1. 개요
폴리오미노(Polyomino[1])는 크기가 전부 동일한 정사각형을 여러 개 이어붙여서 만든 도형이다. 이어붙인 개수에 따라 이름이 결정된다. 정사각형 2개를 이어붙인 모양을 도미노, 정사각형 3개는 트리오미노, 정사각형 4개는 테트로미노, ...이런 식으로 계속된다.2. 폴리오미노의 조건
- 기본이 되는 정사각형은 평면 상에서 서로 겹치지 않는다.
- 붙일 때 변과 변이 정확히 맞닿아야 한다. 다시 말해 모눈종이 위에 색칠된 모양이어야 한다.
- 한 몸으로 이어져 있어야 한다. 다만 몸체 안에 구멍은 있어도 된다.[2]
3. 개수별 분류
정사각형의 개수에 대응하는 그리스어가 접두사로 들어간다.종류의 가짓수를 셀 때에는 일반적으로 돌리거나 뒤집을 때 일치하는 경우를 하나로 취급한다.
이미지 출처
'모노미노'부터 '펜토미노'까지를 표현한 그림.
3.1. 3개 이하
- 1개: 모노미노(Monomino)
모노미노는 엄밀히 말해서 폴리오미노가 아니다. 정사각형을 이어붙인다는 것이 폴리오미노의 중요한 특성이기 때문이다. 종류는 당연히 하나다. - 2개: 도미노(Domino)
종류는 마찬가지로 하나다. Domino의 do는 원래 2라는 뜻의 접두사와는 아무 관계가 없으나, 여기서 유추하여 폴리오미노, 모노미노, 트리오미노, ... 등의 단어가 역으로 만들어졌다. 도미노 문서 참조. - 3개: 트리오미노(Triomino)
일자와 꺾인 모양 두 가지가 있다.
3.2. 테트로미노
Tetromino《테트리스》시리즈의 게임에서 나오는 도형. 테트리미노나 테트라미노라고도 불린다. 뒤집어서 중복되는 것을 제외하면 5가지이나, 포함하면 7가지가 된다.
3.2.1. 특징
테트로미노는 아래의 펜토미노와 달리 종류별로 하나씩 사용하여 직사각형으로 만들 수 없다. 그 이유는 T자 모양 때문이다.테트로미노를 체스판처럼 흑백으로 색칠하면 T자를 제외한 나머지가 흑백 두 개씩 칠해진다. 즉 모두 합쳐서 흑과 백이 각각 9개, 11개 또는 11개, 9개가 된다. 하지만 직사각형은 흑과 백이 각각 10개씩 칠해질 수밖에 없다. 테트로미노 다섯 종류를 모두 합치면 20개 칸이 나온다. 칸이 짝수 개인 직사각형은 체스판 무늬로 칠할 경우 반드시 흑백의 수가 동일하다. 이 모순으로 인하여 직사각형을 이룰 수 없는 것이다. 단, 뒤집어서 중복되는 조각 2개를 제외한 5개의 조각을 2벌(총 10개) 사용하여 직사각형을 이루는 것은 가능하다.
참고로 위와 같은 특징은 《테트리스》에서 (거울상 관계를 포함) 7가지 도형 중 T자가 탑 쌓기에서 중요한 변수로 작용한다.[3]
3.3. 펜토미노
Pentomino
정사각형 5개를 변과 변을 맞대어 붙일 때 생기는 모양. 이름에서 펜토(Pento)는 5를 의미한다.
3.3.1. 종류
뒤집는 것과 돌리는 것을 같은 모양으로 본다면 총 12가지가 가능하며 다른모양으로 보면 18가지가 가능하다.
위와 같이 각 조각에는 닮은 알파벳 모양을 딴 이름이 있다.
개수는 12개이다.
3.3.2. 특징
한 세트를 모으면 정사각형이 5×12=60개가 되는데, 이를 이용해서 3×20, 4×15, 5×12, 6×10 모양의 직사각형을 맞추는 게임을 할 수 있으며, 정육면체로 이어붙여 만들어 두께가 있는 펜토미노의 경우 2×3×10, 2×5×6, 3×4×5 크기의 상자를 만들 수도 있다. 또, 펜토미노를 하나 고르고 나머지 11개 중 9개를 이용해서 고른 펜토미노와 같은 모양의 대형 펜토미노 형태(원래의 3×3배율)가 되도록 맞출 수도 있다. 그 외 만들 수 있는 입체적인 모양은 이 곳에서 볼 수 있다.칸마다 흑백 체크무늬가 칠해진 펜토미노나 초콜릿 바를 형상화한 펜토미노등 여러 어린이용 장난감이나 휴대폰 게임으로 주로 찾아볼 수 있다.
