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최근 수정 시각 : 2024-12-20 00:05:09

아르키메데스 다포체


1. 개요2. 상세3. 종류
3.1. 정오포체 계열3.2. 정팔포체, 정십육포체 계열3.3. 정이십사포체 계열3.4. 정백이십포체, 정육백포체 계열
4. 측정
4.1. 정오포체 계열4.2. 정팔포체, 정십육포체 계열4.3. 정이십사포체 계열4.4. 정백이십포체, 정육백포체 계열4.5. 기타 계열
5. 5차원 이상의 아르키메데스 다포체6. 관련 문서

1. 개요

초각기둥, 듀오프리즘 종류를 제외한 아르키메데스 다면체를 4차원으로 확장시킨 도형이다. 영어로는 uniform polychoron 혹은 uniform 4-polytope로 불린다. 이것의 쌍대로는 카탈랑 다포체가 있다. 총 41가지가 있다. 다각형으로 최고 십각형까지, 다면체로 최대 깎은 십이이십면체(큰 마름모십이이십면체)까지 사용 가능하다. 한편 5차원 이상에서는 팔각형, 깎은 육팔면체(큰 마름모육팔면체), omnitruncated 정팔포체(정십육포체)까지 사용 가능하다.

2. 상세

다듬은 육팔면체와 다듬은 십이이십면체는 cw ccw 이렇게 미러링 된 2가지 모양이 존재하며 3차원에서만 가능한 조합이다. 4차원에서는 이 형태가 고르지 않게 돼버려서(non-uniform) 모든 포가 아르키메데스 다면체 혹은 정다면체여야 한다는 아르키메데스 다포체의 조건을 만족하지 못한다.

4차원에도 다듬은 이십사포체(snub-24 cell)가 있지만 이름만 같으며 배열 방식이 전혀 다르다. 오히려 이쪽은 grand antiprism처럼 600포체의 특정 꼭짓점을 이어서 만든 도형이다. 자르는 게 아니라 특정 꼭짓점을 이어서 만든 도형이라 표현한 이유는 다듬은 이십사포체는 정600포체의 정이십면체 입체 부분을 자르면 만들어지지만 grand antiprism은 전혀 그렇지 않기 때문이다. 특히 grand antiprism은 무려 1965년에 최초로 발견되었다. 4차원 이상의 기하학 이론이 1850년대에 본격적으로 연구된 것을 보면 엄청 늦은 편이다. snub 24-cell은 정이십면체 24개, 정사면체 120개가 들어가며 grand antiprism은 엇정오각기둥 20개, 정사면체 300개가 들어간다. 정600포체의 꼭짓점을 적당히 이으면 정24포체를 만들 수 있는데 이 원리를 응용한 도형이다.[1]

아르키메데스 다포체 계열은 정다포체와는 달리 5차원 이상에서도 부피가 1 이상인 게 많다. 오히려 차원이 늘어날수록 기하급수적으로 커진다.

참고로 3, 4차원의 정다포체와 아르키메데스 다포체는 매우 복잡해지지만 사원수로 좌표를 나타낼 수 있다.
2차원의 정다각형을 아르키메데스 다포체식으로 확장할 시 정2n각형이 여기에 해당하며 복소수로 좌표를 나타낼 수 있다.

쌍대가 같을 경우 대칭 차수보다 2분할을 더 할 수 있지만 이경우 3차원을 제외하면 n차원 아르키메데스 다포체를 만들 수 없다. 3차원은 정사면체가 주인공이며 깎은 육팔면체의 쌍대이다. 자세한 내용은 점군 참조.

3. 종류

마땅한 한국어 이름이 없어서 영어로 썼다. 타 다포체와 중복되는 것은 괄호로 적었으며 쌍대다포체의 정가운데에 들어가서 십육팔포체나 백이십육백포체에 해당하는 것은 and로 적었다. 그리고 나중에는 정다포체가 아닌 서로 쌍대 관계의 정규 벌집[2]이나 쌍곡 벌집 쌍 끼리의 계열도 만들어볼 것이다. 단, 이 경우에도 콤팩트나 파라콤팩트 계열의 쌍끼리만 만들 수 있으며, 논콤팩트일 때에는 역시 꼭짓점이나 n-1차원 입체 마저 쌍곡이라 만들 수가 없으며, 8차원 이상에서의 이러한 조합의 계열들은 전부 논콤팩트인지라 이런 식으로 정다면체의 작업을 해서 얻어지는 도형을 알아내기가 매우 힘들고 어려워질 수밖에 없다.

