 원래 [math(0)]은 모든 정수의 배수이다. 왜냐하면 임의의 정수 [math(b)]에 대하여 [math(b * 0 = 0)]이기 때문이다. 따라서 [math(0)]의 배수는 정의되지 않는다.
정수 [math(a)]가 정수 [math(b)]의 배수이면 [math(b)]는 [math(a)]의 약수이다.
두 개의 정수 [math(a)]와 [math(b)]에 대해서, [math(a)]가 [math(b)]의 배수이면, [math(b)]|[math(a)]로 표기한다.
2. 배수 판별법
이 문단은
어떤 자연수의 배수들은 공통된 성질을 띄는 경우가 있다. 이것을 이용하여 직접 나누기에는 큰 정수가 어떤 자연수의 배수인지 아닌지를 쉽게 판별할 수 있다. 정수 0은 모든 정수의 배수기도 하고 적용되지 않는 경우도 있기 때문에, 아래의 방법에서 제외한다. 두 자리 이상의 합성수 배수(2의 거듭제곱수, 10 제외)에는 굵은 글씨로 표기하였다.
다음 제공되는 수를 약수로 가지면서 동일한 방법을 적용할 수 있는 경우는 작성하지 않았다.
어떤 수가 합성수의 배수인지 아닌지 판정하려면 해당 수의 유니타리 약수[3]의 배수 판정법들을 이용하면 된다. 예를 들어 84의 경우는 22(=4), 3, 그리고 7의 공배수임을 이용하면 된다.
밑에 있는 모든 방법들은 우리가 10진법으로 수를 표기하기 때문에 나타나는 판별법임을 이해해야 한다. 우선 수(수량)라는 것은 나타낸 진법과는 상관이 없어서 그 어떤 진법으로 표기해도 특정 수에 대한 배수 여부는 동일하다. 증명법을 보면 알겠지만 밑에 나와 있는 배수 판별법은 우리가 수를 (10 미만의 자연수)×(10의 거듭제곱)의 합으로 나타내는 10진법으로 표현하기 때문에 가능하다. 즉 예를 들어 11진법이나 5진법으로 수를 나타낸다면 밑의 모든 방법은 쓰지 못한다. 반대로 말하자면 다른 진법으로 나타낸 수에 대한 배수 판별법은 그 진법에 대해 새로 만들 수도 있다.
끝 자리와 관련된 판별법
- 1의 배수: 모든 자연수(정수). 1은 곱셈의 항등원이다.
- 2의 배수: '일의 자리'가 0 또는 2의 배수(2, 4, 6, 8), 즉 "모든 짝수가 2의 배수이다".
- 2의 거듭 제곱(n = 2m = 2, 4, 8, 16, ...) 배수 : 끝 m자리가 n의 배수인 수.
- {{{#!folding 2의 거듭 제곱의 배수 (다른 판별법) [ 펼치기 · 접기 ]
- 4의 배수: 십의 자리와 일의 자리가 모두 0인 수, 십의 자리가 홀수면 일의 자리가 2 또는 6, 십의 자리가 짝수면 일의 자리가 0, 4, 또는 8인 수.[4]
- 8의 배수: 십의 자리를 2배한 수를 a라고 놓고 그 a에 일의 자리를 더한 수를 b라고 놓는다. 만약 백의 자리가 홀수이면 b가 4의 배수이되 8의 배수는 아닐 경우, 백의 자리가 없거나 짝수이면 b가 0이거나 8의 배수일 경우 8의 배수다.[5]
더 간단히 판별하자면, 백의 자리가 없거나 짝수이면 끝의 두 자리(십의 자리와 일의 자리)가 8의 배수일 경우, 백의 자리가 홀수이면 끝의 두 자리만 취한 값에서 4를 더한 값이 8의 배수일 경우 8의 배수다. - 16의 배수: 우선 끝의 두 자리만 취한 값을 a로 놓는다. 그리고 끝의 네 자리 중 앞의 두 자리(천의 자리와 백의 자리)를 b로 놓고 b를 4로 나눈 다음 그 나머지에 4를 곱해서 a에 더해 본다. 그 결과 a가 0이거나 16의 배수이면 그 수는 16의 배수다.[6]
다른 방법으로는, 천의 자리와 백의 자리를 떼어낸 후 4를 곱하고 나서 십의 자리와 일의 자리를 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 bc×4+de=16×k. - 32의 배수: 만의 자리와 천의 자리와 백의 자리를 떼어낸 후 4를 곱하고 나서 십의 자리와 일의 자리를 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 4(abc)+de=32k.
