| 카탈랑 다면체 Catalan Solids | ||||||
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| 카탈랑 다면체 중 하나인 마름모십이면체의 모습. |
1. 개요
마름모十二面體 / Rhombic dodecahedron(복수는 -hedra)아르키메데스 다면체 중 하나인 육팔면체의 쌍대 다면체이다. 면들이 모두 마름모형이기 때문에 이런 이름이 붙었다. 마름모의 예각의 경우 한 꼭지점에 4개, 둔각의 경우 한 꼭지점에 3개씩, 예각은 예각끼리, 둔각은 둔각끼리 모인다. 면의 형태 V3.4.3.4[1]이다.
면추이 도형이므로, 이론상으로 던졌을 때 각 면이 위에 올 확률이 모두 같기 때문에 공평한 십이면 주사위로도 사용할 수 있으나, 십이면체들 중에서도 점추이, 변추이, 면추이이기까지 한 정다면체인 정십이면체가 있어서 많이 쓰이지는 않는다.
2. 마름모십이면체에 대한 정보
| 꼭지점(vertex, 0차원) | 14개 |
| 모서리(edge, 1차원) | 24개 |
| 면(face, 2차원) | 마름모 12개 |
| 쌍대 | 육팔면체 |
| 이면각 | 120º |
한 변의 길이가 [math(a)]인 마름모 십이면체가 있을 때
마름모(면)의 긴 대각선의 길이 = [math(\displaystyle\frac{2\sqrt{6}}{3}a)][2]
마름모(면)의 짧은 대각선의 길이 = [math(\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}a)]
한 면의 넓이 = [math(\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}a^2)]
내접구의 반지름 = [math(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}a)]
모서리접구의 반지름 = [math(\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}a)]
외접구의 반지름 = [math(\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}a)]
겉넓이(surface area) = [math(8\sqrt{2}a^2)]
부피(volume) = [math(\displaystyle\frac{16\sqrt{3}}{9}a^3)]≈3.07920a^3
2.1. 다른 도형들과의 관계
- 육팔면체와 쌍대(Dual)[3] 도형이다.
- 마름모의 둔각 3개가 모인 꼭짓점 8개를 이으면 정육면체가 된다.
- 마름모의 예각 4개가 모인 꼭짓점 6개를 이으면 정팔면체가 된다.
- 위 방법으로 만든 정육면체와 정팔면체를 겹치면 서로의 모서리 중앙 부분이 완전히 겹치는 복합체(compound)가 된다.
- 4차원 도형인 테서렉트의 한 꼭짓점을 중심으로 한 3차원 투영 모습의 겉 부분 모습이다.
- 4차원 도형인 정이십사포체의 3차원 단면중 하나이다. 또한 마름모십이면체는 정이십사포체와 가장 가까운 3차원 도형이다.
3. 여담
마름모십이면체가 한 변에 3개가 모이면 정규 벌집이 된다.
이면각이 120도여서 그렇다. 한편 이 도형의 쌍대다포체는 정사면체와 정팔면체 2개를 한 모서리에 번갈아 끼우면서 만든 벌집이기도 하며 {4,3,4}를 alternative 식으로 응용한 벌집이 된다.[4] 그리고 4개가 한 모서리에 모일 때에는 파라콤팩트가 되며, 이 경우 이것의 쌍대는 정육면체와 정사각형 타일링을 각각 한 모서리에 2개씩 번갈아 끼워서 만든 파라콤팩트 벌집이 된다. 이 사실을 통해서 마름모십이면체의 마름모 면의 예각은 ~70.5288°, 둔각은 ~109.4712°라는 것을 알 수 있다.
한편 마름모삼십면체로는 이면각이 144도여서 한 변에 3개가 모이면 콤팩트 쌍곡이 된다. 이것의 쌍대는 정사면체와 정이십면체가 들어가며 {5,3,4}를 alternative 식으로 응용한 벌집이 된다. 그리고 이 마름모삼십면체도 5개가 별모양으로 교차해서 만나면 유클리드 벌집이 되며, 이것의 쌍대는 작은 별모양 십이면체와 큰 별모양 십이면체를 각각 2개씩 한 모서리에 모아 서로 만든 오목 정규 벌집이며, 이포각이 180°가 된다. 이 사실을 통해서 마름모삼십면체의 마름모 면의 예각은 ~63.4349°, 둔각은 ~116.5651°라는 것을 알 수 있다. 그리고 십이십이면체의 쌍대는 3개가 만나면 이것의 쌍대는 정이십면체와 큰 이십면체가 들어가며 큰 십이이십면체의 쌍대는 3개가 만나면 정사면체와 큰 이십면체가 들어가며 5개가 만난다면 정십이면체와 큰 십이면체가 들어가는 형태가 된다. 이 형식의 이용하면 이론상 만들수 없는 오목 벌집 계열들도 이론상 구해볼 순 있겠다.