참고로 크게 어려운 내용은 아니지만 영문위키를 가도 아르키메데스 다포체들의 부피가 나와있지 않아서 적어놓았다.

아르키메데스 다포체의 종류들은 coxeter diagram(콕서터 군)을 알면 쉽게 이해할 수 있다.

3.1. 정오포체 계열

번호 coxeter diagram 아르키메데스 다포체 pos3=5 pos2=10 pos1=10 pos0=5
3=0 0 3,3,3
1 2=1 rectified5포체 3,3,3 3,3,3,3
2 (3,2=1,0) turncated5포체 3,3,3 3,6,6
3 (3,1=2,0) cantellated5포체 3,3,3,3 3,4,4 3,4,3,4
4 3,0 runcinated5포체 3,3,3 3,4,4 3,4,4 3,3,3
5 2,1 biturncated5포체 3,6,6 3,6,6
6 (3,2,0=3,1,0) runciturncated5포체 3,4,3,4 3,4,4 4,4,6 3,6,6
7 (3,2,1=2,1,0) cantiturncated5포체 3,6,6 3,4,4 4,6,6
8 3,2,1,0 omnitruncated5포체 4,6,6 4,4,6 4,4,6 4,6,6

3.2. 정팔포체, 정십육포체 계열

번호 coxeter diagram 아르키메데스 다포체 pos3=8 pos2=24 pos1=32 pos0=16
3 16포체 3,3,3
2 rectified16포체
=24포체 		3,3,3,3 3,3,3,3
9 1 rectified8포체 3,4,3,4 3,3,3
0 8포체 4,4,4
10 3,2 turncated16포체 3,3,3,3 3,6,6
3,1 cantellated16포체
=rectified24포체 		3,4,3,4 4,4,4 3,4,3,4
11 3,0 runcinated816포체 4,4,4 4,4,4 3,4,4 3,3,3
12 2,1 biturncated816포체 4,6,6 3,6,6
13 2,0 cantellated8포체 3,4,4,4 3,4,4 3,3,3,3
14 1,0 turncated8포체 3,8,8 3,3,3
3,2,1 cantiturncated16포체
=turncated 24포체 		4,6,6 4,4,4 4,6,6
15 3,2,0 runciturncated16포체 3,4,4,4 4,4,4 4,4,6 3,6,6
16 3,1,0 runciturncated8포체 3,8,8 4,4,8 3,4,4 3,4,3,4
17 2,1,0 cantiturncated8포체 4,6,8 3,4,4 3,6,6
18 3,2,1,0 omnitruncated816포체 4,6,8 4,4,8 4,4,6 4,6,6
(rectified 정십육포체=정이십사포체)(cantellated 정십육포체=rectified 정이십사포체)(cantitruncated 정십육포체= 깎은 정이십사포체)
입체의 수 80개[4.6.8(깎은 육팔면체) 8개, 4.4.10(정팔각기둥) 24개, 4.4.6(정육각기둥) 32개, 4.6.6(깎은 정팔면체) 16개]
면의 수 468개[4각형 288개, 6각형 128개, 8각형 48개]
선의 수 768개
점의 수 384개
초부피: [math((262+184\sqrt{2})a^4)]≈522.21540a4
외접구의 반지름: [math(\sqrt{8+3\sqrt{2}}a)]
모서리접구의 반지름: [math(\dfrac{\sqrt{31+12\sqrt{2}}}{2}a)]
쌍대의 이포각: [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{84+3\sqrt{2}}{92}\right))]≈163.56861º[3]

