1. 개요
Riemann–Christoffel–Krümmungstensor / Riemann-Christoffel 曲率 tensor리만-크리스토펠 곡률 텐서 또는 줄여서 리만 곡률 텐서는 리만 다양체(Riemannsche Mannigfaltigkeit)에서 곡률(curvature)을 표현할수있는 텐서(tensor)이다. 주로 시공간(spacetime)의 4차원 (3,1) 또는 3차원(2,1)을 곡률로 다루고 표현하는데 사용한다.
[math( B^{i}_{\sigma\alpha\beta} = \dfrac{\partial \Gamma^{i}_{\sigma\alpha}}{\partial x^{\beta}} - \dfrac{\partial \Gamma^{i}_{\sigma\beta}}{\partial x^{\alpha}} + \Gamma^{r}_{\sigma\alpha} \Gamma^{i}_{r \beta} - \Gamma^{r}_{\sigma\beta} \Gamma^{i}_{r \alpha} )][나]
1.1. 숫자 첨자 인텍스 표현
[math( B^{i}_{\sigma\alpha\beta} = \dfrac{\partial \Gamma^{i}_{\sigma\alpha}}{\partial x^{\beta}} - \dfrac{\partial \Gamma^{i}_{\sigma\beta}}{\partial x^{\alpha}} + \Gamma^{r}_{\sigma\alpha} \Gamma^{i}_{r \beta} - \Gamma^{r}_{\sigma\beta} \Gamma^{i}_{r \alpha} )][math( B^{4}_{321} = \dfrac{\partial \Gamma^{4}_{32}}{\partial x^{1}} - \dfrac{\partial \Gamma^{4}_{31}}{\partial x^{2}} + \Gamma^{0}_{32} \Gamma^{4}_{01} - \Gamma^{0}_{31} \Gamma^{4}_{02} )]
2. 리치 텐서
리만-크리스토펠 곡률 텐서(Riemann-Christoffel curvature tensor)는 n차원에서 [math( \dfrac{n^2(n^2-1)}{12} )]독립성분개수를 갖는 텐서로 4차텐서 또는 3차 텐서로 다루어질수있다.[2][나]크리스토펠 기호 [math(\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\alpha}(g_{\nu\alpha, \mu} + g_{\mu\alpha, \nu} - g_{\mu\nu, \alpha}))] 를 도입하고
리만-크리스토펠 곡률 텐서([math(R_{321}^{2})],리만 곡률 텐서)를 대각합(trace)으로 텐서축약(tensor contraction)하여 리치 텐서를 얻을수있다.
[math( tr \left(R_{321}^{2} \right)= R_{13})]이므로
리치 텐서([math(R_{13})],리치-쿠르바스트로 텐서)는
[math(R_{\mu\nu} = \Gamma^{\lambda}_{\mu\lambda, \nu} - \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu, \lambda} + \Gamma^{\rho}_{\mu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu\rho} -\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}\Gamma^{\lambda}_{\lambda\rho} )] 이다.
이것은
리만-크리스토펠 곡률 텐서 [math(R_{321}^{4} = \Gamma^{4}_{32,1} - \Gamma^{4}_{31,2} + \Gamma^{0}_{32} \Gamma^{4}_{01} - \Gamma^{0}_{31} \Gamma^{4}_{02} )]일때 이것으로부터 4대신 2를 대입하면
[math(R_{321}^{4} = R_{321}^{2} = \Gamma^{2}_{32,1 } - \Gamma^{2}_{31, 2} +\Gamma^{0}_{32} \Gamma^{2}_{01} - \Gamma^{0}_{31} \Gamma^{2}_{02} = R_{31} =R_{13} )]을 조사할수있다.
이것은 대각합(trace)의 텐서축약(tensor contraction)을 보여준다.
크리스토펠 기호는 한 변수가 변하면 다른 변수도 변하는 성질을 보장하는 공변보존(covariant conservation)을 갖도록 리만-크리스토펠 곡률 텐서와 리치 텐서를 계산할수있다.