- 64의 배수: 십만의 자리와 만의 자리와 천의 자리와 백의 자리를 떼어낸 후 4를 곱하고 나서 십의 자리와 일의 자리를 더한다. 예를 들어 abcdef가 있다면 4(abcd)+ef=64k.
}}} - 5의 배수: '일의 자리'가 5 또는 0인 수.
- 5의 거듭 제곱(n = 5m = 5, 25, 125, ...) 배수 : 끝 m자리가 n의 배수인 수.
- 10의 배수: 두 자리 이상이면서 '일의 자리'가 0인 수[7]
- 10의 거듭 제곱(n = 10m = 10, 100, 1 000, ...) 배수 : 끝 m자리가 모두 0인 수.
(n = 2m = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...) 배수
자릿수 각각의 합/차와 관련된 판별법
- 3의 배수: 각 자릿수의 합이 3의 배수인 수.[8] 나온 수로도 짐작이 안 될 경우엔 반복하면 된다.
더 쉽게 판별하려면, 먼저 0, 3, 6, 9를 지운 뒤에 남은 자릿수를 3의 배수가 되도록 묶는다. - 9의 배수: (3의 배수 중) 각 자릿수의 합이 9의 배수인 수.[9] 한자리 수가 나올 때까지 반복 작업할 경우 최종적으로 9가 나오는 수.
- 11의 배수: 짝수 자리(십, 천, 십만, 천만, ...)의 숫자들의 합과 홀수 자리(일, 백, 만, 백만, 억, ...)의 숫자들의 합의 차가 11의 배수인 수.[10][11]
다른 방법으로는 일의 자리를 제외한 뒤 남은 숫자에 본래의 수의 일의 자리를 빼서 11의 배수로 나오는 수도 있다.[12][13]
- 6의 배수: 각 자릿수의 합이 3의 배수인 수 중 짝수인 수. 즉 2와 3의 공배수.[14]
이러한 서로소인 두 수 이상의 곱으로 나타낼 수 있는 수는 해당 수의 유니타리 약수의 공배수임을 이용하면 된다.
여기서부턴 소수의 경우 성질을 이용한 획기적인 배수 판별법이 없다. 따라서 본래 수와 수에서 일부 자릿수를 떼어낸 수를 적당히 더하고 빼서 배수 여부가 동일하도록 만드는 배수 판별법을 쓴다. 배수 여부만 확인할 수 있을 뿐 위의 것들과는 달리 합동이 본래 수가 아닌 변형된 식에 대해서 성립하므로 나눈 나머지를 구할 수 없다는 단점이 있다.
- 7의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤, 이 제외된 숫자를 2배하여 남은 숫자에서 뺀다.[15] 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-2e=7k[16]. 쉽게 설명하자면 임의의 수 a가 7의 배수인지를 판별하고자 할 때 a를 10으로 나눈 값을 b라고 놓고 그 나머지를 c라고 놓는다면 b에서 c를 2배한 값을 뺐을 때 그 값이 0이거나 7의 배수면 a는 7의 배수가 된다.[17] 이 숫자로도 짐작이 안 간다면 이를 반복, 그 결과가 7의 배수면 여태 거쳐온 숫자들도 전부 7의 배수다.