3.3. 정이십사포체 계열

번호 coxeter diagram 아르키메데스 다포체 pos3=24 pos2=96 pos1=96 pos0=24
3=0 24포체 3,3,3,3
19 2=1 rectified24포체 4,4,4 3,4,3,4
20 (3,2=1,0) turncated24포체 4,4,4 4,6,6
21 (3,1=2,0) cantellated24포체 3,4,3,4 3,4,4 3,4,4,4
22 3,0 runcinated24포체 3,3,3,3 3,4,4 3,4,4 3,3,3,3
23 2,1 biturncated24포체 3,8,8 3,8,8
24 (3,2,0=3,1,0) runciturncated24포체 3,4,4,4 3,4,4 4,4,6 4,6,6
25 (3,2,1=2,1,0) cantiturncated24포체 3,8,8 3,4,4 4,6,8
26 3,2,1,0 omnitruncated24포체 4,6,8 4,4,6 4,4,6 4,6,8
입체의 수 240개[4.6.8(깎은 십이이십면체) 48개, 4.4.6(정육각기둥) 192개]
면의 수 1392개[4각형 864개, 6각형 384개, 8각형 144개]
선의 수 2304개
점의 수 1152개
초부피: [math((1488+1032\sqrt{2})a^4)]≈2947.46840a4
외접구의 반지름: [math(\sqrt{14+9\sqrt{2}}a)]
모서리접구의 반지름: [math(\dfrac{\sqrt{55+36\sqrt{2}}}{2}a)]
쌍대의 이포각: [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{54+9\sqrt{2}}{68}\right))]≈168.90009º[4]

3.4. 정백이십포체, 정육백포체 계열

번호 coxeter diagram 아르키메데스 다포체 pos3=120 pos2=720 pos1=1200 pos0=600
3 600포체 3,3,3
27 2 rectified600포체 3,3,3,3,3 3,3,3,3
28 1 rectified120포체 3,5,3,5 3,3,3
0 120포체 5,5,5
29 3,2 turncated600포체 3,3,3,3,3 3,6,6
30 3,1 cantellated600포체 3,5,3,5 4,4,5 3,4,3,4
31 3,0 runcinated120600포체 5,5,5 4,4,5 3,4,4 3,3,3
32 2,1 biturncated120600포체 5,6,6 3,6,6
33 2,0 cantellated120포체 3,4,5,4 3,4,4 3,3,3,3
34 1,0 turncated120포체 3,10,10 3,3,3
35 3,2,1 cantiturncated600포체 5,6,6 4,4,5 4,6,6
36 3,2,0 runciturncated600포체 3,4,5,4 4,4,5 4,4,6 3,6,6
37 3,1,0 runciturncated120포체 3,10,10 4,4,10 3,4,4 3,4,3,4
38 2,1,0 cantiturncated120포체 4,6,10 3,4,4 3,6,6
39 3,2,1,0 omnitruncated120600포체 4,6,10 4,4,10 4,4,6 4,6,6

* rectified 정백이십포체
입체의 수 2640개[4.6.10(깎은 십이이십면체) 120개, 4.4.10(정십각기둥) 720개, 4.4.6(정육각기둥) 1200개, 4.6.6(깎은 정팔면체) 600개]
면의 수 17040개[4각형 10800개, 6각형 4800개, 10각형 1440개]
선의 수 28800개
점의 수 14400개[5]
초부피: [math((63375+27450\sqrt{5})a^4)]≈124775.06598a4
외접구의 반지름: [math(\sqrt{83+36\sqrt{5}}a)]
모서리접구의 반지름: [math(\dfrac{\sqrt{331+144\sqrt{5}}}{2}a)]
쌍대의 이포각: [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{735+36\sqrt{5}}{818}\right))]≈175.51795º[6]

