| 정다면체 Regular Polyhedron | |
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| 정십이면체 regular dodecahedron | |||||
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| 슐레플리 기호 | {5,3} | ||||
| 대칭 | 점군 | [math(H_3)] | |||
| 대칭 차수 | 120 | ||||
| 쌍대 | 정이십면체 | ||||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px);" {{{#!folding 측정 [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-5px -1px -11px" | [math(a)] = 한 변의 길이 [math(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2})] ≈ 1.618 | ||||
| 겉넓이 | [math(3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2)][1] | ||||
| 부피 | [math(\dfrac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3)][2] | ||||
| 이면각 | [math(\displaystyle\cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right))][3] | ||||
| 반지름 | 외접구 | [math(\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}a)][4] | |||
| 중접구 | [math(\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}a)][5] | ||||
| 내접구 | [math(\dfrac{\sqrt{250+110\sqrt{5}} }{20}a)][6] | ||||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px);" {{{#!folding 구성요소 [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-5px -1px -11px" | 차원 | 형태 | 개수 | |||
| 0 | 점(V) | 20 | ||||
| 1 | 모서리(E) | 30 | ||||
| 2 | 면(F) | {5} (정오각형) | 12 | |||
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1. 개요
正十二面體, Regular dodecahedron[7]한 개의 꼭짓점에 세 개의 면이 만나고, 총 열두 개의 정오각형 면으로 이루어진 다면체.
정십이면체 120개를 한 모서리에 3개씩 만나게 만드는 방식으로 이어 붙여 4차원 도형인 정백이십포체를 만들 수 있다. 물론 4차원 방향으로 접어야 하므로 현실에서는 불가능하다.
1.1. 다른 정다면체들과의 관계
- 정십이면체는 정이십면체와 쌍대(Dual)[8] 도형이다.[9]
- 정십이면체의 20개 꼭지점들 중 서로 이웃하지 않은 8개의 꼭지점을 골라 이으면 정육면체가 된다.
- 정십이면체의 20개의 꼭지점들로 4개의 꼭지점을 적절하게 골라 이으면 정사면체도 만들 수 있다.
2. 현실에서의 예시
- 황철석[10]
- 정십이면체 주사위[11]
- 메가밍크스
- 로마12면체 : # 12면체형태로 모서리에 작은 구가 붙어있고 면은 뚫려 있어 안을 볼수 있는 고대유물. 관련문헌이 없어 용도는 불명이다.
3. 창작물에서의 예시
- 커맨드 앤 컨커 타이베리안 선[12]
- 콘택트(영화)[13]
- 오버워치의 돌격 영웅 시그마의 기본 무기
- 레전드히어로 삼국전의 등장 악역 장각의 다크 펜타곤
4. 기타
플라톤은 다섯 개의 정다면체를 사원소설에 대입하려 하였는데, 이들 중 정십이면체는 우주를 상징한다고 하였다. 이에 대해 정십이면체가 천상세계를 이루는 제 5원소인 에테르를 상징한다고 해석하기도 하였다.[1] [math(= \displaystyle 3\cdot5^{3/4}\varphi^{3/2} a^2)][2] [math(= \displaystyle\frac{\sqrt{5}\varphi^4}{2}a^3 \approx 7.6631 a^3)][3] ≈ 116.565°[4] [math(= \dfrac{\sqrt{3}\varphi}{2}a)][5] [math(= \dfrac{\varphi^2}{2}a)][6] [math(= \dfrac{\varphi^{5/2}}{2\cdot5^{1/4}}a)][7] 복수는 regular dodecahedra[8] 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.[9] 정십이면체는 한 꼭지점에 세 개의 정오각형이 만나기 때문에 {5, 3} 한 꼭지점에서 정삼각형이 다섯 개 만나는 도형인 정이십면체{3, 5}와 쌍대 도형이다.[10] 정십이면체형 결정은 정육면체형 결정이 적당히 성장하면 만들어지므로, 자연의 황철석에서 가끔 발견할 수 있다.[11] 도라에몽에도 나온 적이 있다.[12] 필드에 종종 나타나는 크레이트의 모양이 정십이면체이다. 타이베리움 워 이후의 타이베리움 사가 시리즈에서는 깎은 정사면체로 대체된다.[13] 주인공 애로웨이 박사가 탑승하는 워프게이트의 캡슐이 정십이면체의 모서리로 둘러싸여 있다.