다른 방법으로는 일의 자리부터 세 자리 씩 나눠 묶은 뒤 교대로 빼고 더한 값이 7의 배수이면 본래의 수도 7의 배수다(네 자리 수 이상인 경우에만).[18] 자세한 설명은 이 문단 끝에 있는 링크를 들어가서 확인하자. 사실상 너무 어렵기 때문에 직접 나눠보는게 더 빠르다. - 13의 배수: 7의 배수판정법과 반대다. 일의 자리 숫자를 제외한 뒤에 이 일의 자리 숫자를 4배하여 남은 숫자에 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+4e=13k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
다른 방법으로는 일의 자리부터 세 자리 씩 나눠 묶은 뒤 교대로 빼고 더한 값이 13의 배수이면 본래의 수도 13의 배수다(네 자리 수 이상인 경우에만). - 17의 배수: 7의 배수판정법과 비슷하게, 일의 자리 숫자를 제외한 뒤에 이 제외된 숫자를 5배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-5e=17k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
- 19의 배수: 7의 배수판정법과 반대이다. 일의 자리 숫자를 제외한 후, 이 제외된 숫자를 2배하여 남은 숫자에 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+2e=19k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
- 21의 배수: 7의 배수판정법과 동일하게 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤, 이 제외된 숫자를 2배하여 남은 숫자에서 빼고, 각 자릿수를 더했을시, 3의 배수가 되면 그 수도 21의 배수이다.
- 23의 배수: 7의 배수판정법과 반대다. 일의 자리 숫자를 제외한 후, 이 제외된 숫자를 3배하여 남은 숫자의 2배를 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 3(abcd)-2e=23k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
다른 방법으로는 일의 자리 숫자를 제외한, 후 이 제외된 숫자에서 일의 자리 숫자의 7배를 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+7e=23k. 얼마든지 반복할 수 있다. - 27의 배수: 9의 배수의 확장 버전. 4자리 이상일 경우 일의 자리에서부터 수를 세 자리씩 나눠 묶은 후 이들을 더한 값이 27의 배수이면 된다.
다른 방법으로는 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 8배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-8e=27k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다. - 29의 배수: 7의 배수판정법과 반대다. 일의 자리 숫자를 제외한 후, 이 제외된 숫자를 3배하여 남은 숫자에 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+3e=29k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
- 31의 배수: 7의 배수판정법과 비슷하게, 일의 자리 숫자를 제외한 후, 이 제외된 숫자를 3배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-3e=31k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
- 33의 배수: 27의 배수 판정법과 비슷하게 일의 자리부터 두 자리씩 끊어서 더한 합이 33의 배수인 경우. 예를 들어 abcde가 있다면 a+bc+de=33k
- 37의 배수: 27의 배수와 똑같이, 4자리 이상일 경우 일의 자리에서부터 수를 세 자리씩 나눠 묶은 후 이들을 더한 값이 37의 배수이면 된다.
다른 방법으로는 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 11배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-11e=37k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다. - 41의 배수: 여섯 자리 수 이상인 경우 다섯 자리씩 나눠 묶은 후 이들을 더한 값이 41의 배수이면 된다.
- 43의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 13배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+13e=43k.
다른 방법으로는 일의 자리와 십의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 3배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abc-3(de)=43k.[19] 역시 반복할 수 있다. - 47의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 14배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-14e=47k.
다른 방법으로는 일의 자리와 십의 자리의 숫자를 제외하고 남은 숫자를 6배 한 뒤 제외된 숫자를 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 6(abc)+de=47k.[20] 역시 반복할 수 있다. - 49의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 5배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+5e=49k.
다른 방법으로는 47의 배수 판정법과 마찬가지로 일의 자리와 십의 자리의 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 2배 한 뒤 제외된 숫자를 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 2(abc)+de=49k. - 51의 배수: 17의 배수판정법과 동일하게 일의 자리 숫자를 제외한 뒤에 이 제외된 숫자를 5배하여 남은 숫자에서 뺀 값이 51의 배수이면 본래의 수도 51의 배수다.
- 53의 배수: 일의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 16배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+16e=53k.