4. 측정

4.1. 정오포체 계열

아르키메데스 다포체 초부피 근삿값 외접초구의 반지름 근삿값
5포체 [math(\dfrac{\sqrt{5}}{96}a^4)] 0.02329 [math(\dfrac{\sqrt{10}}{5}a)] 0.63246
rectified5포체 [math(\dfrac{11\sqrt{5}}{96}a^4)] 0.25622 [math(\dfrac{\sqrt{15}}{5}a)] 0.77460
turncated5포체 [math(\dfrac{19\sqrt{5}}{24}a^4)] 1.77022 [math(\dfrac{2\sqrt{10}}{5}a)] 1.26491
cantellated5포체 [math(\dfrac{73\sqrt{5}}{48}a^4)] 3.40069 [math(\dfrac{\sqrt{35}}{5}a)] 1.18322
runcinated5포체 [math(\dfrac{35\sqrt{5}}{48}a^4)] 1.63047 [math(a)] 1
biturncated5포체 [math(\dfrac{115\sqrt{5}}{48}a^4)] 5.35725 [math(\sqrt{2}a)] 1.41421
runciturncated5포체 [math(\dfrac{237\sqrt{5}}{32}a^4)] 16.56088 [math(\dfrac{\sqrt{65}}{5}a)] 1.61245
cantiturncated5포체 [math(\dfrac{287\sqrt{5}}{32}a^4)] 20.05473 [math(\dfrac{\sqrt{85}}{5}a)] 1.84391
omnitruncated5포체 [math(\dfrac{125\sqrt{5}}{4}a^4)] 69.87712 [math(\sqrt{5}a)] 2.23607

4.2. 정팔포체, 정십육포체 계열

아르키메데스 다포체 초부피 근삿값 외접초구의 반지름 근삿값
16포체 [math(\dfrac{1}{6}a^4)] 0.16667 [math(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a)] 0.70711
rectified16포체
=24포체 		[math(2a^4)] 2 [math(a)] 1
rectified8포체 [math(\dfrac{23}{6}a^4)] 3.83333 [math(\dfrac{\sqrt{6}}{2}a)] 1.22474
8포체 [math(a^4)] 1 [math(a)] 1
turncated16포체 [math(\dfrac{77}{6}a^4)] 12.83333 [math(\dfrac{\sqrt{10}}{2}a)] 1.58114
cantellated16포체
=rectified24포체 		[math(29a^4)] 29 [math(\sqrt{3}a)] 1.73205
runcinated816포체 [math(\dfrac{43+32\sqrt{2}}{6}a^4)] 14.70914 [math(\dfrac{\sqrt{6+2\sqrt{2}}}{2}a)] 1.48563
biturncated816포체 [math(\dfrac{307}{6}a^4)] 51.16667 [math(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}a)] 2.12132
cantellated8포체 [math(\dfrac{45+32\sqrt{2}}{3}a^4)] 30.08494 [math(\sqrt{2+\sqrt{2}}a)] 1.84776
turncated8포체 [math(\dfrac{101+72\sqrt{2}}{6}a^4)] 33.80390 [math(\dfrac{\sqrt{10+6\sqrt{2}}}{2}a)] 2.14973
cantiturncated16포체
=truncated24포체 		[math(159a^4)] 159 [math(\sqrt{7}a)] 2.64575
runciturncated16포체 [math(\dfrac{5(67+48\sqrt{2})}{6}a^4)] 112.40188 [math(\dfrac{\sqrt{14+6\sqrt{2}}}{2}a)] 2.37093
runciturncated8포체 [math(\dfrac{8(27+20\sqrt{2})}{3}a^4)] 147.42472 [math(\sqrt{4+2\sqrt{2}}a)] 2.61313
cantiturncated8포체 [math(\dfrac{601+424\sqrt{2}}{6}a^4)] 200.10443 [math(\dfrac{\sqrt{22+10\sqrt{2}}}{2}a)] 3.00591
omnitruncated816포체 [math(2(131+92\sqrt{2})a^4)] 522.21530 [math(\sqrt{8+3\sqrt{2}}a)] 3.49895

4.3. 정이십사포체 계열

아르키메데스 다포체 초부피 근삿값 외접초구의 반지름 근삿값
24포체 [math(2a^4)] 2 [math(a)] 1
rectified24포체 [math(29a^4)] 29 [math(\sqrt{3}a)] 1.73205
turncated24포체 [math(159a^4)] 159 [math(\sqrt{7}a)] 2.64575
cantellated24포체 [math((85+64\sqrt{2})a^4)] 175.50967 [math(\sqrt{4+2\sqrt{2}}a)] 2.61313
runcinated24포체 [math(2(11+8\sqrt{2})a^4)] 44.62742 [math(\sqrt{2+\sqrt{2}}a)] 1.84776
biturncated24포체 [math(14(17+12\sqrt{2})a^4)] 475.58788 [math((2+\sqrt{2})a)] 3.41421
runciturncated24포체 [math((305+224\sqrt{2})a^4)] 621.78384 [math(\sqrt{8+3\sqrt{2}}a)] 3.49885
cantiturncated24포체 [math(2(319+224\sqrt{2})a^4)] 1271.56768 [math(\sqrt{10+6\sqrt{2}}a)] 4.29945
omnitruncated24포체 [math(24(62+43\sqrt{2})a^4)] 2947.46840 [math(\sqrt{14+9\sqrt{2}}a)] 5.16991