3. 역사
리만-크리스토펠 곡률 텐서(Riemann-Christoffel curvature tensor)는 1861~1868년 즈음에 베른하르트 리만(Georg Friedrich Bernhard Riemann)이 이를 기초로하는 이론을 발표하고[4] 동시대에 엘빈 브루노 크리스토펠(독어: Elwin Bruno Christoffel)이 1869년에 이와는 별개로 독자적으로 텐서에 대한 작동의 기초 이론을 발표한바있다.[5][6]이들의 이름을 따서 명명되었다.[7]4. 4색인 리만기호
1869년 크리스토펠이 크리스토펠 기호(Christoffel symbol)를 사용한 4색인(four index) 리만기호(Riemann symbol 또는 리만-크리스토펠 곡률 텐서)[8][math( (gkhi) = \dfrac{\partial \begin{bmatrix}gh \\ k \end{bmatrix} }{\partial x_i} - \dfrac{\partial \begin{bmatrix}gi \\ k \end{bmatrix} }{\partial x_h} + \displaystyle\sum_{ab} \dfrac{E_{ab}}{E} \left( \begin{bmatrix}gi \\ a \end{bmatrix}\begin{bmatrix}hk \\ b \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}gh \\ a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} ik \\ b \end{bmatrix} \right) )]
1879년 아우렐 보스(Aurel Voss)는 비앙키 항등식의 초기 원형인 프로토타입(prototype)을 연구할때 4색인(four index) 리만기호등을 사용하였다.[9]
[math( [l' k' m' i']_{c'} = \displaystyle\sum [l k m i]_{c} \dfrac{\partial x_l }{\partial y_{l'}} \dfrac{\partial x_k}{\partial y_{k'}} \dfrac{\partial x_m}{\partial y_{m'}} \dfrac{\partial x_i}{\partial y_{i'}})]
1901년 리치(Ricci, M.M.G.)와 레비-치비타(T., Levi-Civita)의 공저 <절대미분 계산의 방법과 그 응용>(직역)에서 리치(-레비-치비타) 텐서를 제안할때 사용한 크리스토펠 기호와 리만기호(리만-크리스토펠 곡률 텐서) 표기법(notation)[다]
[math( 2a_{rs,t} = \dfrac{\partial a_{rt} }{\partial x_s} + \dfrac{\partial a_{st} }{\partial x_r} - \dfrac{\partial a_{rs} }{\partial x_t} )]
[math( a_{rs,tu} = \dfrac{\partial a_{rt,s} }{\partial x_u} - \dfrac{\partial a_{ru,s} }{\partial x_t} + \displaystyle\sum_{1}^{n}pg a^{(pq)} (a_{ru,p}a_{st,q} -a_{rt,p}a_{su,q} ) )]
1902년 루이지 비앙키(Luigi Bianchi)가 비앙키 항등식을 도입할때 크리스토펠 기호를 사용한 4색인(four index) 리만기호(Riemann symbol)[가]
[math( (rk,ih) = \dfrac{\partial }{\partial x_h} \begin{bmatrix} ri \\ k \end{bmatrix} - \dfrac{\partial }{\partial x_i} \begin{bmatrix} rh \\ k \end{bmatrix} + \displaystyle\sum_{\lambda,\mu}^{1...n} A_{\lambda \mu} \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} rh \\ \lambda \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} ik \\ \mu \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} ri \\ \lambda \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} hk \\ \mu \end{bmatrix} \end{Bmatrix} )]
1925년 엘리 카르탄(Elie Cartan)이 비앙키 항등식을 도입할때 크리스토펠 기호를 사용한 4색인(four index) 리만기호(Riemann symbol)[라][마]
[math( R_{hk,sr} = \dfrac{\partial \Gamma_{hks}}{\partial u^r } - \dfrac{\partial \Gamma_{hkr}}{\partial u^s } + \displaystyle\sum_{i} \left( \Gamma_{hir} \Gamma_{ks}^{l} - \Gamma_{his} \Gamma_{kr}^{l} \right) )]
1947년 애리스토틀 D. 미할(Aristotle D. Michal)교수가 그의 저서 <Matrix and Tensor Calculus>(직역:매트릭스 그리고 텐서 미적분학)에서 사용한 리만-크리스토펠 곡률 텐서[나][15]
[math( B^{i}_{\sigma\alpha\beta} = \dfrac{\partial \Gamma^{i}_{\sigma\alpha}}{\partial x^{\beta}} - \dfrac{\partial \Gamma^{i}_{\sigma\beta}}{\partial x^{\alpha}} + \Gamma^{r}_{\sigma\alpha} \Gamma^{i}_{r \beta} - \Gamma^{r}_{\sigma\beta} \Gamma^{i}_{r \alpha} )]
5. 리만 항등식
1902년 루이지 비앙키(Luigi Bianchi)가 비앙키 항등식을 제안할때 리만기호(Riemann symbol)를 사용한 리만 항등식(Riemann identities)을 도입하였다.[가][math( (rk,ih) = \dfrac{\partial }{\partial x_h} \begin{bmatrix} ri \\ k \end{bmatrix} - \dfrac{\partial }{\partial x_i} \begin{bmatrix} rh \\ k \end{bmatrix} + \displaystyle\sum_{\lambda,\mu}^{1...n} A_{\lambda \mu} \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} rh \\ \lambda \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} ik \\ \mu \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} ri \\ \lambda \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} hk \\ \mu \end{bmatrix} \end{Bmatrix} )]
리만-크리스토펠 곡률 텐서의 주요한 성질을 보여주는 리만 항등식들
- [math( (rk,ih) = (ih,rk) )]
- [math( -(rk,ih) = (kr,ih) )]
- [math( (rk,ih) + (ri,hk) + (rh,ki) = 0 )]
6. 리만-크리스토펠 곡률 텐서
공변미분(covariant derivative)에 의한 리만-크리스토펠 곡률 텐서(Riemann-Christoffel curvature tensor)의 정의[math( B^{4}_{321} = \dfrac{\partial \Gamma^{4}_{32}}{\partial x^{1}} - \dfrac{\partial \Gamma^{4}_{31}}{\partial x^{2}} + \Gamma^{0}_{32} \Gamma^{4}_{01} - \Gamma^{0}_{31} \Gamma^{4}_{02} )]
우선 편미분(partial derivative)에 의한 크리스토펠 기호의 정의로 부터
[math( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{2} \partial x_{1}} = \Gamma_{21}^{4} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right) )]을 얻을수있다.