다른 방법으로는 47의 배수 판정법과 반대로 일의 자리와 십의 자리를 제외하고 남은 숫자를 6배 한 뒤 제외된 숫자를 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 6(abc)-de=53k. - 59의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 6배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+6e=59k.
- 61의 배수: 일의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 6배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-6×e=61k.
- 67의 배수: 일의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 20배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-20e=67k.
다른 방법으로는 일의 자리와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 2배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abc-2(de)=67k. - 71의 배수: 일의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 7배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-7e=71k.
- 73의 배수: 7의 배수 판정법과 비슷하게 네 자리 씩 끊어서 오른쪽부터 교대로 빼고 더하고를 반복한다. 예를 들어 abcdefghi가 있다면 fghi-bcde+a=73k
- 77의 배수: 7의 배수 판정법과 동일하게 세 자리 씩 끊어서 교대로 빼고 더한 값이 77의 배수인 경우.
- 79의 배수: 19의 배수 판정법과 비슷하다. 일의 자리 숫자를 제외한 후, 이 제외된 숫자를 8배하여 남은 숫자에 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+8e=79k.
- 81의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 8배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-8e=81k.
- 83의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 25배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+25e=83k.
- 89의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 9배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+9e=89k.
- 91의 배수: 일의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 9배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-9e=91k.
다른 방법으로는 7의 배수 판정법과 동일하게 일의 자리부터 세 자리 씩 묶은 뒤 교대로 빼고 더하고를 반복한다. - 97의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 29배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-29e=97k.
다른 방법으로는 마지막 두 자리 숫자를 제외한 후, 남은 숫자를 3배하여 제외된 숫자를 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 3(abc)+de=97k - 99의 배수: 33의 배수 판정법과 동일하게 일의 자리부터 두 자리씩 끊어서 더한 값이 99의 배수인 경우.
- 101의 배수: 일의 자리부터 두 자리씩 끊어서 교대로 빼고 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 de-bc+a=101k.
- 103의 배수: 일의 자리의 숫자와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 3배하여 제외된 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 3(abc)-de=103k.
- 107의 배수: 일의 자리의 숫자와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 7배하여 제외된 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 7(abc)-de=107k.
- 109의 배수: 일의 자리의 숫자와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 9배하여 제외된 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 9(abc)-de=109k.
- 111의 배수: 일의 자리부터 세 자리 씩 끊은 뒤에 더한다. 이 값이 111의 배수이면 본래의 수도 111의 배수다.
- 113의 배수: 일의 자리의 숫자와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 13배하여 제외된 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 13(abc)-de=113k.
- 121의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 12배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-12e=121k.
- 127의 배수: 일의 자리의 숫자와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 27배하여 제외된 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 27(abc)-de=127k.
- 131의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 13배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-13e=131k.
- 137의 배수: 73의 배수 판정법과 동일하게 네 자리 씩 끊어서 오른쪽부터 교대로 빼고 더하고를 반복한다. 예를 들어 abcdefghi가 있다면 fghi-bcde+a=137k
다른 방법으로는 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 4배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-4e=41k.
초중생 학습서에서 배수 판정법을 소개할 때 7의 배수 판정법은 없다고 못박는 경우가 많은데, 실제로는 있다. 다만, 7의 배수판정법은 까다로움이 13 이상의 큰 소수의 배수판정법과도 맥을 같이 하기 때문에 생략하는 것이다. 7의 배수 판정법을 소개한 네이버캐스트 수학산책의 글
한편, 임의의 수를 소수의 곱 꼴로 바꿀 수 있는데 이를 소인수분해라고 한다. 달리 말하면 배수는 소인수분해의 역이다.
2.1. 법칙
배수 판정법에서는 일반적으로 다음과 같은 법칙이 성립한다.- 서로소인 자연수 a1, a2, ..., an과 음이 아닌 정수 b1, b2, ..., bn에 대하여 어떤 자연수 c가 a1b1×a2b2×...×anbn의 배수일 필요충분조건은 c가 a1b1, a2b2, ..., anbn의 배수여야 한다는 것이다. 예를 들어 어떤 자연수가 200=23×52의 배수일 필요충분조건은 그 자연수가 8=23의 배수이면서 25=52의 배수여야 한다는 것이다.