4.4. 정백이십포체, 정육백포체 계열

아르키메데스 다포체 초부피 근삿값 외접초구의 반지름 근삿값
600포체 [math(\dfrac{25(2+\sqrt{5})}{4}a^4)] 26.47542 [math(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}a)] 1.61803
rectified600포체 [math(\dfrac{25(31+15\sqrt{5})}{4}a^4)] 403.38137 [math(\sqrt{5+2\sqrt{5}}a)] 3.07768
rectified120포체 [math(\dfrac{5(730+331\sqrt{5})}{4}a^4)] 1837.67313 [math(\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}a)] 4.53457
120포체 [math(\dfrac{15(105+47\sqrt{5})}{4}a^4)] 787.85698 [math(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}a)] 3.70246
turncated600포체 [math(\dfrac{25(161+80\sqrt{5})}{4}a^4)] 2124.28399 [math(\dfrac{\sqrt{46+18\sqrt{5}}}{2}a)] 4.64352
cantellated600포체 [math(\dfrac{5(1240+591\sqrt{5})}{2}a^4)] 6403.79044 [math(\sqrt{19+8\sqrt{5}}a)] 6.07359
runcinated120600포체 [math(\dfrac{25(281+126\sqrt{5})}{4}a^4)] 3517.15353 [math(({3+\sqrt{5}})a)] 5.23607
biturncated120600포체 [math(\dfrac{5(5845+2726\sqrt{5})}{4}a^4)] 14925.65163 [math(\dfrac{\sqrt{118+50\sqrt{5}}}{2}a)] 7.57963
cantellated120포체 [math(\dfrac{5(1870+823\sqrt{5})}{2}a^4)] 9275.70986 [math(\sqrt{23+10\sqrt{5}}a)] 6.73503
turncated120포체 [math(\dfrac{25(1577+704\sqrt{5})}{4}a^4)] 19694.94910 [math(\sqrt{34+15\sqrt{5}}a)] 8.21833
cantiturncated600포체 [math(\dfrac{45(1395+673\sqrt{5})}{4}a^4)] 32623.57967 [math(\sqrt{43+18\sqrt{5}}a)] 9.12410
runciturncated600포체 [math(\dfrac{25(1814+779\sqrt{5})}{4}a^4)] 22224.35597 [math(\dfrac{5\sqrt{2}+3\sqrt{10}}{2}a)] 8.27895
runciturncated120포체 [math(\dfrac{25(3367+1475\sqrt{5})}{4}a^4)] 41657.50167 [math(\sqrt{48+21\sqrt{5}}a)] 9.74461
cantiturncated120포체 [math(\dfrac{25(5774+2549\sqrt{5})}{4}a^4)] 71710.85797 [math(2\sqrt{16+7\sqrt{5}}a)] 11.25211
omniturncated120600포체 [math(75(845+366\sqrt{5})a^4)] 124755.06598 [math(\sqrt{83+36\sqrt{5}}a)] 12.78665

4.5. 기타 계열

이 2개는 600포체의 꼭짓점을 응용해서 만든 것이다.
아르키메데스 다포체 초부피 근삿값 외접초구의 반지름 근삿값
snub24포체 [math(\dfrac{5(9+4\sqrt{5})}{4}a^4)] 22.43034 [math(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}a)] 1.61803
grand antiprism [math(\dfrac{5(55+26\sqrt{5})}{24}a^4)] 23.57037 [math(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}a)] 1.61803
초부피: [math(\dfrac{45+20\sqrt{5}}{4}a^4)]≈22.43034a4
외접구의 반지름 = [math(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}a)]
모서리접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}a)]
쌍대의 이포각: 144º초부피: [math(\dfrac{275+130\sqrt{5}}{24}a^4)]≈23.57037a4
외접구의 반지름 = [math(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}a)]
모서리접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}a)]
쌍대의 이포각: 144º
이 두개는 정육백포체와 외접초구의 반지름, 모서리접구의 반지름이 같으며 이들의 쌍대는 정백이십포체와 이포각이 같다.