[math( g_1 = \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{1}} \right) )]을 벡터장에서 정의하고 이러한 벡터장에서 이중(double) 공변미분을 도입하면
[math( \nabla_1 \nabla_2 \; g_3 = \nabla_1 \left( \nabla_2 (g_3) \right) )]
[math( \nabla_2 (g_3)= \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{2}} \right) \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{3}} \right) = \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{2} \partial x_{3}} = \Gamma_{23}^{4} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right) )]
따라서
[math( \nabla_1 \left( \nabla_2 (g_3) \right)= \nabla_1 \left( \Gamma_{23}^{4} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right) \right) )]
[math( = \dfrac{\partial \Gamma_{23}^{4} }{\partial x_{1}} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right) + \Gamma_{23}^{4} \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{1}\partial x_{4}} \right) )]
[math( = \dfrac{\partial \Gamma_{23}^{4} }{\partial x_{1}} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right) + \Gamma_{23}^{4} \Gamma_{14}^{0} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{0}} \right) )]
계속해서
[math( \nabla_2 \nabla_1 \; g_3 = \nabla_2 \left( \nabla_1 (g_3) \right) )]
[math( \nabla_1 (g_3)= \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{1} \partial x_{3}} = \Gamma_{13}^{4} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right) )]
따라서
[math( \nabla_2 \left( \nabla_1 (g_3) \right)= \nabla_2 \left(\Gamma_{13}^{4} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right) \right) )]
[math( = \dfrac{\partial \Gamma_{13}^{4} }{\partial x_{2}} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right) + \Gamma_{13}^{4} \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{2}\partial x_{4}} \right) )]
[math( = \dfrac{\partial \Gamma_{13}^{4} }{\partial x_{2}} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right) + \Gamma_{13}^{4} \Gamma_{24}^{0} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{0}} \right) )]
리만-크리스토펠 곡률 텐서[math( (B) = \nabla_1 \nabla_2 \; g_3 - \nabla_2 \nabla_1 \; g_3 )]로 정의해보면
[math( B = \left(\dfrac{\partial \Gamma_{23}^{4} }{\partial x_{1}} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right) + \Gamma_{23}^{4} \Gamma_{14}^{0} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{0}} \right) \right) - \left( \dfrac{\partial \Gamma_{13}^{4} }{\partial x_{2}} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right) + \Gamma_{13}^{4} \Gamma_{24}^{0} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{0}} \right) \right) )]
[math( B = \dfrac{\partial \Gamma_{23}^{4} }{\partial x_{1}} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right) + \Gamma_{23}^{4} \Gamma_{14}^{0} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{0}} \right) - \dfrac{\partial \Gamma_{13}^{4} }{\partial x_{2}} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right) - \Gamma_{13}^{4} \Gamma_{24}^{0} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{0}} \right) )]
[math( B = \dfrac{\partial \Gamma_{23}^{4} }{\partial x_{1}} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right) - \dfrac{\partial \Gamma_{13}^{4} }{\partial x_{2}} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{4}} \right) + \Gamma_{23}^{4} \Gamma_{14}^{0} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{0}} \right) - \Gamma_{13}^{4} \Gamma_{24}^{0} \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{0}} \right) )]
를 얻을수있다.