또한 면의형태 V(3.6.3.6) 마름모꼴 타일링의 경우[5] 이면각이 180도여서 한 변에 3개가 모일 경우 파라콤팩트 쌍곡이 된다. 이것의 쌍대는 정사면체와 정삼각타일링이 들어가며 {6,3,4}를 alternative 식으로 응용한 벌집이 된다.
V(3.7.3.7)의 마름모꼴 쌍곡 타일링도 이 원리가 성립하며 한 변에 3개가 모일때 논콤팩트 쌍곡이 된다. 이것의 쌍대는 {7,3,4}를 alternative 식으로 응용한 벌집이 된다. 마찬가지로 V(3,n,3,n)이라 할때 한 변에 3개가 모일 경우 논콤팩트 쌍곡이 되며 이것의 쌍대는 {n,3,4}를 alternative 식으로 응용한 벌집이 된다.
한편 정육면체는 이면각이 90도이며 마름모꼴 육면체이기도 하다. 이 원리를 이용한 정다포체로는 정팔포체가 있다. 이 도형의 쌍대는 정십육포체이다. 그리고 정사각형 타일링 3개가 한 변에 모일 때에는 이면각이 180°여서 정규 벌집이며, 이것의 쌍대는 정팔면체 4개가 한 변에 만나는 형식의 파라콤팩트 벌집이다.
V(4.5.4.5)의 마름모꼴 쌍곡 타일링도 한 변에 3개가 모일 때 논콤팩트 쌍곡이 된다는 점은 같다. 이것의 쌍대는 {5,4,4}를 alternative 식으로 응용한 벌집이 된다.
역시 이것도 V(n,m,n,m)인 다면체가 한 면에 q개만큼 만난다고 할 때, 해당 벌집의 꼭짓점은 {n,q}, {m,q}인 정다면체 또는 정규 타일링 또는 쌍곡 타일링이 되므로 이것의 쌍대는 한 변에 슐레플리 기호가 {q,n}, {q,m}인 정다면체/정규 벌집/쌍곡 벌집이 한 변에 2개씩 번갈아가며 나타나는 형식의 벌집이 되어 {m,n,4}를 alternative 식으로 응용한 벌집이 된다고 알 수 있다. 특히 만들 수 없는 오목벌집한테 유용한 것.
대신 2차원 이상은 무조건 면이 합동인 것끼리만 붙일 수 있다는 점에서 각 면이 모두 합동이 아니면 서로 면끼리 붙일 수 없는 부분이 생겨서 제약이 생기니 이 점에 주의해야 한다. 즉, 서로 다른 형태의 면끼리는 아예 붙일 수가 없다는 것이며, 특히 이는 4차원 이상에서는 해당 다포체의 꼭짓점을 깎아서 만들 때 n-1차원 도형의 꼭짓점과 꼭짓점의 면이 반드시 같기 나온다는 점을 생각해보면 된다.
4. 현실에서의 예시
[1] 한 꼭지점에 모이는 면의 구성이 3.4.3.4인 다면체의 꼭지점을 다면체 중심과 꼭지점을 이은 직선에 수직한 면으로 정확히 잘라내었을 때 생기는 단면의 쌍대 다각형과 같다는 뜻이다.[2] 짧은 대각선의 정확히 √2배다. 따라서 마름모십이면체의 전개도는 작도할 수 있다. 마름모삼십면체도 살짝 복잡해지지만 전개도를 작도할 수 있다.[3] 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.[4] 의외로 주변 건축물 중에도 은근 찾아볼 수 있다.[5] 내각이 60도 120도 60도 120도이며 (3,6,3,6)의 쌍대이다.