펜토미노는 폴리오미노 중 유일하게 12개의 피스 한 벌을 하나씩 모두 사용하여 직사각형을 맞출 수 있다.
3.3.3. 펜토미노 퍼즐
위와 같이 펜토미노 형태의 도형으로 하는 퍼즐이 20세기 이전부터 있었다. 일종의 칠교놀이와 비슷한 방식이었다. 1907년 헨리 듀드니(Henry Dudeney)가 이 퍼즐을 해법과 함께 널리 알렸다. 사실 펜토미노라는 이름은 1953년 솔로몬 골룸(Solomon Golomb)이 처음 사용하면서 지금까지 이 명칭으로 굳어졌다.3.3.4. 보드게임
펜토미노를 8x8 체스판에 놓아 맨 마지막에 놓는 사람이(즉, 자신이 피스를 놓은 직후 상대가 피스를 놓을 자리가 없어지면) 이기는 추상전략게임이 존재한다.3.4. 헥소미노
Hexomino이미지 출처
총 35가지가 존재한다.
총 35가지 중 위의 11가지는 정육면체의 전개도가 될 수 있는 것들이다.
3.4.1. 특징
앞서 살펴본 테트로미노와 마찬가지로 35가지 헥소미노로 직사각형을 만들 수 없다. 체스판 무늬로 칠할 경우 흑백의 개수가 불일치하는 도형이 11가지로 홀수이기 때문이다. 그 대신 직각이등변삼각형 모양이나 평행사변형 모양을 만드는 퍼즐도 있다.3.5. 헵토미노
Heptomino이미지 출처
총 108가지가 존재한다. 여기서부터 구멍이 있는 도형(네 번째 줄 열한 번째 칸, 일명 항구 폴리오미노)이 나온다. 이 구멍이 있는 도형이 나옴으로써 앞서 살펴본 직사각형 조합은 불가능함이 판명난다. 따라서 동일 개수 도형을 한 번씩 사용하여 여러 개의 도형을 모아 직사각형을 이룰 수 있는 경우는 펜토미노밖에 없다. 그 대신 높이가 1인 기둥을 사용해 직육면체를 만드는 퍼즐도 있다.
3.6. 그 이상
옥토미노 이미지 출처
- 8개: 옥토미노(Octomino), 369가지.
- 9개: 노노미노(Nonomino), 1285가지.
- 10개: 데코미노(Decomino), 4655가지.
4. 기타
도형이 소재이고 퍼즐에 많이 응용할 수 있어서 창의수학교육에서 교구로 많이 쓰인다. 여담으로 미노 한 조각을 색종이 접기로 만들어서 폴리오미노 모형을 쉽게 만들어볼 수 있다.테트리스 컴퍼니에서는 테트리스의 도형을 통상 테트로미노 대신 테트리미노(Tetrimino)라 일컫는다.
5. 관련 문서
[1] 폴리(Poly)는 여러 개, 미노(Mino)는 조각, 덩어리를 뜻한다.[2] 몸체 안에 구멍이 있는 것은 일명 '항구 폴리오미노'라고 불리며, 헵토미노(7개) 이상에서 존재한다.[3] 특히 콤보나 《테트리스》 4줄 클리어 전략에서 두드러진다. 만일 탑을 쌓는 도중 T자를 엉뚱한 위치에 놓으면 탑의 위쪽 표면이 계단처럼 울퉁불퉁해져서 L, J, O-테트리미노를 놓기 곤란한 상황을 맞을 수 있다.[4] 저 3×20 모양의 도형은 경우의 수가 딱 두가지이다. 4×15는 368가지나 된다.[5] 모노미노부터 펜토미노까지의 미노가 사용된다.[6] 펜토미노 퍼즐에서 아이디어를 얻어 만들어진 게임이다. 개발할 때 5개 대신 4개로 고쳐서 만들어졌다고 한다.[7] 공간상에서 정육면체를 이어붙여 만든 3차원 도형.[8] 폴리큐브를 이용해 만든 퍼즐[9] 폴리큐브를 이용해 만든 퍼즐2[10] 기본도형을 여러개 붙인 형태[11] 이 도형은 기본 도형이 정삼각형인 경우다.[12] 이 도형은 기본 도형이 정육각형인 경우다.[13] 이 도형은 기본 도형이 정삼각형의 반쪽인 직각삼각형인 경우다.[14] 이 도형은 기본 도형이 직각이등변삼각형인 경우다.[15] 공격대원 배치방식을 펜토미노를 그대로 채용했다.