이제 [math( 4= 0)]인 공변 인텍스(covariant indexes)에서 [math( 4\leftrightarrow{0} )]로 다시 정리해보면
[math( B = \left( \dfrac{\partial \Gamma_{23}^{4} }{\partial x_{1}} - \dfrac{\partial \Gamma_{13}^{4} }{\partial x_{2}} + \overline{\Gamma_{23}^{4} \Gamma_{14}^{0} } - \overline{ \Gamma_{13}^{4} \Gamma_{24}^{0} } \right)\dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{0}} )]
[math( B = \left( \dfrac{\partial \Gamma_{23}^{4} }{\partial x_{1}} - \dfrac{\partial \Gamma_{13}^{4} }{\partial x_{2}} + \Gamma_{23}^{0} \Gamma_{10}^{4} - \Gamma_{13}^{0} \Gamma_{20}^{4} \right)\dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{0}} )]
이어서 항등식 [math( \Gamma^{\square}_{12} = \Gamma^{\square}_{21} )] 을 적용하고 [math(\dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{0}} = 1)]로 놓으면
리만-크리스토펠 곡률 텐서[math( B = \dfrac{\partial \Gamma^{4}_{32}}{\partial x^{1}} - \dfrac{\partial \Gamma^{4}_{31}}{\partial x^{2}} + \Gamma^{0}_{32} \Gamma^{4}_{01} - \Gamma^{0}_{31} \Gamma^{4}_{02} )]를 얻을수있다.
7. 관련 문서
[나] \[직역:매트릭스 그리고 텐서 미적분학 \] Matrix And Tensor Calculus:WITH APPLICATIONS TO MECHANICS, ELASTICITY, and AERONAUTICS , ARISTOTLE D. MICHAL(애리스토틀 D. 미할) 1947,New York: J. Wiley, (P99)17.RlEMANN-CHRISTOFFEL TENSOR §The Riemann-Christoffel Curvature Tensor. https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.212664/page/n21/mode/2up[2] Rendiconti by Accademia nazionale dei Lincei. Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali Language Italian Volume ser.5:v.11:sem.1 (1902) Matematica - Sui simboli a quattro indici e sulla curvatura di Riemann. Nota del Socio Luigi Bianchi P3-7https://archive.org/details/rendiconti51111902acca/page/n9/mode/2up[나] [4] Bernhard Riemann's Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass. Hrsg. unter Mitwirkung von R. Dedekind, von H. Weber. 1876https://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ABS3163.0001.001?view=toc[5] Christoffel, E. B. 1869(1). Über die Transformation der homogenen Differential Ausdrücke zweiten Grades. Journal fir die Reine und Angewandte Mathematik 70, 46-70.https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0070[6] Christoffel, E. B. 1869(2). Uber ein die Transformation homogener Differentialausdriicke zweiten ,Grades betreffendes Theorem. Journal fir die Reine und Angewandte Mathematik 70, 241-245.https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0070?tify={%22pages%22:[245],%22pan%22:{%22x%22:0.455,%22y%22:0.317},%22view%22:%22info%22,%22zoom%22:0.717}[7] HISTORIA MATHEMATICA 17 (1990). 223-255 The Missing Link: Riemann’s ‘Commentatio,”Differential Geometry and Tensor Analysis RUTH FARWELL AND CHRISTOPHERKNEE, *Department of Mathematics and tDepartment of Sociology, St Mary’s College, Strawberry Hill, Twickenham TWl 4SX, England https://core.ac.uk/download/pdf/81196658.pdf[8] Christoffel, E. B. 1869(1). Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades. Journal fir die Reine und Angewandte Mathematik 70, 46-70.https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0070 P54[9] Zur Theorie der Transformation quadratischer Differentialausdrücke und der Krümmung höherer Mannigfaltigkeiten ,Aurel Voss,Mathematische Annalen (1880) Volume: 16, page 129-179 https://eudml.org/doc/156882[다] \[직역\]절대미분 계산의 방법과 그 응용 Ricci, M.M.G., and T., Levi-Civita. "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications." Mathematische Annalen 54 (1901): 125-201. http://eudml.org/doc/157997 P142 Chapitre I §6,P183 Chapitre V §2[가] Rendiconti by Accademia nazionale dei Lincei. Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali Language Italian Volume ser.5:v.11:sem.1 (1902) Matematica - Sui simboli a quattro indici e sulla curvatura di Riemann. Nota del Socio Luigi Bianchi P3-7https://archive.org/details/rendiconti51111902acca/page/n9/mode/2up[라] \[직역:리만 공간의 기하학\]La géométrie des espaces de Riemann ,Élie Cartan, Publisher: Gauthier-Villars, 1925, CHAPITRE IV. http://archive.numdam.org/article/MSM_192591_0.pdf P23[마] E. Cartan. — Leçons sur la Géométrie des Espaces de Riemann (Cahiers scientifiques publiés sous la direction de M. Gaston Julia. Fascicule II). — Un vol. gr. in-8° de vi-274 pages et 34 figures. Prix: 40 francs. Gauthier-Villars et Cie. Paris, 1928. https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1928:27::65[나] [15] Matrix And Tensor Calculus with applications to mechanics,elasticity and aeronautics ,Aristotle D. Michal,Full text 1947 versionhttps://archive.org/stream/in.ernet.dli.2015.212664/2015.212664.Matrix-And_djvu.txt[가]