- 2 이상의 자연수 n에 대하여 n진법에서 (n-1)의 배수일 필요충분조건은 각 자릿수의 합이 (n-1)의 배수여야 한다는 것이다. 예를 들어 십진법에서는 9의 배수일 필요충분조건은 각 자릿수의 합이 9의 배수여야 한다는 것이다.
- n진법에서 1부터 수를 세어 나가면 1, 2, 3, ..., (n-1), 10, 11, ...이 되는데, 여기서 값이 1 증가할 때 특정 자릿수의 값이 (n-1)에서 0으로 바뀌지 않으면 각 자릿수의 합은 1 증가한다. 또 특정 자릿수의 값이 (n-1)에서 0으로 바뀌는 경우, 나머지 자릿수 중 값이 1 증가하는 것이 하나 있기 때문에 각 자릿수의 합을 (n-1)로 나눈 나머지는 1 증가한다. 여기서 (n-1)은 (n-1)의 배수이므로 이것이 성립한다.
- 이를 확장하면 n진법에서 nk-1(k는 자연수) 또는 그 약수의 배수인지를 판정할 수 있다. 예를 들어 십진법에서 99=102-1의 배수인지를 판정하려면 일의 자리부터 두 자리씩 묶어서 그 수들의 합이 99의 배수이면 99의 배수인 것이고, 이로부터 당연히 그 약수인 11의 배수임을 알 수 있다. 예를 들어 15048은 두 자리씩 묶으면 1, 50, 48이고 1+50+48=99이므로 15048은 99의 배수이다. 위의 27, 37도 999의 약수이며, 303, 909의 배수, 41, 123, 271의 배수판정법 역시 이를 이용할 수 있다. 이론상 n진법에서 n과 서로소인 모든 수[21]에 적용이 가능하지만 그 수의 순환마디가 너무 긴 경우 적용하기 곤란해진다.[22]
- 이와 비슷하게 n진법에서 nk+1(k는 자연수) 또는 그 약수의 배수인지를 판정할 수 있다. 예를 들어 십진법에서 101=102+1의 배수인지를 판정하려면 일의 자리부터 두 자리씩 묶어서 오른쪽부터 나열한 뒤 빼고 더하고를 교대로 반복한 값이 101의 배수이면 101의 배수임을 알 수 있다. 예를 들어 34643을 두 자리씩 묶은 뒤 오른쪽부터 배열하면 43, 46, 3이고 43-46+3=0이므로 34643은 101의 배수이다. 위의 7, 11, 13, 77, 91, 143의 배수 판정법도 이 방법을 이용할 수 있으며, 73, 137, 9091 역시 이 방법을 이용한 것. 이 방법은 n진법에서 n과 서로소인 자연수여서 역수를 소수로 표현하면 순순환소수가 되면서 순환마디가 짝수인 모든 수에 적용할 수 있다. 물론 순환마디가 너무 길 경우 이 방법을 적용하기 어렵다.[23]
- 2n 또는 5n 꼴의 경우 일의 자리부터 n개 자리의 값, 즉 그 수를 10n으로 나눈 나머지가 그 수의 배수여야 한다. 예를 들어 112800은 일의 자리부터 만의 자리까지 5개 자리의 값이 12800이고, 이는 32의 배수이므로 25=32의 배수이다.