5. 5차원 이상의 아르키메데스 다포체

그리고 여러 가지 정다포체들을 조합해서 만든 다포체 계열과 그것들의 쌍대도 엄밀히 따지자면 아르키메데스 다포체이다. 단, 이때는 서로 해당 다포체를 이루고 있는 n-1차원 도형이 서로 같을 때에만 이어붙일 수 있으므로 다른 다포체와 조합한다 해도 같은 면으로 이루어진 같은 차원의 다포체나 유클리드 벌집끼리 조합해야 가능하다.[7]끼리 조합해야 가능하다. 이들의 쌍대의 꼭짓점 도형은 해당 도형의 모서리 도형이 서로 같은 2가지 종류 이상의 다포체들이다. 예를 들어 한 변에 정사면체와 정팔면체를 각각 두 개씩 배치하는 경우는 유클리드 벌집이므로 이의 쌍대는 꼭짓점이 정사면체와 정육면체 2가지인 마름모십이면체 벌집이며, 그 외에도 정사면체 3개의 정팔면체 하나를 붙인다거나 정사면체 하나와 정팔면체 2개, 3개와 정이십면체 하나, 정사면체 하나와 정이십면체 2개, 정팔면체 2개와 정이십면체 하나, 정오포체 3개와 정십육포체 하나, 정오포체 하나와 정십육포체 2개, n-단체 3개와 n-정축체 1개, n-단체 1개와 n-정축체 2개의 조합과 이들의 쌍대가 이러한 조합에 있다.[8] 이는 9차원에서 유클리드 벌집이 되고, 10차원에서 파라콤팩트, 11차원에서는 꼭짓점이나 (n-1)차원 도형이 파라콤팩트인 논콤팩트, 12차원 이상에서는 꼭짓점이나 (n-1)차원 도형 마저도 논콤팩트인 논콤팩트 그 자체가 된다. 이것들의 쌍대들은 꼭짓점 도형이 크게 두 가지 있으며, 꼭짓점 도형이 되는 두 가지 도형은 서로 꼭짓점이 같은 것 끼리이다. [9]

그리고 정십이각형을 사용하는 경우는 3차원에서 유클리드 벌집이 되며, 정십각형까지 사용할 수 있는 4차원 이하까지와는 달리 5차원 이상에서는 정팔각형 까지만 사용 가능하다.

