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1. 개요
-多面體 / Kepler–Poinsot polyhedron / solid기하학에 등장하는 3차원 도형의 일종.
정다면체를 이루는 면의 개념을 오목 정다각형(또는 정다각별)[1]으로 확장시켜 얻어지는 다면체(1619년, 요하네스 케플러의 정의)와 면이 만나는 횟수를 분수번[2]으로 확장시켜 만들어지는 다면체(1809년 루이스 푸앵소가 발견). 모든 면이 합동이며, 모든 꼭지점에서 면이 만나는 개수가 같다는 점에서 정다면체의 성질을 가지고 있지만 다면체가 볼록하지 않고 오목하다는 점에서 다르다. 이 때문에 볼록한 정다면체와 구별하여 "오목정다면체"라고 부르기도 한다.
극한의 정의를 재정의하고 19세기 수학의 선봉에 섰던 수학자 오귀스탱루이 코시가 케플러-푸앵소 도형이 당시 시점에 발견된 4개가 전부라는 사실을 증명해 자신의 수학자 커리어를 시작했다.
2. 성질
- 모든 면이 합동이다.
- 모든 꼭지점에서 만나는 면의 개수가 같다.
- 면의 형태가 5/2각형이거나 각각의 면이 한 꼭지점에서 5/2번 만난다.[3]
2.1. 케플러-푸앵소 다면체
네 개의 케플러-푸앵소 다면체가 존재한다.왼쪽부터 작은 별모양 십이면체, 큰 별모양 십이면체, 큰 이십면체, 큰 십이면체. 면의 형태를 보이기 위해 한 개의 면이 색칠되어있다.
- 작은 별모양 십이면체: 12개의 5/2각형(오각별)으로 이루어져 있다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 5개. {5/2, 5}[4]
- 큰 별모양 십이면체: 12개의 5/2각형(오각별)으로 이루어져 있다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 3개. {5/2, 3}
- 큰 이십면체: 20개의 정삼각형으로 이루어져 있으나, 분수번 만난다는 점에서 이십면체와는 다르다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 5/2개. {3, 5/2}
- 큰 십이면체: 12개의 정오각형으로 이루어져 있으나, 한 꼭지점에서 오각형이 분수번 만난다는 점에서 십이면체와는 다르다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 5/2개. {5, 5/2}
2.2. 볼록 정다면체와의 관계
튀어나온 꼭지점들 중 가장 가까운 꼭지점끼리 이어 보면 정다면체가 만들어진다. 작은 별모양 십이면체, 큰 이십면체, 큰 십이면체의 경우 정이십면체가 만들어지고, 큰 별모양 십이면체의 경우 정십이면체가 만들어진다.그 밖에도 케플러-푸앵소 다면체의 면이 겹쳐져 생기는 내부의 도형을 자세히 관찰하면 정십이면체나 정이십면체를 볼 수 있다.
2.3. 오목한 정다포체 및 쌍곡 벌집
한편 n이 홀수일 때, {n/2,n}, {n,n/2}의 계열만이 3차원에서의 쌍곡이 될 수 있는데, 그 예시로 {7/2,7}, {7,7/2}, {9/2,9}, {9,9/2}, {11/2,11}, {11,11/2} 등등이 있다. 참고로, 한 꼭짓점에 모이는 내각의 합이 쌍곡의 각도가 나오는 아무런 조합으로 한다고 해서 그 조합의 계열이 항상 쌍곡이 되는 것은 아니다. 예를 들어 {7/2,5}, {5,7/2}, {9/2,4}, {4,9/2}, {11/2,4}, {4,11/2}, {11/3,5}, {5,11/3}, {13/3,4}, {4,13/3} 등등이 그러한 예시로, 360°를 초과하지만, 모두 추상적이다. 특히 n이 3 이상의 자연수이고, m>2n+2일 때 {m/n,m}, {m,m/n}, {m/n,3}, {3,m/n}의 계열은 이포각이 쌍곡과 같아져도 쌍곡이 되지 못한다는 것이다. 따라서 {10/3,10}, {11/3,11}, {11/4,11}, {13/3,13}, {13/4,13}, {13/5,13}, {17/6,17}, {17/7,17}, {18/7,18}, {19/3,3}, {20/3,3}, {25/4,3} 등과 같은 계열 들이나 이들의 쌍대 역시 추상적이게 된다. 3차원과 5차원에서의 몇몇 계열들은 내각의 합이 360°보다 작아서 쌍곡이 되지 않는 경우가 있다고는 해도, 4차원에서도 {3,5/2,3}, {5/2,3,5/2}은 내각의 합이 360°보다 작아도 쌍곡이 만들어지지 않으며 5차원에서의 {3,5/2,3,3}, {3,3,5/2,3}, {3,5/2,3,5} {5,3,5/2,3}, {3,5/2,3,5/2}, {5/2,3,5/2,3}, {5/2,3,5/2,5}, {5,5/2,3,5/2} 처럼 오목한 정다포체가 되지 않는 추상적인 오목 벌집을 면이나 꼭짓점으로 가지는 경우도 존재하는데, 6차원 이상에서도 이것들은 논콤팩트가 되며 7차원 이상은 n-1차원 도형과 꼭짓점 마저도 전부 논콤팩트가 되어 추상적인 모습이 된다. 4차원에서도 이런 식으로 볼록 정다포체를 만들 수 있다. 삼각형과 오각형 이외의 4, 6, 7 등등이 들어있는 경우도 실제로는 만들 수 없기 때문에 추상적이다. 이쪽은 구에 가까운 정백이십포체와 정육백포체가 있으니 종류가 엄청 많으며 10가지가 있다.{5/2,3,3} {3,3,5/2} {5/2,5,5/2} {5,5/2,5} {5/2,5,3} {3,5,5/2} {5/2,3,5} {5,3,5/2} {3,5/2,5} {5,5/2,3}
5차원에서는 4가지의 쌍곡이 형성된다.
{5/2,5,3,3} {3,3,5,5/2} {5,5/2,5,3} {3,5,5/2,5}
6차원부터는 논콤팩트가 되어서 5차원 입체와 꼭지점을 끝까지 그릴 수 없으며 7차원 이상은 n-1차원 도형과 꼭짓점마저도 논콤팩트라서 n-2차원 도형 및 모서리 역시 끝까지 그릴 수 없는 논콤팩트 그 자체이다.
3. 관련 문서
[1] 정오각별은 5/2각형이라고 불린다.[2] 5/2번 만난다. 쉽게 말해 한 꼭지점에서 만나는 각각의 다각형이 별모양을 이루며 만나도록 한다는 의미이다. 5/2각형의 형태가 정오각별이라는 점을 참고하자.[3] 위 1, 2번 설명을 참고하자. 잘 이해가 되지 않는다면 이 링크를 참고하자.[4] {a, b}는 a각형이 b번 만나는 형태의 다면체를 의미한다.