3. 관련 문서
[1] 유리수부터는 [math(0)]을 제외한 모든 수가 배수가 된다.[2] 단, 중·고등학교 교육과정에서는 양의 정수로 한정하고 있다.[3] 해당 수의 약수로 나눈 몫이, 그 약수와 서로소일 때에 부르는 이름이다. 자세한 내용은 항목 참고.[4] 달력에서 윤년 판별도 이것을 가지고 한다. 여기에 해당되는 해는 일부 예외를 제외하고는 2월 29일이 있다.[5] 예를 들어 64는 십의 자리를 2배하면 6×2=12이고 여기에 4를 더하면 16인데 백의 자리가 없고 16이 8의 배수이므로 64는 8의 배수다. 또, 768은 십의 자리를 2배해서 일의 자리를 더하면 6×2+8=20인데 백의 자리(7)가 홀수이고 20이 4의 배수이되 8의 배수가 아니므로 768은 8의 배수다.[6] 예: 이 방법으로 65536이 16의 배수인지 확인한다면 a는 끝의 두 자리인 36으로 b는 끝의 네 자리 중 앞의 두 자리인 55로 놓는다. 55를 4로 나눈 나머지는 3이므로 그 3에 4를 곱한 12를 a에 더하면 36+12=48. 그리고 48은 16의 배수이므로 65536은 16의 배수임을 알 수 있게 된다. (65536÷16=4096)[7] 이래서인지 10의 배수가 제일 간단하다, 다르게 보자면, 5의 배수 중 짝수인 수, 즉 2와 5의 공배수다.[8] 예를 들어 573은 각 자릿수의 합이 5+7+3=15이고, 15가 3의 배수이므로 573은 3의 배수다. 그러나 283은 각 자릿수의 합이 2+8+3=13이고, 13이 3의 배수가 아니므로 283은 3의 배수가 아니다.[9] 예를 들어 765는 각 자릿수의 합이 7+6+5=18이고, 18이 9의 배수이므로 765는 9의 배수다. 그러나 246은 각 자릿수의 합이 2+4+6= 12이고, 12는 3의 배수지만 9의 배수는 아니므로 246은 9의 배수가 아니다.[10] 9581=11×871, (9+8)-(5+1)=11[11] 참고로 이것은 짝수 자릿수를 가진 대칭수가 모두 11의 배수인 이유인 동시에 짝수 자릿수를 갖는 회문 소수는 11이 유일한 이유이기도 하다.[12] 예를 들어 165는 16-5=11, 253은 25-3=22 등[13] 큰 수의 경우 3의 배수처럼 계속 반복해도 되는데, 일의 자리를 빼서 나온 수가 11의 배수라면 그 수 역시 다시 일의 자리수를 뺀 값이 11의 배수가 되어야 하기 때문이다. 11^6=1771561의 경우 177156-1=177155. 다시 17715-5=17710. 17710은 그대로 1771. 177-1 = 176이고 17-6=11 식이다.[14] 예를 들어 876은 각 자릿수의 합이 8+7+6=21인 3의 배수이면서 짝수이므로 876은 6의 배수다. 그러나 315는 각 자릿수의 합은 3+1+5=9인 3의 배수이지만 홀수이므로 315는 6의 배수가 아니다. 또한 346은 짝수이지만 각 자릿수의 합이 3+4+6=13으로 3의 배수가 아니므로 346은 6의 배수가 아니다.[15] 이 방법은 '스펜스의 방법'이라고도 불린다.[16] k는 임의의 수로 정해지지 않은 불특정 수이다.[17] 1001로 예시를 든다면 1001 → 100-(1×2) = 98 = 7×14[18] 이 방법은 7이 1001의 약수임을 이용한 것으로 1001 및 1001의 다른 약수인 11, 13, 77, 91, 143에도 그대로 적용할 수 있다.[19] 6579로 예시를 든다면 65-(79×3) = 65-237 = -172 = 43×-4.[20] 235로 예시를 든다면 2×6+35=47[21] 이런 수는 n진법에서 역수를 소수(decimal number)로 표기하면 순순환소수로 나온다. 그리고 그 순환마디를 그 수에 곱하면 nk-1가 나온다.[22] 예를 들어 10진법에서 23의 배수 판정법을 이런식으로 판별하려면 1÷23의 순환마디가 22자리이므로 22자리씩 끊어야 된다.[23] 예를 들면 97의 경우 역수의 순환마디가 96자리이므로 이 방법을 적용하려면 48자리씩 끊어야 한다.