아르키메데스는 아니지만 8차원까지는 e 그룹의 다면체라는게 존재하며 421, 241, 142 polytope라는게 있다.링크

6. 관련 문서

[1] 정십이면체의 20개 꼭짓점 중 이웃하지 않는 8개의 꼭짓점을 이으면 정육면체가 되는 것과 원리는 비슷하다.[2] 자기쌍대가 아닌 4가지의 정규 벌집은 3차원에서의 정육각형, 정삼각형 타일링 계열과 5차원에서의 정이십사포체, 정십육포체 벌집의 계열은 자기쌍대가 아닌 유클리드 벌집으로, 3차원과 5차원에 각각 2개씩 해서 2쌍이며, 정무한각형과 모든 n-입방체 벌집(3차원에서 4가 두 번 연속으로 나오는 {4,4}정사각형 타일링 포함)은 자기 쌍대인 유클리드 벌집이다. 참고로, 깍은 정삼각형 타일링은 정육각형 타일링과 완전히 동일하며, 절반지점까지 깍아낸 정십육포체 벌집도 정이십사포체 벌집과 완전히 같다. 정사각형 타일링은 절반 깎으면 그대로 정사각형 타일링이라 무한반복하게 되며, 이는 이들을 이용해서 만든 쌍곡 벌집(콤팩트, 파라콤팩트, 논콤팩트 심지어는 오목 쌍곡이나 만들 수 없는 오목 벌집 모두 해당)에도 그대로 적용될 수 있다(예시로, {3,6,3}을 1/3지점까지 깍으면 {6,3,3}, {4,4,4}를 절반 지점까지 깍으면 {4,4,3}, {3,3,4,3,3}을 절반 지점까지 깎으면 {3,4,3,3,3}이 되는 경우 등이 있는 것).[3] 22각형의 한 내각과 맞먹는다.[4] 32각형의 한 내각과 맞먹으며 정백이십포체의 체적을 넘어선다.[5] 4차원에서는 14400포체의 균일한 사면체 입체를 가진 주사위를 만들 수 있다는 뜻이다.[6] 80각형의 한 내각 수준이며, 이런 주사위를 굴린다면 4차원 공간에서 거의 공처럼 굴러갈 것이다. 기하학적으로만 따질 때의 이야기이다. 다만 4차원 공간에서는 중력이나 전자기력 등 여러 물리 법칙이 많이 달라질 가능성이 높아서 장담하기는 어렵다.[7] 이에 해당하는 예시로는 볼록한 경우 3차원에서 만드는 4차원의 정사면체{3,3}와 정팔면체{3,4}, 정사면체와 정이십면체{3,5}, 정사면체와 정삼각형 타일링{3,6}, 정팔면체와 정이십면체, 정팔면체와 정삼각형 타일링, 정이십면체와 정삼각형 타일링, 정육면체{4,3}와 정사각형 테셀레이션{4,4}, 4차원에서 만드는 5차원의 정오포체{3,3,3}와 정십육포체{3,3,4}, 정오포체와 정육백포체{3,3,5}, 정십육포체와 정육백포체, 정팔포체{4,3,3}와 정육면체 벌집{4,3,4} 5차원 이상에서 만드는 6차원 이상의 n-단체{3,...,3}와 n-정축체{3,...,3,4}, n-입방체{4,3,...,3}와 (n-1)-입방체 벌집{4,3,...,3,4} 의 조합으로 k+1차원의 새로운 다포체 조합을 만드는 경우가 여기에 해당하며, 쌍곡 벌집에도 이루고 있으면 n-1차원 도형이 서로 같다면 서로 붙일 수는 있겠지만, 이때에는 해당 차원에서 면을 균일하게 만들 수 없어 각 면이 합동이 되지 않기 때문에 논외. 그래서 같은 면을 가진 쌍곡 벌집과 조합하는 경우는 연구를 좀 더 해봐야 되며, 확장시킨다 해도, 최대 유클리드 벌집까지만 결합할 수 있다. 물론 오목한 경우(만들 수 없는 오목 벌집 역시 이포각이 정다포체, 유클리드 벌집, 쌍곡 벌집인 경우 모두 해당)까지 고려하면 사용할 수 있는 조합이 훨씬 더 많아진다.[8] n-입방체 2개와 (n-1)-입방체 벌집의 조합은 항상 이포각의 합이 360°가 되며, 이포각이 180이며, (n-1)-입방체 벌집 2개와 n-입방체 하나로 조합하거나 n-입방체 3개와 (n-1)-입방체 벌집 하나가 조합 하는 계열 등이면 이들도 이포각이 각각 90°, 180°로 일정하다는 특성상 항상 쌍곡이 된다.[9] 3차원에서 정사면체와 정육면체, 정사면체와 정십이면체, 정사면체와 정육각형 타일링, 정육면체와 정십이면체, 정육면체와 정육각형 타일링, 정십이면체와 정육각형 타일링, 정팔면체와 정사각형 타일링, 4차원에서 정오포체와 정팔포체, 정오포체와 정백이십포체, 정팔포체와 정백이십포체, 정십육포체와 정육면체 벌집, 5차원 이상에서는 n-단체와 n-입방체, n-정축체와 (n-1)-입방체 벌집이 꼭짓점이 같은 조합이다. 이 경우도 위에서 각주로 설명한 같은 면을 가진 다포체끼리의 조합과 마찬가지로, 오목한 다포체와으 조합으로 확장시킬 수 있으며 이는 마찬가지로 만들 수 없는 오목 벌집으로도 확실히 가능하다는 것이며, 확장시킨 경우 종류가 더 많아진다. 물론 쌍곡에도 적용은 가능하다.

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